数学竞赛定理

欧拉小定理:同一三角形的垂心、重心、外心,九点圆圆心四点共线,这条直线称为三角形的欧拉线;且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半,九点圆圆心到垂心与重心距离相等。

欧拉大定理:△ABC 的外接圆圆心为O ,半径为R ,内切圆圆心为I ,半径为r,记OI=d,则有:d 2=R 2-2Rr

九点圆:任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点:已知P 为锐角△ABC 内一点,当∠APB =∠BPC =∠CPA =120°时,PA +PB +PC 的值最小,这个点P 称为△ABC 的费尔马点。

海伦公式:在△ABC 中,边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ,若p =

21(a +b +c ),则△ABC 的面积S =

))()((c p b p a p p ---

塞瓦定理:在△ABC 中,过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线,分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ,则

1=??FB AF EA CE DC BD

密格尔定理:若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点,构成四个三角形,它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点。

葛尔刚定理:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,则AE 、BF 、CD 三线共点,这个点称为葛尔刚点。

西姆松定理:已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点,PD ⊥BC ,PE ⊥ACPF ⊥AB ,D 、E 、F 为垂足,则D 、E 、F 三点共线,这条直线叫做西摩松线。

笛沙格定理:已知在△ ABC 与△A'B'C'中,AA'、BB'、CC'三线相交于点O ,BC 与B'C'、CA 与C'A'、AB 与A'B'分别相交于点X 、Y 、Z ,则X 、Y 、Z 三点共线

摩莱三角形:在已知△ABC 三内角的三等分线中,分别与BC 、CA 、AB 相邻的每两线相

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