北师版数学高二-3.4素材 导数的运算中的几种常见题型分析

导数的运算中的几种常见题型分析

一、根据斜率求对应曲线的切线方程

例1.求曲线122

-=x y 的斜率等于4的切线方程．

分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程．

解：设切点为),(00y x P ，则 x x y 4)12(2='-='，∴40='=x x y ，即440=x ，∴10=x

当10=x 时，10=y ，故切点P 的坐标为（1，1）．

∴所求切线方程为)1(41-=-x y

即.034=--y x

说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．

二、化为幂函数的结构特征利用公式求函数的导数

例2.求下列函数的导数：

1．12x y =；2．41x

y =；3．53x y =． 分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数41x

y =和53x y =的形式，这样在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导． 解：1．.1212)(1111212x x

x y =='='- 2．.44)4()(55144x x x

x y -=-=-='='---- 3．.535353)()(52521535353x

x x x x y ==='='='-- 说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准．

三、求常函数的导数

例3.设2

π=y ，则y '等于（ ）

A ．π2

B ．2

π C ．0 D ．以上都不是

分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可

解：因为π是常数，常数的导数为零，所以选C ．

四. 三角函数或分式函数的求导

例3. 求下列函数的导数： 1.求2cos 2sin x x x y -=的导数； 2.求y ＝x

x x x x 9532-+-的导数。 解：1.先使用三角公式进行化简.

x x x x x y sin 2

12cos 2sin -=-= .cos 211)(sin 21sin 21'''

'x x x x x y -=-=??? ??-=∴ 2. y ＝x

x x x x 9

532-+-=233x －x ＋５－219-x ∴ y '＝３*（x 23

）＇－x ＇＋５＇－９21(x ）＇＝３*2321

x －１＋０－９*（－21）23-x ＝1)11(292-+x

x 。 说明：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。

五、求直线方程

例5.求过曲线x y cos =上点??

? ??21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程． 分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．

解：x y cos = ，∴.sin x y -=' 曲线在点??? ??21,3πP 处的切线斜率是.233sin 3

-=-='=ππx y ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为

32， ∴所求的直线方程为??? ?

?-=-33221πx y ，即0233232=+--πy x ．

说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y '是否为零，当0='y 时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．

北师版数学高二-3.4素材 导数的运算中的几种常见题型分析

导数的运算中的几种常见题型分析 一、根据斜率求对应曲线的切线方程 例1.求曲线122 -=x y 的斜率等于4的切线方程． 分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程． 解：设切点为),(00y x P ，则 x x y 4)12(2='-='，∴40='=x x y ，即440=x ，∴10=x 当10=x 时，10=y ，故切点P 的坐标为（1，1）． ∴所求切线方程为)1(41-=-x y 即.034=--y x 说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大． 二、化为幂函数的结构特征利用公式求函数的导数 例2.求下列函数的导数： 1．12x y =；2．41x y =；3．53x y =． 分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数41x y =和53x y =的形式，这样在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导． 解：1．.1212)(1111212x x x y =='='- 2．.44)4()(55144x x x x y -=-=-='='---- 3．.535353)()(52521535353x x x x x y ==='='='-- 说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准． 三、求常函数的导数 例3.设2 π=y ，则y '等于（ ）

最新导数的四则运算法则

导数的四则运算法则

§4 导数的四则运算法则 主讲：陈晓林时间：2012-2-23 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f（x）=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处附近有定义，如果?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的比?Skip Record If...?（也叫函数的平均变化率）有极限即?Skip Record If...?无限趋近于某个常

数，我们把这个极限值叫做函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处的导数，记作?Skip Record If...?，即?Skip Record If...? 2. 导数的几何意义：是曲线?Skip Record If...?上点（?Skip Record If...?）处的切线的斜率因此，如果?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?可导，则曲线 ?Skip Record If...?在点（?Skip Record If...?）处的切线方程为?Skip Record If...?3. 导函数(导数):如果函数?Skip Record If...?在开区间?Skip Record If...?内的每点处都有导数，此时对于每一个?Skip Record If...?，都对应着一个确定的导数 ?Skip Record If...?，从而构成了一个新的函数?Skip Record If...?, 称这个函数 ?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数?Skip Record If...?的导数的一般方法： （1）求函数的改变量?Skip Record If...?2）求平均变化率?Skip Record If...?（3）取极限，得导数?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?5.常见函数的导数公式：?Skip Record If...?；?Skip Record If...? （二）、探析新课 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即 ?Skip Record If...? 证明：令?Skip Record If...?， ?Skip Record If...??Skip Record If...?， ∴?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 即?Skip Record If...?． 例1：求下列函数的导数：

高二数学导数知识点归纳

高二数学导数知识点归纳 导数基础 导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a 即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。 1.y=c(c为常数)y'=0 2.y=x^ny'=nx^(n-1) 3.y=a^xy'=a^xlna y=e^xy'=e^x 4.y=logaxy'=logae/x y=lnxy'=1/x 5.y=sinxy'=cosx 6.y=cosxy'=-sinx 7.y=tanxy'=1/cos^2x 8.y=cotxy'=-1/sin^2x 9.y=arcsinxy'=1/√1-x^2 10.y=arccosxy'=-1/√1-x^2 11.y=arctanxy'=1/1+x^2 12.y=arccotxy'=-1/1+x^2 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2 3.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的： y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^xy'=e^x和 y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3.y=a^x, ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1) ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x 如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道： ⊿x=loga(1+β)。 所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而 limβ→0(1+β)^1/β=e,所以 limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x- 1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^xy'=e^x。 4.y=logax ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

导数的运算法则

课题：导数的运算法则 1、 求下列函数的导数 （1 ）y = （2 ）y = （3）12x y ??= ??? （4）12 =log y x （5）212sin 2x y =- 2、已知直线1l 为曲线2+-2y x x =在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形面积。 例1 求下列函数的导数 （1） )11)(1(x x y +- = ； （2） x x y 2= （3） x x x y +=s i n ； 例2 已知曲线Ｃ：x x x y 2323+-=，直线ｌ：kx y =，且ｌ与Ｃ切于点),(00y x )0(0≠x ，求直线ｌ的方程及切点的坐标。 例3设)(x f 、)(x g 分别是定义在),0()0,(+∞?-∞上的奇函数和偶函数，当0'+'x g x f x g x f 且0)3(=-g ，求不等式0)()(

求下列函数的导数： ⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x x y 2= 例2．求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3．已知曲线2x y =上有两点A （1，1），B （2，2）。 求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率； （3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程 例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离． （三）课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=?? ? ??．x x 21)'(= （四）课后作业 《习案》作业四

高中数学一轮复习 第1讲 导数的概念及其运算

第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.

高中数学导数题型分析及解题方法

导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为) ,(00y x A ，则 2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =， 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分 别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；

导数的四则运算法则

§4 导数的四则运算法则 一、教学目标： 1．知识与技能 掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2.过程与方法 通过用定义法求函数f （x ）=x+x 2 的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。 3.情感、态度与价值观 培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验——观察——归纳——抽象的数学思维方法。 二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用 教学难点：导数四则运算法则的证明 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=-

3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?（2）求平均变化率 x x y ?= ?? （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x （二）、探析新课 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即 证明：令)()()(x v x u x f y ±==， )] ()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-?+±?+=?v u x v x x v x u x x u ?±?=-?+±-?+=)]()([)]()([， ∴ x v x u x y ??±??=??，x v x u x v x u x y x x x x ??±??=? ?? ????±??=??→?→?→?→?0000lim lim lim lim 即 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数： （1）x x y 22 +=； （2）x x y ln -= ； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4） 2 2 1x x x y +-= 。 解：（1）2ln 22)2()()2(2 2 x x x x x x y +='+'='+='。 （2）x x x x x x y 121)(ln )()ln (- = '-'='-='。 （3） [] 123)1()()()()1()1)(1(223232+-='-'+'-'='-+-=' -+='x x x x x x x x x x y 。 例2：求曲线x x y 1 3- =上点（1，0）处的切线方程。

高二数学选修-2导数2种题型归纳(中等难度)

导数题型分类解析（中等难度） 一、变化率与导数 函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即)('0x f =0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示 函数)(0x f y =在x 0点的斜率。注意增量的意义。 例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0 例2：若' 0()3f x =-，则000()(3) lim h f x h f x h h →+--=（ ） A.3- B ．6- C ．9- D ．12- 例3：求0lim →h h x f h x f ) ()(020-+ 二、“隐函数”的求值 将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。 例1：已知()()232 f x x x f '+=，则()='2f 例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+??? ??'=π，则?? ? ??4πf 的值为 . 例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2 -+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ） A. 12-=x y B. x y = C. 23-=x y D. 32+-=x y 三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。 例1：一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。 例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ） 四、基本导数的求导公式 ①0;C '=（C 为常数） ②()1 ;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; A ． B ． C ． D ．

1.2.2 导数的运算法则(一)

1.2.2 导数的运算法则（一） 知识要点 1，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的 ， 即()()'u x v x ±=???? 2，两个函数的积的导数，等于 ，加上 ， 即()()'u x v x ?=???? 。特别地，()'cu x =???? （其中c 为常数）。 3，两个函数的商的导数，等于 减去 ，再除以 。即

知识点一，直接求导 例1，求下列函数的导数 （1）2 3cos y x x x =+ （2）1x y x = + （3）tan y x = （4）lg x y x e =- 变式训练1，求下列函数的导数 (1)23y x = (2)5314353 y x x x =-++(2)2sin cos y x x x =+ (4)ln 1 x y x =+ 知识点二，先变形再求导 例2，求下列函数的导数 （1） y =（2）cos 2sin cos x y x x = + （3）)22sin cos 22x x y =- 变式训练2，求下列函数的导数 (1)2311y x x x x ??=+ + ??? (2)44sin cos 44 x x y =+ 知识点三，导数的综合应用 例3，已知函数21n x y x ??= ?+??过点11,9P ?? ??? ，求函数在点P 处的切线方程。 变式训练3，某质点的运动规律是322s t t t =-+，求其最小速度m v

水平基础题 1．已知物体的运动方程是s ＝14 t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 2．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2 3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 4．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x . 水平提升题 6．曲线y ＝x sin x 在点??? ?－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A.π2 2 B ．π2 C ．2π2 D.12 (2＋π)2 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )－g (x )为常数 C ．f (x )＝g (x )＝0 D ．f (x )＋g (x )为常数 9．曲线y ＝cos x 在点P ????π3，12处的切线的斜率为______． 10．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________． 11．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存有这两条曲线的一个公共点，使在这个点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 12．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程． 提升拓展题 13．求满足下列条件的函数f (x )： (1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 14,求下列函数()f x 的导数（其中是可导函数） 1(1)(2)y f y f x ??== ???

北师大版数学高二-高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2

高中数学《导数的计算-基本初等函数的导数及导数的运算法则》教案3 选修2-2 一、教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数. 二、教学重点： 掌握复合函数导数的求法 教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导. 三、教学过程： （一）复习引入 1. 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)． (x n )'＝nx n －1 (n ∈Q)． ( sin x )'＝cos x ． ( cos x )'＝－ sin x ． 2．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '． 3．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '． (Cu )'＝Cu ' ． 4．商的导数 ).0(2≠'-'='??? ??v v v u v u v u （二）讲授新课 1．复合函数： 如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ． 像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数． 练习：指出下列函数是怎样复合而成的． .)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数 一般地，设函数u ＝?(x )在点x 处有导数u'x ＝?'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (?(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ． 或写作 f 'x (?(x ))＝f '(u ) ?'(x )． 复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数． 例1 求y ＝(3x －2)2的导数． 解：y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12． 法1 函数y ＝(3x －2)2又可以看成由y ＝u 2 ，u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量． 由于y'u ＝2u ，u'x ＝3， 因而 y'x ＝y'u ·u'x ＝2u ·3＝2u ·3＝2(3x －2)·3＝18x －12． 法2 y'x ＝y'u ·u'x 例2 求y ＝(2x ＋1)5的导数． 解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1， 则 y'x ＝y'u ·u'x ＝(u 5)'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4．

高二数学选修2-2导数的计算

导数的计算 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 一、 用定义计算导数 问题1：如何求函数()y f x c ==的导数？ 2．求函数()y f x x ==的导数 3．函数2()y f x x ==的导数 4．函数1()y f x x == 的导数 5 ．函数y = 二 1.基本初等函数的导数公式表 分几类 1、幂函数 2.三角函数 3指数函数 4.对数函数 补充 1 ()f x x = '21 ()f x x =- ( )f x = '()f x =

2公式的应用 典型题一、求导数 A x y x y x y x y y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5 )2()1(125==== ==、求下列函数的导数 例 思考 求()f x '的方法有哪些？ 3.导数的四则运算法则： 问题 ln x x ?如何求？ 推论：[]''()()cf x cf x = 提示：积法则,商法则, 都是 前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加 号, 商法则中间是减号.。 常见错误：[]'''()()()()f x g x f x g x ?= ' ''()()(()0)()()f x f x g x g x g x ??=≠???? 典型题二、导数的四则运算法则 例题3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+

（2）sin y x x =?； （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）cos x y x lnx =- A 变式练习1 1y x x =+ sin (cos )x y x x e =- cos x y x = +lnx 2sin y x x = sin cos x y x = A 变式2.求下列函数的导数 （1）y=23x +3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3) (3)y=sin x x (4)y=2 ln 1x x + A 变式3．已知f （x ）=xcosx ﹣sinx ，则f′（x ）=（ ） 解：∵f （x ）=xcosx ﹣sinx ， ∴f ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ， 已知函数f （x ）=2 x lnx ，则f′（x ）等于（ ） 函数y=e x sinx 的导数等于（ ） A ． e x cosx B ． e x sinx C ． ﹣e x cosx D ． e x （sinx+cosx ） 分析： 利用导数乘法法则进行计算，其中（e x ）′=e x ，sin ′x=cosx ． 解答： 解：∵y=e x sinx ， ∴y ′=（e x ）′sinx+（e x ）?（sinx ）′ =e x sinx+e x cosx

(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案

1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．

5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立．

人教版数学高二选修2-2教案几个常用函数的导数

1.2.1 几个常用函数的导数 教学目标： 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数； 2． 利用公式解决简单的问题. 教学重点和难点 1．重点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数. 教学方法： 自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆. 教学过程： 一、复习 1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤. 二、新课 1. 求()f x x =的导数. 解： ()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===???， '00()lim lim 11x x y f x x ?→?→?===?. '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？ (2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？ 可以看出，当k >0时，导数越大，递增越快；当k <0时，导数越小，递减越快. 2. 求函数2 ()y f x x ==的导数.

解： 22 ()()()2y f x x f x x x x x x x x x ?+?-+?-===+????， ''00 ()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ?→?→?===+?=?. '2y x =表示函数2y x =图象上每点（x ,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化： （1）当x <0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢； （2）当x >0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快. 3. 求函数1()y f x x ==的导数. 解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -?+?--+?+?====-???+??+??， ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x ?→?→?===-=-?+?? 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？ '(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+. (2)改为点（3，3），结果如何？ 三 、例题 例1 ：试求函数()y f x == 的导数. 解： ()()y f x x f x x x ?+?-==??= ''0()lim lim x x y y f x x ?→?→?====? 例2：已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线的切线方程.

数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案

§则 教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 函数 导数 函数 导数

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的 01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01） 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝x x --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ； （4）y ＝ x x 4 ； （5）y ＝x x ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． （1） 因为'2 5284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'2 5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越