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高中数学竞赛讲座 排列组合、二项式定理

高中数学竞赛讲座 排列组合、二项式定理
高中数学竞赛讲座 排列组合、二项式定理

竞赛讲座19

-排列、组合、二项式定理

基础知识

1.排列组合题的求解策略

(1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除,这是解决排列组合题的常用策略.

(2)分类与分步

有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的方法数,这是乘法原理.

(3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数.

(4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间.

(5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”,然后与其它“普通元素”全排列,然后再“松绑”,将这些特殊元素在这些位置上全排列.

(6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模型.如将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,分别装入4个

不同的盒子中的方法数应为311C ,这也就是方程12=+++d c b a 的正整数解的个数.

2.圆排列

(1)由},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中,每次取出r 个元素排在一个圆环上,叫做一个圆排列(或叫环状排列).

(2)圆排列有三个特点:(i )无头无尾;(ii )按照同一方向转换后仍是同一排列;(iii )两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不同的圆排列.

(3)定理:在},,,,{321n a a a a A =的n 个元素中,每次取出r 个不同的元素进行圆排列,圆排列数为r

P r n . 3.可重排列

允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列.

在m 个不同的元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那么第一、第二、…、第n 位是的选取元素的方法都是m 种,所以从m 个不同的元素中,每次取出n 个元素的可重复的排列数为n m .

4.不尽相异元素的全排列

如果n 个元素中,有1p 个元素相同,又有2p 个元素相同,…,又有s p 个元素相同(n p p p s ≤+++ 21),这n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的n 个元素的全排列,它的排列数是

!

!!!21s p p p n ??? 5.可重组合

(1)从n 个元素,每次取出p 个元素,允许所取的元素重复出现p ,,2,1 次的组合叫从n 个元素取

出p 个有重复的组合.

(2)定理:从n 个元素每次取出p 个元素有重复的组合数为:r p n p n C H )1(-+=.

6.二项式定理

(1)二项式定理∑=-=+n k k k n k n n b a C

b a 0)((*N n ∈)

. (2)二项开展式共有1+n 项.

(3)r r n r n r b a C T -+=1(n r ≤≤0)叫做二项开展式的通项,这是开展式的第1+r 项.

(4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等.

(5)如果二项式的幂指数n 是偶数,则中间一项的二项式系数2n n C 最大;如果n 是奇数,则中间两项的二项式系数21

-n n C 与21

+n n C 最大.

(6)二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和,即

+++=+++531420n n n n n n C C C C C C

7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法

二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数学竞赛的命题者却对其情有独钟.

(1)利用二项式定理判断整除问题:往往需要构造对偶式;

(2)处理整除性问题:构造对偶式或利用与递推式的结合;

(3)求证不等式:通过二项式展开,取展开式中的若干项进行放缩;

(4)综合其他知识解决某些综合问题:有些较复杂的问题看似与二项式定理无关,其实通过观察、分析题目的特征,联想构造合适的二项式模型,便可使问题迅速解决.

例题分析

例1.数1447,1005,1231有某些共同点,即每个数都是首位为1的四位数,且每个四位数中恰有两个数字相同,这样的四位数共有多少个?

例2.有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数?

例3.有n 2个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式?

例4.将1+n 个不同的小球放入n 个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多少种放法?

例5.在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是多少个?

例6.用8个数字1,1,7,7,8,8,9,9可以组成不同的四位数有多少个?

例7.用E D C B A ,,,,五种颜色给正方体的各个面涂色,并使相邻面必须涂不同的颜色,共有多少种不同的涂色方式?

例8.某种产品有4只次品和6只正品(每只产品可区分),每次取一只测试,直到4只次品全部测出为止.求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?

例9.在平面上给出5个点,连结这些点的直线互不平行,互不重合,也互不垂直,过每点向其余四点的连线作垂线,求这此垂线的交点最多能有多少个?

例10。.8位政治家举行圆桌会议,两位互为政敌的政治家不愿相邻,其入坐方法有多少种?

例11.某城市有6条南北走向的街道,5条东西走向的街道.如果有人从城南北角(图A 点)走到东南角中B 点最短的走法有多少种?

例12.用4个1号球,3个2号球,2个3号球摇出一个9位的奖号,共有多少种可能的号码?

例13.将r 个相同的小球,放入n 个不同的盒子(n r ≥).

(1)有多少种不同的放法?

(2)如果不允许空盒应有多少种不同的放法?

例14.8个女孩和25个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站着两个男孩.(只要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的)

例15.设1990=n ,求

)333331(211990995198899463422n n n n n n C C C C C -++-+- 的值. 例16.当*N n ∈时,)73(+的整数部分是奇数还是偶数?证明你的结论.

例17.已知数列 ,,,,3210a a a a (00≠a )满足:),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i

求证:对于任意正整数n ,

n n n n n n n n n n n n x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-=----)1()1()1()(11111100 是一次多项式或零次多

项式.

例18.若a m r +=++12)25((10,,*<<∈a N m r ),求证:1)(=+a m a .

例19.设8219)22015()22015(+++=x 的整数部分,求x 的个数数字.

例20.已知b a 2)21(100+=+(N b a ∈,)求ab 的个位数字.

例21.试证大于n 2)31(+的最小整数能被12+n 整除(N n ∈).

例22.求证:对任意的正整数n ,不等式n n n n n n )12()2()12(-+≥+.

例23.设+∈R b a ,,且111=+b

a .求证对于每个N n ∈,都有 1222)(+-≥--+n n n n n

b a b a

训练题

1.8次射击,命中3次,其中愉有2次连续命中的情形共有( )种

(A )15 (B )30 (C )48 (D )60

2.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场。那么,在上述3名选手之间比赛的场数是( )

(A )0 (B )1 (C )2 (D )3

3.若10002)1(x x ++的展开式为200020002210x a x a x a a ++++ ,则

19989630a a a a a +++++ 的值为

(A )3333 (B )6663 (C )9993 (D )20013

4.某人从楼下到楼上要走11级楼梯,每步可走1级或2级,不同的走法有( )种

(A )144 (B )121 (C )64 (D )81

5.从7名男乒乓球队员,5名女乒乓球队员中选出4名进行男女混合双打,不同的分组方法有( )种

(A )25272C C (B )25274C C (C )2527P P (D )2527C C

6.有5分、1角、5角的人民币各2枚、3张、9张,可组成的不同币值(非0)有( )种

(A )79 (B )80 (C )88 (D )89

7.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数,使其和为不小于10的偶数,不同的取法有________种

8. 把6)67(-写成N N -+1的形式,为N 自然数,则N = .

9.已知直线ax +by +c =0中的a ,b ,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______.

10.设ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D 点,则停止跳动;若5次之内不能到达D 点,则跳完5次也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种.

11.如果:(1)a ,b ,c ,d 都属于{1,2,3,4};(2)a ≠b ,b ≠c ,c ≠d ,d ≠a ;(3)a 是a ,b ,c ,d 中的最小值,那么,可以组成的不同的四位数abcd 的个数是_________.

12.在一个正六边形的六个区域种植观赏植物,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择,则有 种载种方案.

13.10人围圆桌而,如果甲、乙二人中间相隔4人,有 种坐法.

14.20001991除以6

10的余数是 . 15.设12)725(++n 的展开中,用I 记它的整数部分,F 记它的小数部分.求证:F F I )(+是一定值.

16.从19,,3,2,1 中,按从小到大的顺序选取4321,,,a a a a 四个数,使得212≥-a a ,323≥-a a ,434≥-a a .问符合上要求的不同取法有多少种?

17.8人围张一张圆桌,其中A 、B 两人不得相邻,而B 、C 两人以必须相邻的不同围坐方式有多少种?

18.4对夫妇去看电影,8人坐成一排.若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性,共有多少种坐法?

19.求证:2121

2-?>+++n n n n n n C C C .

20.设2≥n ,N n ∈,0>+b a ,b a ≠.求证:n n n n b a b a )()(21+>+-.

高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

高中数学讲义 1.基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.又称加法原理. ⑵乘法原理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个子步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同方法,……,做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法.又称乘法原理. ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴排列:一般地,从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素) 排列数:从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号A m n 表示. 排列数公式:A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+,m n +∈N ,,并且m n ≤. 全排列:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由1到n 的连乘积,叫作n 的阶乘,用!n 表示.规定:0!1=. ⑵组合:一般地,从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合. 组合数:从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中,任意取出m 个元素的组合数,用符号C m n 表示. 组合数公式:(1)(2)(1)!C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+==-,,m n +∈N ,并且m n ≤. 组合数的两个性质:性质1:C C m n m n n -=;性质2:11C C C m m m n n n -+=+.(规定0 C 1n =) 知识内容 排列组合问题的常见模型 1

排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点

第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n m 种) 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序...... 排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ⑷排列数公式: ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C

2. 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式: )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式:①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一

高二数学知识点:排列与组合

高二数学知识点:排列与组合 排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C-------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法."排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m)表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n 个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标,m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符 号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标,m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 2019-07-0813:30 公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例: Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数?

排列组合二项式定理知识点

排列组合项定理考试内容:分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可.以.有.重.复.元.素.的排列. 从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以 从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例

3! 1 . 3! 如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素,按照一定顺序 排成一列, 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用 符号表 示. ⑷排列数公式: 注意:n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如:数字5、5、5、 求其排列个数?其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k

(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计

主讲人:黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分,是进一步学习概率论的基础知识,该部分内容,不论其思想方法和解题均有特殊性,概念性强,抽象性强,思维方法新颖,解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误,且且结果数目较大,无法一一检验,因此给考生带来一定困难.解决问题的关键是加深对概念的理解,掌握知识的内于联系和区别,科学周全的思考、分析问题. 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识,把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点. 概率则是概率论入门,目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础,做好铺垫.学习中要注意基本概念的理解,要注意与其他数学知识的联系,要通过一些典型问题的分析,总结运用知识解决问题的思维规律. 纵观近几年高考,排列、组合、二项式定理几乎每年必考,考题多以选择题、填空题出现,题小而灵活,涉及知识点均于两三个左右,综合运用排列组合知识,分类计数和分步计数原理;二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见,概率及概率统计的内容,从近几年新课程卷高考来看,每年均有一道解答题,占12分左右. 排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.(2)

以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.(4)某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;(5)某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”; 于求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 二、典例剖析 题型一:排列组合应用题 解决此类问题的方法是:直接法,先考虑特殊元素(或特殊位置),再考虑其他元素(或位置);间接法,所有排法中减去不合要求的排法数;对于复杂的应用题,要合理设计解题步骤,一般是先分组,后分步,要求不重不漏,符合条件. 例1、(08安徽理12)12名同学合影,站成了前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是()A.B.C.D.

排列组合与二项式定理的综合练习题

排列组合与二项式定理的综合应用 1.已知(1+a x )(1+x)5的展开式中x 2 的系数为5,则a = (A )-4 (B )-3 (C )-2 (D )-1 2.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则:等于() A .55 B .-l C .52 D .52- 3,则的值为 A . B .C 4.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有() A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 5.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 6.()()8 x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.(用数字填写答案) 7.(x-2)6的展开式中3x 的系数为.(用数字作答) 8.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8,则a 1+a 2+a 3+…+a 8=________. 9.有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻; (6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人. 10.7个人排成一排,按下列要求各有多少种排法? (1)其中甲不站排头,乙不站排尾; (2)其中甲、乙、丙3人必须相邻; (3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻; (4)其中甲、乙中间有且只有1人; (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列. 2312420)()(a a a a a +-++16-16

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中,任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r (r=0,1,…叫)做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即 c n = c n r (r=0,1,2,…,n ). 项和第n 3项)的二项式系数相等,并且最大,其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式: c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质: ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ; c n 2 c ; 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ,展开式共有n+1项,第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m

排列组合与二项式定理及概率应用综合

第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)=n ! (n -m )!(m ,n ∈N *,并且m ≤n ) A n n =n !=n ×(n -1)×(n -2)×…×3×2×1. 规定:0!=1. 组合与组合数公式 1.组合数公式 C m n =A m n A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !=n !m !(n -m )!(m ,n ∈N *,并且 m ≤n ) 2.组合数的性质 (1)C m n =C n -m n (2)C m n +1=C m n +C m - 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同. (1)从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法? (2)把这两个口袋里的9封信,分别投入4个邮筒,有多少种不同的放法? 2、五位旅客到一个城市出差,这个城市有6家旅馆,有多少种住宿方法? 3、12名旅客在一辆火车上,共有六个车站,有多少种下车方案? 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼,有几种下楼方案? 二、染色问题 1、如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数. 2. 如图所示,用五种不同的颜色分别给A ,B ,C ,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种. 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.

排列组合与二项式定理精华总结

排列组合 知识点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理:分类相加,分步相乘。 二、排列:元素是有顺序的 (1):对排列定义.:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. (2):排列数公式: ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10==n n n C C (3): 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ,且 n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 三、组合:元素没有顺序之分 (1):组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2):组合数公式:)! (!!! )1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ (3):两个性质:①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ (4):常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如: )!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ(利用! 1 )!1(1!1n n n n --=-) ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:4 13353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如:n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ 证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为 2 2120022110) ()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?--ΛΛ,而右边n n C 2= 四、排列、组合综合 (1)直接法 (2)间接法 (3)捆绑法 (4)插空法 (5)占位法 (6)调序法 (7)平均法 (8)隔板法 (9)定位问题 (10)指定元素排列组合问题 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理:n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点:

高中数学-排列组合解法大全

排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第 1类办法中有m1种不同的方法,在第 2 类办法中有m2种不同的方法,?,在第n 类办法中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n个步骤,做第 1步有m1种不同的方法,做第 2步有m2种不同的方法,做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 : 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题, 元素总数是多少及取出多少个元素 . 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例 1. 由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解: 由于末位和首位有特殊要求 , 应该优先安排 , 以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C13 然后排首位共有C14 最后排其它位置共有A43 由分步计数原理得C41C13A43 288 练习题 :7 种不同的花种在排成一列的花盆里 , 若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二. 相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 . 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有A55A22A22480种不同的排法 练习题 : 某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为20

高中数学排列组合与二项式定理知识点总结

排列组合与二项式定理知识点 1.计数原理知识点 ①乘法原理:N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理:N=n1+n2+n3+…+nM (分类) 2.排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!-k! 3.排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排 排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. 捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑) 插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是: ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想. 4.二项式定理知识点: ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn 特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论:对称性Cnm=Cnn-m 最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项) 所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和 Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1 ③通项为第r+1项:Tr+1= Cnran-rbr 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

排列组合 二项式定理知识点

排列组合二项定理考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可.以有 ..重复 ..的排列. ..元素 从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例

如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: n m 种) 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ⑷排列数公式: 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1! 3!3==n .

排列组合和二项式定理教材分析

第十章排列组合和二项式定理教材分析 作为高中数学必修内容的一个部份,本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合,属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识,它不仅有着许多直接应用,是学习概率理论的准备知识,而且由于其思维方法的新颖性与独特性,它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材;作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理,不仅使前面组合等知识的学习得到强化,而且与后面概率中的二项分布有着密切联系 本章教学约需17课时,具体分配如下: 10.1加法原理和乘法原理约2课时 10.2排列约4课时 10.3组合约5课时 10.4二项式定理约4课时 小结与复习约2课时 一、内容分析 本章从学习加法原理和乘法原理开始,应该说,这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位;其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式,实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终:当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时,用的是加法原理;当将它通过分步进行分解时,用的是乘法原理在此基础上,研究排列与组合,运用归纳法导出排列数公式与组合数公式,并提出组合数的两个性质,以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫 的学习深化一步,而且为学习后面的独立重复试验,二项分布作了准备 本章还为部分学有余力的学生安排了阅读材料《从集合的角度看排列、组合和概率》,通过这篇材料,可以看到排列、组合与概率这两类看上去并无共同之处的概念间的内在联系例如,求组合数及其相应的等可能性事件的概率,可分别看成是在一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射,可见从集合的角度去认识这些概念,可加深对其本质和内在联系的认识,此外,由于集合及其关系可用图形表示,便于将一些较复杂的问题分析清楚,因此运用集合的方法可以较为顺利地求解一些较为复杂的应用题 二、教学要求 1.掌握加法原理与乘法原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题 2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数计算公式,并能用它们解决一些简单的应用问题 3.掌握二项式定理和二项展开式的性质并能用它们计算和证明一些简单的问题 三、考点诠释 (1)两个原理(分类计数原理、分步计数原理) 分类和分步的区别,关键是看事件能否完成,事件完成了就是分类;必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加;分步要用乘法原理,分步后再将种数相乘. (2)两个概念(排列、组合) 排列与组合是既有联系又有区别的两类问题,它们都是从n个不同元素中任取m个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序,后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别,在分析实际问题时就会犯错误. (3)两类基本公式

高中数学:排列与组合练习

高中数学:排列与组合练习 1.(昆明质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,先要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法(D) A.A55种B.A22种 C.A24A22种D.C12C12A22A22种 解析:红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有C12C12A22A22种摆放方法. 2.(广州测试)某学校获得5个高校自主招生推荐名额,其中甲大学2个,乙大学2个,丙大学1个,并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加,学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有(B) A.36种B.24种 C.22种D.20种 解析:根据题意,分两种情况讨论:第一种,3名男生每个大学各推荐1人,2名女生分别推荐给甲大学和乙大学,共有A33A22=12种推荐方法;第二种,将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学,共有C23A22A22=12种推荐方法.故共有24种推荐方法,选B. 3.(广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有(C) A.480种B.360种 C.240种D.120种 解析:根据题意,将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个小球放入1个盒子,其余的小球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:①先将5个小球分成4组,有C25=10种分法;②将分好的4组全排列,放入4个盒子,有A44=24种情况,则不同放法有10×24=240种.故选C. 4.某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为(C) A.16 B.18

排列组合与二项式定理知识点

高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可.以有..重复..元素.. 的排列. 从m 个不同元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n m 种) 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ?排列数公式: ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取mm≤n个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标,m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注:!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标,m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。 两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。 排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。

(完整版)排列组合二项式定理知识总结,推荐文档

n n +1n n n 排列组合、二项式定理总结复习 1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情) 分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的 方法 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m (m ≤n )个元素的所有组合个数 m n m = n ! n m !(n - m )! 性质 C m = C n -m C m = C m + C m -1 排列组合题型总结 一. 直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 C C

(1)数字 1 不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。 分析:(1)个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ,其余 2 位有四个可供选择A2 ,由乘法原理: 5 4 A2 A2 =240 5 4 2.特殊位置法 (2)当 1 在千位时余下三位有A3 =60,1 不在千位时,千位有A1 种选法,个位有A1 种,余下 5 4 4 的有A2 ,共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 Eg 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数? 分析::任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个,其中 0 在 5 3 百位的有C 2 ? 22 ?A2 个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 4 2 C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ?A2 =432 5 3 4 2 Eg 三个女生和五个男生排成一排 (1)女生必须全排在一起有多少种排法(捆绑法) (2)女生必须全分开(插空法须排的元素必须相邻) (3)两端不能排女生 (4)两端不能全排女生 (5)如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法

排列组合与二项式定理的综合练习题

排列组合与二项式定理的综合应用 1.()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为( ) A .10 B .-30 C .-10 D .-20 2.若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…,则0127a a a a ++++…的值为( ) A .2- B .3- C .253 D .126 3.()()512x x +-的展开式中2x 的系数为( ) . A .25 B .5 C .-15 D .-20 4.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( ) A .40种 B .60种 C .100种 D .120种 5.从5名学生中选出4名分别参加A ,B ,C ,D 四科竞赛,其中甲不能参加C ,D 两科竞赛,则不同的参赛方案种数为( ) 6.8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为( ) A.828 9A A B.82810A A C.8287A A D.8286A A 7.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈,包括他共7人,一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨,给家里每人一个.小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个,则梨子的不同分法共有( ) A .96种 B .120种 种 D .720种 8.已知身穿红,黄两种颜色衣服的各两人,身穿蓝衣服的有1人,现将五人排成一列,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法有( ) 种 种 种 种 9.3n x ?+??的展开式中,各项系数之和为A ,各项的二项式系数之和为B ,且72A B +=,则展开式中常数项为( ) 10.从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取两个数字,一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为( ) A .2880 B .7200 C . 1440 D .60 11.某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动,如果每个景点至少一名同学,且甲乙两名同学不在同一景点,则这四名同学的安排情况有( ) A .10种 B .20种 C .30种 D .40种 12.51 ()(21)ax x x +-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )

高中数学-排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点 2、排列、组合

3、二项式定理 内容典型题 定义①二项式定理: (a+b)n=C 0n a n+C 1n a n-1b1+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n =∑ = n r r n C a n-r b r(n∈N+) ②二项式展开式第r+1项通项公式: T r-1 =C r n a n-r b r 其中C r n(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. 8.二项式8)1 (- x的展开式中的第5项是( ) A. 70x4 B. 70x2 C. 56x3 D. -562 3 x 9.二项式(x-2)12展开式中第3项的系数是( ) A.264 B.-264 C.66 D.-1760 10.(x-2)8 的展开式中, x6的系数是( ) A. 56 B. -56 C. 28 D. 224 11.(x2+)5展开式中的10x是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 12.二项式x-1 x 6 的展开式中常数项是( ) A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 13.设(3-x)n=n n x a x a x a a+???+ + +2 2 1 ,已知 n a a a a+???+ + + 2 1 =64,则n=. 14.设二项式(3x+5)10= 1 8 8 9 9 10 10 a x a x a x a x a+ +???+ + +,则 1 8 9 10 a a a a a+ -???- + -=. 15.二项式2x-1 x 6 的展开式中二项式系数最大的项是. 性质①在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②如果二项式的幂指数是偶数,则中间一项的二项系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,则中间两项的二项式系数相等并且最大. ③二项式系数的和为n2,即 n C+1 n C+…+r n C+…+n n C=n2 ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 n C+2 n C+…=1 n C+3 n C+…=1 2-n

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