2011第四届初中数学教师解题比赛试卷及答案

中山市第四届初中数学教师解题比赛试卷及答案

（比赛时间：2011年10月15日上午9∶00-11∶00）

本试卷共三大题22小题，满分120分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。请将唯一正确的答案代号填

在题后括号内）

1．如图，数轴上两点A B 、分别表示实数a b 、，则下列四个数中最大的一个是( D )

A ．a Ｂ．b

C ．1a

D ．1b 2．下列式子中，正确的是 （ B ） A ．10＜127＜11 B ．11＜127＜12 C ．12＜127＜13 D ．13＜127＜14

3．下列四个图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的有 （ B ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个 4．如图，AC ，BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作D

E ∥AC 交BC 的延长线于点E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有 （ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

5．下列哪一个函数，其图像与x 轴有两个交点 （ C ）

A. 155)23(412+-=x y

B. 155)23(41

2++=x y C. 155)23(412++-=x y D. 155)23(4

12

---=x y

6．抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数2

4b ac bx y +--=与反比例函数

a b c

y

++=

在同一坐标系内的图像大致为

（

D ）

////////////////////////////////////////////

密

封

线

内

不

要

答

题 ///////////////////////////////

x

x

x

A ．

B ．

C ．

D ．

7．如图，在四边形ABCD 中,o 90=∠BAD ,o

60tan ==BC AB ,2

3,3=

=AD AC ，则CD 的长为 ( C )

A ．22

B ．2

C ．

23

3

D ．

2

23

8．如图,在长方体包装盒中,.3,4,51 ===CC BC AB 一只蚂蚁从点1A 出发沿盒子的表面爬到点C 的最短距离为 ( A ) A ．74

B ．78

C ．80

D ．90

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分。请将最简结果直接填在题后

横线上）

9．方程()()565x x x --=-的解是 125,7x x ==．

10．已知关于x 的分式方程

2

11

a x +=+的解是非正数，则a 的取值范围 12a a ≤-≠-且 ．

11．已知实数p 、q 、r 满足.311

11,26=++=++r

q p r q p

则=+++++p

q

q r r p p r r q q p 803 ． 12．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1、2、2、3、3、4；另一枚质

地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1、3、4、5、6、8.同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是 1/9 .

13．满足方程3)()3(222=-+++y x y x 的所有实数对),(y x 为 (-2,-1)_____．

14．已知抛物线c bx ax y ++=2

与双曲线x

k y 2

=有三个交点),3(m A -、),1(n B -、

),2(p C .则不等式223k cx bx ax -++＞0的解集为 (-3,-1) ∪(2,+ ∞) .

15．如图,一个圆与正方形ABCD 两边相切，和两个半圆两两相切,它们的半径都为1.则正

方形ABCD 的面积为 ．（或2

12

（）

第14题图 第15题图 第16题图

16．如图,已知E 是长方形ABCD 的边BC 上一点,沿着AE 折叠,顶点B 刚好与边CD 上的

点F 重合,若AD =16，BE =10，则AE = ．

三、解答题（本大题共6小题，满分64分，解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）

17．（本题满分10分）设a 、b 都是正实数，.112

,2b

a B

b a A +=+=

若b a B A -=+，

求.a b

解：由题设化简得

22630a ab b --=2

630a a b b ??

?-?-= ??? ，解得323+=b

a (负根舍去).

18.（本题满分10分）已知关于x 的不等式组???≥--a

x ＞x 243

12的解集为x ＞b ，求代数式

b a b a 423---的值。

解：由题设不等式得x ＞2,42

+≥a x ，由题意得22, 2.4

a b +≤= 则6, 2.a b ≤=

故b a b a 423---628a a =---62(8)10.a a a =---=-

19.（本题满分10分）若函数1)1()1(22++--=x k x k y (k 为参数)的图像与x 轴没有公共点，求x 的取值范围。 解：当函数为二次函数时,有

???--+=?≠-.0)1(4)1(,

012

22

＜k k k 解得3

5

k ＞或1-k ＜;

当函数为一次函数时,k =1,此时, 12+-=x y 与x 轴有公共点,不符合题意; 当函数为常数函数时,k =－1,此时, 1=y 与x 轴没有公共点,符合题意.

故k 的取值范围是3

5

k ＞或1-≤k . 20．（本题满分10分）若(1)(2)(3)(4)5y x x x x =+++++，其中，－3≤x ≤3，求y 的

最小值.

解：(1)(4)(2)(3)5y x x x x =+++++

5)65)(45(22+++++=x x x x .5)45(2)45(222++++++=x x x x

令.452

++=x x z 由－3≤x ≤3,得

2825.2≤≤-z ,.4)1(2++=z y 则.4m in =y

////////////////////////////////////////////

密

封

线 内

不 要

答 题

///////////////////////////////

21.（本题满分12分）如图，已知在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内

接于△ABC ，且其边长为12，求△ABC 的周长.

解：设BC =a ,AC =b.则.225 135222==+b a ① 因为Rt △AEF ∽Rt △ACB ,所以, 1212

.FE AF b CB AC a b

-=?= 则.)(12ab b a =+ ② 由式①、②得

).(24225 12)(222b a ab b a b a ++=++=+

解得：25-=+b a (舍去)，或49. 故.843549=+=++c b a

22.（本题满分12分）如图，已知半径为r 的⊙O 与边长为4r 的正方形ABCD 的两边AB 、

BC 相切，过点A 作⊙O 的切线交BC 于点E 。求证: AE 是以CD 为直径的圆的切线。 证明：如图，由BE r S ABE ??=

?421),(2

1

AE BE AB r ++= 得：34.BE r AE =+………….. ①

在Rt ABC 中，由勾股定理得222(4)r BE AE +=………….. ② ①②联立解得r AE 5=，3BE r =. 设CD 的中点为M ,联结AM 、EM 。 由勾股定理得r AM 52=，r EM 5=，则.252222AE r EM AM ==+

因此,AME ?为直角三角形.

过点M 作AE MH ⊥于点H ，易得2.MH r = 则.MD MC MH ==

故AE 是以CD 为直径的圆的切线.