2011年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)及解析

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则?U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}

2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）

A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）

3．（5分）设向量、，满足||=||=1，?=﹣，则|+2|=（）

A．B．C．D．

4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）

A．17 B．14 C．5 D．3

5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）

A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3

6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5

7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）

A．B．3 C．6 D．9

8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）

A．2 B．C．D．1

9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）

A．12种B．24种C．30种D．36种

10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）

A．﹣ B．﹣C．D．

11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）

A．4 B． C．8 D．

12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）

A．7πB．9πC．11πD．13π

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：．

14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=．

15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．

16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．

18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．

19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．

20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．

21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）

（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；

（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．

22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且

斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出?U（M∩N）．

【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则?U（M∩N）={1，4}，故选D．

【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5分）

【考点】反函数．

【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．

【解答】解：∵y=（x≥0），

∴x=，y≥0，

故反函数为y=（x≥0）．

故选B．

【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．

3．（5分）

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，求出模的平方，再开方即可．

【解答】解：∵向量、，满足||=||=1，?=﹣，

∴=1﹣2+4=3，

∴

故选B

【点评】本题考查求向量模常将向量模平方；利用向量的运算法则求出．

4．（5分）

【考点】简单线性规划．

【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．

【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：

由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5

故选C

【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．

5．（5分）

【考点】充要条件．

【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1?a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．

【解答】解：a＞b+1?a＞b；

反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，

故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．

故选：A．

【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5分）

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．

【解答】解：根据题意：

S k+2=（k+2）2，S k=k2

∴S k+2﹣S k=24转化为：

（k+2）2﹣k2=24

∴k=5

故选D

【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．

7．（5分）

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．

【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．

故选C．

【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．

8．（5分）

【考点】点、线、面间的距离计算．

【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，

则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，

由勾股定理可得，BC=；

在Rt△BCD中，BC=，BD=1，

由勾股定理可得，CD=；

故选C．

【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．

9．（5分）

【考点】计数原理的应用．

【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．

【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，

∵恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，

∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，

根据分步计数原理知共有6×4=24种结果

故选B．

【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．

10．（5分）

【考点】奇函数；函数的周期性．

【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．

【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），

∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，

故选：A．

【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．

11．（5分）

【考点】圆的标准方程．

【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=?的

值．

【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），

则有=|a|，|=|b|，

故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，

即a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，

∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=?=8，

故选：C．

【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5分）

【考点】二面角的平面角及求法．

【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．

【解答】解：∵圆M的面积为4π

∴圆M的半径为2

根据勾股定理可知OM=

∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N

∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=

∴圆N的半径为

则圆的面积为13π

故选D

【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）

【考点】二项式系数的性质．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x9的系数；求出两个系数的差．

【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣1）r C10r x r

所以展开式的x的系数﹣10

x9的系数﹣10

x的系数与x9的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0

故答案为：0

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．

14．（5分）

【考点】同角三角函数间的基本关系．

【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值．

【解答】解：∵a∈（π，），

∴cosα＜0

∴cosα=﹣=﹣

故答案为：﹣

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．

15．（5分）

【考点】异面直线及其所成的角．

【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．

【解答】解：连接DE，设AD=2

易知AD∥BC，

∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，

在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3

∴cos∠DAE==，

故答案为：．

【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．

16．（5分）

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．

【解答】解：

不妨设A在双曲线的右支上

∵AM为∠F1AF2的平分线

∴=

又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6

解得|AF2|=6

故答案为6

【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）

【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．

【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．

【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意得：

，

解得：或，

当a1=3，q=2时：a n=3×2n﹣1，S n=3×（2n﹣1）；

当a1=2，q=3时：a n=2×3n﹣1，S n=3n﹣1．

【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．

18．（12分）

【考点】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．

（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．

【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，

由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，

故cosB=，B=45°

（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

故a=b×==1+

∴c=b×=2×=

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12分）

【考点】互斥事件的概率加法公式；二项分布与n次独立重复试验的模型．

【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．

（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．

【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，

根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，

该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，

由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8

（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．

【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．

20．（12分）

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量

，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为

【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，

∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1

∴AD==

∵侧面SAB为等边三角形，AB=2

∴SA=2

∵SD=1

∴AD2=SA2+SD2

∴SD⊥SA

同理：SD⊥SB

∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB

∴SD⊥平面SAB

（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系

则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），

作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）

则

设平面SBC的一个法向量为

则，

即

取x=0，y=，z=1

即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）

又=（0，2，0）

cos＜，＞===

∴＜，＞=arccos

即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin

【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．

21．（12分）

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；

（Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a

由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，

可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，

当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上

∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）

（Ⅱ）由f′（x）=0得

x2+2ax+1﹣2a=0 (1)

方程（1）的根的判别式

①当时，函数f（x）没有极小值

②当或时，

由f′（x）=0得

故x0=x2，由题设可知

（i）当时，不等式没有实数解；

（ii）当时，不等式

化为a+1＜＜a+3，

解得

综合①②，得a的取值范围是

【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12分）

【考点】直线与圆锥曲线的关系；向量在几何中的应用．

【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据

已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们

求出点P的坐标，代入验证即可．

（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．

【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②

联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，

则x1+x2=，x1×x2=﹣

则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1

设P（p1，p2），

则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；

∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

设线段AB的中点坐标为（，），即（，），

则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；

③

∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，

则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；

③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=

③④的交点就是圆心O1（﹣，），

r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=

故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，

把y=﹣x+1 …②代入⑤，

有x1+x2=，y1+y2=1

∴A，B也是在圆⑤上的．

∴A、P、B、Q四点在同一圆上．

【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．