高二期末考试数学试题
一.选择题(每小题5分,满分60分)
1.设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
2.对于两个命题:
①,1sin 1x R x ?∈-≤≤, ②22,sin cos 1x R x x ?∈+>, 下列判断正确的是( )。
A. ① 假 ② 真
B. ① 真 ② 假
C. ① ② 都假
D. ① ② 都真
3.与椭圆14
22
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是( ) A. 1222
=-y x B. 1422=-y x C. 122
2=-y x D. 13322=-y x
4.已知12,F F 是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点,则2ABF ?是正三角形,则椭圆的离心率是( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A
2 B 12 C 3
D 13
5.过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为0
45直线l ,直线l 与抛物线相交与A ,B 两点,则弦AB 的长是( )
A 8
B 16
C 32
D 64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6.在同一坐标系中,方程)0(012
2
2
2
2
>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲线大致是( )
A .
B .
C .
D .
7.已知椭圆122
22=+b y a x (b a >>0) 的两个焦点F 1,F 2,点P 在椭圆上,则12PF F ?的面积 最大值一定是
( )
A 2
a B a
b C 8.已知向量k -+-==2),2,0,1(),0,1,1(与且互相垂直,则实数k 的值是( )
A .1
B .51
C . 53
D .57
9.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱11A B 的中点,则
1A B 与1D E 所成角的余弦值为( )
A
B
C
D
10.若椭圆x y n m ny mx -=>>=+1)0,0(12
2
与直线交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的连线的斜率为
2
2
,
则m n
的值是( )
2.2
3.22.292.
D C B A
11.过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点,若621=+y y ,则21P P 的值为 ( )
A .5
B .6
C .8
D .10
12..以1242
2y x -=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 ( ) A.
1121622=+y x B. 1161222=+y x C. 14
162
2=+y x D. 二.填空题(每小题4分)
13.已知A 、B 、C 三点不共线,对平面ABC 外一点O ,给出下列表达式:其中
x ,y 是实数,若点M 与A 、B 、C 四点共面,则x+y=___
14.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于A,B 两点,则
AB
等于___
15.若命题P :“?x >0,0222
<--x ax ”是真命题 ,则实数a 的取值范围是___.
16.已知90AOB ∠=?,C 为空间中一点,且60AOC BOC ∠=∠=?,则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为___.
三.解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。) 17.(本小题满分14)
设命题P :2
",2"x R x x a ?∈->,命题Q :2
",220"x R x ax a ?∈++-=; 如果“P 或Q ”为真,“P 且Q ”为假,求a 的取值范围。
OC
OB y OA x OM 3
1
++=
C 18.(15分)如图①在直角梯形ABCP 中,BC ∥AP ,AB ⊥BC ,C
D ⊥AP ,AD=DC=PD=2,
E ,
F ,
G 分别是线段PC 、PD ,BC 的中点,现将ΔPDC 折起,使平面PDC ⊥平面ABCD (如图②) (Ⅰ)求证AP ∥平面EFG ;
(Ⅱ)求二面角G-EF-D 的大小;
(Ⅲ)在线段PB 上确定一点Q ,使PC ⊥平面ADQ ,试给出证明.
19.(15分) 如图,金砂公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中DE 把草坪 分成面积相等的两部分,D 在AB 上,E 在AC 上. (Ⅰ)设AD =x ,DE =y ,求y 关于x 的函数关系式;
(Ⅱ)如果DE 是灌溉水管,我们希望它最短,则DE 的位置应在哪里?请予以证明.
20.(15分)设21,F F 分别为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右两个焦点.
(Ⅰ)若椭圆C 上的点21,)2
3
,1(F F A 到两点的距离之和等于4,求椭圆C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)设点P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点,的最大值求||),2
1,0(PQ Q 。
21.(15分)如图,设抛物线C :y x 42
=的焦点为F ,),(00y x P 为抛物线上的任一点(其中0x ≠0), 过P 点的切线交y 轴于Q 点.
(Ⅰ)证明:FQ FP =; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)Q 点关于原点O 的对称点为M ,过M 点作平行于PQ 的直线交抛物线C 于A 、B 两点,若
)1(>=λλ,求λ的值.
高二(理科)期末考试数学试题参考答案及评分标准 一.选择题:ABCCB D CBDB DD
二、填空题:13. 14.8 15.)4,(-∞ 16.详解:由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作DE OA ⊥于E ,连结CE 则由
三垂线定理CE OE ⊥,设1DE
=1,O E O D ?==又60,2
C
O E C E O E O E ∠=⊥?=
,
所以CD OC 与平面AOB
所成角的正弦值
sin COD ∠.
y ex =
三.解答题:
17解:命题P :2",2"x R x x a ?∈->
即222(1)1x x x a -=-->恒成立1a ?<- …………3分 命题Q :2",220"x R x ax a ?∈++-= 即方程2
220x ax a ++-=有实数根
∴2(2)4(2)0a a ?=--≥ 2a ?≤-或1a ≥ .…………6分 ∵“P 或Q ”为真,“P 且Q ”为假,∴P 与Q 一真一假 …………8分 当P 真Q 假时,21a -<<-;当P 假Q 真时,1a ≥ …………10 ∴a 的取值范围是(2,1)[1,)--+∞ ………14
18(14分)解法一:(Ⅰ)在图②中 ∵平面PDC ⊥平面ABCD ,AP ⊥CD ∴ PD ⊥CD ,PD ⊥DA ∴PD ⊥平面ABCD
如图. 以D 为坐标原点,直线DA 、DC 、DP 分别为y x 、与z 轴建立空间直角坐标系: …………………1分 则()0,0,0D ()0,0,2A ()0,2,2B ()0,2,0C ()2,0,0P ()1,1,0E ()1,0,0F ()0,2,1G
()2,0,2-=∴ ()0,1,0-=EF ()1,2,1-= ………………3分
设平面GEF 的法向量),,(z y x n =,由法向量的定义得: ???==????=-+=??
??=-?=-??????
?=?=?z x y z y x y EF n 0020
0)1,2,1()z y,x,(0)0,1,0()z y,x,(00
不妨设 z=1, 则
………………………………4分 3
2
)
1,0,1(=
0210212=?+?+?-=? ………………………………5分
⊥∴,点P ? 平面EFG
∴AP ∥平面EFG
………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面GEF 的法向量 ,因平面EFD 与坐标平面PDC 重合 则它的一个法向量为
i =(1,0,08分 设二面角D EF G --为θ.则 …………9分
由图形观察二面角D EF G --为锐角,故二面角G-EF-D 的大小为45°。………10分 (Ⅲ)假设在线段PB 上存在一点Q ,使PC ⊥平面ADQ ,
∵P 、Q 、D 三点共线,则设t t +-=)1(,又()0,2,2=,()2,0,0= ∴)22,2,2(t t t -=,又()2,0,0= …………11分 若PC ⊥平面ADQ ,又)2,2,0(-=
则210)22(2220)22,2,2()0,2,-2(0)0,0,2()0,2,-2(00
=?=--????
?=-?=???????=?=?t t t t t t …………15分
∴
+=
(21
, ………………………………13分
故在线段PB 上存在一点Q ,使PC ⊥平面ADQ ,且点Q 为线段PB 的中点。……15分 解法二:(1)∵EF ∥CD ∥AB ,EG ∥PB ,根据面面平行的判定定理
∴平面EFG ∥平面PAB ,又PA ?面PAB ,∴AP ∥平面EFG ……………………4分 (2)∵平面PDC ⊥平面ABCD ,AD ⊥DC
∴AD ⊥平面PCD ,而BC ∥AD ,∴BC ⊥面EFD
过C 作CR ⊥EF 交EF 延长线于R 点连GR ,根据三垂线定理知 ∠GRC 即为二面角的平面角,∵GC=CR ,∴∠GRC=45°,
故二面角G-EF-D 的大小为45°。 …………………8分 (3)Q 点为PB 的中点,取PC 中点M ,则QM ∥BC ,∴QM ⊥PC
在等腰Rt △PDC 中,DM ⊥PC ,∴PC ⊥面ADMQ ……………………15分 19(14分)解: (1)在△ADE 中,y 2=x 2+AE2-2x ·AE ·cos60°
?y 2=x 2+AE2-x ·AE,① 又S △ADE = S △ABC = · 2= x ·AE ·sin60°?x ·AE =2.② ……4分 ②代入①得y 2=x 2+ -2(y >0), ∴y =………6分
1
2
12
22()x )1,0,1(=22
21cos =?==θ
又x ≤2,若1x <,
,矛盾,所以x ≥1
∴y =
x ≤2). ………………………7分
(2)如果DE 是水管y =………………10分
当且仅当x 2=2
4
x ,即x =2时“=”成立, …………………………15分
故DE ∥ BC ,且DE =2. ………………………………15分 20解:(Ⅰ)椭圆C 的焦点在x 轴上,
由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2. …….2分
又点.1,31)23
(21
,)23,1(2222
2===+c b b
A 于是得因此在椭圆上 …….4分
所以椭圆C 的方程为).0,1(),0,1(,134212
2F F y x -=+焦点 …….6分 (Ⅱ)设13
4),,(2
2=+y x y x P 则
22344y x -=∴ …….8分 222222141117
||()423434
PQ x y y y y y y =+-=-+-+=--+ …….10分
5)2
3
(312++-=y …….12分
又33≤≤-y 5||,2
3
max =-=∴PQ y 时当 …….15分
21解:(Ⅰ)证明:由抛物线定义知1||0+=y PF ,
2
|0
0x y k x x PQ =
'==, 可得PQ 所在直线方程为0
00()2
x y y x x -=
-, ∵2
004
x y =
∴得Q 点坐标为(0, 0y -)
∴1||0+=y QF ∴ |PF |=|QF |
(Ⅱ)设A (x 1, y 1),B (x 2, y 2),又M 点坐标为(0, y 0)
∴AB 方程为00
2
y x x y +=
…….8分。 22AE x
=>
由??
???+==00
224y x x y y x 得042002=--y x x x ∴,2021x x x =+2
00214x y x x -=-=……① …….10分。
由λ=得:),(),(022101y y x y y x -?=--λ,
∴21x x λ-= ……② …….12分。 由①②知??
?==-2
22022)1(x x x x λλ,得2
22224)1(x x λλ=-,由x 0≠0可得x 2≠0, ∴λλ4)1(2
=-,又1>λ,解得:223+=λ. …….15分。