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反比例函数 ---动点、面积专题(附详解)

反比例函数 ---动点、面积专题(附详解)
反比例函数 ---动点、面积专题(附详解)

y=﹣,

、已知:反比例函数

,的面积是,求代数式

和反比例函数)在反比例函数

4、如图,已知:一次函数:y=﹣x+4的图象与反比例函数:(x>0)

的图象分别交于A、B两点,点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点,过M分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M1、M2,设矩形MM1OM2的面积为S1;点N为反比例函数图象上任意一点,过N分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为N1、N2,设矩形NN1ON2的面积为S2;

(1)若设点M的坐标为(x,y),请写出S1关于x的函数表达式,并求x取何值时,S1的最大值;

(2)观察图形,通过确定x的取值,试比较S1、S2的大小.

5、如图,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(﹣2,﹣1),且P (﹣1,﹣2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB 垂直于y轴,垂足分别是A、B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;

(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ 与△OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由.

6、如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(﹣2,﹣1),且P (﹣1,﹣2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB 垂直于y轴,垂足分别是A、B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;

(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ 与△OAP面积相等如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)如图2,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.

能否等于

的图象经过点(﹣

2

的图象经过点

的面积是

2

,解得﹣﹣

OA=

BOD=OD=OB=1

中,得,的图象上.得﹣,﹣的图象上,其中(+2

的面积是,∴,∵

22

、已知:反比例函数

y=

的面积是,从而可求出

)反比例函数解析式:

(﹣,﹣为(﹣,﹣

(﹣)

===,∴m=,∴=1

和反比例函数

)在反比例函数

的面积是

的面积是m=1,∴x=±

点的坐标为(﹣22

的图象与反比例函数:

在反比例函数:

,∴

当或时,当

y=

x

,x

y=

1=′= x y=

x

,x

,∴?x x=时,时,x=

Y=

k=y=同样可得,反比例函数解析式为

|OB×BQ|=×m×m=

=|m

,)

+=﹣)﹣)﹣

能否等于?若能,求出点

y=

=

等于

图象上第一象限内的两个动点(,d=+=

=((=?

=()﹣?

=(?=()=

a=,(,

二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积 例1如图所示,等边△ ABC中,BC=10cm,点R, P?分别从B,A同时岀发,以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动,当移动时间 练习 1如图,在矩形ABCD中,AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动,如果P,Q同时岀发,分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒,五边形APQCD的面积是Scm ,写岀S与t函数关系式,并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时,S最小?并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图,在△ ABC 中,/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ,点P 从点 2cm/S的速度移动,点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变 量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm,CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时,求x的值。 4 4如图所示,边长为 在线段 记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合),连接OD,过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时,求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否 以及此时 (2) 存在最大值?若存在,请求出最大值,t的值; 若不存在,请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。 二次函数最大面积交AB D B E 能力提高 例题如图所示,在梯形ABCD中,AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中,/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q,R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动, (1) (2) t秒时梯形 I上,且C,Q两点重合,如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时,求S的值。 当4< t < 10时,求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2

初三数学动点问题

数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题,以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称之为动态几何问题,随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题,就其运动对象而言,有点动、线动、面动三大类,就其运动形式而言,有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等,就问题类型而言,有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题,可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型,包括单动点形成的面积问题,双(多)动点形成的面积问题,线动形成的面积问题,面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中,单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8. 问题思考: 如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. (1)在点P运动时,这两个正方形面积之和是定值吗?如果时求出;若不是,求出这两个正方形面积之和的最小值. (2)分别连接AD、DF、AF, AF交DP于点A,当点P运动时,在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由. 问题拓展: (3)如图2,以AB为边作正方形ABCD,动点P、Q在正方形ABCD的边上运动,且PQ=8.若点P从点A出发,沿A→B→C→D的线路,向D点运动,求点P从A到D的运动过程中, PQ 的中点O所经过的路径的长。

动点问题的函数图象选择方法

动点问题的函数图象选择方法 近几年中考试题中对动点问题的函数图象考察地很频繁,一般都作为选择题最后一道呈现。解答此类题目的一般过程为:读懂题意,牢牢抓住横轴和纵轴所表示的意义,在模拟运动过程中找到分界点,确定不同时间段并分析题意建立相对应函数模型,列出对应函数关系式,由函数关系式选择图象。但在实际的做题过程中,由于是选择题,我们可以选择不同的方法快速,准确地选出答案。 一.列函数关系式法 例1.(2014年河南第8.题)如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=1cm ,BC=2cm ,点P 从A 出发,以1cm/s 的速沿折线 AC CB BA 运动,最终回到A 点。设点P 的运动时间为x (s ),线段AP 的长度为y (cm ),则能反映y 与x 之间函数关系的图象大致是 ( ) 解析:由P 点运动过程AC CB BA 知,分为三个阶段,第一阶段AC 段, y=x(0≤x ≤1),第二阶段CB 段,y=2(1)1x -+(1≤x ≤3),这是一个在定义域内的增函数,但不 是一次函数。第三阶段BA 段,y=5+3-x(3≤x ≤5+3),所以本题选A 。 定评:分析不同阶段的运动过程,利用学习过的知识,建立函数模型,列出函数关系式,由关系式找出对应阶段的图象。这种方法要求高,没有较强的分析能力和数学素养关系式列不出来,当然这种方法耗时较多。 二.分析淘汰法 例2. (2014年兰州第15题)如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD 是边长为4的正方形,平行于对角线BD 的直线l 从O 出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线l 与正方形没有交点为止.设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ,直线l 运动的时间为t (秒),下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是( ) 解析:由l 运动 的过程,分为两个阶段,第一阶段从O 到BD,的过程中,X 轴,Y 轴方向上都在增加,而要表示面积这两个方向上都能用上,所以这必然为开口向上增大的二次函数模式,选择增长的曲线段。第二阶段从BD 到C 的过程,面积在DC,BC 两条边上增大,而此时面积的表示与这两边没有直接的联系,但可以断定是一个增长的二次函数模式,所以本题选D. 点评:分析运动过程,大体与学习过的正比列函数,一次函数,反比例函数,二次函数A . B . C . D .

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结: ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标.需转化为一元二次方程; ⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号.或由二次函数 中a,b,c的符号判断图象的位置.要数形结合; ⑷二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点 坐标.或已知与x轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数;下面以a>0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中.特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或

其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①. 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A 和点B (-.与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P .使△CMP 为等腰三角形若存在.请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在.请说明理由. (3) 如图②.若点E 为第二象限抛物线上一动点.连接BE 、CE .求四边形BOCE 面积的最大值.并求此时E 点的坐标. 注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时.以C 为圆心CM 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M 为顶点时.以M 为圆心MC 为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P 为顶点时.线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。 第(3)问方法一.先写出面积函数关系式.再求最大值(涉及二次函数最值); 方法二.先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组).再求面积。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数;下面以a >0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标. 注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M 为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值);方 法二,先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组),再求面积。

中考数学专题研究(不等式动点问题概率反比例函数函数应用题)

第11题 B C A x y 1 O y 1=x y 2=4 x 中考数学4专题研究(不等式、动点问题、概率、反比例函数、函数应用题) 1. 不等式组及函数应用题专项训练 2. 动点问题专项训练 3. 概率专项训练 4. 反比例函数问题(2010-7-14) 反比例函数问题(2010-7-14) (2010山东聊城)11.函数y 1=x (x ≥0),y 2=4 x (x >0)的图象如图所示,下列结论: ① 两函数图象的交点坐标为A (2,2); ② 当x >2时,y 2>y 1; ③ 直线x =1分别与两函数图象交于B 、C 两点,则 线段BC 的长为3; ④ 当x 逐渐增大时,y 1的值随着x 的增大而增大,y 2的 值随着x 的增大而减小. 则其中正确的是() A .只有①② B .只有①③ C .只有②④ D .只有①③④ (2010湖北咸宁)16.如图,一次函数y ax b =+的图象与x 轴,y 轴交于A ,B 两点, 与反比例函数k y x = 的图象相交于C ,D 两点,分别过C ,D 两 点作y 轴,x 轴的垂线,垂足为E ,F ,连接CF ,DE . 有下列四个结论: ①△CEF 与△DEF 的面积相等; ②△AOB ∽△FOE ; ③△DCE ≌△CDF ; ④AC BD =. 其中正确的结论是 .(把你认为正确结论的序号都填上) (2010江苏徐州)25.(本题8分)如图,已知A(n ,-2),B(1,4)是一次函数y=kx+b 的图象 和反比例函数y= x m 的图象的两个交点,直线AB 与y 轴交于点C . (1)求反比例函数和一次函数的关系式; (2)求△AOC 的面积; (3)求不等式kx+b-x m <0的解集(直接写出答案). (2010江苏南通)21.(本小题满分9分) 如图,直线y x m =+与双曲线k y x =相交于A (2,1)、B 两点. (1)求m 及k 的值; A B O x y (第21题) 2 1 2 3 -3 -1 -2 1 3 -3 -1 -2 y x D C A B O F E

二次函数中动点图形的面积最值专题

中 学 复 习 学 案 年级: 9年级 科目: 数学 执笔: 内容: 《二次函数中动点图形的面积最值专题一》 目 标:1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图形的长度,面积 2.能用函数图象的性质解决相关问题 重 点:二次函数中动点图形的面积最值的一般及特殊解法 难 点:点的坐标的求法 学习过程: 一、 学前准备: (1)填空 如图,抛物线 与x 轴交于点A 和点B ,与y轴交于点C.则点A 坐标为 , 点B 坐标为 ,点C坐标为 , ΔABC的面积为 . 顶点坐标为 ,对称轴为 . 直线AC 的解析式为 . (2)观察下列图形,指出如何求出阴影部分的面积 322++-=x x y

小结:规则图形的面积可直接套用公式,不规则图形的面积用割补法。 二、“二次函数中动点与图形面积”试题解析 例题:如图二次函数43 4312--=x x y 与x 轴交于点C ,与y 轴交于点A ,过点A 作一条直线与x 轴平行,与抛物线交于点B. (1) 求直线AC 的解析式; (2)连接BC ,求ΔABC 的面积. 变式1:若抛物线的顶点为B ,求ΔABC 的面积.

变式2:若点B 是线段AC 下方的抛物线上的动点, 那么,ΔABC 的面积有最大值吗?如果有,请求出. 最大面积和此时点B 的坐标. 变式3:如图,抛物线中的点A 、B 、C 与例题中的点A 、B 、C 一样,点P 是直线AC 上方抛物线上的动点,是否存在点P ,使ABC PAC S S ??=2,若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由. 变式4:若B 、C 是抛物线与x 轴的交点,A 是抛物线与y 轴的交点,点D 是线段AC 上的动点,求四边形ABCD 面积的最大

反比例函数图象上的动点问题

反比例函数图像上的动点问题 ——反比例函数复习 一、开门见山揭示课题 二、复习过程演绎 (一)问题1教学 出示右图:如图,坐标系内有一点A (2,4),有一反比例函数图像经过A 点。则它的函数关系式是什么?(学生口答) 变:过A 作AD ⊥x 轴于D ,连结OA ,则S △AOD =___. 学生口答。 (预设两种:S △AOD =12OD ×AD =4, S △AOD =12×8) 师:你是怎么知道的? 总结:①把点的坐标转化为线段的长,往往是解决直角坐标系中有关图形计算的手段(预设1); 变1:若C 是图像上的一个动点,也构造这样的直角三角形COF ,则面积为多 少?你的理由?S △AOD =1 2︳k ︳(根据学生回答,引出C 为动点) 师:提问:连结AC ,在这个图形中,你还能找出其他面积相等的部分吗?(学生在工作单上试做) 学生回答:(1)S △AOM =S 梯MDFC ;S △AOC =S △ADFC 板书 (移动几何画板观看) 变2:若C 点坐标为(4,2),求S △AOC 生说师写过程(板书转化思想) 变3:S △AOC =6,求C 点坐标 学生试做。优生板演。 毕。师:请大家仔细看黑板上同学所做题目。请给与评价。有哪些地方值得你欣赏的?哪些地方你觉得要修正的? (老师根据学生所言,共同规范书写过程)板书分类思想 阶段评价 (二)出示问题2 变4:延长AO 交图像于点B ,则B 点坐标为多少?(口答) 师:你的理由?(中心对称图形) 延长CO 、AO 交图像的另一分支于点E 、B ,连结AF 、BF ,四边形AEBC 是什么 C F O y O x A (2,4) D

中考专题动点问题的函数图像

题型一 动点问题的函数图像 (10年3考) 【题型解读】近10年考查3次,考查类型及频次:①判断函数图象考查1次;②分析函数图象考查2次. 类型一 判断函数图像 (2014.8) 1. 如图,AB 是半圆O 的直径,点P 从点O 出发,沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周,设点P 到点O 的距离为s ,运动时间为t ,则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( ) 第1题图 2. 如图,在Rt △ABC 中,AC =BC =4 cm ,点D 是AB 的中点,点F 是BC 的中点,动点E 从点C 出发,沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ,设点E 运动的时间为x s ,△EFC 的面积为y cm 2(当E ,F ,C 三点共线时,设y =0),则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( ) 第2题图 3.如图,A 、B 是反比例函数y =k x (k >0)在第一象限图象上的两点,动点P 从坐标原点O 出发,沿图中 箭头所指方向匀速运动,即点P 先在线段OA 上运动,然后在双曲线上由A 到B 运动,最后在线段BO 上运动,最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴,垂足为点M ,设△POM 的面积为S ,点P 运动时间为t ,则S 关于t 的函数图象大致为( )

第3题图 4.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C,同时动点Q从点A出发,以相同速度沿折线AC→CD运动到点D,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间为x秒,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点M为线段AC上一个动点,过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E,交AB(或BC)于点F,已知AC=5,设AM=x,EF=y,则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6. (2019衢州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C 移动至终点C,设点P经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()

反比例函数动点问题

·、

' 一. 求函数解析式 。 例1. 如图1,P是反比例函数图象在第二象限上的一点,且矩形PEOF的面积为3。求这个反函数的解析式。 图1 图2 二. 求面积 例2.图2中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点,分别以A、B两点为圆心,画与y轴相切的两个圆,若点A的坐标为(1,2),求图中两个阴影面积的和。

、 三. 特殊点组成图形的面积 例3. 如图3,反比例函数x 8 y - =与一次函数2x y +-=的图象相交于A 、B 两点。 (1)求A 、B 两点的坐标;(2)求AOB ?的面积。 图3 图4 )

》 四. 探讨面积的变化 例4. 如图4,x y =和)0m (mx y >=的图象与)0k (x k y >= 的图象分别交于第一象限内的两点A ,C ,过A ,C 分别向x 轴作垂线,垂足分别为B ,D ,若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为2 1、S S , 则1S 与2S 的关系为( ) A. 21S S > B. 21S S = C. 21S S < D. 与k ,m 的值无关 五. 求参数的值 例5. 如图5,已知反比例函数x 12 y = 的图象和一次函数7kx y -=的图象都经过点P (m ,2)。(1)求这个一次函数的解析式;(2)如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数图象上,顶点C 、D 在这 个反比例函数图象上,两底AD ,BC 与y 轴平行,且A 和B 的横坐标分别为a 和a+2,求a 的值。 `

图5 ( 一、反比例函数与特殊四边形结合 1.如图1,已知双曲线y = x k (k >0)与直线y =k ′ x 交于A ,B 两点,点A 在第一象限.试解答下列问题: (1)若点A 的坐标为(4,2)则点B 的坐标为_____________;若点A 的横坐标为m ,则点B 的坐标可表示为_____________; (2)如图2,过原点O 作另一条直线l ,交双曲线y =x k (k >0)于P ,Q 两点,点P 在第一象限. ①说明四边形APBQ 一定是平行四边形; ②设点A ,P 的横坐标分别为m ,n ,四边形APBQ 可能是矩形吗可能是正方形吗若可能,直接写出m ,n 应满足的条件;若不可能,请说明理由.

2020年中考数学题型专练一 动点问题的函数图像(含答案)

3.如图,A、B是反比例函数y=(k>0)在第一象限图象上的两点,动点P从坐标原点O出发,沿图中 题型一动点问题的函数图像 类型一判断函数图像 (2014.8) ︵ 1.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发,沿OA→AB→BO的路径运动一周,设点P到点O 的距离为s,运动时间为t,则下列图象能大致地反映s与t之间的关系的是() 第1题图 2.如图,在△Rt ABC中,AC=BC=4cm,点D是AB的中点,点F是BC的中点,动点E从点C出发,沿CD→DA以1cm/s的速度运动至点A,设点E运动的时间为x△s,EFC的面积为y cm2(当E,F,C 三点共线时,设y=0),则y与x之间的函数关系的大致图象是() 第2题图 k x 箭头所指方向匀速运动,即点P先在线段OA上运动,然后在双曲线上由A到B运动,最后在线段BO上运动,最终回到点O.过点P作PM⊥x轴,垂足为点△M,设POM的面积为S,点P运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为()

第3题图 4.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C,同时动点Q从点A出发,以相同速度沿折线AC→CD运动到点D,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止△.设APQ的面积为y,运动时间为x秒,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点M为线段AC上一个动点,过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E,交AB(或BC)于点F,已知AC=5,设AM=x,EF=y,则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6.(2019衢州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C 移动至终点C,设点P经过的路径长为△x,CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()

中考二次函数动点问题(含答案)

中考二次函数动点问题(含答案) 1.如图①,正方形的顶点的坐标分别为,顶点在第一象限.点从点出发,沿正方形按逆时针方 向匀速运动,同时,点从点出发,沿轴正方向以相同速度运动.当点到达点时,两点同时停止 运动,设运动的时间为秒. (1)求正方形的边长. (2)当点在边上运动时,的面积(平方单位)与时间(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分 (如图②所示),求两点的运动速度. (3)求(2)中面积(平方单位)与时间(秒)的函数关系式及面积取最大值时点的坐标.(4)若点ABCD保持(2)中的速度不变,则点ABCD沿着ABCD边运动时,ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大;沿着ABCD边运动时,ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小.当点ABCD沿着这两边运动时,使ABCD的点ABCD有个. (抛物线ABCD的顶点坐标是. [解] (1)作轴于. , . . (2)由图②可知,点从点运动到点用了10秒. 又. 两点的运动速度均为每秒1个单位. (3)方法一:作ABCD轴于ABCD,则ABCD. ABCD ,即 ABCD . ABCD .ABCD .ABCD,

ABCD . 即 ABCD . ABCD ,且 ABCD , ABCD当 ABCD 时,ABCD有最大值. 此时 ABCD , ABCD点ABCD的坐标为 ABCD .(8分) 方法二:当ABCD时, ABCD . 设所求函数关系式为. 抛物线过点, . ,且, 当时,有最大值. 此时, 点的坐标为. (4). [点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。 . 2. 如图①,中,,.它的顶点的坐标为,顶点的坐标为,,点从点出发,沿的方向匀速运动,同时点从点出发,沿轴正方向以相同速度运动,当点到达点时,两点同时停止运动,设运动的时间为秒. (1)求的度数. (2)当点在上运动时,的面积(平方单位)与时间(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),求点的运动速度. (3)求(2)中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标. (4)如果点ABCD保持(2)中的速度不变,那么点ABCD沿ABCD边运动时,ABCD的大小随着时间ABCD的增大而增大;沿着ABCD边运动时,ABCD的大小随着时间ABCD的增大而减小,当点ABCD沿这两边运动时,使ABCD的点ABCD有几个?请说明理由. 解: (1)ABCD.

中考动点问题专题 教师讲义带答案

中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新,考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等,是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况,理解图形在不同位置的情况,做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一:建立动点问题的函数解析式(或函数图像) 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 (2015?兰州)如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段BP长为半

径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为() A.B.C.D. 思路分析:分析动点P的运动过程,采用定量分析手段,求出S与t的函数关系式,根据关系式可以得出结论. 解:不妨设线段AB长度为1个单位,点P的运动速度为1个单位,则: (1)当点P在A→B段运动时,PB=1-t,S=π(1-t)2(0≤t<1); (2)当点P在B→A段运动时,PB=t-1,S=π(t-1)2(1≤t≤2). 综上,整个运动过程中,S与t的函数关系式为:S=π(t-1)2(0≤t≤2), 这是一个二次函数,其图象为开口向上的一段抛物线.结合题中各选项,只有B 符合要求. 故选B. 点评:本题结合动点问题考查了二次函数的图象.解题过程中求出了函数关系式,这是定量的分析方法,适用于本题,如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择. 对应训练 1.(2015?白银)如图,⊙O的圆心在定角∠α(0°<α<180°)的角平分线上运动,且⊙O与∠α的两边相切,图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r(r>0)变化的函数图象大致是() A.B.C.D.

反比例函数与面积、动点问题

反比例函数与面积、动点问题1、如图所示,Rt△ABC在第一象限,∠BAC=90°,AB=AC=2, 点A在直线y=x上,其中点A的横坐标为1,且AB∥x轴, AC∥y轴,若双曲线y=k/x(k≠0)与△ABC有交点,则k 的取值范围是_________ 2、如图,已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双 曲线y= 4/x(x>0)的一个分支上,点B在x轴上,CD ⊥OB于D,则△AOC的面积为() A、2 B、3 C、4 D、32 3、已知点A、B是反比例函数y=?2x(x>0)的图象上任 两点,过A、B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为C、 D,连接AB,AO,BO, 则S四边形ABCD:S△AOB等于() 4、在平面直角坐标系中,有反比例函数y=?1x与y=-?1x的图象和正方形ABCD,原点O与对角线AC、BD的交点重叠,且如图所示的阴影部分面积为8,则AB=__________ 5、反比例函数y=-?5x的图象如图所示,P是图象上的任意点,过点P分别做两坐标轴的垂线,与坐标轴构成矩形OAPB,点D是对角线OP上的动点,连接DA、DB,则图中阴影部分的面积是 ____________

6、如图,点A,C在反比例函数y=?3x(x<0)的图象上,B,D在x轴上,△OAB,△BCD均为正三角形,则点C的坐标是____________ 7、如图所示,P1(x1,y1)、P2(x2,y2),…P n (x n,y n)在函数y=?9x(x>0)的图象上,△OP1A1, △P2A1A2,△P3A2A3…△P n A n-1A n…都是等腰直角三 角形,斜边OA1,A1A2…A n-1A n,都在x轴上,则 y1+y2+…y n=________ 8、如图,在直角坐标平面内,函数y=mx(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点 A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线, 垂足为D,连接AD,DC,CB. (1)若△ABD的面积为4,求点B的坐标; (2)求证:DC∥AB; (3)当AD=BC时,求直线AB的函数解析式. 9、如图,直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A(1,6),B(a,3)两点. (1)求k1、k2的值. (2)直接写出k1x+b-k2x>0时x的取值范 围;

浙江省中考数学易错题复习——与函数有关的动点问题(解析版)

浙江中考数学易错题复习——与函数有关的动点问题 一、单选题 1.如图,若点P为函数图象上的一动点,表示点P到原点O的距离,则下列图象中,能表示与点P的横坐标的函数关系的图象大致是() A. B. C. D. 2.如图①,在中,动点从点出发,沿折线运动,设点经过的路程为 的面积为,把看做的函数,函数的图像如图②所示,则图②中a的值等于() A. B. C. 14 D. 18 3.如图,已知线段AB=12厘米,动点P以2厘米/秒的速度从点A出发向点B运动,动点Q以4厘米/秒的速度从点B出发向点A运动.两点同时出发,到达各自的终点后停止运动.设两点之间的距离为s(厘米),动点P的运动时间为t秒,则下图中能正确反映s与t之间的函数关系的是( )

A. B. C. D. 4.如图,正方形的边长为,动点从点出发以的速度沿着边运动,到达点停止运动,另一动点同时从点出发,以的速度沿着边向点运动,到达点停止运动,设点运动时间为,的面积为,则关于的函数图象是() A. B. C. D. 5.如图,点A是反比例函数y═ (x>0)上的一点,过点A作AC⊥y轴,垂足为点C,AC交反比例函数y=的图象于点B,点P是x轴上的动点,则△PAB的面积为()

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6.如图,点A是反比例函数y (x>0)上的一点,过点A作AC⊥y轴,垂足为点C,AC交反比例函数y=的图象于点B,点P是x轴上的动点,则△PAB的面积为() A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7.如图,在矩形中,,,动点P沿折线从点B开始运动到点D,设点P运动的路程为,的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是 A. B. C. D. 8.如图,已知A,B是反比例函数图象上的两点,轴,交x轴于点C.动点P从 坐标原点O出发,沿匀速运动,终点为C.过点P作轴于Q.设的面积为S,点P运动的时间为t则S关于t的函数图象大致为()

2020年浙江省中考数学题型专练一 动点问题的函数图像含答案

题型一 动点问题的函数图像 类型一 判断函数图像 (2014.8) 1. 如图,AB 是半圆O 的直径,点P 从点O 出发,沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周,设点P 到点O 的距离为s ,运动时间为t ,则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( ) 第1题图 2. 如图,在Rt △ABC 中,AC =BC =4 cm ,点D 是AB 的中点,点F 是BC 的中点,动点E 从点C 出发,沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ,设点E 运动的时间为x s ,△EFC 的面积为y cm 2(当E ,F ,C 三点共线时,设y =0),则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( ) 第2题图 3.如图,A 、B 是反比例函数y =k x (k >0)在第一象限图象上的两点,动点P 从坐标原点O 出发,沿图中 箭头所指方向匀速运动,即点P 先在线段OA 上运动,然后在双曲线上由A 到B 运动,最后在线段BO 上运动,最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴,垂足为点M ,设△POM 的面积为S ,点P 运动时间为t ,则S 关于t 的函数图象大致为( )

第3题图 4.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C,同时动点Q从点A出发,以相同速度沿折线AC→CD运动到点D,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间为x秒,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点M为线段AC上一个动点,过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E,交AB(或BC)于点F,已知AC=5,设AM=x,EF=y,则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6. (2019衢州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C 移动至终点C,设点P经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()

(完整)初三数学动点问题

数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题,以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称之为动态几何问题,随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题,就其运动对象而言,有点动、线动、面动三大类,就其运动形式而言,有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等,就问题类型而言,有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题,可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型,包括单动点形成的面积问题,双 (多)动点形成的面积问题,线动形成的面积问题,面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中,单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8. 问题思考: 如图1,点P 为线段AB 上的一个动点,分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE. (1)在点P 运动时,这两个正方形面积之和是定值吗?如果时求出;若不是,求出这两个正方形面积之和的最小值. (2)分别连接AD 、DF 、AF , AF 交DP 于点A ,当点P 运动时,在△APK 、△ADK 、△DFK 中,是否存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由. 问题拓展: (3)如图2,以AB 为边作正方形ABCD ,动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动,且PQ=8.若点P 从点A 出发,沿A→B→C→D 的线路,向D 点运动,求点P 从A 到D 的运动过程中, PQ 的中点O 所经过的路径的长。 图1 F E D C A B P

八年级数学动点问题专项训练

动点问题专项训练 1.如图,在矩形ABCD中,AB=2,1 BC=,动点P从点B出发,沿路线B C D →→作匀速运动,那么ABP △的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是() 2.如图1,在直角梯形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD运动至点D停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△BCD的面积是() A.3 D.6 3.如图,△ABC和的△DEF是等腰直角三角形,∠C=∠F=90°,AB=2.DE=4.点B与点D重合,点A,B(D),E在同一条直线上,将△ABC沿D E →方向平移,至点A与点E重合时停止.设点B,D之间的距离为x,△ABC与△DEF重叠部分的面积为y,则准确反映y与x之间对应关系的图象是() 4.如图,点G、D、C在直线a上,点E、F、A、B在直线b上,若a b Rt GEF ∥,△从如图所示的位置出发,沿直线b向右匀速运动,直到EG与BC重合.运动过程中GEF △与矩形ABCD重合部分 ....的面积(S)随时间(t)变化的图象大致是() O 3 1 1 3 S x A. O 1 1 3 S x O 3 S x 3 O 1 1 3 S x B.C.D. 2 D C P B A 图1 2 O 5 x C P D 图2 G D C E F A B a (第4题s O s O s O s O

5.(2009年)如图,平面直角坐标系中,在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周,则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是( ) 6.如图1,在矩形ABCD 中,动点P 从点B 出发,沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止,设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图2所示,则矩形ABCD 的面积是( ) A .10 8.16 C. 20 D .36 7.如图,三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF ,一动点P 从点A 出发沿着A →B →C →D →E 方向匀速运动,最后到达点E .运动过程中PEF ?的面积(s )随时间(t )变化的图象大致是( ) 8.如图8, 点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点,动点P 从圆心O 出发,沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度,则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是 9. 13.一正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案,如图4所示,设小矩形的长和宽分别为x 、y ,剪去部分的面积为20,若2≤x ≤10,则y 与x 的函数图象是: 1 2 3 4 1 2 y s O 1 2 3 4 1 2 y s O s 1 2 3 4 1 2 y s O 12341 2 y O A B C D s t A .。 O s t B O s D O s t C O t (第6题图) A B C D E . F . P . ·

二次函数与面积专题(可编辑修改word版)

3 图 1 图 2 重庆市巴川中学初 2019 级九上数学专题训练三 ——二次函数与面积问题 班级 姓名 等级 题型一:在抛物线上求一点,与已知三角形的面积相等(或成倍数). 例 1、定义:如图 1,抛物线 y=ax 2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A ,B 两点,点 P 在抛物线上(点 P 与 A ,B 两点不重合),如果△ABP 的三边满足 AP 2+BP 2=AB 2,则称点 P 为抛物线 y=ax 2+bx+c(a ≠0)的勾股点. (1) 直接写出抛物线 y=-x 2+1 的勾股点的坐标; (2) 如图 2,已知抛物线 C :y=ax 2+bx(a≠0)与 x 轴交于 A ,B 两点,点 P(1, )是抛物线 C 的 勾股点,求抛物线 C 的函数表达式; (3) 在(2)的条件下,点 Q 在抛物线 C 上,求满足条件 S △ABQ =S △ABP 的点 Q (异于点 P )的 坐标.

练习 1. 如图,已知抛物线y =-x 2+ 2x + 3 与x 轴交于点A 和点B,与y 轴交于点C,连接BC 交抛物线的对称轴于点E,D 是抛物线的顶点. (1)直接写出点A、B、C、D 的坐标,并求出S△ABD; (2)求出直线BC 的解析式; (3)若点P 在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P 点坐标.

题型二:已知二定点,在抛物线上求一动点,使三角形面积最大

例2. 如图,已知抛物线 y=ax 2+bx-3 与 x 轴交于 A 、B 两点,过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C , 其中 A 点的坐标是(-1,0),C 点坐标是(-4,-3). (1) 求抛物线的解析式; (2) 若点 E 是位于直线 AC 的上方抛物线上的一动点,试求△ACE 的最大面积及 E 点的坐标; (3) 在(2)的条件下,在抛物线上是否存在异于点 E 的 P 点,使 S △PAC =S △EAC ,若存在,求 出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 变式:在抛物线上是否存在点 P ,使 S △PAC =S △ABC ,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

二次函数的动点问题(含答案)

7 2 x = B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形 一.二次函数与四边形的形状 例1.(浙江义乌市) 如图,抛物线2 23y x x =--与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2. (1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式; (2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值; (3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由. 练习1.(河南省实验区) 23.如图,对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点 A (6,0)和 B (0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点E (x ,y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; ①当平行四边形OEAF 的面积为24时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形 ②是否存在点E ,使平行四边形OEAF 为正方形若存在,求出点E 的坐标; 若不存在,请说明理由. 练习 2.(四川省德阳市)25.如图,已知与x 轴交于点(10)A ,和(50)B ,的抛物线1l 的顶点为(34)C ,,抛物线2l 与1l 关于x 轴对称,顶点为C '. (1)求抛物线2l 的函数关系式; (2)已知原点O ,定点(04)D ,,2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称,则当点P 运动到何处时,以点D O P P ',,,为顶点的四边形是平行四边形 (3)在2l 上是否存在点M ,使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形若存,求 出点M 的坐标;若不存在,说明理由. A 5- 4- 3- 2- 1- 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C ' 1- O 2l 1l x y

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