第09章+二重积分(习题)

第九章 二重积分

习题9-1 1、设??+=

1

322

1)(D d y x

I σ,

其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;

又??+=

2

322

2)(D d y x

I σ,

其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,

试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.

解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =.

2、利用二重积分的几何意义说明:

(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即

),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=??D

d y x f σ;

(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即

),(),(y x f y x f =-时,有

????=1),(2),(D D

d y x f d y x f σσ,其中1

D

为D 在

0≥x 的部分.

并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2

2

2

R y x y x D ≤+=.

(I)??D

d xy σ4

; (II)??--D d y x R y σ2

2

2

; (III)??++D d y x x

y σ2

231cos . 解：令??=

D

d y x f I σ),(,??=1

),(1

D d y x f I σ,其中1

D 为D 在0≥x 的部分,

(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

(2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

(I)由于}|),{(2

2

2

R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4

),(xy y x f =为x 的奇函数, 于是

04

=??D

d xy σ;

(II)由于

}|),{(222R y x y x D ≤+=关于

x

轴对称,且

222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--??D

d y x R y σ;

(III)由于}|),{(2

2

2

R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2

231cos ),(y x x

y y x f ++=

为y 的奇函数,于是01cos 2

23=++??D

d y x x

y σ.

3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)??+=

D

d y x I σ21)(与??+=D

d y x I σ3

2)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成;

解：由于在D 内,10<+

3

)()(0y x y x +<+<,所以

1232)()(I d y x d y x I D

D

=+<+=????σσ.

(2)??+=

D

d y x I σ)ln(1与??+=D

d y x I σ2

2

)][ln(,

其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

解：由于在D 内,63<+<+y x ,2

)][ln()ln(y x y x +<+,所以

221)][ln()ln(I d y x d y x I D

D

=+<+=????σσ.

4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：

(1)??++=

D

d y x xy I σ)1(,

其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ；

解：由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0<++

1628)1(200=?<++

d y x xy σ.

(2)??++=

D

d y x

I σ)94(22

,

其中}4|),{(2

2

≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为π4,且在D 内,

25313949222≤+≤++≤y y x ,那么

ππσππ100425)94(493622=?<++

d y x .

(3)??++=

D

y x d I 22cos cos 100σ

, 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为200,且在D 内, 100

1cos cos 1001102122≤++≤y x ,那么 2100

200

cos cos 100102200511002

2=<++

习题9-2

1、计算下列二重积分： (1)

??+D

d y x

σ)(22

,其中D 是矩形区域: 1||,1||≤≤y x ；

解：

38)31(2)()(112

11112222=+=+=+?????---dx x dy y x dx d y x D

σ.

(2)

??+D

y x d xye σ2

2

,其中},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=；

解：

?????-==++b a x c d b

a

d

c

y x D

dx xe e e dy xye dx d y x 222

2

2

)(2

1)()(22σ.

))((4

12222

c d a b e e e e --=. (3)

??+D

d y x σ)23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域；

解：3

20

)224()23()23(2

22

20

=

-+=+=

+??

???-dx x x dy y x dx d y x x D

σ. (4)

??+D

d y x x σ)cos(,其中D 是顶点分别为)0,(),0,0(π和),(ππ的三角形

闭区域. 解：

πσππ23

)sin 2(sin )cos()cos(000-=-=+=+?????dx x x x dy y x x dx d y x x x D

.

2、画出积分区域,并计算下列二重积分： (1)

??

D

d y x σ,其中D 是由两条抛物线2

,x y x y ==所围成的闭区域； 解：55

6

)(3210447

10

2

=+==?????dx x x dy y x dx d y x

x

x

D

σ.

(2)??D

d x y

σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域； 解：49

2321212===?????xdx dy x y dx d x y x x D

σ.

(3)

??+D

d y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1

,=

=及2=y 所围成的闭区域； 解：619)112()2()2(2122

211=--=+=+?????dy y y dx y x dy d y x y y D

σ.

(4)

??+D y

x d e

σ,其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域.

解：

??

??

??+--+-+--+++=10

1

1

111

x x y x x x y

x D

y

x dy e dx dy e

dx d e

σ

e

e e e e e dx e e dx e e

x x 1

212232)()(1

0120

1

1

1

2-=++-=-+-=??---+.

a:=0..1;

b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b);

int(int(f,y=b),x=a); simplify(");

3、如果二重积分

??D

d y x f σ),(的被积函数),(y x f 是两个函数)(1

x f 及

)(2y f 的乘积,即)()(),(21y f x f y x f =,积分区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,

即

12(,)()()b d

a c D

f x y d f x dx f y dy σ????=?????????

??

??.

证明：

??????

==b a

d

c

b a

d c

D

dy y f x f dx dx y x f dx d y x f )()(),(),(21σ

1212()()()()b d b d

a

c a c f x f y dy dx f x dx f y dy ??????==?????????????

?

???.

4、化二重积分??=

D

d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不

同的两个二次积分),其中积分区域D 是：

(1)由曲线x y ln =、直线2=x 及x 轴所围成的闭区域；

图形>

plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1); 解：????

==2ln 0

2

21

ln 0

),(),(y e

x

dx y x f dy dy y x f dx I .

(2)由y 轴及右半圆22y a x -=

所围成的闭区域；

图形>

plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);

解：??

??

-----==

a

a

y a a x

a x a dx y x f dy dy y x f dx I 2

22

22

20

),(),(.

(3)由抛物线2

x y =与直线32=+y x 所围成的闭区域.

图形> plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);

解：319

20

1

(,)(,)y y

y

y

I dy f x y dx dy f x y dx ---=

+??

??

.

5、改换下列二次积分的积分顺序： (1)

?

?

1

),(y

y

dx y x f dy ；

解：??

=102

),(x

x dy y x f dx I .

(2)

?

?1

),(e e

y dx y x f dy ；

解：??

=

e x

dy y x f dx I 1

ln 0

),(.

(3)

??

-+-1

1122

),(y y

dx y x f dy ；

解：??

--=2

1

222

),(x x x

dy y x f dx I .

(4)

??

?

?-+2

1

20

1

),(),(2

x

x dy y x f dx dy y x f dx ；

解：?

?

-=

1

2),(y y

dx y x f dy I .

(5)

?

?

-π

sin 2

sin

),(x

x dy y x f dx ；

图形> plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]], x=0..Pi,color=1); 解：??

?

?

---+=1

arcsin arcsin 0

1

arcsin 2),(),(y

y

y

dx y x f dy dx y x f dy I ππ

.

(6)

??

?

?

--+21

20

20

22),(),(2

x

a

ax

x ax dy y x f dx dy y x f dx .

图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]], x=0..2,color=1); 解：??

?

?-+--+=

a

a

y a a a

y a a a y

dx y x f dy dx y x f dy I 0

20

22

22

22

),(),(

??+a

a

a

a

y dx y x f dy 2222),(.

6、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x y y x ==+,2和x 轴所围成,它的面密度2

2

),(y x y x +=ρ,求该改薄片的质量.

图形> plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1); 解：??

??-+==

10

222)(),(x

y

D

dx y x dy d y x m σρ

3

4)384438(1

032=-+-=?dy y y y .

7、求由平面1,1,0,0=+===y x z y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.

图形> with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):

B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):

G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x): display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR); 解：???

??=-=

+=-++=

-102

10

10

3

1)1(21)(]1)1[(dx x dy y x dx d y x V x

D

σ.

8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m 500,宽m 20的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为x 轴(200≤≤x ),往公路延伸方向为y 轴(5000≤≤y ),且山坡高度为x y z 20

sin

500

sin

10π

π

+=,试计算所需挖掉

的土方量.

图形> plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20); 解：)(70028)20

sin

500

sin

10(3200

500

m dy x y dx zd V D

=+==

??

??π

π

σ.

9、画出积分区域,把积分??=D

d y x f I σ),(表示为极坐标形式的二次积分,其

中积分区域D 是：

(1))0( }0,|),{(2

2

2

>≥≤+=a x a y x y x D ；

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);

解：??-=22

0)sin ,cos (π

πθθθa

rdr r r f d I .

(2)}2|),{(2

2

y y x y x D ≤+=；

图形> plot([1+(1-x^2)^(1/2), 1-(1-x^2)^(1/2)], x=-1..1,color=1); 解：y y x 22

2

=+?θsin 22r r =?θsin 2=r ,于是

??

=πθ

θθθ0

sin 20

)sin ,cos (rdr r r f d I .

(3)}|),{(2

222b y x a y x D ≤+≤=,其中b a <<0；

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),

(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：?

?=

π

θθθ20

)sin ,cos (b

a

rdr r r f d I .

(4)}0,10|),{(2

x y x y x D ≤≤≤≤=.

图形> plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1); 解：2

x y =?θθ22cos sin r r =?θθtan sec =r ,

1=x ?1cos =θr ?θsec =r ,于是

??

=40

sec tan sec )sin ,cos (π

θ

θ

θθθθrdr r r f d I .

10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1)

?

?1

1

),(dy y x f dx ；

图形> plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1); 解：1=x ?1cos =θr ?θsec =r ,

1=y ?1sin =θr ?θcsc =r ,于是

??

??

+=24

csc 0

40

sec 0

)sin ,cos ()sin ,cos (π

πθ

π

θ

θθθθθθrdr r r f d rdr r r f d I .

(2)

??

--+1

11222

)(x x

dy y x f dx ；

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1); 解：x y -=1?θθcos 1sin r r -=?θ

θcos sin 1

+=

r ,于是

??

+=20

1

cos sin 1)(πθ

θθrdr r f d I .

11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值： (1)

?

?

-+a

x ax dy y x dx 20

20

222

)(；

图形> plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1); 解：22x ax y -=

?θθθ22cos cos 2sin r ar r -=?θcos 2a r =,

于是 4204420

cos 20

34

3

cos 4a a dr r d I a πθθπ

π

θ

===??

?

.

(2)

?

?

+1

32

2

1x

x

dy y

x dx ；

图形> plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);

解：1=x ?1cos =θr ?θsec =r ,于是

2

13

2ln

sec 34

34

sec 0

++===???

π

ππ

πθ

θθθd dr d I .

(3)

?

?

?

?

-+++a a x a a x dy y x dx dy y x dx 2

30

222

30

3

30

2

22

2.

图形> plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1); 解：1=x ?1cos =θr ?θsec =r ,于是

360

3

60

2

18

3

a d a dr r d I a

π

θθπ

π

=

=

=?

??

.

12、利用极坐标计算下列各题： (1)

??

--D d y x R σ222,其中D 为圆域Rx y x ≤+22(0>R )；

图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：Rx y x =+2

2

?θcos 2

Rr r =?θcos R r =,于是

)3

4(31322

cos 0

22-=

-=??

-πθπ

πθ

R rdr r R d I R . (2)

??

++D

d y x σ)1ln(2

2,其中D 为圆122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；

图形> plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);

解：)12ln 2(4

)1ln(20

1

2-=

+=?

?π

θπ

rdr r d I .

(3)

??D

d x y σarctan ,其中D 为圆周122=+y x ,422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的闭区域.

图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2), (4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],

x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);

解：2

40402

164

323πθθθθππ

===???d rdr d I .

13、选择适当的坐标计算下列各题： (1)

??

D

d y

x σ22

,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域； 图形> plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1); 解：4

9)(213

2

1

1

22=-==??

?dx x x dy y x dx I x

x

. (2)

??

+D

d y x σ2

2sin ,其中D 是圆环形区域22224ππ≤+≤y x ； 图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),

(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：220

26sin πθπ

π

π

-==?

?rdr r d I .

(3)

??+D

d y x σ)(22,其中D 是由直线a y a y a x y x y 3,,,==+==(0>a )所围成的闭区域；

图形> plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1); 解：433

2

2

32

214)3

2()(a dx a y a ay dx y x dy I a

a

a

a

y

a

y =+-=+=?

?

?

-.

(4)

??

--D

d y x σ|1|2

2,其中D 为圆域422≤+y x . 图形> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),

(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：ππ

π

θθππ

52

92

)1()1(20

2

1

220

10

2=+

=

-+-=

???

?rdr r d rdr r d I .

14、计算以x Oy 面上的圆周ax y x =+2

2围成的闭区域为底,而以曲面

22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.

图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：ax y x =+2

2

?θcos 2

ar r =?θcos a r =,于是

422

4

4

2

2

cos 0

3

2

232

3

cos 4

)(a d a dr r d d y x V a D

πθθθσπ

ππ

πθ

==

=+=???

??--.

15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r 处的水深为

2

15

r

+米,试求该水池的蓄水量. 图形> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);

解：29.16)13ln 2(ln 515

20

5

02=+=+=

?

?

πθπ

rdr r

d V (米3).

16、讨论并计算下列广义二重积分：

(1)??D

q p y x d σ

,其中}1,1|),{(≥≥=x xy y x D ； 解：))(1(11111011111p q q dx x q dy y x dx I q p q p q x

q p --===-====>-+∞+->+∞+∞???. 即当1>>q p 时,广义二重积分收敛,且

)

)(1(1

q p q I --=

.

(2)

??+D

p y x d )(22σ,其中}1|),{(2

2≥+=y x y x D ； 解：1

111220112-====

=>-+∞-??p dr r d I p p π

θπ. 即当1>p 时,广义二重积分收敛,且1

-=p I π

.

二重积分部分练习题

精心整理题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分 D xydxdy ??(其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为（A 答() (3分 （A 答() (3分|x|+|y|≤1 ( D f ?? （A 答() (3分 (A)1 ? (B)1 01 (,) dy f x y dx - ? (C)11 0111 (,)(,) y dy f x y dx f x y dx - -- + ??? (D)2 01 (,) dy f x y dx - ?? 答() (3分)[6]设函数f(x,y)在区域D：y2≤－x,y≥x2上连续，则二重积分(,) D f x y dxdy ??可化累

次积分为 (A)2 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 0(,)y dy f x y dx -?? (D)2 1 0(,)y dy f x y dx ? 答() (3分)[7]设f (x ,y ) 为连续函数，则二次积分2 1 102 (,)y dy f x y dx ??可交换积分次序为 (A) (B)(C)(D)答(3(A)(B)(C)(D)答() (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)D f x y dxdy ??化成累次积分为 (A)2cos 00 (,)d F r dr πθ θθ??(B)2cos 0 (,)d F r dr πθ π θθ-?? (C)2cos 20 2 (,)d F r dr π θ πθθ- ??(D)2cos 20 2(,)d F r dr π θ θθ?? 其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .

不定积分例题及参考答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

第十章 重积分练习题(答案)

1.填空: (1)设D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形闭区域,则比较二重积分的值的大小,有2()D x y d σ+??≥3 ()D x y d σ+??. (2)设??++=D d y x I σ)94(22,其中(){} 4,22≤+=y x y x D ,则估计二重积分的值,有 36π≤≤I 100π. (3)交换积分次序:=??-2210),(y y dx y x f dy ????-+222021 010),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx . (4)设D 是由直线y x 2=及抛物线2y x =所围成的闭区域，化二重积分σd y x f D ),(??为两个不同次序的二次积分是????x x y y dy y x f dx dx y x f dy 24022 0),(),(2，. （5）在极坐标系中，面积元素为d d ρρθ。 2.选择: (1)设平面区域(){}(){} 0,0,1,,1,22122≥≥≤+=≤+=y x y x y x D y x y x D ,则下列等式一定成立的是( C ). (A)????=1),(4),(D D dxdy y x f dxdy y x f . (B)????=1 4D D xydxdy xydxdy . (C)14D D =. (D)????=1 4D D xdxdy xdxdy . (2)设平面区域(){}(){}a y x a x y x D a y x a x a y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤-=,0,,,,1,则=+??D dxdy y x xy )sin cos (( A ). (A)??1sin cos 2 D ydxdy x . (B)??12D xydxdy . (C)??+1 )sin cos (4D dxdy y x xy . (D)0. (3)设?? ????+=+=+=σσσd y x I d y x I d y x I D 2223222221)cos(,)cos(cos ，,其中 (){} 1,22≤+=y x y x D ,则( A ). (A)123I I I >>. (B)321I I I >>.

二重积分部分练习题

题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ） 16 （B ）112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2 D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ） 12 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 1 1 (,)x dx f x y dy -+? (A)11 2 111 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01 (,)y dy f x y dx --?? (C)11 1 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D) 2 1 (,)dy f x y dx -? ? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可 化累次积分为 (A)20 1 (,)x dx f x y dy -? (B)2 1 (,)x dx f x y dy -?? (C) 2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)21 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )

二重积分练习题

二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ）

二重积分部分练习题

题目部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ） 16 （B ）112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2 D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =??__________1 22 (,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ） 1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)1 1 2 11 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 1 (,)y dy f x y dx --?? (C)11 1 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D) 2 1 (,)dy f x y dx -? ? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分 为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C) 2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y ) 为连续函数，则二次积分 21 10 2 (,)y dy f x y dx ?? 可交换积分次序为 (A) 1 1 (,)(,)dx f x y dy f x y dy +?

经济数学(二重积分习题及答案)

第九章二重积分 习题 9－1 1．设0),(≥y x f ，试阐述二重积分(,)d D f x y σ ??的几何意义. 解 当0),(≥y x f 时，二重积分(,)d D f x y σ??表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底， 以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴，准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积. 2．试确定下列积分的符号并说明理由: 221 (1) ln()d d x y x y x y +<+?? 224 (2) d x y x y *+≤?? 解 (1) 因 1x y +<， 则将此式两边平方，得 220121 x y xy ≤+<-< 于是 0)ln(2 2 <+y x 故 221 ln()d d 0. x y x y x y +<+

第八章二重积分习题答案

第八章二重积分习题答案 练习题8.1 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =2220 01()2d a r π θ=--?? 332012236 a d a ππ θ==? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy = ??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题8.2 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。 解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =2 22 (1)84x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28 (2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积

解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习 题 八 一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×） 二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 112 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分 10 (,)y dy f x y dx ?? 交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y =0 .0 5. 交换积分次序 1 d (,)y f x y dx ? = 2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? . 2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? 6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。则22 1D dxdy x y ++?? =_ln 2πln 2π 三. 选择题 1.设1ln D I =??（x y +）d d x y ，2D I =??（x y +）2d d x y ，3D I =??（x y +）d d x y ，其中D 是由直线0x =，0y =，12 x y +=，1x y +=所围成的区域，则1I ，2I ，3I 的大小顺序为（ B ）. A 321I I I << B 123I I I << C 132I I I << D 312I I I <<

二重积分练习题,DOC

二重积分自测题（一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+=D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22，则（） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（） A ．??-+212 2 ),(x x dy y x f dx B ．??-212 0),(dy y x f dx C ．??-+1 22 2 ),(x x dy y x f dx D ．??+1 02 2 ),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分??=4 02),(x x dy y x f dx （） A ．??404 12 ),(y y dx y x f dy B ．?? -4 0412),(y y dx y x f dy C ．??4041),(y dx y x f dy D ．??402 12 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分??=-202 2 x y dy e dx （） A ．)1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 12--e 6．设D 由 141 22≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2 2 11，??σ+=D d y x I )(222， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（）

二重积分习题答案

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第八章二重积分习题答 案 练习题 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。 解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=?

3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习 题 八 一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×） 二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序

二重积分习题答案

第 八 章 二 重 积 分 习 题 答 案 练习题8.1 1.设D ： 0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算 d x y 1.D ??2D 解：σd y x D 341(--??= 22 1 21 1212(1[(1]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =2 22(1)84 x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.

解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 2222 2 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 1.D ??2.1.2. 3.二重积分0 (,)dy f x y dx ?? 交换积分次序后为 (,)x dx f x y dy ?? . (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序 1 d (,)y f x y dx ? = 2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? .

2 1 1 (,)(,)x dx f x y dy f x y dy +?? 6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。则22 1D dxdy x y ++?? =_ln 2πln2π 三. 选择题 1. 20x =， ）. 2.3. ）. 4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域，当a =（ B ）时D π= A 1 B C . D 四 计算二重积分

第09篇二重积分(习题)

第九章 二重积分 习题9-1 1、设??+= 1 322 1)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ; 又??+= 2 322 2)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D , 试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明: (1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即 ),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=??D d y x f σ; (2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即 ),(),(y x f y x f =-时,有 ????=1),(2),(D D d y x f d y x f σ σ,其中1D 为D 在 0≥x 的部分. 并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=. (I)??D d xy σ4 ; (II)??--D d y x R y σ2 2 2 ; (III)??++D d y x x y σ2 231cos . 解：令??= D d y x f I σ),(,??=1 ),(1 D d y x f I σ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分, (1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

高等数学不定积分例题及答案

第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)

思路:52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

最新二重积分练习题

二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 1 22),(x x dy y x f dx B ．??-21 2 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+10 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 4 12),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ）

第八章二重积分习题答案

第八章二重积分习题答案 练习题 1.设D ：0y ≤0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算d D x y 解：d D x y =20 r d π θ?? =222 01()2d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。 解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =2 22 (1)84x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28 (2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 22 22220 (4)(4)48D V x y d d r rdr d π π σθθπ=--=-==????? 习 题 八

二重积分习题答案

二重积分习题答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

第 八章二重积分习题答案 练习题 1.设D ：0y ≤0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =2220 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。 解：σd y x D )341(--??= 22121 1212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =2 22(1)84 x dx --=? 3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28 (2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 22 22220 (4)(4)48D V x y d d r rdr d π π σθθπ=--=-==????? 习 题 八

二重积分部分练习题

题目部分，（卷面共有100题,405.0分，各大题标有题量和总分） （3分）［2］二重积分 xydxdy （其中D : D 2 (3 分)[3]若区域 D 为 0W y w X 2,|X|W 2,则 xy dxdy = D f(x 2, y 2)dxdy D 2 2 f(x , y )dxdy D 1 (3分)[5]设f(x,y)是连续函数, 0 dx 1 一、选择 （2 分）［1］ （16小题,共53.0分） (A) 1 (C ) 2 1 (D )- 4 答( ) 32 64 (A ) 0; ( B ) (C ) (D ) 256 3 3 答（ （3分）［4］设D 1是由ox 轴， oy 轴及直线 x+y=1所圈成的有界闭域, 的连续函数，则二重积分 ) f 是区域D : |x|+|y|w 1上 (A) 2 (B) 4 (C ) 8 (D)- 2 (A) (B) 1 dy 0 J 1 dy 0丿 f(x,y)dx 2 1dy y 2 1 1 f(x,y)dx (C) 1 0d y (D) 2 °dy f(x, y)dx f(x, y)dx . :产 f(x, y)dx -2 1 dy y~1 1 f (x, y)dx （3分）［6］设函数f （x,y ）在区域D : y 2W — x ） ,y > x 2上连续，则二重积分 f (x, y) dxdy 可 D 化累次积分为 0 (A) dx 1 1 (C) 0dy x 2 -f(x,y)dy y 2 y f (x,y)dx y (B) dx 1 1 (D) 0dy x 2 x f (x, y)dy y 2 y f (x, y)dx 0< y W x 2,0< X W 1)的值为 则二次积分 f (x, y)dy

高等数学下典型习题及参考答案

第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是 2、平行于向量}1,2,1{a -= 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()2C ()21 D 6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( ) （A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{-（C ）}11,7,3{1291-± （D ）}11,7,3{179 1-± 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ） （A ）???==+2z 5y x 22（B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0 z 5y x 22（D ）5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214: 1+=+=+z y x L ，6 7 313:2+=+=z y x L ，4 1 312:3-= +=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B)21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面

(新)高数二重积分习题解答

第9章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥； (2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体 解答：(1) 222d ,{(,)|}D V x y D x y x y R ==+≤； (2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D V x y x y D x y x y =--=+≤?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) D σ，其中D 为222x y a +≤； (2) (D b σ?? ，其中D 为222,0x y a b a +≤>> 解答：(1) 32 π3 D a σ=； (2) 2 32(ππ3D b a b a σ=-?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且 (,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d D Q x y μσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d D p g x ρσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级

5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1) 21()d D I x y σ=+??与32()d D I x y σ=+??，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2) 1ln(1)d D I x y σ=++??与222ln(1)d D I x y σ=++??，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； (3) 21sin ()d D I x y σ=+??与22()d D I x y σ=+??，其中D 是任一平面有界闭区域； (4) 1e d xy D I σ=??与22e d xy D I σ=??，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1； 解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2； (2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4) D I D x y x y x y σ ==≤≤≤≤++?? ； (2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ? ?=+=≤+≤??????； (3) 221 d ,{(,)|||||1}100cos cos D I D x y x y x y σ==+≤++?? ； (4) 2 2 221e d ,(,)4x y D I D x y x y σ+? ?==+≤??? ??? 解答：(1) 由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111 ln16ln(4)ln 4 x y ≤≤++，而等号不恒成立，故 816ln 2ln 2 I <<； (2) 由于22π3π(,)44D x y x y ? ?=≤+≤????的面积为212π，在其中22sin()12x y ≤+≤，而等号不 恒成立，故22 π42 I <<；