sinc插值和NUFFT小结
FFT 要求时域数据是均匀采样，频率是均匀分布于（-π，π）的。
一、Sinc 插值原理：
设有函数)(x f ，采样定理表明，在满足以下两个条件时，就可以从)(x f 的等间隔离散样本中无失真的重建原始信号：
（1）信号是带限的，即信号的最高频率有界；
（2）采样频率满足奈奎斯特采样率。实信号的采样率必须大于信号最高频率的两倍，复信号的采样率必须大于信号的带宽。
当满足以上条件时，在基带信号下，其重建方程为：)(sin )()(i x c i x f i
d
f
-=∑（式
1），上式可以看成是)(i f
d
和c(i)sin 的卷积，其卷积核为i
i i )
sin()(sinc =
（式2）是)(x f 在i x =时的采样值。
式（1）可以理解为所有输入样本的加权叠加，根据此式就可以计算任意点处)(x f 函数值。为精确计算某一点上的)(x f 需要覆盖无限多个点。实际上这是无法做到的，而且使用大量的数据点会使得插值非常耗时，但精度提高却很小。计算表明核值随着与x 的间隔增大而降低，这意味着可以在不过度损失精度的同时对卷积核进行截断。在现有的计算资源下个8点的加权sinc 函数比较适合数据处理。
当使用截断后的sinc 函数对存在陡峭边缘的函数进行插值时，会出现一种称为Gibbs 效应的振铃现象。为减少这种影响，应对插值进行加窗锐化，通常加入Kaiser 窗的处理效果比较理想。对与加窗后的插值核，需要进行归一化处理，使其增益单位化，否则采样点上的权值和不再等于1，并且不同插值点之间会出现较大误差。
1、功率谱估计的提出：主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好的问题提出的。
二、非均匀离散傅里叶变换（NUDFT ）
1、{n t }不均匀采样而{n f }均匀采样，即f m m f ?=，则有n
f t m j n d
N n m e
t f w F ?--=∑=π21
)()(，
称为第一类非均匀DFT （nonuniform DFT ，NUDFT ）。
2、{n f }不均匀采样而{n t }均匀采样，即t n n t ?=，则有∑-=??-=1
2)()(N n nm j n
d m m
t e t f
w F π，称为第二类NUDFT 。
3、{n f }和{n t }都是均匀采样，即t n n t ?=并且f m m f ?=，则有
∑-=??-=1
02)()(N n nm j n d m f
t e
t f w F π，称为均匀DFT 。特别是，如果)/(1t f N ?=?，则有
∑-=-=10
/2)()(N n N nm j n d m e t f w F π，这就是传统意义上的DFT 。
为了方便，我们将两类NUFFT 表示为完全离散的符号形式：
∑-==
1
2M m n
v j m n m e
h H π
∑-==
2
/2
/2N N n n
v j n
m m e
g G π
其中n=-N/2，-N/2+1，…N/2-1，]2/1,2/1[-∈m v 表示非均匀采样位置。
三、NUFFT 算法
1、第一类NUDFT 可由NUFFT 算法加速的流程
1）、由公式NUFFT 算法采用最小均方误差的解)()()(1c b A A A c x H H -=计算插值系数)(m r c x ，这里r=-q/2，-q/2+1，…q/2，m=0，1，…M-1。需要))1((2
M q O +个乘数。 2）、计算Fourier 系数∑+-∈=
rml
uc q q r m
r m l m c x h
]][2/,2/[)(τ。需要))1((M q O +个乘法数。
3）、使用FFT 计算∑=-==
2
/2
//2uN l uN l uN
nl j l
n e
T πτ。需要))log((uN uN O 个乘法数。
4）、 n n T s H .1
-∧
=。需要)(N O 个乘法。
2、第二类NUDFT 可由NUFFT 算法加速的流程
1)、由公式由公式NUFFT 算法采用最小军方误差的解)()()(1c b A A A c x H
H -=计算插值系数)(m r c x ，这里r=-q/2，-q/2+1，…q/2，m=0，1，…M-1。需要))1((2
M q O +个乘数。
2）、计算n n n g s t .1
-=。需要)(N O 个乘法数。
3）、使用FFT 计算∑=-==
2
/2
//2uN l uN l uN
nl j l
n e
T πτ。需要))log((uN uN O 个乘法数。
4）、计算∑-∈+∧
=
]
2/,2/[][)(q q r r uc m
r
m T c
x G ，需要))1((M q O +个乘法数。
可以看出，NUFFT-1和NUFFT-2算法十分相似，并且具有相同的计算复杂度。他们的区别在于：NUFFT-1处理非均匀间隔的输入数据，所以为了使用FFT 技术，需要首先将输入数据插值到均匀间隔上，如NUFFT-1流程第2步所示，NUFFT-2处理均匀间隔输入非均匀间隔输出变换，所以可以首先使用FFT 得到在变换空间的均匀采样数据，然后将他们插值到期望的输出采样间隔上，该插值过程在NUFFT-2中的最后一步完成。
四、NUFFT 的优点：NUFFT是一种时频非均匀采样的变换的快速算法，把数据直
接进行NUFFT变换，而不像传统方法需要先对数据进行插值才能用来成像，因此可以减少差值带来的误差以及所需花费的额外操作。
插值与拟合实验报告
学生实验报告
了解插值与拟合的基本原理和方法；掌握用MATLAB计算插值与作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；通过范例展现求解实际问题的初步建模过程； 通过动手作实验学习如何用插值与拟合方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。 二、实验仪器、设备或软件：电脑,MATLAB软件 三、实验内容 1．编写插值方法的函数M文件； 2．用MATLAB中的函数作函数的拟合图形； 3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。 四、实验步骤 1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口； 2．根据各种数值解法步骤编写M文件； 3．保存文件并运行； 4．观察运行结果(数值或图形)； 5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。 五、实验要求与任务 根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）。 1．天文学家在1914年8月的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取得常用对数值，与日期的一组历史数据如下表： 由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.93518？ 解：输入命令
days=[18 20 22 24 26 28 30]; distancelogs=[9.96177 9.95436 9.94681 9.93910 9.93122 9.92319 9.91499]; t1=interp1(distancelogs,days,9.93518) %线性插值 t2=interp1(distancelogs,days,9.93518,'nearest') %最近邻点插值 t3=interp1(distancelogs,days,9.93518,'spline') %三次样条插值 t4=interp1(distancelogs,days,9.93518,'cubic') %三次插值 计算结果： t1 = 24.9949 t2 = 24 t3 = 25.0000 t4 =
插值法和拟合实验报告(数值计算)
插值法和拟合实验报告 一、 实验目的 1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性； 2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理； 3.利用matlab 编程，学会matlab 命令； 4.掌握拉格朗日插值法； 5.掌握多项式拟合的特点和方法。 二、 实验题目 1.、插值法实验 将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点 k x 的值，进行不同类型 的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： ;11)(2x x f += ;a r c t a n )(x x f = .1)(42 x x x f += (1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值. 2、拟合实验 给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数 ),(i i y x 和拟合函数的图形。 三、 实验原理 1.、插值法实验
∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--= =-= ==-=-=----==++==j i j j i i i i i n i i n n j i j j n j i j j i i n j i j j n i i i n i i n n n o i n i i n x x x x x y x l x L x x c n i x x c x x x c x x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00 ,0,0,01100 00 )(l )()() (1 ,1,0, 1)()(l ) ()())(()()()()()()()(， 故， 得 再由，设 2、拟合实验
arcgis空间内插值教程
GIS空间插值（局部插值方法）实习记录 一、空间插值的概念和原理 当我们需要做一幅某个区域的专题地图，或是对该区域进行详细研究的时候，必须具备研究区任一点的属性值，也就是连续的属性值。但是，由于各种属性数据（如降水量、气温等）很难实施地面无缝观测，所以，我们能获取的往往是离散的属性数据。例如本例，我们现有一幅山东省等降雨量图，但是最终目标是得到山东省降水量专题图（覆盖全省，统计完成后，各地均具有自己的降雨量属性）。 空间插值是指利用研究区已知数据来估算未知数据的过程，即将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面。利用空间插值，我们就可以通过离散的等降雨量线，来推算出山东省各地的降雨量了。 二、空间插值的几种方法及本次实习采用的原理和方法 –整体插值方法 ?边界内插方法 ?趋势面分析 ?变换函数插值 –局部分块插值方法 ?自然邻域法 ?移动平均插值方法：反距离权重插值 ?样条函数插值法（薄板样条和张力样条法） ?空间自协方差最佳插值方法：克里金插值 ■局部插值方法的控制点个数与控制点选择问题 局部插值方法用一组已知数据点（我们将其称为控制点）样本来估算待插值点（未知点）的值，因此控制点对该方法十分重要。 为此，第一要注意的是控制点的个数。控制点的个数与估算结果精确程度的关系取决于控制点的分布与待插值点的关系以及控制点的空间自相关程度。为了获取更精确的插值结果，我们需要着重考虑上述两点因素（横线所示）。 第二需要注意的是怎样选择控制点。一种方法是用离估算点最近的点作为控制点；另一种方法是通过半径来选择控制点，半径的大小必须根据控制点的分布来调整。 S6、按照不同方法进行空间插值，并比较各自优劣 打开ArcToolbox——Spatial Analyst 工具——插值，打开插值方法列表，如下图：
插值与数据拟合模型
第二讲 插值与数据拟合模型 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。 在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是数据拟合问题。 一、插值方法简介 插值问题的提法是，已知1+n 个节点n j y x j j ,,2,1,0),,( =，其中j x 互不相同，不妨设b x x x a n =<<<= 10，求任一插值点)(*j x x ≠处的插值*y 。),(j j y x 可以看成是由某个函数)(x g y =产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式。也可以未知。 求解的基本思路是，构造一个相对简单的函数)(x f y =，使f 通过全部节点，即),,2,1,0()(n j y x f j j ==，再由)(x f 计算插值，即*)(*x f y =。 1．拉格朗日多项式插值 插值多项式 从理论和计算的角度看，多项式是最简单的函数，设)(x f 是n 次多项式，记作 0111)(a x a x a x a x L n n n n n ++++=-- （1） 对于节点),(j j y x 应有 n j y x L j j n ,,2,1,0,)( == （2） 为了确定插值多项式)(x L n 中的系数011,,,,a a a a n n -，将（1）代入（2），有 ???????=++++=++++=++++---n n n n n n n n n n n n n n n n y a x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x a 01110111110001010 （3） 记 T n T n n n n n n n n n n y y y Y a a a A x x x x x x X ),,,(,),,,(,11110011111 100 ==?????? ? ??=---- 方程组（3）简写成 Y XA = （4） 注意X det 是Vandermonde 行列式，利用行列式性质可得 ∏≤<≤-= n k j j k x x X 0)(det 因j x 互不相同，故0det ≠X ，于是方程（4）中A 有唯一解，即根据1+n 个节点可以确定唯一的n 次插值多项式。 拉格朗日插值多项式 实际上比较方便的做法不是解方程（4）求A ，而是先构造一组基函数： n i x x x x x x x x x x x x x x x x x l n i i i i i i n i i i ,,2,1,0,) ())(()()())(()()(110110 =--------=+-+- （5） )(x l i 是n 次多项式，满足
曲线拟合与插值理论与实例
第11章曲线拟合与插值 在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问题有两种方法。在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。这种方法在下一节讨论。这里讨论的方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。图11.1说明了这两种方法。标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。 11.1 曲线拟合 曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小的省略说法。
图11.1 2阶曲线拟合 在MATLAB中，函数polyfit求解最小二乘曲线拟合问题。为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开始。 ? x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]; ? y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; 为了用polyfit，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。通常称为线性回归。相反，如果我们选择n=2作为阶次，得到一个2阶多项式。现在，我们选择一个2阶多项式。 ? n=2; % polynomial order ? p=polyfit(x, y, n) p = -9.8108 20.1293 -0.0317 polyfit的输出是一个多项式系数的行向量。其解是y = －9.8108x2＋20.1293x－0.0317。为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。
插值与拟合(使用插值还是拟合)
利用matlab实现插值与拟合实验 张体强1026222 张影 晁亚敏 [摘要]：在测绘学中，无论是图形处理，还是地形图处理等，大多离不开插值与拟合的应用，根据插值与拟合原理，构造出插值和拟合函数，理解其原理，并在matlab平台下，实现一维插值，二维插值运算，实现多项式拟合，非线性拟合等，并在此基础上，联系自己所学专业，分析其生活中特殊例子，提出问题，建立模型，编写程序，以至于深刻理解插值与拟合的作用。 [关键字]: 测绘学插值多项式拟合非线性拟合 [ Abstract]: in surveying and mapping, whether the graphics processing, or topographic map processing and so on, are inseparable from the interpolation and fitting application, according to the interpolation and fitting theory, construct the fitting and interpolation function, understanding its principle, and MATLAB platform, achieve one-dimensional interpolation, two-dimensional interpolation, polynomial fitting, non-linear fitting, and on this basis, to contact their studies, analysis of their living in a special example, put forward the question, modeling, programming, so that a deep understanding of interpolation and fitting function. [ Key words]: Surveying and mapping interpolation polynomial fitting nonlinear
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10，最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear） 线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。如果讲究速度，这是个不错的折衷。 图11，线性插值原理
其他插值方法 立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。 图12，高级的插值原理 如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了，以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。
数值分析实验插值与拟合
《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MA TLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MA TLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 (2) 编写MA TLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0 )()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为
计算方法--插值法与拟合实验
实验三 插值法与拟合实验 一、实验目的 1. 通过本实验学会利用程序画出插值函数，并和原图形相比较 2. 通过本实验学会拟合函数图形的画法，并会求平方误差 二、实验题目 1. 插值效果的比较 实验题目：区间[]5,5-10等分，对下列函数分别计算插值节点k x 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较： 2 11)(x x f +=； x x f arctan )(=； 4 41)(x x x f += （1） 做拉格朗日插值； （2） 做三次样条插值. 2. 拟合多项式实验 实验题目：给定数据点如下表所示： 分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形. 三、实验原理 本实验应用了拉格朗日插值程序、三次样条插值程序、多项式拟合程序等实验原理. 四、实验内容 1（1） figure x=-5:0.2:5; y=1./(1+x.^2); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=1./(1+x1.^2); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25);
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（2） x=-5:0.2:5; y=atan(x); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=atan(x1); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 1（3） x=-5:0.2:5; y=x.^2./(1+x.^4); plot(x,y,'r'); hold on %拉格朗日插值 x1=-5:1:5; y1=x1.^2./(1+x1.^4); xx=-4.5:0.5:4.5; yy=malagr(x1,y1,xx); plot(xx,yy,'+') %三次样条插值 dy0=1./(1+25); dyn=1./(1+25); m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx); plot(xx,m,'ok') 2. x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]'; y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]'; plot(x,y,'or'); hold on %三次多项式拟合 p1=mafit(x,y,3);
Surfer软件插值方法
Surfer软件插值方法 1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。8.自然邻点插值法自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一些研究领域中。其基本原理是对于一组泰
专业气象插值软件 Anusplin使用注意事项 VERSION 3-2
专业气象插值软件Anusplin使用注意事项 （仅针对Anusplin VERSION 3.2 其他版本需要进一步修改） 作者：pku 遥感所生态遥感实验室 Lvy&花花合力打造~ 2013-7-28 1 准备数据（暂时命名为7.dat） 1) 将站点数据导入ArcGIS, 注意dem的坐标系须是：albers Conical Equal Area 2) Z值：Spatial Analyst tools->Extract value to Points X、Y值：属性表，新建X、Y列，Field Geometry， X：Property：X coordinate Of Point Use coordinate system of the data frame Units: m Y：Property：Y coordinate Of Point Use coordinate system of the data frame Units: m 3) 将所有数据导入SPSS以设定格式 2 检查程序及数据完整性 将所需要的14个.exe,一个.eer，一个.dos，以及数据.dat考入同一个文件夹 3 编写运行需要的cmd文件 3.1 SPLINA.exe所需要的cmd文件a.cmd 2 %自变量个数 1 %因变量个数，这里只考虑高程，所以只有一个 -989337.0 925663.0 0 1 %x的最小值、最大值范围、不转换、单位是m（注意起始坐标、分辨率、行列数要与DEM吻合） 3551696.0 5187696.0 0 1%y的最小值、最大值范围、不转换、单位是m（注意起始坐标、分辨率、行列数要与DEM吻合）
(完整版)Matlab学习系列13.数据插值与拟合
13. 数据插值与拟合 实际中，通常需要处理实验或测量得到的离散数据（点）。插值与拟合方法就是要通过离散数据去确定一个近似函数（曲线或曲面），使其与已知数据有较高的拟合精度。 1.如果要求近似函数经过所已知的所有数据点，此时称为插值问 题（不需要函数表达式）。 2.如果不要求近似函数经过所有数据点，而是要求它能较好地反 映数据变化规律，称为数据拟合（必须有函数表达式）。 插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数。区别是：【插值】不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。【拟合】要求得到一个具体的近似函数的表达式。 因此，当数据量不够，但已知已有数据可信，需要补充数据，此时用【插值】。当数据基本够用，需要寻找因果变量之间的数量关系（推断出表达式），进而对未知的情形作预测，此时用【拟合】。
一、数据插值 根据选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值 Matlab 插值函数实现： （1）interp1( ) 一维插值 （2）intep2( ) 二维插值 （3）interp3( ) 三维插值 （4）intern( ) n维插值 1.一维插值（自变量是1维数据） 语法：yi = interp1(x0, y0, xi, ‘method’) 其中，x0, y0为原离散数据（x0为自变量，y0为因变量）；xi为需要插值的节点，method为插值方法。 注：（1）要求x0是单调的，xi不超过x0的范围； （2）插值方法有‘nearest’——最邻近插值；‘linear’——线性插值；‘spline’——三次样条插值；‘cubic’——三次插值；
数学实验-实验2 插值与拟合
广州大学学生实验报告 开课学院及实验室： 2014年 月 日 学院 数学与信息科学学院 年级、专业、班 姓名 学号 实验课程名称 数学实验 成绩 实验项目名称 实验2 插值与拟合 指导老师 一、实验目的 1、掌握用MATLAB 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。 2、掌握用MATLAB 作线性最小二乘拟合的方法。 3、通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。 二、实验设备 电脑、MATLAB 三、实验要求 1..选择一些函数，在n 个节点上（n ）不要太大，如5～11）用拉格朗日，分段线性，三次样条三种插值方法，，计算m 各插值点的函数值（m 要适中，如50～100）.通过数值和图形的输出，将三种插值结果与精确值进行比较.适当增加n ，再作比较，由此作初步分析.下列函数供选择参考： a. y=sin x ,0≦x ≦2π； 2.用 1 2 y x =在x=0,1,4,9,16产生5个节点15,...,P P .用不同的节点构造插值公式来计算x=5处的插值（如用 15,...,P P ；14,...,P P ；24,...,P P 等）与精确值比较进行分析。 5.对于实验1中的录像机计数器，自己实测一组数据（或利用给出的数据），确定模型2 t an bn =+中的系数a,b. 6.用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t 时刻的电压为 0()()t v t V V V e -τ =--,其中 0V 是电容器的初始 电压，τ是充电常数。试由下面一组t ，V 数据确定0V 和τ. t/s 0.5 1 2 3 4 5 7 9 V/V 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 8. 弹簧在力F 的作用下伸长x ，一定范围内服从胡克定律：F 与x 成正比，即F=kx,k 为弹性系数.现在得到下面一组x ，F 数据，并在（x,F ）坐标下作图(图13).可以看出，当Ｆ大到一定数值(如x=9以后)后，就不服从这个定律了。试由数据拟合直线F=kx,并给出不服从胡克定律时的近似公式（曲线）。 1）要求直线与曲线在x=9处相连接。 2）要求直线与曲线在x=9处光滑连接. 四、实验程序 预备： function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=s+p*y0(k); end y(i)=s; end 五、实验操作过程 当n=5时 clear; n=5; %在n 个节点上进行插值 m=75; %产生m 个插值点，计算函数在插值点处的精确值，将来进行对比 x=0:4/(m-1):2*pi; y=sin(x); z=0*x; x0=0:4/(n-1):2*pi; y0=sin(x0); y1=lagr1(x0,y0,x); % y1为拉格朗日插值 y2=interp1(x0,y0,x); % y2为分段线性插值 y3=spline(x0,y0,x); % y3为三次样条插值 [x' y' y1' y2' y3'] plot(x,z,'k',x,y,'r:',x,y1,'g-.',x,y2,'b',x,y3,'y--') gtext('Lagr.'), gtext('Pieces. linear'), gtext('Spline'), gtext('y=sin(x)') hold off; %比较插值所得结果与函数在插值点处的精确值 s = ' x y y1 y2 y3' [x' y' y1' y2' y3'] 结果 ans = 0 0 0 0 0 0.0541 0.0540 0.0495 0.0455 0.0611 0.1081 0.1079 0.0999 0.0910 0.1207 0.1622 0.1615 0.1510 0.1365 0.1787 0.2162 0.2145 0.2025 0.1819 0.2350 0.2703 0.2670 0.2541 0.2274 0.2896 0.3243 0.3187 0.3054 0.2729 0.3425 0.3784 0.3694 0.3563 0.3184 0.3936 0.4324 0.4191 0.4066 0.3639 0.4429 0.4865 0.4675 0.4559 0.4094 0.4904 0.5405 0.5146 0.5040 0.4548 0.5359 0.5946 0.5602 0.5508 0.5003 0.5796 0.6486 0.6041 0.5961 0.5458 0.6212 0.7027 0.6463 0.6396 0.5913 0.6609 0.7568 0.6866 0.6812 0.6368 0.6985 0.8108 0.7248 0.7208 0.6823 0.7341 0.8649 0.7610 0.7583 0.7278 0.7675
数学建模案例分析插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用
第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
如何利用EXCEL进行线性插值
如何利用EXCEL进行线性插值 EXCEL表格使用中，我们常常会遇到线性插值的问题，其中，比较有代表性的就是在水温密度和比容的取值方面。以下内容就以水温的密度和比容来说明如何利用EXCEL进行线性插值。 上图是水温密度和比容的取值计算的excel计算的截图，其中红色部分为输入的温度值，蓝色部分为计算的结果，具体的计算公式及说明见下表
计算公式 说明 温度 25 -/- 输入温度值 温度范围（下限） 20 =INDEX(A2:A12,MATCH(H2,A2:A12,1)) 找到输入的温度值的计算范围（下限） 温度范围（上限） 30 =INDEX(A2:A12,MATCH(H2,A2:A12,1)+1) 找到输入的温度值的计算范围（上限） 温度范围（下限）对应的密度 998.2 =INDEX(B2:B12,MATCH(H2,A2:A12,1)) / 温度范围（上限）对应的密度 995.7 =INDEX(B2:B12,MATCH(H2,A2:A12,1)+1) / 温度范围（下限）对应的比容 4.183 =INDEX(C2:C12,MATCH(H2,A2:A12,1)) / 温度范围（上限）对应的比容 4.174 =INDEX(C2:C12,MATCH(H2,A2:A12,1)+1) / 密度 996.95 =TREND(H5:H6,H3:H4,H2) 通过线性拟合函数求解密度 比容 4.1785 =TREND(H7:H8,H3:H4,H2) 通过线性拟合函数求解比容 相关的excel函数说明如下： （1）INDEX函数 函数名称：INDEX 主要功能：返回列表或数组中的元素值，此元素由行序号和列序号的索引值进行确定。 使用格式：INDEX(array,row_num,column_num) 参数说明：Array代表单元格区域或数组常量；Row_num表示指定的行序号（如果省略row_num，则必须有 column_num）；Column_num表示指定的列序号（如果省略column_num，则必须有 row_num）。 应用举例：如图3所示，在F8单元格中输入公式：=INDEX(A1:D11,4,3)，确认后则显示出A1至D11单元格区域中，第4行和第3列交叉处的单元格（即C4）中的内容。
数据插值(ppt)
专题五数据分析与多项式计算5.3 数据插值 ?引例-零件加工问题 ?数据插值的计算机制 ?数据插值的实现方法 ?应用案例-粮储仓的通风控制问题
x 035791112131415 y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 机翼下轮廓线 在飞机制造中，机翼的加工是一项关键技术。由于机翼尺寸很大，通常在图纸中只能标出一些关键点的数据。下表给出了某型飞机机翼的下缘轮廓线数据，求x每改变0.1时y的值。 引例-零件加工问题
>> x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; >>y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; >> x1=0:0.1:15; >> y1=interp1(x,y,x1,'spline'); >> plot(x1,y1)
数据插值的计算机制 x x 1x2…x k…x n y y1y2…y k…y n y=f(x) φ(x)≈f(x)未知函数近似函数 满足φ(x i )=y i(i=1,2,3,…,n) 从数学上来说，数据插值是一种函数逼近的方法。
数据插值的实现方法 在MATLAB中，一维插值函数为interp1()，其调用格式为： Y1=interp1(X,Y,X1,method) 该语句将根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要插值的点。
method参数用于指定插值方法，常用的取值有以下四种： （1）linear：线性插值，默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。 （2）nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。
MATLAB插值与拟合实验报告材料
实用标准文档 CENTRAL SOUTH UN I VERS ITY MATLAB实验报告 题目：第二次实验报告 学生姓名： 学院：_____________________________ 专业班级：
学号: 年月 MATLAB第二次实验报告 ------- 插值与拟合插值即在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}
通过调整该函数中若干待定系数f（入1,疋,…,血），使得该函数与已知点集的差别（最小二乘意义）最小 一、插值 <1>拉格朗日插值(课上例子) m=101; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x92);z=0*x; plot(x,z,'r',x,y,'Li neWidth',1.5), gtext('y=1/(1+x A2)'),pause n=3; x0=-5:10/( n-1):5; y0=1./(1+x0.A2); y1=fLagra nge(xO,yO,x); hold on ,plot(x,y1,'b'),gtext(' n=2'),pause, hold off n=5; x0=-5:10/( n-1):5;
y0=1./(1+x0.A2); y2=fLagra nge(xO,yO,x); hold on ,plot(x,y2,'b:'),gtext(' n=4'),pause, hold off n=7; x0=-5:10/( n-1):5; y0=1./(1+x0.A2); y3=fLagra nge(xO,yO,x);hold on, plot(x,y3,'r'),gtext(' n=6'),pause, hold off n=9; x0=-5:10/( n-1):5; y0=1./(1+x0.A2); y4=fLagra nge(xO,yO,x);hold on, plot(x,y4,'r:'),gtext(' n=8'),pause, hold off n=11; x0=-5:10/( n-1):5; y0=1./(1+x0.A2); y5=fLagra nge(xO,yO,x);hold on,
matlab 软件拟合与插值运算实验报告
实验6 数据拟合&插值 一．实验目的 学会MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法。 二．实验内容与要求 在生产和科学实验中，自变量x与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。 要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。 （1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。 （2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。 MATLAB中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。 1.曲线拟合 >> x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; >> y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; >> p=polyfit (x,y,2); >> x1=0.5:0.05:3.0; >> y1=polyval(p,x1 ); >> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
2.一维插值 >> year=[1900,1910,1920,1930,1940,1990,2000,2010]; >> product = [75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,249.633,256.344,267.893 ]; >> p2005=interp1(year,product,2005) p2005 = 262.1185 >> y= interp1(year,product,x, 'cubic'); >> plot(year,product,'o',x,y)