图1
A
2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题
一、填空题(共10小题,每题6分,满分60分)
1、已知集合M 满足条件:{}{}1,2,3,,5121,2,3,,2013M ?? ,则符合条件的集合M 共有 个。
2、已知,x y R ∈,
1
11
11212x y ++=--,则x y += 3、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >??
==??-
,则函数()sgn(ln )ln f x x x =-的零点有 个。
4、已知直四棱柱1111ABCD A BC D -各棱长均为3,60BAD ∠=
。长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动,另一个端点N 在底面ABCD 上运动,则MN 的中点的轨迹(曲面)与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为
5、连接球面上两点的线段称为球的弦。半径为5的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于
6、8,
M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点,则MN 的取值范围是 。
6、已知平面直角坐标系中:(2,0)A -、(2,0)B 、(0,2)C 、(1,0)E -、(1,0)F ,一束光线从F 点出发射到直线BC 上的D 点经直线BC 反射后,再经直线AC 反射,两次反射后落到线段AE 上(不含端点),则直线FD 斜率的范围是
。
7、函数()f x =的值域是 。
8、已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数,且当0x ≥时,2()f x x =,若对任意的
[,2]x t t ∈+,不等式(2)4()f x t f x +≥恒成立,则实数t 的取值范围是 。
9、(请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分)
(必修3)若1x ,2x , ,n x 的方差是2
(0)s s >,a 、b 是常数,则1bx a +,2bx a +, ,
n bx a +的标准差是 。
(必修4)如图所示,在直角梯形ABCD 中, AB AD ⊥,1AD DC ==,3AB =,动点P 在BCD 内运动(含边界),设
AP AB AD αβ=+
(α、R β∈)
,则αβ+的值范围是 。
10、已知集合{
}
2
2
,A m m x y x y Z ==-∈、。将A 中的自然数元素从小到大排列为:1a ,2a ,
。若2013n a =,则正整数n = 。
二、(本题满分20分)如图2所示,圆1O 为ABC 的外接圆,且AB AC >,延长AC 到D ,
使AD AB =,E 为CAB ∠的平分线与BC 的交点,圆2O 为CDE 的外接圆,F 为两圆的另外一个交点。 证明:(1)A 、E 、F 三点共线 (2)2O F AD ⊥
三、(本题满分20分)已知a 、b R ∈,且2
2
1a b +=。考察在平面直角坐标系xoy 的直线系M :
210ax by b +-+=
(1) 若点00(,)P x y 到M 中的任一条直线的距离都是定值d ,求点M 的坐标及d 的值 (2) 若直线系M 中至多有一条直线经过点(,)Q x y ,求点Q 的轨迹方程。
四、(本题满分20分)(请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分) (必修3)已知对任意的实数0x >,都有1x
e x >+
(1) 长度为1的木棍任意的折成两段,较长的一段再随机折成两段,求所得的三段小木棍能
组成三角形的概率P ; (2) 证明:11ln(31)(1)23P n n
+<+
+++ ,其中P 为(1)中所求的概率。 (必修4)已知函数2
2
()2sin(cos )()f x x a x a a R =-+∈ (1) 判断()f x 的奇偶性
(2) 若()0f x =仅有一个实数解,求a 的值
五、(本题满分20分)已知两条直线1l :1y m =+和2l :4
(1)1
y m m =
>-,1l 与函数ln y x =的图像从左至右相交于点A 、B ,2l 与函数ln y x =的图像从左至右相交于点C 、D 。记
线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b 。记A 、B 、C 、D 四点的横坐标分别为1x 、、3x 、4x 。
(1) 证明:12341x x x x ==; (2) 求
b
a
的最小值 2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案
一、填空题 1、1501
2
; 2、1-; 3、3; 4、
29
π
; 5、[1,7]; 6、(4,)+∞ 7、[0,
3
; 8、[2,)+∞; 9、
(必修3)b s ;(必修4)4[1,]3; 10、1511 二、证明:(1)延长AE 交圆1O 与1F ,
BAC ∠?B A E D A ∠=∠,A B A D =,故B A E D A ? B D ∴∠=∠,
而1CF A B ∠=∠?
11CF E CF A D ∠=∠=∠
?C ,E ,1F ,D 四点共圆
因此1F 也是两圆的交点,从而1F 和
F 即A , E ,F 共线。 (2)由A ,E ,F 共线,AE 平分BAC ∠?BF CF =,
由对称性得出BF DF =,故CF BF DF ==,因此CFD
为等腰三角形, 由于2O 为其外心,故2O F CD ⊥即2O F AD ⊥ 三、(1)由点到直线的距离公式得:00(2)1d ax b y =
=+-+
因d 是常数,故00020x y =??
-=??00
2x y =??
=?,即(0,2)P ,从而1d = (2)由(1)知,(0,2)P 到直线系M 中任一条直线的距离都是1,因此直线系M 中每一条直线都是以P 为圆心,以1为半径的圆(圆2
2
(2)1x y +-=)的切线
由平面几何知识,圆内的每一点都不被其切线经过,圆上的每一点只能作出一条切线,而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线,故Q 点的轨迹是圆及其内部,即2
2
(2)1x y +-≤ 四、(必修3)解:设较长的一段长度为a ,将a 分成的两段长为x ,y ,
1
()(,1)2
a x y =+∈,
若长度为x ,y ,1a -的三段能构成三角形,则12121
12x y a ??
?
??<?
,
画出图形计算出13
P = (2)11ln(31)(1)23P n n +<++++
?111
ln(31)(1)233n n
+<++++ 由1x
e x >+?ln(1)x x >+
?1ln(11)ln 211ln(1)ln 3ln 2
2211ln(1)ln 4ln 33311ln(1)ln(31)ln(3)33n n n
n >+=?
??>+=-???
>+=-?
???
?>+=+-?? 以上各式相加得:111ln(31)(1)233n n +<+
+++ ,即11ln(31)(1)23P
n n
+<++++ (必修4)(1)注意到函数()f x 的定义域是R ,x R ?∈,
22()()2sin(cos())()f x x a x a f x -=---+=,故()f x 为偶函数
(2)由于()0f x =仅有一个实数解,且()()f x f x -=,故其有唯一解0x =
(0)0f ∴=?22sin1a a =?0a =或sin1a =
(i )当0a =时,原方程化为2
0x =,仅有一个解0x =,符合题意
(ii )当sin1a =时,原方程化为22
4sin1sin(cos )4sin 10x x -+= , 而cos [1,1]x ∈-,故sin(cos )sin1x ≤?2
4sin 14sin1sin(cos )x ≥
?224sin 14sin1sin(cos )x x +≥
,等号仅在0x =时成立,符合题意。 综上,0a =或sin1a =
五、证明:(1)由题知12ln ln x x =?12ln ln x x =-?121x x =, 同理341x x =
(2)42314242
11
x x a x x x x x x -=-=
-=
,42b x x =-,则24b x x a = 而12x x <,34x x 21x <,41x <,故2ln 1x m =+,44
ln 1
x m =
- ?12m x e +=,41
4m x e
-=?411
24m m x x e
++
-=
而44112211m m m m ++
=-++≥--6(1)m => 等号在411m m -=-即3m =时取到,故b a
的最小值为6
e