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2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题

2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题
2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题

图1

A

2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题

一、填空题(共10小题,每题6分,满分60分)

1、已知集合M 满足条件:{}{}1,2,3,,5121,2,3,,2013M ?? ,则符合条件的集合M 共有 个。

2、已知,x y R ∈,

1

11

11212x y ++=--,则x y += 3、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >??

==??-

,则函数()sgn(ln )ln f x x x =-的零点有 个。

4、已知直四棱柱1111ABCD A BC D -各棱长均为3,60BAD ∠=

。长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动,另一个端点N 在底面ABCD 上运动,则MN 的中点的轨迹(曲面)与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为

5、连接球面上两点的线段称为球的弦。半径为5的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于

6、8,

M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点,则MN 的取值范围是 。

6、已知平面直角坐标系中:(2,0)A -、(2,0)B 、(0,2)C 、(1,0)E -、(1,0)F ,一束光线从F 点出发射到直线BC 上的D 点经直线BC 反射后,再经直线AC 反射,两次反射后落到线段AE 上(不含端点),则直线FD 斜率的范围是

7、函数()f x =的值域是 。

8、已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数,且当0x ≥时,2()f x x =,若对任意的

[,2]x t t ∈+,不等式(2)4()f x t f x +≥恒成立,则实数t 的取值范围是 。

9、(请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分)

(必修3)若1x ,2x , ,n x 的方差是2

(0)s s >,a 、b 是常数,则1bx a +,2bx a +, ,

n bx a +的标准差是 。

(必修4)如图所示,在直角梯形ABCD 中, AB AD ⊥,1AD DC ==,3AB =,动点P 在BCD 内运动(含边界),设

AP AB AD αβ=+

(α、R β∈)

,则αβ+的值范围是 。

10、已知集合{

}

2

2

,A m m x y x y Z ==-∈、。将A 中的自然数元素从小到大排列为:1a ,2a ,

。若2013n a =,则正整数n = 。

二、(本题满分20分)如图2所示,圆1O 为ABC 的外接圆,且AB AC >,延长AC 到D ,

使AD AB =,E 为CAB ∠的平分线与BC 的交点,圆2O 为CDE 的外接圆,F 为两圆的另外一个交点。 证明:(1)A 、E 、F 三点共线 (2)2O F AD ⊥

三、(本题满分20分)已知a 、b R ∈,且2

2

1a b +=。考察在平面直角坐标系xoy 的直线系M :

210ax by b +-+=

(1) 若点00(,)P x y 到M 中的任一条直线的距离都是定值d ,求点M 的坐标及d 的值 (2) 若直线系M 中至多有一条直线经过点(,)Q x y ,求点Q 的轨迹方程。

四、(本题满分20分)(请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分) (必修3)已知对任意的实数0x >,都有1x

e x >+

(1) 长度为1的木棍任意的折成两段,较长的一段再随机折成两段,求所得的三段小木棍能

组成三角形的概率P ; (2) 证明:11ln(31)(1)23P n n

+<+

+++ ,其中P 为(1)中所求的概率。 (必修4)已知函数2

2

()2sin(cos )()f x x a x a a R =-+∈ (1) 判断()f x 的奇偶性

(2) 若()0f x =仅有一个实数解,求a 的值

五、(本题满分20分)已知两条直线1l :1y m =+和2l :4

(1)1

y m m =

>-,1l 与函数ln y x =的图像从左至右相交于点A 、B ,2l 与函数ln y x =的图像从左至右相交于点C 、D 。记

线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b 。记A 、B 、C 、D 四点的横坐标分别为1x 、、3x 、4x 。

(1) 证明:12341x x x x ==; (2) 求

b

a

的最小值 2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案

一、填空题 1、1501

2

; 2、1-; 3、3; 4、

29

π

; 5、[1,7]; 6、(4,)+∞ 7、[0,

3

; 8、[2,)+∞; 9、

(必修3)b s ;(必修4)4[1,]3; 10、1511 二、证明:(1)延长AE 交圆1O 与1F ,

BAC ∠?B A E D A ∠=∠,A B A D =,故B A E D A ? B D ∴∠=∠,

而1CF A B ∠=∠?

11CF E CF A D ∠=∠=∠

?C ,E ,1F ,D 四点共圆

因此1F 也是两圆的交点,从而1F 和

F 即A , E ,F 共线。 (2)由A ,E ,F 共线,AE 平分BAC ∠?BF CF =,

由对称性得出BF DF =,故CF BF DF ==,因此CFD

为等腰三角形, 由于2O 为其外心,故2O F CD ⊥即2O F AD ⊥ 三、(1)由点到直线的距离公式得:00(2)1d ax b y =

=+-+

因d 是常数,故00020x y =??

-=??00

2x y =??

=?,即(0,2)P ,从而1d = (2)由(1)知,(0,2)P 到直线系M 中任一条直线的距离都是1,因此直线系M 中每一条直线都是以P 为圆心,以1为半径的圆(圆2

2

(2)1x y +-=)的切线

由平面几何知识,圆内的每一点都不被其切线经过,圆上的每一点只能作出一条切线,而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线,故Q 点的轨迹是圆及其内部,即2

2

(2)1x y +-≤ 四、(必修3)解:设较长的一段长度为a ,将a 分成的两段长为x ,y ,

1

()(,1)2

a x y =+∈,

若长度为x ,y ,1a -的三段能构成三角形,则12121

12x y a ?

?

画出图形计算出13

P = (2)11ln(31)(1)23P n n +<++++

?111

ln(31)(1)233n n

+<++++ 由1x

e x >+?ln(1)x x >+

?1ln(11)ln 211ln(1)ln 3ln 2

2211ln(1)ln 4ln 33311ln(1)ln(31)ln(3)33n n n

n >+=?

??>+=-???

>+=-?

???

?>+=+-?? 以上各式相加得:111ln(31)(1)233n n +<+

+++ ,即11ln(31)(1)23P

n n

+<++++ (必修4)(1)注意到函数()f x 的定义域是R ,x R ?∈,

22()()2sin(cos())()f x x a x a f x -=---+=,故()f x 为偶函数

(2)由于()0f x =仅有一个实数解,且()()f x f x -=,故其有唯一解0x =

(0)0f ∴=?22sin1a a =?0a =或sin1a =

(i )当0a =时,原方程化为2

0x =,仅有一个解0x =,符合题意

(ii )当sin1a =时,原方程化为22

4sin1sin(cos )4sin 10x x -+= , 而cos [1,1]x ∈-,故sin(cos )sin1x ≤?2

4sin 14sin1sin(cos )x ≥

?224sin 14sin1sin(cos )x x +≥

,等号仅在0x =时成立,符合题意。 综上,0a =或sin1a =

五、证明:(1)由题知12ln ln x x =?12ln ln x x =-?121x x =, 同理341x x =

(2)42314242

11

x x a x x x x x x -=-=

-=

,42b x x =-,则24b x x a = 而12x x <,34x x

ln 1

x m =

- ?12m x e +=,41

4m x e

-=?411

24m m x x e

++

-=

而44112211m m m m ++

=-++≥--6(1)m => 等号在411m m -=-即3m =时取到,故b a

的最小值为6

e

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