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2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-5 均值不等式及不等式的应用练习(文) 全国.重庆专版

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-5 均值不等式及不等式的应用练习(文) 全国.重庆专版
2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-5 均值不等式及不等式的应用练习(文) 全国.重庆专版

第6章 第5节

(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!)

一、选择题(每小题6分,共36分) 1.“a >b >0”是“ab <a 2

+b

2

2

”的

( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

【解析】 当a >b >0时,显然能得出a 2+b 2>2ab ,

即ab <a 2+b 22,但由ab <a 2+b 2

2,不一定能推出a >b >0,因为a ,b 可异号等,选A.

【答案】 A

2.已知f (x )=x +1

x

-2(x <0),则f (x )有

( )

A .最大值为0

B .最小值为0

C .最大值为-4

D .最小值为-4

【解析】 ∵x <0,∴-x >0, ∴x +1x -2=-????-x +1-x -2≤-2-x ·1-x -2=-4,等号成立的条件是-x =1-x

即x =-1.

【答案】 C

3.若0<x <1,则f (x )=x (4-3x )取得最大值时,x 的值为

( )

A.1

3 B.12 C.34

D.23

【解析】 ∵0<x <1,∴4-3x >0, ∴x (4-3x )=1

3·3x (4-3x )

≤13·

????3x +4-3x 2

2=43, 当且仅当3x =4-3x ,即x =2

3

时取得等号.

【答案】 D

4.有一个面积为1 m 2

,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的钢管供应用,其中最合理(够用且最省)的是

( )

A .4.7 m

B .4.8 m

C .4.9 m

D .5 m

【解析】 设两个直角边为a ,b ,

则ab =2,周长p =a +b +a 2+b 2≥2ab +2ab =22+2≈4.828, 当且仅当a =b =2时,等号成立. 【答案】 C

5.已知不等式(x +y )???

?1x +a

y ≥9,对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 取最小值为

( )

A .2

B .4

C .6

D .8

【解析】 ∵(x +y )????1x a y =1+x y a +y

x a ≥1+a +2a ,

且(x +y )????

1x +a y ≥9,

∴9≤1+a +2a =(a +1)2, ∴a +1≥3,即a ≥4. ∴a 的最小值为4. 【答案】 B

6.对于使-x 2+2x ≤M 成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值1叫做-x 2+2x 的上确界,若a ,b ∈R +,且a +b =1,则-

12a -2

b

的上确界为 ( )

A.92 B .-92

C.14

D .-4

【解析】 依题意知上确界为函数的最大值,y =-12a -2

b ,

∵a +b =1, ∴y =-

a +

b 2a -2(a +b )b =-52-(b 2a +2a b )≤-52-2=-92,当2a =b =2

3

时取等号,选B. 【答案】 B

二、填空题(每小题6分,共18分)

7.函数y =x

2

x 4+9(x ≠0)的最大值为________,此时x 的值为____.

【解析】 y =x 2

x 4+9=

1x 2

9x 2

1

29=16

,当且仅当x 2=9x 2,

即x =±3时取等号. 【答案】

1

6

± 3 8.若对任意x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是________.

【解析】 利用数形结合的方法可求解.如图令y =|x |,y =ax ,则由图象可得|a |≤1. 【答案】 -1≤a ≤1

9.函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny +1=0上,其中mn >0,则1m +2

n

的最小值为______.

【解析】 A (-2,-1),A 在直线mx +ny +1=0, -2m -n +1=0,

即2m +n =1,mn >0,∴m >0,n >0.

1m +2n =2m +n m +4m +2n n =2+n m +4m n +2≥4+2·n m ·4m n =8. 当且仅当n m =4m n 即m =14,n =1

2时等号成立.

故1m +2

n 的最小值为8. 【答案】 8 三、解答题(共46分)

10.(15分)设f (x )=1

a x 2-bx +c ,不等式f (x )<0的解集是(-1,3),若f (7+|t |)>f (1+t 2),

求实数t 的取值范围.

【解析】 ∵f (x )<0的解集是(-1,3). ∴a >0,f (x )的对称轴是x =1,且ab =2. ∴f (x )在[1,+∞)上单调递增. 又∵7+|t |≥7,1+t 2≥1,

∴由f (7+|t |)>f (1+t 2),得7+|t |>1+t 2. ∴|t |2

-|t |-6<0,解得-3<t <3.

11.(15分)(1)求函数y =x (a -2x )(x >0,a 为大于2x 的常数)的最大值; (2)设x >-1,求函数y =(x +5)(x +2)

x +1

【解析】 (1)∵x >0,a >2x

∴y =x (a -2x )=12×2x (a -2x )≤12×

????2x +(a -2x )22=a 2

8 当且仅当x =a 4时取等号,故函数的最大值为a 2

8.

(2)∵x >-1,∴x +1>0.设x +1=z >0,则x =z -1 ∴y =(z +4)(z +1)z =z 2+5z +4z =z +4

z +5

≥2

z ·4

z

+5=9 当且仅当z =2即x =1时上式取等号 ∴x =1时,函数y 有最小值9,无最大值.

12.(16分)西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费,对生产的羊皮手套进行促销.在1年内,据测算年销售量S (万双)与广告费x (万元)之间的函数关系为S =3-1

x (x >0).已

知羊皮手套的固定投入为3万元,每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元.(年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%)

(1)试将羊皮手套的年利润L (万元)表示为年广告费x (万元)的函数;

(2)当年广告费投入为多少万元时,此公司的年利润最大,最大利润为多少?(年利润=年销售收入-年广告费)

【解析】 (1)由题意知,羊皮手套的年成本为(16S +3)万元,年销售收入为(16S +3)×150%+x ·50%,年利润L =(16S +3)×150%+x ·50%-(16S +3)-x ,即L =1

2(16S +3-x ),

得L =-x 2+51x -162x

(x >0).

(2)由L =-x 2

+51x -162x =512-???x 2+8x ≤51

2

-2

x 2·8x =21.5.当且仅当x 2=8

x

,即x =4时,L 有最大值21.5,因此,当年广告费投入为4万元时,此公司的年利润最大,最大利润为21.5万元.

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络

其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时,

高三数学第二轮复习教案 不等式的问题 人教版

高三数学第二轮复习教案不等式问题的题型与方法三 (3课时) 一、考试内容 不等式,不等式的基本性质,不等式的证明,不等式的解法,含绝对值不等式 二、考试要求 1.理解不等式的性质及其证明。 2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用。 3.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4.掌握简单不等式的解法。 5.理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。 三、复习目标 1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力;2.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式; 3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题; 4.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力; 5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题. 6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.四、双基透视 1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰. 2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.通过复习,感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同解变形的理论起了重要的作用. 4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值). 5.证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆思维等,将会起到很好的促进作用.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的. 6.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点. 7.不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问

高中数学基本不等式题型总结

专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式:)0,0a b a b +≥>> (1)基本不等式成立的条件: ; (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)()24a b ab +≤(),a b R ∈;(2))+0,0a b a b ≥>>; 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则4x x y +的最小值为 . 【变式2】(2013年天津)设2,0a b b +=>, 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】(2012河西)已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>,且280x y xy +-=,则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=,则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>,若不等式 212m a b a b +≥+总能成立,则实数m 的最大值为 . 【例6】(2013年天津市第二次六校联考)()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 为直角三角形,则 2212a b +的最小值为 .

【例7】(2012年南开二模)若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足 120PF PF ?=,则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=,则11x y +的最小值是( ) A .6 B .5 C .3+ D . 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+,若120,0x x >>,且()()121f x f x +=,则()12f x x +的最小值为 .

高中数学竞赛均值不等式讲义

均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元,即: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数,则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =). 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=,1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=,则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.

最新高三数学专题精练:不等式

高三数学专题精练:不等式 一、选择题(10小题,每题5分) 1.设x ,y 满足约束条件?? ? ??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ,若目标函数z=ax+by (a>0, b>0)的值是最大值为12,则23a b +的最小值为( ). A.625 B.38 C. 3 11 D. 4 2.若不等式组034 34x x y x y ≥??+≥??+≤? 所表示的平面区域被直线4 3 y kx =+分为面积 相等的两部分,则k 的值是(A )73 (B ) 37 (C )43 (D ) 34 3.“”是“ 且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、若不等式f (x )=2ax x c -->0的解集{}|21x x -<<,则函数y =f (-x )的图象为( ) 5.设,x y 满足24, 1,22,x y x y x y +≥?? -≥??-≤? 则z x y =+ (A )有最小值2,最大值3 (B )有最小值2,无最大值 (C )有最大值3,无最小值 (D )既无最小值,也无最 B

大值 6.已知D 是由不等式组20 30 x y x y -≥?? +≥?,所确定的平面区域,则圆 224x y +=在区域D 内的弧长为 [ ] A 4π B 2 π C 34π D 32π 7.设变量x ,y 满足约束条件:3 123x y x y x y +≥?? -≥-??-≤? .则目标函数z=2x+3y 的最 小值为 (A )6 (B )7 (C )8 (D )23 8.在平面直角坐标系中,若不等式组101010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? (α为常数)所表示 的平面区域内的面积等于2,则a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 39.不等式对任意x 实数恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A . (,1][4,) -∞-+∞ B .(,2][5,)-∞-+∞ C .[1,2] D .(,1][2,)-∞+∞ 10.已知0,0a b >>,则112ab a b ++ ) A .2 B .22 C .4 D .5 二、填空题(5个题,每题4分) 11.若0x >,则2x x +的最小值为. 2313x x a a +--≤-

【高中数学】公式总结(均值不等式)

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4 x <,求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

高三数学不等式选讲 知识点和练习

不等式选讲 一、绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立。 注:(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义:当a,b不共线时,|a+b|≤|a|+|b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 (2)不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是:不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,在侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 注:|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义(|x|表示数轴上的点x到原点O的距离;| x-a |±|x-b|)表示数轴上的点x到点a,b的距离之和(差) (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。

高三数学一轮复习 18 基本不等式及其应用学案 文

学案18 基本不等式及其应用 班级________姓名________ 【导学目标】 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式 ab ≤ a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:____________. (2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥__________(a ,b ∈R ). (2)b a +a b ≥____(a ,b 同号). (3)ab ≤? ?? ?? a + b 22 (a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为________,几何平均数为________; 基本不等式可叙述为:________________________________________________. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当________时,x +y 有最____值是________(简记:积定和最小). (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当________时,xy 有最____值是__________(简记:和定积最大). 5.一个结论:11 02; 0 2.x x x x x x >+ ≥<+≤-当时,则当时,则 【自我检测】 1.若x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值是________. 2.已知t >0,则函数y = t 2-4t +1 t 的最小值为________.

高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题

第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填空题的形式呈现,属中档题. 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 +bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0); ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时,a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x ); ②当0a g (x ) ?f (x )1时,log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0,g (x )>0; ②当0log a g (x )?f (x )0,g (x )>0. 2.五个重要不等式 (1)|a |≥0,a 2 ≥0(a ∈R ). (2)a 2 +b 2 ≥2ab (a 、b ∈R ). (3) a +b 2 ≥ab (a >0,b >0). (4)ab ≤(a +b 2)2 (a ,b ∈R ). (5) a 2+ b 22 ≥ a +b 2 ≥ab ≥ 2ab a +b (a >0,b >0). 3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.

【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练

基本不等式 基本不等式知识 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,,则2 22b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2.(1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 5.若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++, 33abc c b a ≥++(当且仅当c b a ==时取等) 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x (3)(理科)已知+∈R y x ,,且满足232x y =,则x y +的最小值为( ) A .1 B .2 C .6 D .4 (4)已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ,则c b a 31211++的最小值为 (5)若b a ,是不相等的正数,b a y b a x +=+=,2 ,则y x ,的大小关系是 (6)若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值 1.函数y =log 2(x +1x -1 +5)(x >1)的最小值为( ) A .-3 B .3 C .4 D .-4 技巧二 凑系数 例2 当40<

高中数学 不等式专题训练

1、(02京皖春1)不等式组???<-<-0 30 122x x x 的解集是( ) A .{x |-1<x <1} B .{x |0<x <3} C .{x |0<x <1} D .{x |-1<x <3} 2、(01河南广东1)不等式 3 1 --x x >0的解集为( ) A .{x |x <1} B .{x |x >3} C .{x |x <1或x >3} D .{x |1+->|22|330x x x x x 的解集是( ) A .{x |0<x <2} B .{x |0<x <2.5} C .{x |0<x <6} D .{x |0<x <3} 5、(95全国理16)不等式( 3 1)8 2 -x >3-2x 的解集是_____。 6、(02全国文5理4)在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ) A .( 4π,2π)∪(π,45π) B .( 4π ,π) C .(4π,4 5π) D .(4π,π)∪(45π,2 3π) 7、解不等式1|55|2<+-x x 8、不等式022>++bx ax 的解集为}3 1 21|{<<- x x ,求a , b 9、解不等式∣∣x +4∣-8∣>2 解:由原不式式得∣x +4∣-8>2或∣x +4∣-8<-2 ∴∣x +4∣>10或∣x +4∣<6 ∴x >6或x <-14或-106或x <-14或-102x 11、解不等式:∣x +3∣+∣2x -4∣>2 12、解不等式2931831>?+-+x x 13、解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x 14、a 为何值时,不等式2)1()23(22+-++-x a x a a >0的解为一切实数? 15、(06重庆文15)设0,1a a >≠,函数2 ()log (23)a f x x x =-+有最小值,则不等式log (1)0a x ->的 解集为 。 16、(06重庆理15)设0,1a a >≠,函数2lg(23) ()x x f x a -+=有最大值,则不等式() 2log 570a x x -+>的 解集为 。 17、已知不等式230{|1,}x x t x x m x R -+<<<∈的解集为 (1)求t ,m 的值; (2)若函数4)(2++-=ax x x f 在区间(],1-∞上递增,解关于x 的不等式2 log (32)0a mx x t -++-<.

高中数学讲义 均值不等式

微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识: 1、高中阶段涉及的几个平均数:设()01,2,,i a i n >=L (1)调和平均数:12111n n n H a a a = +++L (2)几何平均数:12n n n G a a a =L (3)代数平均数:12n n a a a A n +++= L (4)平方平均数:222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式:n n n n H G A Q ≤≤≤,等号成立的条件均为:12n a a a ===L 特别的,当2n =时,22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形: (1))2,0a b ab a b +≥>:多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 (2)2 2a b ab +?? ≤ ??? :多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 (3)2 2 2a b ab +≥,本公式虽然可由基本不等式推出,但本身化成完全平方式也可证明,要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则:“一正二定三等” (1)正:使用均值不等式所涉及的项必须为正数,如果有负数则考虑变形或使用其它方法 (2)定:使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能还含有核心变量,例如:当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式,则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ,则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如:上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ,则要将3 x 拆为两个2x ,则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=

高三数学不等式题型总结全

不等式的解题归纳第一部分含参数不等式的解法 例1解关于x的不等式2x2? kx _ k岂0 例2 .解关于x的不等式:(x-x2+12)(x+a)<0. 2x2+2k x +k 例3、若不等式2x 2 2kx 1 :::1对于x取任何实数均成立,求k的取值范围. 4x +6x +3 例4若不等式ax2+bx+1>0的解集为{x | -3 (x- 1)2对一切实数x都成立,a的取值范围是____________________ 2 .如果对于任何实数x,不等式kx2—kx+ 1>0 (k>0)都成立,那么k的取值范围是 3.对于任意实数x,代数式(5 —4a—a2)x2—2(a —1)x—3的值恒为负值,求a的取值范围+ 2 2 口 2 4 .设a、B是关于方程x —2(k —1)x + k+仁0的两个实根,求y=> + ■关于k的解析式,并求y 的取值范围. 第二部分绝对值不等式

1. (2010年高考福建卷)已知函数f(x) = |x —a|. (1)若不等式f(x)w 3的解集为{x|—K x< 5},求实数a的值; ⑵在(1)的条件下,若f(x) + f(x+ 5)> m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 2. 设函数f (x) =|x-1| |x-a|, (1 )若a = -1,解不等式f(x)_3 ;(2)如果- x R , f(x) —2,求a的取值范围 3. 设有关于x的不等式lg(j x + 3+|x-7?a

2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题

2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=–x 2+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集; (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)当1a =时,()24f x x x =-++,是开口向下,对称轴12 x = 的二次函数. ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?,,≤x ≤,, 当(1,)x ∈+∞时,令242x x x -++= ,解得x =()g x 在()1+∞, 上单调递增,()f x 在()1+∞,上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? . 当[]11x ∈-, 时,()2g x =,()()12f x f -=≥. 当()1x ∈-∞-, 时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且()()112g f -=-=. 综上所述,()()f x g x ≥ 解集1?-??? . (2)依题意得:242x ax -++≥在[]11-, 恒成立. 即220x ax --≤在[]11-, 恒成立. 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤,解出:11a -≤≤. 故a 取值范围是[]11-, .

2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知0a >,222ba b +==2.证明: (1)()22()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)(10分) [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集; (2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<

高三数学 第40课时 均值不等式教案

课题:算术平均数与几何平均数 教学目标:1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理,并会简单运用; 2.利用不等式求最值时要注意到“一正” “二定”“三相等”. 教学重点:均值不等式的灵活应用。 (一) 主要知识: 1.两个数的均值不等式:若,a b R +∈,则 2 a b +(等号仅当a b =时成立) 三个数的均值不等式:若,,a b c R +∈,则a b c ++≥a b c ==时成立) 2.几个重要的不等式: ① ab ≤22a b +?? ???≤222a b + ②abc ≤33a b c ++?? ???; ③如果,a b R ∈≥2a b +≥211a b + 3.最值定理:当两个正数的和一定时,其乘积有最大值;当两个正数的乘积一定时,其和 有最小值。 (二)主要方法: 1.常见构造条件的变换:加项变换,系数变换,平方变换,拆项变换,常量代换,三角代换等. 2.当使用均值定理时等号不能成立时,应考虑函数的单调性(例如“对号”函数,导数法). (三)典例分析: 问题1.求下列函数的最值: ()113y x x = +-()3x <;()2121y x x =+-()1x >;()3241y x x =+()0x >; ()323 y x x =+()0x >;()4 ()21y x x =-()01x <<;()5 ()21y x x =-()01x << ()6y =()7 已知,,,a b x y R +∈(,a b 为常数),1a b x y +=,求x y +的最小值

问题2.已知0x >,0y >,且1x y +=,求. 问题3.求最小值()1231()1x x f x x -+=+()1x >-;()2 223sin sin y x x =+ 问题4.()1设0x >,0y >,且()1xy x y -+=,则 .A 2x y +≤.B 2x y +≥ .C )21x y +≤ .D )2 1x y +≥ ()2已知x ≥0,y ≥0,且22 12y x +=,求证:≤4 ()3若0a b >>, 求216() a b a b + -的最小值 (四)课后作业: 1.已知1>a 那么1 1-+a a 的最小值是 .A 12-a a .B 15+ .C 3 .D 2

高三数学(理科)二轮复习-不等式

2014届高三数学第二轮复习 第3讲 不等式 一、本章知识结构: 实数的性质 二、高考要求 (1)理解不等式的性质及其证明。 (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理,并会简单应用。 (3)分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 (4)掌握某些简单不等式的解法。 (5)理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析 1.重视对基础知识的考查,设问方式不断创新.重点考查四种题型:解不等式,证明不等式,涉及不等式应用题,涉及不等式的综合题,所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查,常考常新,创意不断,设问方式不断创新,图表信息题,多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯,值得引起我们的关注. 2.突出重点,综合考查,在知识与方法的交汇点处设计命题,在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想,不等式又为研究函数提供了重要的工具,不等式与函数既是知识的结合点,又是数学知识与数学方法的交汇点,因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时,将不等式的重点知识以及其他知识有机结合,进行综合考查,强调知识的综合和知识的内在联系,加大数学思想方法的考查力度,是高考对不等式考查的又一新特点. 3.加大推理、论证能力的考查力度,充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托,因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景,并与高等数学知识及思想方法相衔接,立意新颖,抽象程度高,有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点,考查容量之大、功能之多、能力要求之高,一直是高考的热点. 4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值,借助不等式来考查学生的应用意识. 不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点: (1)不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多,单独考查不等式的试题题量很少。

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