金融工程答案翻译

第一章

1.4 仔细解释卖出一个看涨期权与买入一个看跌期权的差别

卖出一个看涨期权涉及到给他人一个买入你某项财产的权利,它将给你带来的收益为-max (st-k,0)=min(k-st,0)

买入一个看跌期权涉及到从他人手里买入一个期权,带来的收益为max(k-st,0)

他们都有一个可能性的收入k-st,当你卖出看涨期权,收入为负值或0,这是因为交易对手可以选择是否执行。当你买入一个看跌期权,你的收入为0或正直,这是因为你选择执行与否

1.5 你认为某股票价格将要上升,股票当前价格为29美元,三个月期限,执行价格为30美元的看涨期权价格为

2.9美元,你共有美金5800元,说明两种投资模式,并简单说明一下两种模式的优缺点

有两种方案,即买入200股股票或买入2000份看涨期权,当股票价格上涨航行好,第二种方案将得到更高的回报。举例来说,当股价上涨为40元,此时收益为2000(40-30)-5800=14200 而第一种反感只有200(40-29)=2200元收益,但当股价下跌,第二种方案将有更大的损失。当股票价格下跌至25元,第一种方案损失为200(29-25)=800元,第二种方案则带来5800元的损失,这个例子证明了期权有一定的杠杆效率

1.26当前黄金市价为每盎司600美元,一个一年期远期合约的执行价格为800美元,一个套利者能以每年10%的利率借入资金,套利者应如何做才能达到套利目的?这里我们假设黄金存储费用为0.同时黄金不会带来任何利息收入

这个套利者可以借入资金买入100盎司黄金现货和卖出一个100盎司于一年后交割的期货合约,这就意味着黄金以600美元每盎司买入以800美元每盎司卖出,收益率约为33.3%,远高于10%的接入率,这是一个很好的盈利机会,套利者应尽可能多的买入黄金现货及预期数量相匹配的期货合约

1.27 股票当前价格为94美金,同时,三个月期,执行价格为95美元的欧式期权价格为4.7美元,一个投资者认为股价会上涨,但他并不知道应该买入100股股票或买入2000个(20份)期权,这两种投资所需资金均为9400美元,此时你会给出什么建议?股价涨到什么样的水平会使得期权投资盈利更好?

投资于看涨期权会带来高收益但是会有高风险,如果股价停止在94美元,买入看涨期权的投资者损失9400美元,儿买入股票的投资者什么也没有损失,如果股价上涨到120美元,买入期权的投资者会得到2000(120-95)-9400=40600美元的收益,而买入股票的投资者会得到100(120-94)-9400=2600元,当股价为s时,这两种投资的收益相等,100(s-94)=2000(s-95),s-100。所以当股价高于一百时,期权盈利更好

2.9 设计一个新的期货合约时需要考虑那些方面?

合约规模,交割安排,交割月份

2.19在期货市场,投机就是纯粹的赌博,为了公众利益,不应该让投机者在交易场所交易齐国,评价这种说法

投机者是期货市场重要的参与者,因为他们增加了期货市场的流动性,和投机一样合约对于对冲来说必须是有用的。因为总的来说,和投机这类似,当合约对风险对冲者有利益时才会得到监管部门的通过

2.25 现在是2008年7月,一个矿物公司刚刚发现了一个小型金矿,决定用六个月时间建矿,黄金将在今后的一年内连续被开发出,nyce有关于黄金期货的合约,从2008.8-2009.12月,每两个月有一个期货交割月,每一个合约规模为100盎司黄金,讨论矿业公司将采用何种期货产品来对冲风险。

矿业公司应该连续按月估计出黄金的产量,今儿通过卖出与黄金产量想等的期货合约来锁定近期黄金价格,比如2009年1、2月共产出黄金三千盎司,卖出30长期货合约可以锁定其价格

2.26 一家公司进入一个期货短头寸,合约中,公司以每蒲式耳250美分卖出5000蒲式耳小麦,初始保证金为3000美金,维持保证金为2000美金,价格如何变化会导致保证金的催收?什么情况下,公司可以从保证金账户中提取1500美金?

在期货市场损失1000美金,即小麦期货没蒲式耳上涨二十美分时,会导致保证金的催收,当小麦期货价格每蒲式耳下降30美分时,可以从保证金账户中提取1500美金。

3.7:一家公司持有价值为2000万美元,β值为1.2的股票组合,该公司想要采用S&P500期货来对冲风险,股指期货的当前价格为1080,每一个期货是关于250美元倍的股指,什么样的对冲可以使风险极小化?公司怎么做才可以将组合的beta值降为0.6?

N*=1.2*20000000/(250*1080)=88.89

所以进入89份的期货短头寸。

N`=(1.2-0.6)*20000000/(250*1080)=44.4

所以公司只需持有44份期货短头寸就可以将beta值降为0.6.

3.17:一个玉米农场的农场主有以下观点,我们不能采用期货来对冲我面临的风险,我的真正风险并不是玉米价格的变化,而是气候原因使我颗粒无收。讨论这一观点,这个农民是否应该对玉米的预期产量有所估计然后采用对冲策略来锁定预期价格。

由于气候原因使得玉米颗粒无收,但是气候的影响对于所有的玉米农场主来说都是一样的。因此玉米的总产量下降,导致玉米价格会有个相当大的提高。相对于实际的玉米产量,这个农民很有可能会过度对冲了。这样一来农民在期货市场上的损失会增加自己整体的损失。因此这个农场主的观点是正确的,也即是这个农民不应该对玉米预期产量有所估计然后采用对冲策略来锁定预期价格。

3.23下表关于某商品的即期以及期货每月价格变化的数据,利用这些数据来计算使方差最小化

即期价格变化

期货价格变化

即期价格变化

期货价格变化

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3.25一个基金经理持有一价值为5000万美元,Beta 等于0.87的股票组合。该经理担心在今后两个月内市场的表现,因此打算采用3个月期的关于S&P500的期货合约来对冲其风险。股指的当前水平为1250,期货合约是关于250倍的指数,无风险利率未每年6%,股息收益率为每年3%,当前3个月期的期货价格为1259.

(a )基金经理应采用什么样的头寸来对冲今后两个月内的市场风险?

(b )当股指在两个月后分别为1000、1100、1200、1300和1400时,你的策略对于基金经理的收益影响会如何?假定一个月期的期货价格比现在的股指水平高0.25%。

(a)...N*=0.87*50000000/(1259*250)=138.2 ...进入期货合约的短头寸,数量为138份。 (b)当股指为1000时:

期货市场上投资效果=250×(1259-1000×1.0025)×138=8849250

现货市场上的效果:由于股指在这两个月的亏损率=3%×2/12-{(1000-1250)/1250}-6%×2/12=0.5%-21%=-20.5%

而基金经理所持有的股票组合的beta 值为0.87,所以该股票组合的亏损率为20.5%×0.87=17.835%,减去其中的无风险利率1%,那么现货市场的实际亏损率为16.835% 亏损价值=16.835%×5000×10000=8417500

则总效果=8849250-8417500=431750美元

其他情形雷同。

4.8从久期你能知道债券组合对于利率有什么样的敏感度?久期有什么局限性?

久期提供的信息是一个小的收益率曲线的平行移动对债券投资组合价值的影响。投资组合价

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最小方差为:

值减少的百分比等于久期乘以相对应的平行移动的利率的变化。

久期的局限性是只能在利率的平行移动中适用。

4.21解释为什么一个FRA 等价于以浮动利率交换固定利率?

一个FRA 是约定在将来某一段时间交易的一方将以某一个特定的利率RK 借入或者借出一个固定的资金L 的协议。不管市场上的利率如何变化,订立FRA 协议者就有权在约定的时间以利率为RK 这一固定利率借入或者借出资金。相当于以浮动利率交换固定利率。

4.25:6个月、12个月、18个月和24个月期限的零息利率分别为4%、4.5%、4.75%和5%,这里利率为每半年复利一次。

(a )相应的连续复利利率为多少?

(b )在18个月开始的6个月期的远期利率为多少?

(a )R 6=2ln1.02=0.039605,R 12=2ln1.0225=0.044501,R 18=2ln1.02375=0.046945,R 24=2ln1.025=0.049385.

(b )远期利率=(4.9385*2-4.9645*1.5)/0.5=0.056707

18个月开始的6个月期的远期利率=2(e 0.056707*0.5-1)=0.057518

4.27下表给出了债券价格

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表中,每6个月支付所示利息的一半。

(a

)计算对应于6个月、12个月、18个月和24个月期限的零息利率。

(b )以下时间段的远期利率为多少?6~12个月;12~18个月;18~24个月。

(c )对于每半年支付一次券息,期限分别为6个月、12个月、18个月和24个月的债券平价收益率为多少?

(d )估算年券息率未10%,每半年支付一次券息,2年期限债券的收益率。

(a )零息利率:R 0.5=2ln(1+2/98)=4.0405%; R 1=ln(1+5/95)=5.1293%,;

R 1.5满足3.1e -0.0405*0.5+3.1e -0.051293*1+103.1e -R*1.5=101,得出,R 1.5=5.4429%;

R 2满足4-0.0405*0.5+4e -0.051293*1+4e -0.054429*1+104e -R*2=104,得出,R 1.5=5.8085%;

(b )远期利率:R 0.5=4.0405%,R 1=6.2181%,R 1.5=6.0700%,R 2=6.9054%;

(c )票面利率:R 0.5=4.0816%,R 1=5.1813%,R 1.5=5.4986%,R 2=5.8620%;

(第二问和第三问的解题方式找不到,直接给出了答案。)

(d )债券价格:

债券收益率y 满足:

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y=0.057723,所以,收益率未5.7723%

5.6 仔细解释便利收益与持有成本两个术语的含义。期货价格、即期价格、便利收益与持有成本的关系式是什么?

便利收益率反映了市场对未来商品可获得性的预期也可以说是因持有商品而带来的好处。持有成本包括储存成本加上资产的融资利息,再减去资产的收益。

期货价格:F0. 即期价格:S0.便利收益:y持有成本:c

关系式为T是期货合约到期时间

5.15 白银的限价为每盎司9美元,每年储存费用为每盎司0.24美元,储存费要每季度预先支付一次。假定所有期限的利率均为每年10%(连续复利),计算9个月后到期的期货价格。

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答:九个月的存储成本现值为:

9月后到期的期货价格:

5.17 当一家公司采用远期合约对于将来已知的外汇现金流进行对冲时,就不存在汇率风险。而当采用期货合约来对外币对冲时,按市场定价的方式会使得公司有一定的风险暴露。解释这种风险的实质。尤其当出现以下4种情况时,公司使用期货合约和远期合约哪种形式更好?

在合约的期限内,外汇迅速贬值。

在合约的期限内,外汇迅速升值。

外汇先升值,然后贬值到它的初始水平。

外汇先贬值,然后升值到它的初始水平。

答:假定远期价格等于期货价格

一般来说期货合约的收益或亏损总额等于相应的远期合约的收益或损失。然而,现金流量的时间是不同的。当考虑货币的时间价值是,期货合约比远期合约更有价值。当然,公司不能实现知道制两种合约哪个会更好,长期远期合约提供了一个完美的对冲。长期期货合约提供了一个略有不完善的对冲。

(a)在这种情况下,远期合约将导致一个稍微好一点的结果.该公司在对冲时会有亏损。如果用远期合约对冲,整个损失将在年底实现。如果将整个合约与期货合约损失每天用现值计算,前者是更可取。

(b)在这种情况下,期货合约将导致一个稍微好一点的结果。该公司在对冲时会有很大的亏损。如果用远期合约进行对冲,那么增益将在最后实现。如果是期货合约他的的增益将在整个合约的有效天内一天天实现,以目前的价值为基础,后者则是可取的。

?在这种情况下,期货合约将导致一个稍微好一点的结果。这是因为它会涉及积极的现金流量早期和负现金流后期。

(d) 在这种情况下,远期合约将导致一个稍微好一点的结果。这是因为在期货合约的情况下,早期的现金流量是负的,后期的现金流将积极。

5.24 一个股票预计在2个月和5个月时将支付1美元股息。股票价格为50美元,对于所有期限的连续复利的无风险利率为每年的8%。某投资者刚刚进入这种股票6个月期限的远期合约的短头寸,请问

远期价格与远期合约初始价值为多少?

3个月后,股票价格为48美元,无风险利率仍为每年8%。这时远期价格和远期合约的短头

寸的价值为多少?

答(a)现值I

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远期价格:

远期合约的初始值为零。远期价格是非常接近现货价格的事实应该是毫不奇怪。当复利频率被忽略的股票的股息收益率等于无风险利率的利息

(b)三个月后:

交易价格,K=50.01,由公式可得:

远期合约的短头寸为:

远期价格:

6.4 当一个欧洲美元期货合约的价格由96变为96.82时,一个持有两份合约长头寸的投资者的盈亏为多少?

答:欧洲美元期货上涨了82个基点。投资者每份合约收益为:25×82=2050美元。总收益=2050×2=4100美元。

6.9假定今天为2008年5月5日。一个在2011年7月27日到期,券息率为12%的政府国债报价为110-07。这一国债的现金价格为多少?

答:2008年1月27日到2008年5月5日有99天。2008年1月27日到2008年7月27日

有182天。因此,应计利息

,报价为110.5312,因此,国债的现金价格为:

6.15 假设一个久期为12年的债券组合用标的资产具有4年久期的期货合约来对冲。由于12年利率没有4年利率波动性大,这种对冲会有什么影响?

答:以时间为基础的对冲计划假设收益率曲线是平行移动的。由于12年利率没有4年利率波动性大,投资组合经理可能会发现,他是过度对冲的。

6.25 CBOT的2009年6月的债券期货合约的价格为118-23。

计算一个在2025年1月1日到期,券息为10%的债券的转换因子。

计算一个在2030年10月1日到期,券息为10%的债券的转换因子。

假定(a)和(b)中的债券报价分别为169.00和136.00,哪一个债券支付更便宜?

假定最便宜的债券已经得到支付,卖出债券的现金价格为多少?

答:(a)到债券交割月份有15年和7个月至到期日。假设该债券的价值持续15.5年,率6

厘,每半年复利

债券的转换因子为1.4000

(b)到债券交割月份有21年和4个月至到期日。假设该债券的价值持续21.25年,率6厘,

每半年复利

减去应计利息为1.75,变为111.91,因此转换因子为1.1191.

(c)第一种债券:169-166.2056=2.7944

第二种债券:136-132.8576=3.1424

因此,第一种债券支付更便宜。

(d)卖出债券的价格是166.2056加上应计利息。2009年1月1日到2009年6月25日有176天。2009年1月1日到2009年7月1日有181天。

应计利息:

债券的现金价格为171.0675.

6.26 在今后3个月,某证券经理打算采用国债期货合约来对冲其证券组合。证券组合价值为1亿美元,在3个月后久期为4年。期货价格为122,每一个期货是关于10000美元的债券。在期货到期时,预计的最便宜可交割债券的久期为9年。对冲所要求期货头寸为多少?在1个月后最便宜可交割债券变为一个具有7年久期的债券,对冲要进行什么样的调整?假定在3个月后,所有利率均有所增长,但长期利率增长幅度小于中期以及短期利率增长幅度。这对于对冲的影响是什么?

答:

(a)增加的期货合约应减少至四舍五入468份。

(b)在这种情况下,短期期货收益可能会不到债券投资组合的损失。这是因为短期期货的收益取决于中期利率的变动的大小。以时间为基础的对冲假设在两个利率的变动是相同的。

7.4 解释互换利率的含义。互换利率与平价收益率的关系是什么?(不忒对)

利率互换是指交易双方以一定的名义本金为基础,将该本金产生的以一种利率计算的利息收入(支出)流与对方的以另一种利率计算的利息收入(支出)流相。交换的只是不同特征的利息,没有实质本金的互换。

7.6 解释在一份金融合约中,信用风险与市场风险的区别。

出现信用风险由对方违约的可能性。而市场风险来自市场的变数,如利率和汇率的变动。市场风险可以通过进入互相抵消的合约来进行对冲,但信用风险不能被简单的对冲。

7.8 解释当一家银行进入相互抵消的互换时将会面临信用风险。

在互换开始时,两份合约价值接近于零。随着时间的推移,它的互换值将发生变化,使一个互换对于一个银行有正价值而对于其他银行为负价值。如果对手的另一边默认正价值互换,银行仍需与其他对手履行其合同。他可能在正价值互换中受到损失。

7.15 为什么对应于同一本金,利率互换在违约时的预期损失小于贷款在违约时的预期损失。

因为利率互换的目的是降低市场风险中的利率损失,比起固定利率低,能起到降低成本的作用,在一定程度上对借款客户有利,因此,利率互换后的预期损失要小于相同本金的贷款违约

7.16 一家银行发现它的资产与负债不匹配。银行在运作过程中,收入浮动利率存款并且发放固定利率贷款。如何运用互换来抵消风险?

该银行支付存款的浮动利率和接收固定利率贷款。进入其中合同支付固定和接收浮动利率互换,它可以抵消其风险

7.17解释如何对于某一货币的浮动利率与另一货币的固定利率的互换来定价。

可浮动的款项价值货币一(1)假设远期利率的实现,(2)在适当的货币贴现产生的现金流量的折现率。假设V A.The固定付款,可以在货币乙价值,在适当的货币乙贴现率贴现值。假设值是VB。如果Q是目前的汇率,货币互换的价值,一个是V A - QVB。Alernatively,它是V A/ Q- VB中的货币B。

7.21 根据某个利率互换的条款,一家金融机构同意支付每年10%,并同时收入LIBOR,互换本金为1亿美元,每3个月支付一次,这一互换还有14个月的剩余期限。对于所有期限,与3个月LIBOR进行互换的固定互换利率买入卖出价的平均利率为每年12%,1个月以前的LIBOR利率为每年11.8%。所有的利率均为每季度复利一次,该互换的价格为多少?答:法一:互换可以被视为一个结合在一个固定利率债券的空头头寸的浮动利率债券的多头头寸。正确的折现率是12%,每年或每季复利与连续复利11.82%

浮动利率债券的未来付款后价值100万。未来的浮动付款

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浮动利率债券的价格为

固定利率债券的价格为

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因此,互换的价格为:

方法二:

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7.22 假定美国及澳大利亚的利率期限结构均为水平。美元的利率为每年7%,澳元的利率为每年9%。每一个澳元的当前价格为0.62美元。一个互换协议阐明:金融机构支付每年8%的澳元并且收入每年4%的美元。两个不同货币所对应的本金分别为1200万美元及2000万澳元。支付为每年一次,其中一次支付刚刚发生。这一互换剩余期限还有2年。对于金融机构而言,这一互换的价值是多少?假定所有利率均为连续复利。

答:美元债券的价格:美元

澳元债券的价格:澳元

互换价格:

8.13 解释为什么一个美式期权的价格不会小于一个具有同样期限及执行价格欧式期权的价格。

美式期权的所有者拥有所有欧式期权的权利冰壁偶是期权有更多的权利,因此美式期权的价格不会小于一个具有同样期限及执行价格的欧式期权的价格,如果不是,那么套利者就会采取持有短期套利的欧式期权和长期的美式期权。

8.14 解释为什么一个美式期权的价格至少为其内涵价格?

美式期权的持有者可以在到期之前的任何时刻行使,因此美式期权的价格至少高于其内在价值。如果不使套利者,则可以通过购买期权并立即行使它来锁定确保利润。

8.23 股票价格为40美元,关于这一股票的一个1年期的看跌期权的执行价格为30美元,期权价格为7美元;关于这一股票的一个1年期的看涨期权的执行价格为50美元,期权价格为5美元。假如投资者买入了100只股票,卖出了100份看涨期权,买入了100份看跌期权。画出图形来说明1年时的投资者的盈利与股票价格的关系。当投资者买入100只股票,卖出200份看涨期权并且买入200股看跌期权,你的答案会有什么变化?

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股票价格低于30 美元时,亏损1200美元

股票价格30-50美元时,损益-1200至800美元

股票价格大于50美元时,收益800美元

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9.5,请解释:提前行使美式看跌期权是在货币的时间价值与看跌期权的保险价值之间的权衡这一观点;

一个美式看跌期权和持有标的股票能提供保障;它保证股票能够以执行价格K出售,如果看跌期权被提前执行,保险终止,然而购股权持有人立刻得到执行价格并享受资金的时间价值。

9.23,假设c1,c2,c3分别代表执行价格为K1,K2,K3的欧式看涨期权的价格,这里的执行价格满足K3> K2> K1,和K3-K2= K2-K1,所有期权具有同样的期限,证明c2<=0.5(c1+c3);

(提示:考虑以下交易组合一个执行价格为K1的期权的长头寸,一个执行价格为K3期权的长头寸,以及两个执行价格为K2的期权的短头寸;)

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答:根据提示,组合的价值有四种情况:

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我们发现组合的价值总是大于等于0的,在没有套利可能的今天它也应该是0,也就是说

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或者c2<=0.5(c1+c3);

10.3,对投资者而言,什么是购买碟式差价的良好时机?

碟式差价有三个不同的执行价格K1,K2,K3,投资者应该在标的股票的价格在K2附近时购买;

10.8,利用看跌-看涨平价关系式来说明有看涨期权来生成的牛市差价的起始投资与看跌期权来生成的牛市差价的起始投资的关系。

一个由看涨期权构成的牛市差价与一个由看跌期权构成的牛市差价有相同形状的盈利模型,具体可看书本10-2和10-3,设P1和C1分别是执行价格为K1的看跌和看涨期权的价格,P2和C2是执行价格为K2的看跌和看涨期权的价格,由于看跌-看涨平价关系式

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所以

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这表示由看跌期权构成的差价的初始

投资比看涨期权生成的差价的初始投资少,正如书本说提到的,由看跌

期权构成的牛市差价的初始投资是负的,而由看涨期权生成的差价的初始投资是正向的。由看涨期权生成的牛市差价的盈利比由看跌期权构成的差价的盈利要高

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,这反映了看涨战略比看战略更多了无风险投资

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,赚取利息

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10.16,盒式差价由四个期权组成,其中两个期权用于生成远期合约的长头寸,另两个期权用于生成远期合约的短头寸,请解释以上观点,

盒式差价是由看涨期权所构成的牛市差价和具有相同执行价格的看跌期权构成的熊市差价的组合。包括以下四种情况:A,一个执行价格为K1的长头寸看涨期权;B,一个执行价格为K2的短头寸看涨期权;C,一个执行价格为K2的长头寸看跌期权;D,一个执行价格为K1的短头寸看跌期权;A和D构成买入一个交付价格为K1的期权组合;B和C构成卖出一个交付价格为K2 的期权组合;这两个期权组合总的回报是K2-K1.

10.20,一个对角差价有一个买入执行价格为K2,期限为T2的欧式看涨期权以及卖出一个执行价格为K1,期限为T1的欧式看涨期权组成,这里T2>T1,对以下两种情况画出盈利图:(A),K2>K1;(B),K2

(A)

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(B)

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11.12 某股票的当前价格为50美元,在今后两个3个月时间内,股票价格或上涨6%,或下跌5%,无风险利率为每年5%(连续复利)。执行价格为51美元,6个月期限的看涨期权的价格为多少?

用二叉树表示股票价格,如图1所示。风险中性的价格向上移动时,P为:

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在56.18-51=5.18,最后一个节点回报最高(相当于移动了两个),其他情况都为零。【我不懂!!】因此,期权价值为:

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这也能通过图1的二叉树图形计算得出。看涨期权的价值是图中每个节点上较低的数值。

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(图1)

11.13考虑练习题11.12中的情形,执行价格为51美元,6个月看跌期权的价格为多少?验证看跌—看涨期权平价关系式的正确性。如果看跌期为美式期权,在二叉树的节点上提前行使期权会是最优吗?

认沽期权的二叉树表示为图2。如果节点值为中间,我们能从中得到的回报为51-50.35=0.65,如果节点值为最小值,则回报为51-45.125=5.875。因此期权价值为:

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这也能从图2所示的二叉树图形中计算得出。

由11.12可知,认股价值加上股票价格为:1.376——50=51.376

看涨期权价值加上现在行权价格为:

所以看涨期权评价关系式是正确的。

为了验证在二叉树节点上提前行使期权是不是最优,我们计算比较了每个节点的行权价格和即时价格。C节点的即时价格为51-47.5=3.5。大余2.8664,所以应该在这个节点行权。

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(图2)

11.16某股票的当前价格为50美元,在6个月后股票价格将变为60美元或42美元。无风险利率为每年12%(连续复利),计算执行价格为48美元,期限为6个月的欧式看涨期权价格。验证无套利原理与风险中性理论所得结论是一致的。

6个月结束时,期权价值为12美元(股票价格为60美元)或者0美元(股票价格为42美元)。考虑投资组合的组成:

+△:股票

-1:期权

如果42△=60△-12,6个月的投资组合的价值为42△或者60△-12。

所以,△=0.6667

投资组合的价值显然是28。因此这个△的投资组合价值是无风险的。投资组合的现价为:

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其中f为期权价值。由于投资组合必须赚取无风险利率:

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,所以f=6.96

因此期权价值为6.96美元。

这也可以利用风险中性计算得出。假设p是风险中性环境中的一支上升股票的价格,我们可以得到:。因此18p=11.09,p=0.6161

风险中性环境中得期权的期望值为:

这就有现价为:

因此,无套利原理与风险中性理论所得结论是一致的。

11.17某一股票的价格为40美元,在今后两个3个月的时间段内,股票价格或上涨10%或下跌10%,无风险利率为每年12%(连续复利)。

(a)执行价格为42美元,6个月的欧式看跌期权价格为多少?

(b)执行价格为42美元,6个月的美式看涨期权价格为多少?

(a)股票价格的二叉树图形如图3。风险中性可能向上移动,p为:

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计算预期收益和预期损失,我们得到期权价值为:

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欧式期权的价值为2.118。着也能通过图3所示二叉树图形计算得出。每个节点的第二个数值为欧式期权的价值。

(b)美式期权的价值为图3所示二叉树图形中每个节点的第三个数值,为2.537。比欧式期权大,因为它在最佳的节点C时更早行权。

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12.12假设一只股票年期望回报率为16%,并且有一个30%的每年价格波动,当某天该股票价格为50美元时,作如下计算:

1、第二天的预期股价。

2、第二天股票价格的标准差。

3、第二天股票价格置信度为95%的置信区间。

因为,由题得,

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所以,

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所以,

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a,第二天的预期股价约等于50.022

b,第二天股票的标准差是

c,第二天股票价格置信度为95%的置信区间为

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最后有个提示:注意有的学生可能认为一年应该按股票交易的实际天数计算是252天,而不是日历的365天。

12.7股票A和股票B都遵循几何布朗运动,在很短的时间间隔内A和B的变化都互不关联。请问由股票A和B构成的组合证券投资的价值遵循几何布朗运动吗?请解释你的答案。

分别定义A的价格、期望回报率和波动率为。B的价格、期望回报率和

波动率为,定义为在时间内的变化量,直到这两个变量中任意一个遵循几个布朗运动。

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当是正态分布的独立随机变量时,

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这些不能被写成

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对于任意的恒定(既不是自由漂移也不是随机项),因此组合的价值并不遵循几何布朗运动。

12.8在公式的股票价格推导过程是。。。。详细解释这个公式和下列方程之间的差异。

在公式中,股票的预期价格增长和变化是一个常数(原价格的百分之几)。

在公式中,股票的预期价格增长和变化在短期内是常数。

在公式中,当股票变化率固定时,股票增长是一个股票价格的固定百分比。

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在公式中,当股票价格按固定值均衡变化时,股票的预期增长

在短期内是一常数,这是最合适的一个公式,估计预期回报率和预期回报率的变化在很短的期间内是不变的。

13.2一支股票价格的变化率是30%每年。在一个交易日,什么是股票价格变化百分比的标准差?

股票价格变化百分比的标准差在时间上是,此处的是一个价格波动。

在该题中,并且假设一年的交易日为252天,则:

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13.3解释风险中性价值规律

期权的价格或其他衍生产品的价格当按照优先股价格表示时,有单独的风险偏好,因此在风险中性世界里期权有和真实世界相同的价值。在风险中性世界中,所有的证券投资者预期的回报率都等于无风险回报率。即,在一个风险中性世界里,对于未来现金流所有资产合适的贴现率都是无风险利率。

13.6什么是隐含波动率?他是如何计算的?

隐含波动率(Implied V olatility)是将市场上的期权或权证交易价格代入权证理论价格模型,反推出来的波动率数值。使用递次求近法计算或者迭代法。由于期权定价模型(如B-S模型)给出了期权价格与五个基本参数(标的股价、执行价格、利率、到期时间、波动率)之间的定量关系,只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式,就可以从中解出惟一的未知量,其大小就是隐含波动率。

13.26一支股票价格目前是50美元。假设期望回报率是18%,波动率是30%。在两年中估价合适的分布是什么?在95%的置信区间内计算分布的平均值和标准差。

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由题得:并且在两年中估价合适的分布

有可能呈对数正态分布。由等式13.3得:

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由等式13.4得:股票价格为:

由等式13.5得:标准差为:

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的95%的置信区间为:

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即为:

这符合对于的95%的置信度,所以

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即为:

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