习题解答8

第八章 常微分方程数值解 (习 题)

1．用Euler 方法解初值问题

0)0(,=+='y b ax y . 并证明其截断误差

2/)(2amh y x y m m =-.

解

将Enler 方法应用于值问题 ??

?=+='0

)0(y b

ax y

得差分方程初值问题

???==++=+0)0()

(0

1y y b ax h y y m m m

这里 mh mh x x m =+=0 ，00=x 由此得

hb b ax h y y =++=)(001

21122)()(ah hb b ah h hb b ax h y y +=++=++=

2222333)2(2)(ah hb b h a h ah hb b ax h y y +=+?++=++=. 迭代得到

2)121(ah m mhb y m -++++= 2

2

)1(ah m m mhb -+= ),2,1( =m 而此问题真解为

m m m bx ax y x y ++=2

21)0()(222

ah m mbh +

= 于是其截断误差

2222

)1(22)(ah m m mhb ah m mhb y x y m m ---+

=-221

amh =. □

2．证明：改进的Euler 方法是稳定的. 证明：设所考虑的初值问题

??

?∈=∞

<≤≤='R

y y a y y b x a y x f y 00,)(,

,),(

其中f 关于y 满足Lipschitz 条件：

2121),(),(y y L y x f y x f -<-

考虑 )],(),([2

111+++++=m m m m m m y x f y x f h

y y []),(),(2

111+++++

=m m m m n m y x f y x f h

z z 令 m m m z y e -= ，则有

[]),(),(21m m m m m m z x f y x f h

e e -+

=+[]),(),(21111++++-+m m m m z x f y x f h 122+++≤m m m e L h

e L h e

∴ m m e hL e hL ??

?

??+≤??? ??-+2112111

于是，当 L

h h 2

00<<< 时，有

≤≤-+≤+ m m e hL hL e 2

112111

01

211211e hL hL m +?

???

??

??

-+

从而

=??? ??-+≤022e hL hL e m

m 0221e hL hL m ??

? ??

-+()02)(20220e e

e e L

h L a b hL mhL

---≤≤

注意，这里 a b mh -≤

取 L

h L

a b e

c 02)(2--= ，则有 0e c e m <

即改进的Euler 方法是稳定的。 □

4．构造形如下面形式的三阶格式

221101--+++=m m m m y a y a y a y )(22110--'+'+'+m m m

y b y b y b h . 解 将)(h x y m +，)(h x y m -，)2(h x y m -，)(h x y m -'，)2(h x y m -'在m x 处泰勒展开，并考虑线性组合

[])(m x y L )()2()()()(0210m m m m m x y hb h x y a h x y a x y a h x y '------+= )2()(21h x y hb h x y hb m m -'--'- 得

[]()+---=)(1)(210m m x y a a a x y L ())(2121021n x y h b b b a a '---++

()

??

?

???++--+21221221!21b b a a )(2m x y h '' ()()

)(22121!313221231m x y h b b a a '''???

???--++++

()()

)()(2!3121!415)4(4231241h O x y h b b a a m +??

?

???++--+

令 012100=---=a a a c

021210211=---++=b b b a a c

()024121

21212=++--=

b b a a

c ()()042

1

816121213=--+++=b b a a c

解得 00112427b a a ++-= 00212528b a a --= 0018418b a b --= 0025212b a b --=

将此参数代入原格式中便得到三阶格式族。 □

5．求具有最高阶的三步方法的系数. 解 一般三步方法为

∑∑==++=3

3

j j j m j j m j

f h y βα

由阶条件

032100=+++=ααααc

03232103211=----++=ββββαααc ()32132!

1αααq q q q c ++=

()()

032!1131211=++----βββq q q ，q=2, (7)

解得 0126951998a a =

022*******a a -= 032452

a a -= 002695816a

b -

= 0126954671a b -= 022695

1998

a b -= 0353915a b =

0794325

687a c -= 当00≠a 时，07≠c ，所以方法最高达到6阶。其系数由上式给出。□

6．考察形如

?????++==++=+).

,(),

,(),

(12

1211qhk y ph x f k y x f k k k h y y m m m m m m μλ 的差分格式，证明

(1) 这类格式不可能具有三阶精度；

(2) 具有2阶精度的必为二阶Runge -Kutta 格式. 解 由一元函数的泰勒展开式有

())(!

4)(!3)(!2)()()()

4(4321m m m m m m m y h x y h x y h h x y x y h x y x y ξ+'''+''+'+=+=+ 因为 ),(y x f y =' , f f f y y x ?+=''

()

f f f f f f f f y y x y yy xy xx ?++?++='''2

2

∴ =+)(1m x y +)(m x y )(!

2[2

f f f h fh y x ?++ )(,(23

))]()2((!

3m m x y x y x y yy xy xx f f f f f f f f h ?++?+++)(4h O + 又由二元函数的泰勒展开有 =2k ()1,qhk y ph x f m m ++

),(m m y x f =()ph y x f m m x ,+()()m m m m y y x f qh y x f ,,?+

[]

)(22

321212

2h o f k q f p q k f p h yy xy xx ++++ 将 ),(1m m y x f k = 及2k 代入差方格式的右端，得 ()21k k h y m μλ++()][2

f qf pf h

hf y y x m ?++++=μμλ

]2[2

2223

yy xy xx f f q f pqf f p h +?++μ)(4h o + 为了考虑局部截误差，设)(m m x y y =，于是比较格式的左右两端，得

???

?

?

?

???

===+!21!211q p μμμλ (*)

且3

h 的系数不可能相等。所以这类格式不可能具有三阶精度，而参数满足（*）的格式

正好就是二阶Runge-Kutta 格式. □ 7．选取参数p,q ，使求积公式

??

?++=+=+).

,(,1111qhk y ph x f k hk y y m m m m 具有二阶精度

解 由一元函数泰勒公式，并注意到 ),(y x f y =' 得 ()1+m x y ()h x y m +=())(,)(m m m x y x hf x y +=

))](,())(,())(,([!

22

m m m m y m m x x y x f x y x f x y x f h ++

3!3)(h y n ξ''+ 又由二元函数泰勒展开式，得 ()11,qhk y ph x f k m m ++=

)()],(),([),(2

1h o y x f qk y x pf h y x f m m y m m x m m +++=

∴ ),(),(),(1m m y m m x m m y x hqf y x hpf y x f k ++=[]2)(),(dh h o y x f m m ++ ),(),(m m x m m y x hpf y x f +=)(),(),(2h o y x f y x hqf m m y m m +?+ 代入格式右端，得

=+1hk y m ),(m m m y x hf y +)],(),(),([2m m y m m m m x y x f y x qf y x pf h ++)(3h o +

与)(1+m x y 的展开式比较，得

!21=

p !21

=q ∴选取参数!21=p ，!

21

=q 则所给求积公式具有二阶精度。 □

8．证明二级二阶方法

?????+++==++=+).

2/2/,(),

,(,2/)(212

1211hk hk y h x f k y x f k k k h y y m m m m m m A -稳定.

解 以方法求解 y y λ=' )(c ∈λ 得

????

?

??????? ??++==++=+)(2)

(22121211k k h y k y k k k h

y y m m

m m λλ 整理得差分方程

m m y h h y ????

??-+=+2211 h h λ=

其特征根 h

h

-+

=221ξ, 于是 1<ξ ? 0Re

9．用差分方法解边值问题（取步长2/1=h ）

??

?==-≤≤-+=''.

1)1()1(,11,)1(2y y x y x y 解 取步长 2

1

=h 对区间]1,1[-进行分割，得分点 10-=x 211-=x 02=x 2

1

3=x 14=x

将微分方程离散，得

0)1(22

211=+-+--+m m m m m y x h y y y 3,2,1=m

由边值条件，得

???????????==-=+??

????++-=+??

?

???++--=??????

-++-1

1

))21

(1()21(20

)01()21(21)21(1()21(240

23221223122y y y y y y y y y 解得边值问题的解为 10=y ，2051441=y ，2051282=y ，205

144

3=y ，14=y

10．试列出解初值问题

?????=+='=+='.)0(,,)0(,0

222221212

0112121111

y y y a y a y y y y a y a y 的改进Euler 格式.

解 求解此初值问题的改进Euler 格式为：

()()

(

)()

???

????++++=++++=++++++2

12211212221212212

1121111212111111222

2m m m m m m m m m m m m y a y a h y a y a h y y y a y a h y a y a h y y

10y 、2

0y 已知

这里 1m y 、2m y 分别为真解)(1m x y ，)(2m x y 的逼近。

或写成矩阵形式为

=????????++2111m m y y ??????+????????22211211212a a a a h y y m m ??????+????????22211211212a a a a h y y m m ???

?????++2111m m y y

或即 ???

??

?

??????----222112112122

21a h a h a h a h ???

?????++2111

m m y y ?????

?

??????++=22211211212221a h a h a h a h ???

?????21m m

y y . □

11．用上题的计算格式解初值问题

??

?=+='=+='.1)0(,4,0)0(,232212

1211

y y y y y y y y 试取1.0=h 算到1=x ，并与精确解

3/)(51x x e e y --=，3/)2(52x x e e y -+=, 相比较.

解 当311=a ，212=a ，421=a ，122=a

1.0=h 010=y 12

0=y

代入上题中的格式中，计算到1=x 得到

0047.55110=y , 3723.55210=y

而其精确解 3484.49)1(1=y 7163.49)1(2=y

比较数值解与精确解，可见其误差较大，其原因是步长取得太大，若缩小步长进行计算，

便可得到较好的近似。 □

13．求常数d c b a ,,,，使得线性多步方法

)(1111-+-+'+'+'+=m m m m m y d y c y b h ay y 的局部截断误差的阶较高. 解 由阶条件算得 1=a ， 31=

b ， 34=

c ，3

1=d 这时方法达到最高阶3阶。

14．试推导求解初值问题00)(),(y x y xy f y =='的如下数值计算格式，并说明它是多少阶的格式.

2/)]()[()(21n n n n n n n n n n y x f x y y x f h y x hf y y +'++=+.

解 由泰勒展开有

=+=+)()(1h x y x y n n 2!

2)()()(h x y h x y x y n n n ''+

'+3

!3)(h y ξ'''+

因为 )(xy f y =' ， ))((y x y xy f y '+'=''))()((xy xf y xy f +'= 于是，上式成为

++=+))(()()(1n n n n x y x hf x y x y ))((2

2

n n x y x f h '))(()((n n n n x y x f x x y + )(!

33n y h ξ'''+

为考虑局部截断误差，设)(n n x y y =，于是 =

-=+++111)(n n n y x y R )(!

3)(33

h o h y ='''ξ 所以所给数值格式是二阶格式，它由上述式中舍掉局部截断定误差 3

!

3)(h y n ξ''' 而得。 □

15．讨论求解初值问题a y y y =-=')0(,λ的二阶中点公式 )),(2

,2(1n n n n n n y x f h y h x hf y y +++=+,

的数值稳定性（0>λ，为实数）.

解 二阶中点公式应用于微分方程 y y λ-=' 得差分方程 n n y h h y ??????+-=+21)(211λλn y ???

??+-=2211

其特征根 22

11h h +-=ξ 由 12

112

≤+

-=ξ 解得 2≤h 即 λ

2

≤h

所以当步长λ

2

≤h 时二阶中点公式关于初值是稳定的。 □

16．试用差分法，对于1.0=h 解边值问题 0)2()0(,1===+'-''y y y y x y .

解 以 1.0=h 为步长，用差分法解所给边值问题，得差分方程：

??

???===+--+--+-+0122200112

1

1y y y h y y x h

y y y m m m m m m m 即

这里 00=x ，mh x x m +=0 )(m m x y y ≈ 或即

?????====++----+0

19,,2,1,)2

1()2()21(2002121y y m h y x h y h y x h m m m

m m

?????????????????

????????

?

?

?

?????

??

?-+--+--+--1

21212212122102112219

3

232

2212

h x h

x h h x h x

h h x h x h ,11121921????????????=?????

??????? h y y y

由此解得 1y ,2y , 19,y . □