2014年中考 专题七 数学思想方法综述

专题七、数学思想方法综述

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲

考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。例1（2013?吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．

思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值。

解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1．

点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

对应训练：

1．（2013?福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3?（a-b）3的值是．

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问

题的转机。

例2（2013?东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁

离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上

沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m

（容器厚度忽略不计）．

思路分析：

将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

解：如图：

∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，

此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，

∴A′D=0.5m，BD=1.2m，

∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

（m）．故答案为：1.3．

点评：本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化。将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

对应训练：

2．（2013?宁德质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上

的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．

考点三：分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互

独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

例3（2013?山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，

印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式

还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与

印刷份数x（份）之间的关系如图所示：

（1）填空：甲种收费的函数关系式是．

乙种收费的函数关系式是．

（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，

选择哪种印刷方式较合算？

思路分析：

（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；

（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．

解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，

由题意，得

6

16100

b

k b

=

?

?

=+

?

，12=100k1，解得：

0.1

6

k

b

=

?

?

=

?

，k1=0.12，∴y1=0.1x+6，y2=0.12x；

（2）由题意，得

当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；

当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；

当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；

∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；

当x=100时，甲乙两种方式一样合算；

当300＜x≤4500时，选择甲种方式合算．故答案为：y1=0.1x+6，y2=0.12x．

点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．

对应训练：

3．（2013?牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．

（1）请你设计出进货方案；

（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？

（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．

考点四：方程思想

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

例4（2013?温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，

使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

（1）求证：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．

思路分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；

（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，

∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；

（2）解：设BC=x，则AC=x-2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x-2）2+x2=42，解得：x1x2，

∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，

∵CD=CB，∴

点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

对应训练：

4．（2013?娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即

赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测

到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别

是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．

（精确到0.1 1.41， 1.73）

考点五：函数思想

函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。

例5（2013?凉山州）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天运量不变）．

（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（吨）与运输时间t（天）之间有怎样的函数关系式？

（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数．

思路分析：

（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数关系式；

（2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可．

解：（1）∵每天运量×天数=总运量∴nt=4000 ∴n=4000

t

；

（2）设原计划x天完成，根据题意得：

4000 x (1-20%)=

4000

1

x

解得：x=4

经检验：x=4是原方程的根，且x=4，x+1=5符合题意. 答：原计划4天完成．

点评：本题考查反比例函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．

对应训练：

5、（2013?济南）某地计划用120-180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．

（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；

（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？

考点六：数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

例6（2013?玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），

P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，

则满足条件的点P共有个，写出其中一个点P的坐标是．

思路分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，

再根据平面直角坐标系写出点P的坐标即可．

解：如图，满足条件的点P 有6个， 分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（-5，0）（0，-5）． 故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出6个中的一个即可）．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质， 利用数形结合的思想求解更简便． 对应训练：

6．（2013?南充）如图，函数y 1=

1

k x

与y 2=k 2x 的图象相交于点A （1，2） 和点B ，当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是（ ）

A ．x ＞1

B ．-1＜x ＜0

C ．-1＜x ＜0或x ＞1

D ．x ＜-1或0＜x ＜1

四、中考真题训练 一、选择题 1．（2013?南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

2．（2013?黔东南州）二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0

B ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2

-4ac ＜0

C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0

D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2

-4ac ＞0

3．（2013?曲靖）某地资源总量Q 一定，该地人均资源享有量x 与人口数n 的函数关系图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．（2013?凉山州）如图，正比例函数y 1与反比例函数y 2相交于点E （-1，2）， 若y 1＞y 2＞0，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 5．（2013?乌鲁木齐）如图，半圆O 与等腰直角三角形两腰CA 、CB 分别 切于D 、

E 两点，直径FG 在AB 上，若2，则△ABC 的周长为（ ） A ．2 B ．6 C ．2 D ．4

6．（2013?杭州）给出下列命题及函数y=x ，y=x 2

和y=

1x ， ① 如果

1

a ＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1； ② 如果a 2

＞a ＞1a ，那么a ＞1；

③ 如果

1

a

＞a 2＞a ，那么-1＜a ＜0； ④ 如果a 2

＞1a

＞a 时，那么a ＜-1．

则（ ）

A ．正确的命题是①④

B ．错误的命题是②③④

C ．正确的命题是①②

D ．错误的命题只有③

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图

二、填空题 7．（2013?安顺）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为 8．（2013?自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是 ．

9．（2013?广安）如图，如果从半径为5cm 的圆形纸片上剪去

1

5

圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是 ___________ cm ． 10．（2013?包头）如图，在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C 落在AB 边上的D 点处，折痕BE 与AC 交于点E ，若AD=BD ，则折痕BE 的长为 ．

三、解答题 11．（2013?南宁）在一条笔直的公路上有A 、B 两地，甲骑自行车从A 地 到B 地；乙骑自行车从B 地到A 地，到达A 地后立即按原路返回，如图是 甲、乙两人离B 地的距离y （km ）与行驶时x （h ）之间的函数图象， 根据图象解答以下问题：

（1）写出A 、B 两地直接的距离；

（2）求出点M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；

（3）若两人之间保持的距离不超过3km 时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x 的取值范围．

12．（2013?天门）如图，在平面直角坐标系中，双曲线m

y x

和直线y=kx+b 交于A ，B 两点，点A 的坐标为（-3，2），BC ⊥y 轴于点C ，且OC=6BC ． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）直接写出不等式m

x

＞kx+b 的解集．

13．（2013?衢州）“五?一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示．

（1）求a的值．

（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．

（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后

来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？

14．（2013?南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．

（1）求证：△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的长．

15．（2013?随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平行线交⊙O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F．

（1）求证：AF⊥EF．

（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．

初中数学思想方法大全

一、宏观型思想方法 数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。 （一）、转化(化归)思想 解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。 不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。 可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。 有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。 例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形； （二）、数形结合思想 数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关

数学的转化思想

中考数学专题复习之三：数学的转化思想 【中考题特点】： 转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．．。 【范例讲析】： 例1：已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求 n m m n +的值。 例2：已知：一元二次方程x 2+x+m=0，x 2－(m －1)x+4 1 =0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。 例3：已知：如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AB ∶BC=6∶5，平行四边形ABCD 的周长为110，面积为600。 求：cos ∠EDF 的值。 A B C D E F

例4：已知方程组 kx 2－x －y+ 2 1=0 y=k(2x －1) (x 、y 为未知数) 有两个不同的实数解 x=x 1 或 x=x 2 y=y 1 y=y 2 ⑴求实数k 的取值范围；⑵如果3x 1 x 1y y 2 121=++，求实数k 的值。 例5：如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。 【练习】： 1．已知：m, n 是方程x 2－3x+1=0的两根，求代数式2m 2+4n 2－6n+1999的值。 2．已知：ab ≠1，且5a 2+1995a+8=0，8b 2+1995b+5=0。求 b a 的值。 3．如图，在直角坐标系中，点B 、C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，弧CD =弧AO ，如果AB=10AO>BO ，且AO 、BO 是关于x 的二次方程x 2+kx+48=0的两个根。 ⑴求点D 的坐标；⑵若点P 在直径AC 上，且AC=4AP ，判断点 （－2，－10）是否在过D 、P 两点的直线上，并说明理由。 A B C D E F P

山西省中考数学试题及解析

2015年山西省中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） ． =1 = 3．（3分）（2015?山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗 B 4．（3分）（2015?山西）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB ，BC 的中点．若△DBE 的周长是6，则△ABC 的周长是（ ） 5．（3分）（2015?山西）我们解一元二次方程3x 2 ﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方 程化为3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0 或x ﹣2=0，进而得到原方程的解 6．（3分）（2015?山西）如图，直线a ∥b ，一块含60°角的直角三角板ABC （∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）

7．（3分）（2015?山西）化简﹣的结果是（） B 8．（3分）（2015?山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（） 9．（3分）（2015?山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班各有2名同学报名参加．现从这6名同学中随机选取一名志 B 10．（3分）（2015?山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2015?山西）不等式组的解集是．

专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)

专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)

数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。 二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用 （一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为

易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，

中考数学思想方法专题之整体思想

初中数学思想之整体思想 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想 【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（ ） A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想 【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ，且03x y <+<，则k 的取值范围是 【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?，那么关于x ， y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为 【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 三．函数与图象中的整体思想 【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式 四．几何与图形中的整体思想

初中数学中的“转化思想”

初中数学中的“转化思想” [摘要]：随着课程改革的深入展开，培养学生的能力越来越重要，数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。本文从几方面论述了转化思想在数学学习中的重要作用：转化思想可以使学生经历探索的学习过程，改变学生的学习方式，转化思想能培养学生创新思维能力及逻辑思维能力，是一种很重要的思维方法；转化思想可以增强学生的数学应用意识，提高解决问题的能力，从而，大大加强学生学习数学的兴趣。 [关键词]：转化思想数学学习逻辑思维应用意识学习兴趣 [引言]：人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，每种数学思想都有它一定的应用范围，但笔者在数学实践中体会到，在学生的数学学习过程中，决不能忽视转化数学思想所起的重要作用，在教学中必须重视转化思想的渗透和培养。 转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现。就解题的本质而言，解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟习问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等，因此学生学会数学转化，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。 数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题，分析问题和最终解决问题。在数学中，很多问题能化复杂为简单，化未知为已知，化部分为整体，化一般为特殊，……等等，下面就“转化思想”在初中数学的应用通过举例作个简单归纳。

2012年山西省中考数学试题(含答案)

2012年山西省中考数学试卷 一．选择题（共12小题） 1．（2012山西）计算：﹣2﹣5的结果是（） A．﹣7 B．﹣3 C． 3 D． 7[来源学科网ZXXK] 考点：有理数的加法。 解答：解：﹣2﹣5=﹣（2+5）=﹣7． 故选A． 2．（2012山西）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（） A． 35°B． 40°C． 45°D． 50° 考点：平行线的性质。 解答：解：∵∠CEF=140°， ∴∠FED=180°﹣∠CEF=180°﹣140°=40°， ∵直线AB∥CD， ∴∠A∠FED=40°． 故选B． 3．（2012山西）下列运算正确的是（） A．B．C． a2a4=a8D．（﹣a3）2=a6考点：幂的乘方与积的乘方；实数的运算；同底数幂的乘法。 解答：解：A．=2，故本选项错误； B．2+不能合并，故本选项错误； C．a2a4=a6，故本选项错误； D．（﹣a3）2=a6，故本选项正确． 故选D． 4．（2012山西）为了实现街巷硬化工程高质量“全覆盖”，我省今年1﹣4月公路建设累计投资92.7亿元，该数据用科学记数法可表示为（） A． 0.927×1010B． 92.7×109C． 9.27×1011D． 9.27×109 考点：科学记数法—表示较大的数。 解答：解：将92.7亿=9270000000用科学记数法表示为：9.27×109． 故选：D．

5．（2012山西）如图，一次函数y=（m﹣1）x﹣3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A．B，则m 的取值范围是（） A． m＞1 B． m＜1 C． m＜0 D． m＞0 考点：一次函数图象与系数的关系。 解答：解：∵函数图象经过二．四象限， ∴m﹣1＜0， 解得m＜1． 故选B． 6．（2012山西）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（） A．B．C．D． 考点：列表法与树状图法。 解答：解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况， ∴两次都摸到黑球的概率是． 故选A． 7．（2012山西）如图所示的工件的主视图是（）

常见的数学思想方法

x y 2= 常见的数学思想方法 一、中考考点： 1.方程（组）是解决应用题、实际问题和许多方面数学问题的重要基础知识。在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程（组）来解决，这就是方程思想。 2. 数形结合思想是一种重要的数学思想方法。通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。 3. 所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。 二、基础练习： （一）整体思想 1.如果代数式 1322+-x x 的值为2， 那么代数式x x 322 -的值等于( )A ．2 1 B ．3 C ．6 D ．9 2.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ） A ．图（1）需要的材料多 B ．图（2）需要的材料多 C ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D ．无法确定 （二）方程思想 的图象在第一象限内的交点， 3.如图，已知点A 是一次函数x y =的图象与反比例函数 点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2 B ．2 2 C ．2 D ．22 （三）数形结合思想 4.如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA （A 与O 点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是___________． 5.函数)0(≠= k x k y 的图象如图所示，那么函数k kx y -=的图象大致是（ ） （四）化归思想 6.如图，当半径为30cm 的转动轮转过60°角时，传送带上的物体A 移动的距离为________cm ．（计算结果不取近似值） 7.将边长为8cm 的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两面三刀周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是__________cm ． 8.在图中，所有多边形的每条边的长都大于2，每个扇形的半径都是1．则第n 个多边形中，所有扇形的面积之和是__________． （五）数学建模思想 9.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角．在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号） （六）函数思想 10.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表： 煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生 产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元．（1）写出m 与x 之间的关第式； （2）写出y 与x 的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大最大利润是多少 （七）统计思想 11．某地区有一条长100千米,宽千米的防护林.有关部门为统计该防护林的树木量，从中选出5块防护林（每块长1千米,宽0.5千米）进行统计，每块防护林的树木树量如下（单位：棵）：65100、63200、64600、64700、67400．那么根据以上数据估算这一防护林总共约有_________棵树． 12．甲袋中放着19只红球和6只黑球、乙袋则放着170只红球、67只黑球和13只白球，这些球

中考数学复习专题 转化思想(含答案)

转化思想 一. 选择题：（本题10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分；共40分） 1、用换元法解方程x x x x + =++222 1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=0 2、如图，已知ABC ?外有一点,P 满足PC PB PA ==，则（ ） A 、22 3 1∠= ∠ B 、21∠=∠ C 、221∠=∠ D 、2,1∠∠的大小无法确定 3、小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数2 3.5 4.9h t t =-（t 的单位：s ， h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A 、0.71s B 、 0.70s C 、0.63s D 、0.36s 4、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直 径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的面积为 （ ） A 、64πcm 2 B 、64 cm 2 C 、32 cm 2 D 、48 πcm 2 5、已知实数x 满足0112 2 =+++ x x x x ，那么x x 1+的值为（ ） A 、1或-2 B 、-1或2 C 、1 D 、-2 6、如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为1C ，这4个正三角形的周长和为2C ，则1C 和2C 的大小关系是（ ） 第2题 第3题 第4题 第6题

A 、1C >2C B 、1 C <2C C 、1C =2C D 、不能确定 7.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形 ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=aEF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是 A 、a ＞b ＞c B 、a=b=c C 、c ＞a ＞b D 、b ＞c ＞a 8. 如图，梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝a ，BD ＝b ，CD ＝c ， 且a 、b 、c 使方程ax bx c 220-+=有两个相等实数根，则∠DBC 和∠A 的关系是（ ） A. ∠=∠DBC A B. ∠≠∠DBC A C. ∠>∠DBC A D. ∠<∠DBC A 9. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周 上从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是( ) (A) 36 (B) 2 3 3 (C) 33 (D) 3 10. 已知a 、b 、c 是?ABC 三边的长，b>a ＝c ，且方程 ax bx c 220-+=两根的差的绝对值等于2，则?ABC 中 最大角的度数是（ ） A. 90? B. 120? C. 150? D. 60? 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，） 11、一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为 1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为__________ 12、某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆（图中●表示实心圆， ○表示空心圆）： ● ○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○ 若将上面一组圆依此规律复制得到一系列圆，那么前2007个圆中有 个空心圆； 13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分对应值如下表，则不等式ax 2+bx+c>0的解集为 ． H N O F C A D G M c a b E B 第7题 第8题 D C 1 2 A B 第9题 第11题

中考专题复习专题五 数学思想方法(一)

2019-2020年中考专题复习专题五数学思想方法（一） 一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点一：整体思想 整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例1 （xx?吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ． 思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可． 解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1． 故答案是：1． 点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 对应训练 1．（xx?福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3?（a-b）3的值是．1．1000 考点二：转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 例2 （xx?东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）．

2018年中考数学方法技巧：专题五-转化思想训练(含答案)

2．[2016·扬州]已知M＝a－1，N＝a2－a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为() 方法技巧专题五转化思想训练 转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等． 一、选择题 1．[2015·山西]我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而 得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x 1 ＝0，x 2 ＝2.这种解法体现的数学思想是() A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想 27 99 A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．不能确定 3．[2016·十堰]如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是() A．140m B．150m C．160m D．240m 图F5－1 4．[2016·徐州]图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是() 图F5－2 A．1或9B．3或5 C．4或6D．3或6 二、填空题 5．[2017·烟台]运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________． 图F5－3

2．A [解析] ∵N －M ＝a 2 － a －( a －1)＝a 2－a ＋1＝(a － )2＋ ＞0，∴M ＜N .故选 A . 6．[2016·达州] 如图 F 5－4，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AQ ，连结 BQ .若 PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四边形 APBQ 的面积为________． 图 F 5－4 7．[2016·宿迁] 如图 F 5－5，在矩形 ABCD 中，AD ＝4，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的 点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为________． 图 F 5－5 三、解答题 8．如图 F 5－6①，点 O 是正方形 ABCD 两条对角线的交点．分别延长 O D 到点 G ，OC 到点 E ，使 OG ＝2OD ，OE ＝2OC ， 然后以 OG 、OE 为邻边作正方形 OEFG ，连结 AG ，DE . (1)求证：DE ⊥AG ； (2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角(0°＜α ＜360°)得到正方形 OE ′F ′G ′，如图②. ①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求 α 的度数； ②若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF ′长的最大值和此时 α 的度数，直接写出结果，不必说明理 由． 图 F 5－6 参考答案 1．A 7 2 1 3 9 9 2 4 注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负． 3．B [解析] ∵多边形的外角和为 360°，这里每一个外角都为 24°，∴多边形的边数为 360°÷24°＝15.

2015年山西省中考数学试题及解析

年山西省中考数学试卷2015 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题30小题，每小题3分，共一、选择题（本大题共10目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）））的结果是（?山西）计算﹣3+（﹣11．（3分）（2015 4 2 4 ﹣．2 C ．D﹣A．B． 2．（3分）（2015?山西）下列运算错误的是（）224 A．B．x+x=2x =1 |a|=|﹣a| C．D．= 3．（3分）（2015?山西）晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A．B．C．D． ，的周长是6AB，BC的中点．若△DBEE．（3分）（2015?山西）如图，在△ABC中，点D、分 别是边4 ）则△ABC的周长是（ 8 10 12 14 A．B．C．D． 25．（3分）（2015?山西）我们解一元二次方程3x﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x=0，x=2．这种解法体2现的数学思想是 A．转化思想B．函数思想C．数形结合思想D．公理化思想

6．（3分）（2015?山西）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=55°，则∠2的度数为（） 110°115°120°105°DB．．C ．A． 7．﹣（3分）（2015?山西）化简的结果是（） 1 ．D A．B．C． 山西）我国古代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著．它的出现，标志?（20158．（3分）着我国古代数学体系的正式确立．它采用按类分章的问题集的形式进行编排．其中方程的解 法和正负数加）减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（ 五经算术》《《孙子算经》D．A．《九章算术》B．《海岛算经》C． ）2分）（2015?山西）某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（9．（3名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学6班、初一（3）班各有2名 同学报名参加．现从这）班同学的概率是（恰好是初一（3） C．D．A．B．ABC都在格点上，则∠B，C3（分）（2015?山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点

初中数学解题思想方法全部内容

初中数学解题思想方法全部内容 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法

专题二 中考数学转化思想(含答案)-

第2讲 转化思想 概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，?此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到． 典型例题精析 例1．（2002，上海）如图，直线y= 1 2 x+2分别交x ，y 轴于点A 、C 、P?是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP =9． （1）求P 点坐标； （2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 右侧．作RT ⊥x 轴，?T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标． 分析：（1）求P 点坐标，进而转化为求PB 、OB 的长度，P （m ，n ）?再转为方程或方程组解，因此是求未知数m ，n 值． ∵S △ABP =9，∴涉及AO 长，应先求AO 长，由于A 是直线y= 1 2 x+2与x 轴的交点，∴令y=0，得0= 1 2x+2， ∴x=-4， ∴AO=4． ∴(4)2 m n =9…① 又∵点P （m ，n ）在直线y=1 2 x+2上， ∴n=1 2 m+2…② 联解①、② 得m=2，n=3， ∴P （2，3）．

（2）令x=0，代入y=1 2 x+2中有y=2， ∴OC=2，∴△AOC∽△BRT，设BT=a，RT=b． 分类讨论： ①当2 4 b a =…① 又由P点求出可确定反比例函数y=6 x 又∵R（m+a，b）在反比例函数y=6 x 上 ∴b= 6 m a + ……② 联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标． ②当2 4 a b =时，方法类同于上． 例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）?的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B． （1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？ （2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B， ①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？?若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验 x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2， ∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上． （2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0， ∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点， ∴0=a（1-t-1）2+t 2?at2+t2=0． ∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1． ①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2， 它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2?x-t-1=±t ∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1． 情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．

最新高中数学思想方法(附经典例题及详解)

最新高中数学思想 方法 经典例题

经典解析

目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

2019年中考数学运用转化思想解决数学问题

2019年中考数学运用转化思想解决数学问题各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 转化思想和构造思想是数学中两大基本的数学思想，本文就是想利用转化思想最重要也是最有效的思想之一转化为已能解决的问题来解竞赛题。本文以竞赛题目中经常会出现一些关于素数、带余除法、完全平方数等问题为着手点，这些都是属于初等数论范畴，而且这些知识几乎在每年竞赛题中都会出现，包括高中数学联赛、冬令营、中国国家队选拔考试，乃至在IMO考试中都是必考的内容，所以大家应该对此给予重视。对于数论的学习，不能操之过急，应该首先把数论的基础知识和性质认真的系统的学习一遍，对竞赛中出现相应的题目进行反思，这一点是很重要的。一同来体会一下最近几年全国和各省市初中

竞赛题目中常见的问题，如何把问题转化。 例1 设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，求m的值。 分析不妨先求出三个互不相等的合数之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。 解：由于4+6+8=18，故下面就来证明m的最大整数是17。 当m>18时，若，则m>9 即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之和，故m=17 此题容易入手，逆向去考虑，采取极端性想法使问题得以解决。 例2 求满足等式的正整数x、y。 分析此问题容易想到因式分解，再加之问题里有数2003，因为2003是质数，这也是一个信息。

解：观察式子特点不难得出 故所求的正整数对x,y)=1，2003)，2003，1) 此问题考察的重点在于因式分解。 例3 如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值是________。 分析采取分析法，因为是一个完全平方数，所以设，再去推导n和a的关系，使问题不断得到解决。 解：由已知是一个完全平方数，所以就设#p#分页标题#e# ，显然不是3的倍数，于是，从而 即，所以k的最小值是3 此方法是解决数论问题的一个常用的，也是基本的一个方法。