六年级奥数-第二讲.比和比例.教师版

第二讲 比和比例

教学目标：

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；

4、单位“1”变化的比例问题

5、方程解比例应用题 知识点拨：

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考

试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ； 性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；

性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数) 性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比； 反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比． 二、主要比例转化实例 ①

x a y b = ?

y b x

a =

；

x y a

b =；

a b x

y

=

；

② x a y b =

?

m x a m y b =

；

x m a y

m b

=

(其中0m

≠)；

③ x a y b =

? x

a

x y a b

=

++；

x y a b x

a

--=

；

x y a b x y

a b

++=

-- ；

④

x a y b

=

，

y c z d

= ?

x a c z b d

=；:

:::x y z a c b c b d

=；

⑤ x 的

c a

等于y 的d b

，则x 是y 的a d b c

，y 是x 的

b c a d

．

三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配

例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x

的比分别为()

:a a

b +和():b a b +，所以甲分配到

a x a b

+个，乙分配到

b x a b

+个.

⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题 例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a

b

>)，数量差为x ，那么A 的元素数量为a x a b

-，B 的

元素数量为

b x a b

-，所以解题的关键是求出()

a b -与a 或b 的比值．

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5. 赋值解比例问题 例题精讲：

模块一、比例转化

【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的1

3，乙等于甲、丙两数和的

12

，丙等于甲、乙两

数和的

57

，求::甲乙

丙

.

【解析】 由甲等于乙、丙两数和的1

3

，得到甲等于三个数和的

113+1

4

=，同样的乙等于甲、丙两数和的

112+1

3

=

，

同样的丙等于甲、乙两个数和的

5575

12

=

+ ，所以11

5

:::

:

3:4:5

4312

==甲乙

丙．

【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的

23

，那么甲的23

、乙的2倍、丙的一半

这三个数的比为多少？

【解析】 甲的一半、乙的

2

倍、丙的23

这三个数的比为1:1:1

，所以甲、乙、丙这三个数的比为()121:12:123???

?÷÷÷ ? ?

???

?即132::22

，化简为4:1:3，那么甲的

23

、乙的2倍、丙的一半这三个数的比

为()214:12:332?

??

??

?? ? ??

??

?即

83:2:

32

，化简为16:12:9.

【例 3】 如下图所示，圆B 与圆C 的面积之和等于圆A 面积的

45

，且圆A 中的阴影部分面积占圆A 面积的

16

，圆B 的阴影部分面积占圆B 面积的1

5

，圆C 的阴影部分面积占圆C 面积的1

3

．求圆A 、圆B 、

圆C 的面积之比．

【解析】 设

A

与B

的共同部分的面积为x

，

A

与

C

的共同部分的面积为

y

，则根据题意有

()()564

A B

C

x

y =

+=+，

5

B x =

，

3

C y =

，于是得到()

564

5

3B

C B

C

??+=+ ?

??，这条式子可化简为

15B C

=，所以()5204

A

B

C

C

=+=

.最后得到::20:15:1A B C =.

【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，

甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比． 【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为

10331087

31

10

?

=

+++，女会员为

31110

3

10

?

=

，乙组男会员为851108753

5

?

=

+++，女会员为

1335

5

25

?

=

；丙组男会员为

3

3

113+210510

??-+= ???，女会员为

2

1

393+2102550

??-+= ???；所以，丙组中男、女会员人数之比为

19:

5:9

10

50

=．

【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【解析】 (法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了60%，所

以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%3180%?=，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的180%40%450%÷=，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:19:2=．

(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于3:1，而他们分别完成了各自

任务的40%和60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为()()340%:160%9:2÷÷=．

【例 5】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之

和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？

【解析】 会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人

数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为50人，可设丙组人数为x 人，则乙组人数为()50x -人，又已知甲组男、女会员比为12:13，则甲组男、女会员人数分别为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：5224(50)56

8

3x x +

-+

=，解得18

x

=．即

丙组会员人数为18人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为21812

3

?

=人．

【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)A 、B 、C 三项工程的工作量之比为1:2:3，

由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？

【解析】 根据题意，如果把A 工程的工作量看作1，则B 工程的工作量就是2，C 工程的工作量就是3． 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x 、y 、z .经过k 天，则：

()()()

22

1

33

213k x k y k y k z k z k x

=-??

=-??

=-?

将⑶代入⑵，得()243

kx ky += ，

将⑷代入⑴，得2223kx kx +=-

，47x k

=，

将47x

k

=代入⑴，得67y k

=

．代入⑶，得37z k

=．

甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是463::4:6:3

777k

k

k

=．

【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖

的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖．由

③知两校获二等奖的共有(6050)20%22+?=人；由⑤知甲校获二等奖的有22(4.51) 4.518÷+?=人；由④知甲校获一等奖的有606050%1812-?-=人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为1250100%24%÷?=．

【例 7】 ①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数

多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？

【解析】 如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的男生

等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是5:4．

模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应

【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，

求一共有多少个苹果？

【解析】 一共有()()1613111311192÷-?+=个苹果. 【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的

藏书数量.

【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的

3346

++、

4346

++、

6346

++，所

以小新拥有的藏书数量为35212

346

?=++本，小志拥有的藏书数量为4

5216

346

?=++本，小刚拥

有的藏书数量为65224

346

?

=++本.

【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资

的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．

【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的

和为：18(107)1060÷-?=(元)，

乙、丙所捐资的和为601842-=元．所以，甲捐了804238-=(元)，乙捐了603822-=(元)，丙捐了381820-=(元)． 【巩固】

有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的1

3与二班分到的

12

相等，求两个班各分到多少皮

球？

【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比

11:3:2

23=，所以一班分到皮球312072

32

?

=+个，二班分到

皮球1207248-=个．

【例 9】 一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为

4:5．求原来两班的人数． 【解析】 原来一班的人数为两班总人数的

8887

15

=+，调班后一班的人数是两班人数的

4445

9

=

+，调班前后一

班人数的比值为

84:6:5

15

9=，所以一班原来的人数为()865648

÷-?=人，二班原来的人数为

488742

÷?=人. 【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数

与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？

【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全部是

大班，则大班男生数：女生数5:330:18==，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又中班男生数：女生数2:16:3==，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，所以需要换2组；所以，大班女生有183212-?=(名)．

【巩固】 参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，

三个年级参加植树的各有多少人?

【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有72080800+=人，四、五、六三个年级的

人数比为3:2:3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的

人数．六年级：3800300

323

?

=++人；五年级：2800200

323

?

=++人；四年级：30080220-=人．

【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每

支多少元?

【解析】 设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143，

则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元．所以圆珠笔的单价是O .5×4=2(元)．

【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从A 点出发，沿长方形的边爬去，结果在

距B 点2厘米的C 点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求这个长方形的周长．

【解析】 两只蚂蚁在距B 点2厘米的C 点相遇，说明乙比甲一共多走了

224?=(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，

所以甲爬的路程是()465520÷-?=(厘米)，乙爬的路程是20424+=(厘米)，长方形的周长为202444+=(厘米)．

【例 12】 甲乙两车分别从 A ， B 两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速

度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米．问：A ，B 两地相距多少千米？

【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．

8

C

B

＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的

9

5和

9

4。设全程x 千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的

长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的4/9，所以乙行驶了全长的15

8659

4=

?÷，所以乙一

共行了全长

45

4415

894=+，还剩1-

45

44＝

45

1，没有走所以A 、B 全长为450千米.

【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，

师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？ 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是

11

:5:3915=，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与

徒弟分别完成总量的

553

+和353+，师傅和徒弟一共加工了53100()400

53

53

÷-

=++个零件

【巩固】 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成

任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是

11

:5:3915=，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师

傅与徒弟分别完成总量的

553

+和

353

+，师傅比徒弟多加工零件5

3

40010053

53??

?-

=

?++??

个．

【例 14】 A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440公升，如果A 、B 两桶装满水，C 桶是空的；若将A 桶水的

全部和B 桶水的1

5

，或将B 桶水的全部和A 桶水的1

3

倒入C 桶，C 桶都恰好装满．求A 、B 、C 三

个水桶容积各是多少公升？

【解析】 根据题意可知，A 桶水的全部加上B 桶水的1

5

等于B 桶水的全部加上A 桶水的1

3

，

所以A 桶水的23

等

于B 桶水的

45

，那么A 桶水的全部等于B 桶水的4265

35

÷=，C 桶水为B 桶水的617555

+=．所以A 、

B 、

C 三个水桶的容积之比是67:1:

6:5:7

55

=．又A 、B 、C 三个水桶的总容积是1440公升，所以A

桶的容积是61440480657

?

=

++公升，B 桶的容积是

5480400

6?

=公升，C 桶的容积是

7480560

6?

=

公升． 【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的

12

，等于五年级学生的

25

，等于四

年级学生的37

。这三个年级各有多少名学生学生？

【解析】 将六年级学生的12

，等于五年级学生的

25

，等于四年级学生的

37

，看作一个单位，那么六年级学生

人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于73

学生，所以六年级、五年级、

四年级学生人数的比为57

212151423

=：：：：，所以六年级学生人数为12615121514

?

++=180人，五年级学生人数为15615225121514

?

=++人，四年级学生人数为14

615210

121514

?

=++人

【例 15】 一块长方形铁板，宽是长的45

．从宽边截去21厘米，长边截去35%以后，得到一块正方形铁板．问

原来长方形铁板的长是多少厘米? 【解析】 如果只将长边截去35%，宽、长之比为

(

)4:5

135%16:13

?-

=

????，所以宽边的长度为

21(16

13)

16

1÷

-?=厘米，所以原来铁板的长为4112140

5

÷

=厘米．

【巩固】 一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方

形面积相等．原正方形的边长是多少米?

【解析】 要保证面积不变，一边减少20%，即是原来的

45

，另一边要变成原来的

54

，即增加

5114

4

-=

，所以

原正方形的边长为12

8

4÷=(米).

【例 16】 一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5；如果小强买

了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13．小明原来有多少钱？ 【解析】 由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的

55257=+，小明的钱相当于小明、小强买

刀后钱数和的

888+13

21

=，所以小明、小强的钱数的比值为

85:

8:15

21

7=，而小明买刀后小明、小强

的钱数之比为2:56:15

=，所以小明买刀前后的钱数之比为8:6

4:3

=，所以小刀的售价等于小明原

来钱数的

43144

-=，所以小明的钱数为1312

4

÷=元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为

28:3:4

721

=，小明的钱数为()434312

?

÷-=????（元）

【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为6:5，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之

比为18:11，求原来两人的钱数之和为多少？

【解析】 两人原有钱数之比为6:5，如果甲得到180元，乙得到150元，那么两人的钱数之比仍为6:5，现

在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少得到了120元，现在两人钱数之比为18:11，可以理解为：两人的钱数分别增加180元和150元之后，钱数之比为18:15，然后乙的钱数减少120元，两人的钱数之比变为18:11，所以120元相当于4份，1份为30元，后来两人的钱数之和为30(1815)990?+=元，所以原来两人的总钱数之和为990180150660--=元．

【例 17】 一项机械加工作业，用4台A 型机床，5天可以完成；用4台A 型机床和2台B 型机床3天可以完

成；用3台B 型机床和9台C 型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下A 、C 型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业．

【解析】 由于用4台A 型机床5天可以完成；用4台A 型机床和2台B 型机床3天可以完成，所以2台B 型

机床3天完成的量等于4台A 型机床2天完成的量，则A 、B 两种机床每天完成的量的比为()()23:423:4??=，即A 型机床每天完成的量为3，B 型机床每天完成的量为4，该项作业总量为

34560

??=，那么C 型机床每天完成的量为()6024392÷

-?÷=，3种机床各取一台工作5天后，

剩下的工作量为()60342515

-++?=，A 、C 型机床还需继续工作()15323

÷+=天．

【例 18】 动物园门票大人20元，小孩10元．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了

60%，儿童增加了90%，共增加了2100人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？

【解析】 前一天大人与小孩的人数比为1:(60%2)5:6?=，六一那天增加的大人与增加的小孩人数比为

()()

560%:690%5:9

??=， 大人增加的人数为

52100750

14

?

=人，小孩增加的人数为

21007501350

-=人，大人的总数为75060%750÷+=人，小孩的总人数为

135090%135

÷+=人，总人数为200028504850+=人． 【例 19】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2，第一天售出苹果的20%，售出桃子的吨数与

所剩桃子的吨数的比是1:3；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩

桃子吨数的

415

，问原有苹果和桃子各有多少吨？

【解析】 法一：设原来苹果有x 吨，则原来桃子有2x 吨，得：(120%)184315

212

13

x x ?--=?

-+，解得37

x

=．所以原有

苹果37吨，原有桃子37274?=(吨)．

法二：原来苹果和桃子的吨数的比是1:2，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是41(120%)5

?-=

，剩下的桃子是33213

2

?

=

+，所以此时剩下的苹果和桃子的重

量比是

43:8:15

52=．现在再售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是4:15．这就

相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是8:15，先售出桃子12吨，苹果8321215

5

?=

吨，此时

剩下的苹果和桃子的重量比还是8:15，再售出32581855

-

=吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为

4:15，所以这

585

相当于844

-

=份，最后剩下的桃子有

5815875

42

?=吨，那么第一天后剩下的桃子有

87111122

2

+=

吨，原有桃子111374

2

13

÷

=+吨，原有苹果742

37

÷=吨．

（二）利用不变量统一份数

【例 20】 有一个长方体，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．表面积为272c m ，求这个长方体的体积. 【解析】 由条件长方体的长、宽、高的比6:3:2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为

()()()63:62:3218:12:63:2:1???==，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，

长方体的上面的面积为2

137218cm

2

321

??

=++，前面的面积为2

127212cm

2

321

?

?

=++，左面的面

积为2

117206cm

2321

?

?

=++，而2

18126

129636

??==，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个

长方体的体积为336cm ．

【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．已知这个长方体的全部棱长之和是220

厘米，求这个长方体的体积． 【解析】 由条件宽与高的比为23:2

1:

3

=，所以这个长方体的长、宽、高的比为22:1:

3

即6:3:2，由于长方体

的所有棱中，长、宽、高各有

4

条，所以长方体的长为

16

22030

4

632

?

?

=++厘米，宽为

1322015

4632

?

?

=++厘米，高为1222010

4632

?

?

=++厘米，所以这个长方形的体积为

301510

45

??=立方厘米. 【例 21】 （2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30

元，中型车15元，小型车10元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5:6，中型车与小型车之比是4:11，小型车的通行费总数比大型车多270元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？

【解析】 ⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将5:6中的6与4:11中的4统一成

[]4,612=，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由5:610:12=和4:1112:33=，得到10:12:33

=大型车:中型车:小型车．以10辆大型车、12辆中型车、33辆小型车为一组．因为每组

中收取小型车的通行费比大型车多1033301030?-?=(元)，所以这天通过的车辆共有270309÷=(组)．所以这天通过大型车有10990?=(辆)，中型车有129108?=(辆)，小型车有339297?=(辆)．

（2）这天收取的总费用为：309015108297107290?+?+?=元． 【例 22】 6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞

在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？

【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5，壹分硬币和伍分硬币的数量比为4:36:4.5=，所

以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6:5:4.5，即12:10:9，因此壹分硬币的数量为

121244812109

?=++枚，贰分硬币的数量为1012440

12109

?

=++枚，伍分硬币的数量为

912436

12109

?

=++枚，这些硬币一共有481402365308

?+

?+?=分，即币值为3.08元．

【例 23】 某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为

6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为151414∶∶，速度之比为689∶∶，所以它们运送1次

所需的时间之比为

1514145714

689249

=∶∶∶∶，相同时间内它们运送的次数比为：

2

49

5714

∶∶．在前10天，

甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为557∶∶．由于三种卡车载重量之比为1076∶∶，所以三种卡车的总载重量之比为503542

∶∶．那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：249503542202027

5714?????????=

?

? ??

??

??

?∶∶∶∶．在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的

工作量之比为

402027

∶∶．所以在这

25

天内，甲的工作量与总工作量之比为：

20104015

322020271040202715

79

?+?=++?+++?()()．

【例 24】 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3．实

际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果．那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块． 【解析】 方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的

512

，

412

，

312

；实际甲、乙、丙三人所得

糖果数分别占总数的718

，

618

，

518

，只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总

数为531554018

12??

÷-

=

???

(块)，丙实际所得的糖果数为5540150

18

?=(块)．

方法二：化通比为： 甲 乙 丙 总数为 原计分配为 5 ： 4 : 3 12份 实际分配为 7 ： 6 ： 5 18份 化通比为 15 ： 12 ： 9 36份 14 ： 12 ： 10 36份

对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙

所以15÷（10—9）×10＝150（块） 【巩固】

今年儿子的年龄是父亲年龄的

14

，15年后，儿子的年龄是父亲年龄的

511

．今年儿子多少岁？

【解析】 方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的

1141

3

=-，15年后儿子的年龄相当于父子年龄差的

55115

6

=-，所以15年相当于父子年龄差的

5116

3

2

-

=

，年龄差为11530

2÷=岁.今年儿子30310÷=岁.

方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的14

，所以儿子：父亲＝1：4；15年后，儿子的年龄是父亲年

龄的

511

，所以儿子：父亲＝5：11。因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为：

儿子 父亲 年龄差

1 ： 4 3 5 ： 11 6

根据不变量化通比为 2 ： 8 6 5 ： 11 6 对比分析为：15÷（5—2）×2＝10（岁） 【例 25】 一个周长是56厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长

方形面积的比是:1:2A B =，:1:2B C =．而在图⑵中相应的比例是':'1:3A B =，':'1:3B C =.又知长方形'D 的宽减去D 的宽所得到的差与'D 的长减去D 的长所得到差之比为1:3．求大长方形的面积．

（1）D C

B A

⑵D'

C'

B'A'

【详解】因为:1:2A B =，:1:2B C =，所以:1:4A C =； 因为':'1:3A B =，':'1:3B C =，所以':'1:9A C =，

设长方形的宽为a ,长为b ,得：32143943

10

5a a b b

-=-

．

得:2:5a b =．又56228a b +=÷=，所以8a =，20b =． 所以长方形面积208160=?=．

【例 26】 北京中学生运动会男女运动员比例为19:12，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员

比例变为20:13；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为30:19,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15人，则总运动员人数为多少？ 【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“1”，那么男运动员人数为

19191912

31

=+，女运动员人数为

1231

，而

增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是

1931

，所以这时女运动员人数为

19247201331

620

÷?=

，

增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，仍然是

247620

，所以男运动员人数增加为

247391930620

62

÷?=

．女子艺术体操项目人数为

24712762031620-=

，男子象棋项目的人数为3919162

31

62

-=，

男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多17362

620

620

-=

，原来总运动员人数为3153100

620

÷

=人，男子象棋项目运动员有1310050

62

?

=人，女子艺术体操运动员有7310035

620

?=人，所以现在

的总运动员人数为310050353185++=人．

【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是19:13．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3；再

放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11．已知放入的红球比白球少80只．那么原来袋子里共有 只球．

【解析】 根据第一次操作白球的数量不变，把19:13改写成57:39，5:3改写成65:39．第二次操作相对于第

一次操作红球数量不变，把13:11改写成65:55，这时我们可以看出，经过两次操作后，红球共增加了65578-=份，白球增加了553916-=份．原来红球有()8016857570÷-?=个，白球有

()8016839390

÷-?=个．两种球共570390

960

+=个．

【例 27】 有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队

的男队员的

718

，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全

体女队员的人数是剩下的全体男队员的817

，问开始共有多少支突击队参加会战？

【解析】 由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的

718

，所以原来全体女队员的人数是全体男队员的

718

，

即原来女队员的人数占所有队员人数的725

，调走第一突击队的一半队员后，女队员的人数占剩下的

队员总数的

825

，由于调走的全是男队员，女队员的人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前

的队员总数之比为2525:7:8

87=，即调走的队员人数占原来队员总人数的1

8

，而调走的队员为第一

突击队的一半，且每个突击队人数相同，114

28÷=，故开始共有4支突击队参加会战．

（三）利用等量关系列方程解比例 【例 28】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比

是8:5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:4． 问报考的共有多少人？ 【解析】 (法1)录取的学生中男生有89156

58

?

=+人，女生有9156

35

-=(人)，先将未录取的人数之比3:4变

成44:43

?，又有35642

4

?

=(人)，所以每份人数是()442

35433

3??

-÷?-= ???

(人)，那么未录取的男

生有

4312

?=

(人)，未录取的女生有

44316

?

?=(人)．所以报考总人数是

()()56123516119+++=(人)．

(法2)设未被录取的男生人数为3x 人，那么未被录取的女生人数为4x 人，由于录取的学生中男生有

89156

58

?

=+人，女生有9156

35

-=(人)，则()()563:3544:3

x x +

+=，解得4

x

=．所以未被录取

的男生有12人，女生有16人．报考总人数是 ()()56123516119+++=(人)．

【例 29】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________．

【解析】 设切下的部分重量为x 千克，则甲切下的x 千克与乙剩下的(4)x －千克混合．由于得到的两块新合金

的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由6千克甲块合金与4千克乙块合金混合而成的，所以x 千克甲块合金与(4)x －千克乙块合金混合后的含铜率与6千克甲块合金与4千克乙块合金混合后的含铜率相同，而

甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即

644

x x

=－，所以：

464x x =（－），解得 2.4

x =．

课后练习：

练习1. 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的

34

是草地；圆的

67

是竹林；竹林比草地多占地450平方

米． 问：水池占多少平方米?

【解析】 正方形的

34

是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是3份；圆的

67

是竹林，水池占1份，竹林

的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3份。3份的面积是450平方米，可见1份面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米。

练习2. 乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的

14

等于乙班种的棵数的1

5

，且乙班比甲班多种树24棵，

甲、乙两个班各种树多少棵?

【解析】 甲、乙两班种树棵数之比为：

11:

4:5

5

4

=，甲班种树棵数为：()2454496÷-?=(棵)，乙班种树棵

数为：()24

545120

÷-?=(棵)．

练习3. 甲本月收入的钱数是乙收入的5

8

，甲本月支出的钱数是乙支出的

34

，甲节余240元，乙节余480元．甲

本月收入多少元？

【解析】 甲、乙本月收入的比是5:8，分别节余240元和480元，支出的钱数之比是3:4．如果乙节余480

元，甲节余48085300÷?=元，那么两人支出的钱数之比也是5:8，现在甲只节余240元，多支出了60元，结果支出的钱数之比从5:8变成了6:8(即3:4)，所以这60元就对应651-=份，那么甲支出了606360?=元，所以甲本月收入为360240600+=元．

练习4. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向开出，甲车速度是50千米／小时，乙车速度是40千米／小

时，当甲车驶过A 、B 距离的1

3多50千米时与乙车相遇，A 、B 两地相距 千米．

【解析】 在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之比等于50:40

5:4=，

那么

A

、B 距离的

13

多50千米即是

A

、B 距离的5545

9

=

+，所以50千米的距离相当于全程的

5

129

39??-= ???，全程的距离为250225

9

÷

=(千米)．

月测备选

【备选1】甲、乙、丙三个数，已知()

:4:3+=甲乙

丙

，:2:7

=乙丙

，求::甲乙

丙

。

【解析】 由:2:7

=乙丙

可得到():2:9

+=

乙乙

丙

，()

:7:9

+=丙乙

丙

，而()

:4:3

+=甲乙

丙

，

所以：427::::12:2:7

399

==甲乙

丙．

【备选2】有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果中有奶

糖多少块? 【解析】 方法一：原来奶糖占

459100

20

=，后来占

2511004

=

，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也比原来糖果

多16粒，从而原来的糖果是16+(9420

?-

1)=20块.其中奶糖有20×920

=9块．

方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,设奶糖有9份，其他糖(包

含水果糖)有11份．现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，l 份即1块．奶糖占9份，就是9块奶糖．

【备选3】甲、乙两个工人上班，甲比乙多走1

5的路程，而乙比甲的时间少

111，甲、乙的速度比是 ． 【解析】 甲走的路程是乙走的路程的

65

，甲用的时间是乙用的时间的

1110

，所以甲的速度是乙的速度的

61112510

11

÷=，即甲、乙的速度比是12:11．

【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑

棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？

【解析】 第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由()2:110:5=变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份，这样原来黑棋的个数为4591050÷?=(枚)，

白棋的个数为45951540÷?+=(枚)．

【备选5】加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在三人在同样的时

间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 【解析】 根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为

111::28:24:213 3.5

4

=，那么在相同的时间内，三人完

成的工作量之比也是

28:24:21

，所以甲加工了2836501400

282421

?

=++个零件，乙加工了

2436501200

282421

?

=++个零件，丙加工了21

36501050

282421

?

=++个零件。

六年级北师大版比和比例奥数题

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 比和比例（二） （一）典型例题： 例1. 六年级一班小图书箱里共有文艺书和科技书91本，文艺书本数的25%与科技书本 数的 2 5 正好相等，两种书各有多少本？ 分析与解：根据第二个已知条件可得： 文艺书本数?= 25%科技书本数? 2 5 再利用比例的基本性质把上式转化为： 文艺书本数：科技书本数== 2 5 25%85 ：： 利用按比例分配的方法分别求出每种书各有多少本。8513 += 91 8 13 56 ?=（本） 91 5 13 35 ?=（本） 答：文艺书有56本，科技书有35本。 例2. 甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3，当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥的重量比变为3：4，原来甲队有水泥多少吨？ 分析与解：解答此题的关键是要抓住甲、乙两队水泥的总数没有变，原来甲队占两队水 泥总量的4 7 ，甲队少了54吨后，甲队占两队水泥总量的 3 7 。 “1” 4 7 3 7 54吨 ？吨 通过上图可知：总吨数的 4 7 3 7 - ? ? ? ? ?是54吨，可以求出两队水泥的总吨数，要求甲队原 有水泥吨数，就是求总吨数的4 7 是多少？ 437 +=

544737541 7 378÷-?? ? ??= ÷=（吨） 37847 216?=（吨） 答：甲队原有水泥216吨。 例3. 如下图，甲、乙二人绕一个长方形操场跑步。该操场长160米，宽120米，甲从A ，乙从B 相向而跑，结果第一次在E 处相遇，E 处距A 处60米，相遇后，甲、乙二人继续跑。 问：甲、乙二人能否在E 处再次相遇？若相遇，这是甲、乙的第几次相遇？ D C A E B 分析与解：由图知，B E =100 米，这说明乙的速度比甲快，甲乙速度之比是3：5，假设能够再次在E 处相遇，则此时，甲、乙又跑了整数圈，由于时间相同，路程与速度成正比，所以甲、乙所跑路程（圈数）与速度成正比，即：甲、乙所跑圈数为3：5，只需甲跑3圈，乙跑5圈，二人恰好在E 处再次相遇。 因为甲、乙相遇一次，就相当于合起来共跑了一圈，所以甲、乙共跑了() 358+=圈，所以从E 处出发后，甲、乙两人共相遇了8次，这说明最后在E 点相遇是甲、乙的第九次 相遇（包括第一次在E 点相遇） 例4. 把在比例尺为1：250的平面图上，面积是64平方厘米的正方形移到比例尺为多少的平面图上，它的面积将是100平方厘米？ 分析与解：864 10100 2 2 == 即第一幅图的正方形边长为8厘米，第二幅图的正方形边长为10厘米，通过比例尺和图上距离可以求出实际距离。 81250 2000÷ =（厘米） 知道正方形实际的边长2000厘米和图上的边长10厘米，可以求出第二幅图的比例尺。 1020001200：：= 答：移到比例尺是1：200的平面图上，正方形的面积将是100平方厘米。 例5. 甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两地同时相向而行，速度比是7：11。相遇后两车继续行驶，分别到达B 、A 两地后立即返回，当第二次相遇时，甲车距B 地80千米，A 、B 两地相距多少千米？ 分析与解：时间一定，速度和所行路程成正比例。

【强烈推荐】六年级奥数：比和比例

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比 号后面的数叫比的后项。 比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。 比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。 比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或 比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。 正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。 【意义】 >>>比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。 “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 性质 >>>比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。 >>>比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 求比值和化简比 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 【比例尺】 图上距离：实际距离=比例尺 要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。按比例分配

六年级奥数工程问题教师版

工程问题 一：基本类型 工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。 模型一：工作效率（和）×工作时间=工作总量 模型二：工作总量÷工作效率（和）=工作时间 模型三：工作总量÷工作时间=工作效率（和） （一）先合作，后独作 例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A） 例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天？（B级）

（二）丙先帮甲，再帮乙 例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？（B级） （三）甲乙合作，中途有人休息 例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天，而丙一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？（B级）

（四）独做化合做 例5、甲乙合做一项工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5，两队单独做完成任务各需多少天？（B级） （五）合做变独做 例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是2：3。如果由乙单独做，需要多少天才能完成？（B）

(完整版)奥数题_专题训练之比和比例应用题

比和比例 比和比例 比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括： 比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）； 比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。 所以，比和比例的联系就可以说成是： 比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组和而成的。 比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的是叫做比例。比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。比和比例的意义也不同。 比和比例应用题 [例1]、生产队饲养的鸡与猪的只数比为26∶5，羊与马的只数比为25∶9，猪与马的只数比为10∶3。求鸡、猪、马和羊的只数比。 [分析] 该题给出了三个单比，要求写出它们的连比。将几个单比写成连比，关键是利用比的基本性质将各个比中表示同一个量的值化为相同的值。 [解] 由题设， 鸡∶猪=26∶5，羊∶马=25∶9， 猪∶马=10∶3， 由比的基本性质可得： 猪∶马=10∶3=30∶9， 羊：马=25∶9， 鸡：猪=26∶5=156∶30， 从而鸡∶猪∶马∶羊=156：30∶9∶25。 答：鸡、猪、马、羊的只数比为156∶30∶9∶25。 [注] 将单比化为连比时，还可先化为三个量的连比，再化为四个量的连比。如，鸡∶猪=26∶5，猪∶马=10∶3，由此可得，鸡∶猪∶马=52∶10∶3；再注意到羊∶马=25∶9可得，鸡∶猪∶马∶羊=156∶30∶9∶25。 [例2]．下列各题中的两个量是否成比例?若成比例，请说明成正比例还是成反比例。 (1)路程一定时，速度与时间； (2)速度一定时，路程与时间； (3)播种面积一定时，总产量与单位面积的产量； (4)圆的面积与该圆的半径； (5)两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。 [分析] 利用正比例、反比例的概念进行判定与说明。 [解] (1)由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。 (2)由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。 (3)由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。 (4)设圆的半径为R，则圆的面积为∏R2，所以圆的面积与半径的积为∏R3，随半径的变化而变化，即圆的面积

小学六年级奥数题-专题训练之比和比例应用题

小学六年级奥数题:专题训练之比和比例应用题 例１、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是50:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？ 提示:单价比:成年人:儿童:残疾人=3:2:1 人数比:50:20:1 [练习]甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？ 例２、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6，乙商品与丙商品的数量之比为4:11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元。 提示:根据已知条件可先求三种商品的数量比。 [练习]一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的单价比是11:8:7,要合成这样的什锦糖120千克，什锦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？ 例３、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？ 提示:根据已知条件已知A、B、C转速与齿数的积都相等，即它们的转速与齿数成反比例。

习题： 1、甲、乙、丙三个平行四边形的底之比是4:5:6，高之比是3:2:1，已知三个平行四边形的面积和是140平方分米，那么甲、乙、丙三个平行四边形的面积各是多少？ 2、甲、乙、丙三个三角形的面积之比是8:9:10，高之比是2:3:4，对应的底之比是多少？ 3、某校四、五年级参加数学竞赛的人数相等，四年级获奖人数与未获奖人数的比是1:4，五年级获奖人数与未获奖人数的比是2:7；两个年级中获奖与未获奖人数的比是多少？ 4、盒子里共有红、白、黑三种颜色的彩球共68个，红球与白球个数的比是1:2，白球与黑球个数的比是3:4，红球有多少个？

六年级奥数一至十讲教师版

小学六年级奥数教案—01比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 2.化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 4.根据倒数比较大小。 5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，

6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。 （2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。 前一个差比较小，所以m＜n。 （3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。 注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。 利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。

六年级奥数比和比例

六年级奥数比和比例 分析 依据题意有32A=43B=54C,则A:B:C=18:16:15 例题2 甲；乙两校原有图书的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲；乙两校的图书本数的比就是3：4，原来甲校友图书多少本？ 随堂练习 《1》有一个长方体，长和宽的比是2：1，宽与高的比是3:2。已知这个长方体的全部棱长之和是220cm ，求这个长方体的体积。 《2》小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多51，小方用的时间比小明多81。小明和小方的速度之比是多少？ 《3》甲；乙两仓库存货吨数比为4：3，如果由甲库中提取8吨放到乙库中，则甲；乙两仓库存货吨数比为4：5。两仓库原存货总吨数是多少吨？

例题3 如图《见黑板》，正方形ABCD的边AB与正方形MNPQ的边PQ平行且相等。试求阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比。 例题4 如图，三个同心圆，他们的半径之比是3：4：5，如果大圆的面积是100平方厘米，那么中圆和 小圆之间的圆环面积是多少？ 练习 (1)如图在四边形ABCD中，AC和BD相交于O点。三个小三角形的面积分别是20；16；32。那么阴影三角形BOC的面积是多少？ B C (2)如图所示梯形ABCD的上底AD长12厘米，高BD长18厘米，BE=2DE,则下底BC长多少厘米？ B C

1；六年级一班的男；女生比例是3：2，又来了4名女生后，全班共有44人，求现在的男；女生人数之比。 2、师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 3、甲；乙两人的钱数之比是3：1，如果甲给乙0；6元，则两人的钱数之比变为2：1；两 人共有多少钱？ 4；一条路全长是60千米，分成上坡；平路；下坡三段，各段路程的长度之比是1：2：3， 某人走各段路程所用的时间之比是3：4：5。已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程 用多少时间？

比和比例奥数题

比和比例奥数题 小学六年级奥数训练题之比和比例(1) 例1、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是50:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？ 提示：单价比：成年人：儿童：残疾人=3:2:1 人数比：50:20:1 [练习]甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？ 例2、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6，乙商品与丙商品的数量之比为4:11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元。 提示：根据已知条件可先求三种商品的数量比。 [练习]一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的单价比是11:8:7,要合成这样的什锦糖120千克，什锦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？ 例3、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？ 提示：根据已知条件已知A、B、C转速与齿数的积都相等，即它们的转速与齿数成反比例。 习题： 1、甲、乙、丙三个平行四边形的底之比是4:5:6，高之比是3:2:1，已知三个平行四边形的面积和是140平方分米，那么甲、乙、丙三个平行四边形的面积各是多少？ 2、甲、乙、丙三个三角形的面积之比是8:9:10，高之比是2:3:4，对应的底之比是多少？ 3、某校四、五年级参加数学竞赛的人数相等，四年级获奖人数与未获奖人数的比是1:4，五年级获奖人数与未获奖人数的比是2:7；两个年级中获奖与未获奖人数的比是多少？ 4、盒子里共有红、白、黑三种颜色的彩球共68个，红球与白球个数的比是1:2，白球与黑球个数的比是3:4，红球有多少个？ 1 / 1

人教版六年级数学上册比和比例练习题

比和比例 1、两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。比的后项不能为0。 2、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 3、商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。 4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），它们的比值不变。 5、小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 6、公因数只有1的两个数叫做互质数。最简整数比：比的前项和后项是互质数。 7、比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。 8、比例：①表示两个比相等的式子叫做比例。如：（3：4=9：12）。 比例有四个项，分别是两个内项和两个外项。在3：4=9：12中，其中3与12叫做比例的外项，4与9叫做比例的内项。比例的四个数均不能为0。 9、比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 10、比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。 一．填空

1、0.6=3：（）=（）÷15=（）成=（）％ 2、11 2 ： 0.75的比值是（），把它化为最简的整数比是（） 3、比例4：9=20：45写成分数形式是（），根据比例的基本性质写成乘法形式是（） 4、18的约数有（），选出其中四个数组成一个比例是（） 5、在比例尺1：2000000的地图上，图上1厘米表示实际距离（）千米。 6、在一个比例中，两个内项互为倒数，一个外项是2 5 ，另一个外项是（） 7.甲数除以乙数的商是4，甲数与乙数的最简整数比是（） 8、我国<<国旗法>>规定，国旗的长和宽的比是3：2，学校的国旗宽是128厘米，长应该是( )厘米。 9、三角形底一定，它的高和面积成（）比例。 10、用0.2 、 6、 30、 1这四个数组成两个比例式是（）和（） 11、某厂男职工人数是女职工的2 3 ，女职工与男职工的人数比是（） 12、两个正方体的棱长比是3：4，它们的体积比是（） 13、如果3a=2b，那么a：b=（）：（） 14、从A地到B地，甲用12分钟，乙用8分钟，甲乙的速度比是( ) 15、小圆的半径是2厘米，大圆的半径是3厘米，小圆和大圆的周长比是（），面积比是（）

六年级奥数-等积变形(教师版)

第三讲 等积变形 1.等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 2.鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，

则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 3.蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 4.相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

六年级比和比例奥数题

六年级比和比例(1) 1.4:（ ）=()12 =（ ）÷12=0.8=（ ）%=（ ）:（ ） 2.建筑工地计划运进一批水泥，第一次运来总数的 41，第二次运来180吨，这时运来的与没有运来的吨数比是4:3，工地计划运进水泥多少吨？ 3.已知a:b=c:d ，现将a 扩大2倍，b 缩小到原来的 2 1，c 不变，d 应 （ ）才能使比例式仍成立。 4.在1、2、3、4、6、8、12、16这八个数中，哪些数能组成比例。（答案有多组，至少写出其中的两组，即8个比例式。） 5.在一个比例式里，第一个比是最简整数比，且比值是0.75，两个内项的乘积是60，这个比例式是（ ）。 6.在比例尺50001的地图，量得一长方形地长3.2厘米，宽1.2厘米，这块土地实际的面积是多少？ 第一部分 必做题 1.(☆)两个正方体棱长的比是2:3，这两个正方体底面积的比是（ ）:（ ），体积比是（ ）:（ ）。

2.(☆)甲数和乙数的比是4:3，甲数与甲乙两数和的比是（），甲数 比乙数多() ()，乙数比甲数少（）%。 3.一个正方体的六个面分别是红色、黄色、绿色、蓝色、红色、白色，把它拿 在手上掷回桌面，蓝色朝上的可能性大约是（）%，红色大约是（）%。 4.(☆)⑴一幅行政区域图上用5厘米表示实际距离100千米，这幅地图的比例 尺是（）。 ⑵一个零件实际长度是3毫米，画在图上的长度是3厘米，这幅图的比例 尺是（）。 ⑶在比例尺1:2000000的地图上，测得A、B两地是4.5厘米，实际距离 是（）千米。 ⑷如皋、海安两城之间的实际距离是192千米，在比例尺为1:600000的 图纸上，应画（）厘米。 5.(☆)海安实小新建学生公寓楼，地基是长方形，长40米，宽15米，把它画 在设计图上，长画80厘米，宽应画多少厘米？ 6.(☆☆)看下图回答下列问题： 学校 西 小青家 0 200 400 600米 小红家 a.图中比例尺是（）。

2019年小学六年级奥数题-专题训练之比和比例应用题

2019年小学六年级奥数题-专题训练之比和比例应用题 例１、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是50:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？ 提示:单价比:成年人:儿童:残疾人=3:2:1 人数比:50:20:1 [练习]甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？ 例２、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6，乙商品与丙商品的数量之比为4:11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元。 提示:根据已知条件可先求三种商品的数量比。 [练习]一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的单价比是11:8:7,要合成这样的什锦糖120千克，什锦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？ 例３、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？ 提示:根据已知条件已知A、B、C转速与齿数的积都相等，即它们的转速与齿数成反比例。

习题： 1、甲、乙、丙三个平行四边形的底之比是4:5:6，高之比是3:2:1，已知三个平行四边形的面积和是140平方分米，那么甲、乙、丙三个平行四边形的面积各是多少？ 2、甲、乙、丙三个三角形的面积之比是8:9:10，高之比是2:3:4，对应的底之比是多少？ 3、某校四、五年级参加数学竞赛的人数相等，四年级获奖人数与未获奖人数的比是1:4，五年级获奖人数与未获奖人数的比是2:7；两个年级中获奖与未获奖人数的比是多少？ 4、盒子里共有红、白、黑三种颜色的彩球共68个，红球与白球个数的比是1:2，白球与黑球个数的比是3:4，红球有多少个？ 附送： 2019年小学六年级奥数题-专题训练之逻辑推理问题 (I) 1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印了不同的号码。赵说：甲是2号，乙是3号；钱说：丙是4号，乙是2号；孙说：丁是2号，丙是3丙；李说：丁是1号，乙是3号。又知道赵、钱、孙、李每人都说对了一半，那么，丙的号码是( )号。 2、有一种俱乐部，里面的成员可以分成两类。第一类是老实人，永远说真话。第二类是骗子，永远说假话。某天俱乐部全体成员围着一张圆桌坐下，每个老实人的两旁都是骗子，每个骗子的两旁都是老实人。记者问俱乐部成员张三：俱乐部共有多少成员？张三回答：有45人。李四说：张三是老实人，那么李四是老实人还是骗子？

六年级奥数题：比和比例一

比例问题 一、 填空题 1.4:( )=20 16=( )÷10 2.在3:5里,如果前项加上6,要使比值不变,后项应加 . 3.12:1的图纸上,精密零件的长度为6厘米,它的实际长度是 毫米. 4.某生产队有一块正方形菜地,边长120米,在总面积中种植西红柿、南瓜、茄子面积的比是25:1:2 1,三种蔬菜各种了 亩. 5.买甲、乙两种铅笔共210支,甲种铅笔每支价值3分,乙种铅笔每支价值4分,两种铅笔用去的钱相同,甲种铅笔买了 支. 6.车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数的比是2:5.问:摩托车的辆数与小卧车的辆数的比是 . 7.自然数A 、B 满足182 111=-B A ,且A :B =7:13.那么,A +B = . 8.光明小学有三个年级,一年级学生占全校学生人数的25%,二年级与三年级学生人数的比是3:4,已知一年级比三年级学生少40人,一年级有学生 人. 9.水泥、石子、黄砂各有5吨,用水泥、石子、黄砂按5:3:2拌制某种混凝土,若用完石子,水泥缺 吨.黄砂多 吨. 10.甲、乙两人步行的速度比是13:11.如果甲、乙分别由A 、B 两地同时出发相向而行,0.5小时后相遇,如果它们同向而行,那么甲追上乙需要 小时. 11.已知甲、乙两数的比为5:3,并且它们最大公约数与最小公倍数的和是1040,那么甲数是多少,乙数是多少. 12.有一块铜锌合金,其中铜与锌的比是2:3.现在加入锌6克,共得新合金36克,求在新合金内铜与锌的比. 13.一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长之比依次是1:2:3.某人走各段路所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡时速度为每小时3千米.路程全长50千米.问:此人走完全程用了多少时间? 14.一个圆柱体的容器中,放有一个长方形铁块.现在打开一个水龙头往容器中注水,3分钟时,水恰好没过长方体的顶面,又过了18分钟,水灌满容器.已知容器的高度是50厘米.长方体的高度是20厘米,那么长方体底面积:容器底面面积等于多少? 练习题 1 有一个长方体，长与宽的比是2：1，宽与高的比是3：2，已知这个长方体的全部棱长之和是220cm 。 求这个长方体的体积。 2 6枚一分硬币叠在一起与5枚二分硬币叠在一起一样高，4枚一分硬币叠在一起与3枚五分硬币叠在一起一样高，用一

六年级奥数分数百分数应用题教师版定稿版

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第六讲：分数百分数应用题 教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨： 一、知识点概述 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为 19 1 88 +=，因此乙比甲少 191 889 ÷=.

方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少 1 19 9÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较 分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。 （三）、原数量与现数量

六年级奥数比和比例

六年级奥数比和比例(总3 页) 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March

例题1 有三盒珠子，每盒的珠子的数量互不相同。小王从第一个盒子内取出该盒珠子数量的31，又从第二个盒子内取出该盒珠子数量的41，再从第三个盒子内取出该盒珠子数量51 。最后，这三个盒子内剩下的珠子的数量都相等。请问小王从这三个盒子内所取出的珠子数量之总和的最小可能的值是什么？ 分析 依据题意有32A=43B=54C,则A:B:C=18:16:15 例题 2 甲、乙两校原有图书的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校的图书本数的比就是3：4，原来甲校友图书多少本？ 随堂练习 （1）有一个长方体，长和宽的比是2：1，宽与高的比是3:2。已知这个长方体的全部棱长之和是220cm ，求这个长方体的体积。 （2）小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多51，小方用的时间比小明多81。小明和小方的速度之比是多少？ （3）

（3）甲、乙两仓库存货吨数比为4：3，如果由甲库中提取8吨放到乙库中，则甲、乙两仓库存货吨数比为4：5。两仓库原存货总吨数是多少吨？ 例题3 如图（见黑板），正方形ABCD的边AB与正方形MNPQ的边PQ平行且相等。试求阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比。 例题4 如图，三个同心圆，他们的半径之比是3：4：5，如果大圆的面积是100平方厘米，那么中圆和小圆之间的圆环面积是多少？ 练习 (1)如图在四边形ABCD中，AC和BD相交于O点。三个小三角形的面积分别是20、16、32。那么阴影三角形BOC的面积是多少？ B C (2)如图所示梯形ABCD的上底AD长12厘米，高BD长18厘米，BE=2DE,则下底BC长多少厘米？

六年级奥数试题-排列组合(教师版)

第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1

…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（）　． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．

六年级奥数 分数百分数应用题教师版

一、解答题（共25小题，满分0分） 1．（2011?成都）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元？ 2．（2006?泉山区校级自主招生）100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，这100千克的蘑菇现在还有千克． 3．有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是多少升？ 4．（2012?哈尔滨校级自主招生）有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重．如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍．这两堆煤共重多少吨？

5．一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2：1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，求开始时黑棋子、白棋子各有多少枚？ 6．某班有学生48人，女生占全班的%，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生？ 7．（2010?北京校级自主招生）把一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形．它与原来的正方形面积相等．问正方形的面积是多少？ 8．学校男生人数占45%，会游泳的学生占54%．男生中会游泳的占72%，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？

9．某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ 10.（2012?中山校级模拟）一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？ 11．有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5．现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（图1），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（图2），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？

六年级奥数比例应用题

六年级奥数比例应用题 【指点迷津】 比例解题是小学数学综合能力的一个重要方面,这里的比例题主要包括正比例和反比例的应用。它常常同分数应用题、工程问题、行程问题等交织在一起,使数量关系变得复杂。 解题的关键在于找出与问题有关的几种相关联的量，并判断它们的关系。 【经典例题】1、 小明和小方各走一段路,小明走的路程比小方多15,小方用的时间比小明多1 8,小明和小方 的速度之比是多少? 【思路导航】根据题意,小明和小方路程之比为6 : 5,小明和小方所用的时间的比是8:9,我们把这两个比看作最简整数比,利用路程与时间的关系, 可求出小明和小方的速度之比。 解:68 :5 9=27:20 答:小明和小方的速度之比是27: 20。 【举一反三】1、 1. 张师傅和李师傅加工一些零件,张师傅加工的个数比李师傅多1 6 ,李师傅用的时间比 张师傅多1 8; ,张师傅和李师傅每小时加工的个数之比是多少? 2.李刚和张亮各走一段路,李刚走的路程比张亮多25 ,张亮用的时问比李刚多3 8 ,李刚和

张亮的速度之比是多少? 【经典例题】2、 甲、乙两仓库存货吨数比为4 : 3,如果由甲库中取出8吨放到乙库中,则甲、乙两仓库存货吨数比为4 : 5 ,两仓库原存货总吨数是多少吨? 【思路导航】甲库中原来存货占甲、乙两库总数的44+3 =4 7,取出8吨后,那么甲库余下的 吨数是甲、乙两库总吨数的49,所以取出的8 吨是占甲、乙两库总数的47— 4 9 解：8÷（47— 4 9）= 63（吨） 答：两仓库原存货总吨数是63吨。 【举一反三】2、 1、甲、乙两厂的人数比是7: 6,从甲厂调360人到乙厂后，甲、乙两厂人数的比是2：3, 甲、乙两厂原来一共有多少人? 2 甲、乙两工程队的人数比是6: 5，从甲队调50人到乙队后,甲、乙两队人数的比是4 5,甲、乙两队原来一共有 多少人？

奥数题_专题训练之比和比例应用题

比和比例应用题 [例1]、生产队饲养的鸡与猪的只数比为26∶5，羊与马的只数比为25∶9，猪与马的只数比为10∶3。求鸡、猪、马和羊的只数比。 [分析] 该题给出了三个单比，要求写出它们的连比。将几个单比写成连比，关键是利用比的基本性质将各个比中表示同一个量的值化为相同的值。 [解] 由题设， 鸡∶猪=26∶5，羊∶马=25∶9， 猪∶马=10∶3， 由比的基本性质可得： 猪∶马=10∶3=30∶9， 羊：马=25∶9， 鸡：猪=26∶5=156∶30， 从而鸡∶猪∶马∶羊=156：30∶9∶25。 答：鸡、猪、马、羊的只数比为156∶30∶9∶25。 [注] 将单比化为连比时，还可先化为三个量的连比，再化为四个量的连比。如，鸡∶猪=26∶5，猪∶马=10∶3，由此可得，鸡∶猪∶马=52∶10∶3；再注意到羊∶马=25∶9可得，鸡∶猪∶马∶羊=156∶30∶9∶25。 [例2]．下列各题中的两个量是否成比例?若成比例，请说明成正比例还是成反比例。 (1)路程一定时，速度与时间； (2)速度一定时，路程与时间； (3)播种面积一定时，总产量与单位面积的产量； (4)圆的面积与该圆的半径； (5)两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。 [分析] 利用正比例、反比例的概念进行判定与说明。 [解] (1)由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。 (2)由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。 (3)由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。 (4)设圆的半径为R，则圆的面积为∏R2，所以圆的面积与半径的积为∏R3，随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成反比例；而圆的面积与半径的比值为∏R，也随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成正比例。综上，圆的面积与半径不成比例。 (5)由于齿轮的转速与齿数的积等于单位时间内齿轮转过的总齿数，而两个相互咬合的大小齿轮在单位时间内转过的总齿数相等，所以，它们的转速与齿数成反比例。 [注] 若两个相关联的量成正比例，则一个量变大(小)时，另一个量也变大(小)；若两个相关联的量成反比例，则一个量变大(小)时，另一个量反而变小(大)。因此，在上例的(4)中，注意到半径愈大，圆的面积也愈大，故只需判断圆的面积与半径不成正比例，就可断定圆的面积与半径不成比例。 [例3] 某小学共有学生697人，已知低年级学生数的1/2等于中年级学生数的2/5，低年级学生数的1/3等于高年级学生数的2/7，求该校低、中、高年级各有多少名学生? [分析] 由题设条件可得低、中、高各年级的学生数的比，从而可按比例分配求得各年级的学生数。 [解] 设低年级的学生数为“1”，则中年级的学生数为1/2÷2/5=5/4，高年级的学生数为1/3÷2/7=7/6手：舌，从而，低、中、高年级的学生数的比为：低∶中∶高=1∶5/4∶7/6=12∶15∶14，