分解因式法最终

因式分解法

一、教学目标：

1、学会运用因式分解法解一元二次方程；

2、能针对方程的特点运用适当的方法解方程；

二、教学过程：

1、温故

（1）如果0

ab，那么a=_______或b=________；

=

（2）因式分解：x

22-=__________；)5

x4

+x

x

+

x=__________________

(

)5

(3

2+

因式分解的方法有________________________________________

用公式法解方程：（1）0

x；（2）2

-x

12

42=

x

+x

x（有别的方法吗？）

2

)1

(+

=

2、知新

例解下列方程：

（1）x

52=（2）)2

x4

x

x

-x

=

(

2-

因式分解法

1、当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将原方程降次为两个一元一次方程，从而求出一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

2、因式分解法的理论依据若0

=

n，

m或0

=

mn，则0

=

练习

用因式分解法解下列方程：

（1）04)-2)(x (x =+ （2）07)1)(5x -(4x =+

（3）0322=-x x （4）)3()3)(23(+=++x x x

用因式分解法解方程：

（1）223423)()(-=+x x

（2）22)1(4)14(-=-x x

解下列方程

（1）0352=+x x

（2）)12(3)12(4+=+x x x

（3）)15(3)51(2-=-x x

（4） x x x 2-2)1-(3=

三、随堂练习：

1、方程0)2)(1(=-+x x 的根是（ ）

A ．1-=x

B ．2=x

C ．2121-==，x x

D ．2121=-=，x x

2、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）

A ．若42=x ，则2=x B. 方程12)12(-=-x x x 的解为1=x

C ．方程0622

=+-x x 的一次项系数为2- D ．若分式1

232-+-x x x 的值为零，则2,121==x x 3、方程x x 22=的解是（ ）A ．2=x B ．0,221=-=x x C ．0,221==x x

D ．0=x

4、填写解方程)5(5)5(3+=+x x x 的过程

解：)5(3+x x =0

)5(+x =0

=+5x 或 =0

∴=1x ，=2x

易错点：因式分解时，对添负号或添括号的处理；

例 解方程0)1(2)1(2=-+-x x

学以致用：解方程0)2()2(32=---x x

四、小测验

1、方程0)3()3(2=---x x 的解是（ ）

A ．3

B ．4

C ．3 或 4

D ．3 或 –2

2、方程x x 52=的根是____________；方程0)2)(1(=-+x x 的根是____________；

3、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）

A ．0)13)(32(=--x x ∴013032=-=-x x 或

B ．1)1)(3(=-+x x ∴1103=-=+x x 或

C ．32)3)(2(?=--x x ∴ 3322=-=-x x 或

D ．0)2(=+x x ∴ 02=+x

4、用因式分解法解方程

（1）09)1(2=--x （3）)3(3)3(2+=+x x x

五、思维训练

1、一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程0)4)(2(=--x x 的根，则这个三角的周长是（

） A ．11 B ．11或13 C ．13 D ．不能确定

3、若实数x 、y 满足（x+y+2）(x+y —1)=0，则x+y_____________；

5、解下列方程：

（1）0452=+x x （2） 22325)()(+=-x x

（3）)()(4543-=-x x x （4）036122=--)(x

（5）2211)()(-=+x x （6）2232413)()(+=-x x

平方差公式在因式分解中的五种表现(1)

平方差公式在因式分解中的五种表现 应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。 公式表述为： a2- b2=（a+b）（a-b）。 应用平方差公式满足的条件： 等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算； 等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。 1直接应用 例1、分解因式：24 x-=．（2008年贵阳市） 分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成22，这样，左边就变形为x2- 22，这样，就和公式一致了。 解:：x2-4=x2- 22=（x+2）（x-2）。 2、提后用公式 例2、分解因式：3x2-27= ．（08茂名） 分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。 解： 3x2-27 =3（x2-9） =3（x2- 32） =3（x+3）（x-3）。

3、变化指数后用公式 例3、248-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少？ 分析 因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2，这样，就满足了平方差公式的要求了。 解： 因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2， 所以，248-1=（224）2-（1）2=（224+1）（224-1） =（224+1）（224-1）=（224+1）【（212）2-（1）2】 =（224+1）【（212+1）（212-1）】 =（224+1）（212+1）【（26）2-（1）2】 =（224+1）（212+1）【（26+1）（26-1）】 =（224+1）（212+1）（26+1）【（23）2-（1）2】 =（224+1）（212+1）（26+1）【（23+1）（23-1）】 =（224+1）（212+1）（26+1）×9×7 =（224+1）（212+1）（26+1）×65×63 因为，整除的两个数在60和70之间， 且60＜63＜70，60＜65＜70， 所以，这两个数分别是63、65。 4、先局部用完全平方公式，后整体用平方差公式 例4、若a、b、c是三角形的三条边长，则代数式，a2-2ab- c2+b2的值： A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、与零的大小无关

(完整版)因式分解练习题(公式法)

因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、 44411681a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+

题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、 2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910 - --???--

因式分解公式法、十字相乘法教师版

2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()()

)因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)教学内容

)因式分解(公式法之完全平方公式与平方 差公式)

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.29y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222x y z - 7.2240.019m b - 8.2219a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22(32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.229()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.224()a b c -+

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.224ax ay - 3.322ab ab - 4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2(25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910- --???--

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

平方差公式法分解因式(1)

平方差公式法分解因式（1） 一 选择题 1.下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．a 2+b 2 B ．-a 2-b 2 C ．a 2-c 2-2ac D ．-4a 2+b 2 2.-4+0.09x 2分解因式的结果是（ ） A ．（0.3x+2）（0.3x-2） B ．（2+0.3x ）（2-0.3x ） C ．（0.03x+2）（0.03x-2） D ．（2+0.03x ）（2-0.03x ） 3.已知多项式x+81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a+3b ）（3b-2a ），则x 的值是（ ） A ．16a 4 B ．-16a 4 C ．4a 2 D ．-4a 2 4.分解因式2x 2-32的结果是（ ） A ．2（x 2-16） B ．2（x+8）（x-8） C ．2（x+4）（x-4） D ．（2x+8（x-8） 5.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A.22b a +- B.22b a -- C.22b a + D.33b a - 6.(x ＋1)2－y 2分解因式应是（ ） A. (x ＋1－y)(x ＋1＋y) B. (x ＋1＋y)(x －1＋y) C. (x ＋1－y)(x －1－y) D. (x ＋1＋y)(x －1－y) 7.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．－a 2＋b 2 C ．－a 2－b 2 D ．－(－a 2)＋b 2 8.下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、x 2＋4y 2 B 、－4y 2＋x 2 C 、－x 2－4y 2 D 、x －4y 2 9.平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（ ） A ．只能是数 B ．只能是单项式 C ．只能是多项式 D ．以上都可以 10.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．（a+b ）（b+a ） B ．（－a+b ）（a －b ） C ．（13a+b ）（b －13 a ） D ．（a 2－ b ）（b 2+a ） 二 填空题 1.已知一个长方形的面积是a 2-b 2（a>b ），其中长边为a+b ，则短边长是_______ 2.代数式-9m 2+4n 2分解因式的结果是_________ 3.25a 2-__________=（5a+3b ）（5a-3b ） 4.已知a+b=8，且a 2-b 2=48，则式子a-3b 的值是__________ 5.分解因式：①29a -= ；②3x x -= ③22 49a b -= ； ④2422516a y b -+= ；⑤3375a a -= ；⑥39a b ab -= ⑦44x y -= ；⑧2224m m n -= ；⑨42(53)x x -+= ； ⑩225(21)n -+= ；○114481x y -= ；○122199 a -+= 6.若1004,2a b a b +=-=，则代数式22 a b -的值是 7.式子851-能被20～30之间的整数 整除 8.已知x 2－y 2=-1， x+y=0.5，则x －y= 9.两个连续偶数的平方差能可以被偶数 整除 10.如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 三 解答题 1.分解因式 (1)24x - (2)29y - (3)21a - (4)224x y - (5)2125b - (6)222 x y z - (7) 2240.019m b - (8)2219 a x - (9)2236m n - (10)2249x y - (11)220.8116a b -

平方差公式法因式分解

平方差公式法因式分解教学设计 【教材依据】本节课是北师大版数学八年级下册第四章因式分解 第三节公式法第一课时内容。 【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒 等变形的重要手段之一。它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！ 【学情分析】 学生已有七年级学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出 a2-b2= (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式 分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等 能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。 【指导思想】

以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为 指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。结合八年级学生年龄特点及认知规律，采用学生讲解习题的方法培养学生准确应用数学符号、文字语言表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。 【教学目标】 知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解； 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 现代化教学手段的运用：使用交互式多媒体激发学生的学习兴趣，增大课堂容量，设计检测试卷落实“堂堂清”的课堂教学效果。 【教学重点】 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分 解因式。

平方差公式因式分解练习题)

因式分解练习题 （平方差公式） 姓名班级 1. x2－16 （2）－x2+y2 > （3）64－a2 （4）4x2－9y2 （5）36－25x2 } （6）16a2－9b2 （7）4 9m2－ " （8）(x＋p)2－(x＋q)2（9）16(m－n)2－9(m＋n)2（10）9x2－(x－2y) 2 [ （11）4a2－16 （12）a5－a3 （13）x4－y4 ） （14）32a3－50ab2 (15)36 492- c （ 16） 256 9 4 2n m - (17)9 25 .02 2+ -m a \ (18) n x2 4-

(19)1)(2 -+b a 22 94)20(y x - — 2 2 1681.0)21(b a - 22 01.09 4)22(-m (4) 2 3)1(28+-a a a … (5) ()2 2 4a c b +-- （6）44161b a - （ （7）()()2 2 23n m n m --+ (8)()2 24y x z +- (9) ()()2 2 254y x y x +-- ~ (10)()()2 2c b a c b a -+-++ (11)()()b a b a +-+43 36－25x 2 16a 2－9b 2 （ 29a - 3x x - 2249a b - 2422516a y b -+ — 3375a a -

39a b ab - 44x y - （1） 36－x 2 ： （2） a 2－91 b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 ] （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)2 （8） (x+y)2－(x －y)2 ) （9）22 ()()a b c a b c ++-+- （10）2 2(2)16(1)a a -++- （1）a 2-144b 2 （2）πR 2-πr 2 （3）-x 4+x 2y 2 。 （4） 16x 2-25y 2 （5） (a+m)2-(a+n)2 （6） 75a 3b 5-25a 2b 4 （7）3（a+b ）2-27c 2

因式分解 公式法(一)

因式分解——公式法（一） 一、教学目标： （一）知识与技能： 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.会用平方差公式进行因式分解； 3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． （二）过程与方法： 1.发展学生的观察能力和逆向思维能力； 2.培养学生对平方差公式的运用能力。 （三）情感与态度： 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。 二、教学重点和难点： 1.教学重点：利用平方差公式分解因式． 2.教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来． 三、教学方法：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维． 四、教学用具：多媒体 五、教学过程： 一知识回顾： 1 什么叫多项式的分解因式？ 2 分解因式和整式乘法有何关系? 3 我们学了什么方法进行因式分解？

练习1：根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 练习2把下列各式进行因式分解 （1）. a3b3-a2b-ab （2）. -9x2y+3xy2-6xy 二观察探讨，体验新知 在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= - (2)(a+b)(a-b) = （） （3） x2-25 = （4） a2-b2= 知识探索 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）． 评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 公式的结构特征：什么形式的多项式能用平方差公式进行分解 下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。 (1) m2－1 (2)4m2－9 (3)4m2+9 (4)x2－25y 2

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+

公式法因式分解练习

运用公式法分解因式 思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。 例1、 分解因式：（1）x 2-9； （2）9x 2-6x+1。 二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。 例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5； （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3。 三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解. 例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2; (2)4x 2-12xy 2+9y 4. 四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4; (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4. 五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。 例5、 分解因式：（1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。 例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1). 七、连续用公式:当一次利用公式分解后，还能利用公式再继续分解时，则需要用公式法再进行分解，到每个因式都不能再分解为止。 例7、 分解因式：(x 2+4)2-16x 2. 练习： 1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ） (A)2(2)x y - (B)2(2)x y -- (C)2(2)x y -- (D)2()x y + 2、 41x -的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ Ｂ．22(1)(1)x x +- Ｃ．2(1)(1)(1)x x x -++ Ｄ．3(1)(1)x x -+ 3、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 值为（ ）

因式分解的平方差公式

14.3.2公式法-运用平方差公式分解因式 教学目标 知识与技能 1. 能进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式分解因式的方法。. 2. 掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。 过程与方法 通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观 在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验整体思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 教学重点 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。 教学难点 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式 教学过程 一、复习引入 A、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1）(2x-1)2=4x2-4x 2） 3x2+9xy-3x＝3x(x+3y-1) 3）4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 设计意图：通过判断这几个变形是不是因式分解，进一步了解因式分解的定义，也为这节课要学习的a2 -- b2的多项式应该分解为整式的积的形式做一铺垫 B、把下列各式进行因式分解: 1）a2 --ab 2）a2 -- b2 设计意图：有2个，1、复习提公因式分解因式2、由多线式a2 –ab变为 a2 -- b2没有公因式时又怎么分解呢，即用旧知识解决不了的问题引出学习新知识的必要性 C、 a2 -- b2 教师引导由整式乘法与因式分解的关系，你能想到a2 -- b2应分解为什么吗？说出你是怎么想的 这一问题的提出给了学生思考的方向，同时也是用旧知解决新知 二、合作交流，探索新知 学生相互讨论下列问题： （1）用语言怎样叙述公式？ （2）当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？ （4）、根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b？ 【设计意图】引导学生观察平方差公式的结构特征，学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。） 三指导运用，巩固知识。 1、填空： (1)a6=( )2; (2) 9x2=( )2; (3) m8n10=( )2;

平方差公式法因式分解练习题

课 题： 9.14公式法 [教学目标] 1 掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解； 2 通过知识的迁移经历逆用乘法公式，运用平方差公式分解因式的过程； 3 在应用平方差公式分解因式的过程中体验换元思想，增强观察能力和归纳总结的能力。 [教学重点] 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式 [教学难点] 能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。 [教学过程] 1 复习： A 因式分解的概念是什么？ B 平方差公式用字母怎样表示？ 计算： （1）（a+3）(a-3) （2）(4x-3y)(4x+3y) 2 导入新课： （a+3）(a-3)=a 2-9 (4x —3y)(4x+3y)=16x 2-9y 2 这是我们学习的整式的乘法运算。如果上述等式左右两边互换位置，又经历了什么样的过程呢？ a 2-9=（a+3）(a-3) 16x 2-9y 2 =(4a-3y)(4x+3y) 经历了因式分解的过程。 3 新课讲解： 我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法， 像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。 今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。板书：公式法。 平方差公式反过来可得：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 这个公式叫做因式分解的平方差公式。 当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式分解因式？结果等于什么？ 如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式分解因式。它等于这两个数的和与这两个数的差的积。 例题1 分解因式： (1) 1-25a 2; (2) -9x 2+y 2; (3) a 2b 2-c 2; (4) 94a 2-25 4b 2. 练习：分解因式：242q n m +-.

因式分解公式法

因 式 分 解 公式法 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。 1.利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-2 2 ①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。 2.利用完全平方公式因式分解：()2 2 22b a b ab a ±=+± 注意： ①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。 ⑤在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号. ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.

典型例题分析： 利用平方差公式： 例1． 用平方差公式分解因式： （1）2 2 )(9y x x -+-； （2）2233 1n m -.

例2．分解因式： （1）ab b a -5； （2）)()(4 4 n m b n m a +-+ （3）2 2 2 2 )23()32(4y x m y x m ---； （4）b a b a 2418321822+-- 例3. 简算 （1） 226778- （2）22991001- 例4. 解方程：.36)321()321(2 2 =--+x x 【拓展提升】 例5. 分解因式：（1）8 8y x +-； (2) 2 2 2 16)4(x x -+. 例6. 1)12 ()12)(12)(12(32 3 2 +++++Λ的个位数字是 . 例7.若12 48 -能被60与70之间的两个整数整除，这两个数是 . 针对性训练： 1. 若)2)(2)(4(162 x x x x n -++=-，则n 的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 2. 把多项式2 22 22 4)(b a b a -+分解因式的结果是（ ） A. 222)4(ab b a ++ B. 2 22)4(ab b a ++ C. )4)(4(2 2 2 2 ab b a ab b a -+++ D. 22)()(b a b a -+ 3. 分解因式： （1）2 2536x -； （2）2201.094n m +- ； （3）624 9 8116x y -； （4）224)32(x y x --

因式分解之平方差公式法练习题

1、分解因式 （1）x2－y2（2）－x2+y2（3）64－a2（4）4x2－9y2 （5）36－25x2（6）16a2－9b2 （7）4 9 m2－ （8）(x＋p)2－(x＋q)2（9）16(m－n)2－9(m＋n)2（10）9x2－(x－2y) 2 （9）4a2－16 （10）a5－a3 （11）x4－y4 （12）32a3－50ab2 2、判断正误 （1）－x2－y2=(x＋y)(x－y) （2）9－25a2=(9+25a)(9－25a) （3）－4a2+9b2=(－2a＋3b)(－2a－3b) 3、分解因式 （1）4a2－(b＋c)2（2）(3m＋2n)2－(m－n)2

（ 3 ） (4x － 3y )2 － 16y 2 （4）－4(x ＋2y )2＋9(2x －y )2 4、判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能画“√”，并分解，不能的画“×”) （1）x 2＋64 （ ）； （2）－x 2－4y 2 （ ） （3）9x 2－16y 4 （ ）； （4）－14x 6＋9n 2 （ ） （5）－9x 2－(－y )2 （ ）； （6）－9x 2＋(－y )2 （ ） （7）(－9x )2－y 2 （ ）； （8）(－9x )2－(－y )2 ( ) 5、 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 （ ） A .22b a +- B .22b a -- C .22b a + D .33b a - 6、 (x ＋1)2 －y 2 分解因式应是 （ ） A . (x ＋1－y )(x ＋1＋y ) B . (x ＋1＋y )(x －1＋y ) C . (x ＋1－y )(x －1－y ) D . (x ＋1＋y )(x －1－y ) 7.填空（把下列各式因式分解）

因式分解公式法

知识点一：因式分解的概念 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 4、(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 5、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； 6、a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；知识点三：方法及典型例题一、直接用公式:当所给的多用公式法分解因式。 例1、分解因式： 1）x2-9； :当所 分解因式： 1）x5y3-x3y5； :当 ,转换为 分解因式： 2-25y2; :通过方式的形式,然后利公式 再分解为止. 例4、分解因式: (1)x4-81y4;

五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。 例5、 分解因式： （1）-x 2+(2x-3)2; (2)(x+y)2+4-4(x+y). 2、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ） (A)22x y + (B)222x xy y -+ (C)222x xy y +- (D)22x xy y ++ 3、 41x -的结果为（ ） Ａ．22(1)(1)x x -+ＢＤ．3(1)(1)x x -+ 4、代数式42819x x --，， Ａ．3x - Ｂ．(3 x +11、把下列各式分解因式． （1）249x -； （2）4 220.01625m n -． 12、把下列各式分解因式．

初中数学 因式分解练习题(公式法)

因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019 m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、4 4411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷22222 11111(1)(1)(1)(1)(1)234910- --???--

公式法(利用平方差公式分解因式)

第四章因分解式 3．公式法（一） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础． 学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验． 二、教学任务分析 学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。 本节课的具体教学目标为： 1．知识与技能： （1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。 三、教学过程分析 本节课设计了八个教学环节：复习回顾——探究新知——范例学习——落实基础—

—能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结． 第一环节 复习回顾 活动内容：填空： （1）（x+5）（x –5） = ； （2）（3x+y ）（3x –y ）= ； （3）（3m +2n ）（3m –2n ）= ． 它们的结果有什么共同特征？ 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： 活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力． 注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系． 第二环节 探究新知 活动内容：谈谈你的感受。 结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。 活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。 注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。 .____________________49_;____________________9__;____________________ 2522222=-=-=-n m y x x

因式分解法(提公因式法、公式法)

【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是 正的，并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公 因式，这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()2 2 a b a b a b -=+-； ()2 2 2 2a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式： （1）2 2 3 2 1084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+