27厦门外国语学校2011届高三模拟考试(最后一卷)

厦门外国语学校2011届高三模拟考试

理科数学

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题),共4页,全卷满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求) 1.集合{}1,0,1-=P ,Q={|cos ,y y x x R

=∈},则=

Q

P ( A )

A .P

B .Q

C .{-1,1}

D .{}1,0

2.若R a ∈,则1=a 是复数i

a a

z )1(12

++-=是纯虚数的( C )

A .充分非必要条件

B .必要非充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

3.命题“函数()y

f x =()x M ∈是偶函数”的否定是( B ) A .x M ?∈,()()f x f x -≠ B .,()()

x M f x f x ?∈-≠

C .x M ?∈,

()()

f x f x -= D .,

()()x M

f x f x ?∈-=

4.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是....该锥体的俯视图的是( C )

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5.角,αβ顶点在原点,始边与

x 轴的非负半轴重合,终边关于y 轴对称,若sin α=3

5

则cos β=( D )

A .4

5

B

.3

5

C .3

5

或3

5

- D

.45

-

45

6.右边方框中是一个求20个数的平均数的程序,则在横线上可填

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的语句为(

A )

A .20i >

B .20i <

C .20i >=

D .20i <=

7.圆O 中,弦PQ 满足2

||=PQ

,则=

?PO PQ ( C ) A .

12

B .1

C .2

D .4

主视图

左视图

B A

C D

8.在2010年某大学的小语种提前招生考试中,我校共获得了5个推荐名额, 其中缅甸语2名,朝鲜语2名,阿拉伯语1名,并且缅甸语和朝鲜语都要 求必须有男生参加考试。学校通过选拔定下3男2女五个推荐对象,则不 同的推荐方案共有( C )

A .48种

B .36种

C .24种

D .12种

9.已知22

ππθ-

<<

,且sin cos ,a θθ+=其中()0,1a ∈,则tan θ的值可以是以下四个中

的( D )

A .3

B .3-

C .1

3 D .13

-

10.定义在R 上的奇函数()

f x ,当0x ≥时,

12lo g (1),[0,1)

()1|3|,[1,)

x x f x x x +∈??

=??--∈+∞?,则关于x 的

函数()()(01)F x f x a a =

-<<的所有零点之和为( B )

A .21a

- B .12a

- C .21a -- D .12

a

--

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填写在答题卡的相应

位置.

11.若实数对(,)x y 满足2

2

4

x y +=,则xy 的最大值为 2 .

12.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规

定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80

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mg/100mL (不含80)之间,属于酒后驾车; 血液酒精浓度在80mg/100mL (含80)以上时,属醉酒驾车。据有关报道,2010年8月15日至12月31日,某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人,如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为 75 . 13.已知

co s 0()(1)10x

x f x f x x π->??

=?

++≤??

,则

)3

1

()31(-+f f 的值等于 1 .

14.设不等式组0,0

2

2x y x y ≥≥??

≤??≤?

所表示的区域为A ,现在区域A 中任意丢进一个粒子,则该粒

子落在直线12

y

x

=

左上方的概率为____43 ____.

15.已知F 1、F 2分别是双曲线

2

22

1(0)

4

x

y b b

-

=>的左、右焦点,P 为双曲线上的一点,若

12120F P F ∠=?,且12F P F ?的三边长成等差数列,则双曲线两条..

渐近线的斜率是

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2

± .

三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说

明、证明过程或演算过程.) 16.为了缓解城市道路拥堵的局面,某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准,并实行累进加价收费。已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的:“(中心城区占道停车场)收费标准为每小时10元,并实行累进加价制度,占道停放1小时后,每小时按加价50%收费。”方案公布后,这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议(2010年12月14日的国内相关新闻).请你用所学的数学知识说明争议的原因,并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车14小时测算:根据不同的解释,收费各应为多少元?(给出两种不同的解释即可得满分)

(可选用的数据:194

5.113

≈,291

5.114

≈,437

5.115

≈)

17.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,某地要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概 率为1

6,第二轮检测不合格的概率为

110

,每轮检测

结果只有“合格”、“不合格”两种,且两轮检测是否合格相互没有影响. (Ⅰ)求该产品不能销售....

的概率; (Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果产品不能销售,则每件产品

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亏损80元(即获利-80元).已知一箱中有产品4件,记一箱产品获利X 元,求EX . 18.已知椭圆 222

1(01)

y x b b

+

=<<的左焦点为

),0,(>-c

c F 左、右顶点分别为,A C ,上顶点为B ,过,,F B C 作⊙P ,其中圆心P 的坐标为(,)m n . (Ⅰ) 分别用c b ,表示n m 、;

(Ⅱ) 当0>+n m 时,求椭圆离心率的范围;

(Ⅲ)试探究:直线A B 与⊙P 19.已知

2

()(2,)

f x x ax a a x R =++≤∈,()x

g x e -=,)()()(x g x f x ?=?.

(Ⅰ)当1a =时,求)

(x ?的单调区间;

(Ⅱ)求()g x 在点(0,1)处的切线与直线1x =及曲线()

g x 所围成的封闭图形的面积;

B

A

C

P

(Ⅲ)是否存在实数a ,使)(x ?的极大值为3?若存在,求出a 的值,若不存在,请说

明理由. 20.在ABC Rt ?中,0

90

=∠ACB ,6

,32==BC AC

,P 是线段A B 上的动点,将此直

角三角形

沿C P 折成直二面角A C P B --.如图. (Ⅰ)若翻折后直线⊥

BP

平面A P C ,求AP 的长;

(Ⅱ)若P 为A B 中点,求翻折后直线P A 与平面A B C 所成角的正弦值;

(Ⅲ)当P 在线段A B 上运动时,求翻折后A B 的最短长度及此时点P 的位置.

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21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵M

2

21a ??=????

,其中R a ∈,若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点

(4,0)

P '-,

(Ⅰ)求实数a 的值; (Ⅱ)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量. (2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的参数方程为()2co s sin ,为参数x y ααα

=??=?.

以直角坐标系原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程

为()π

co s 4

ρθ

-=

(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程;(Ⅱ)点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值.

(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 (Ⅰ)已知:a 、b 、2

2

2

2

)

(3

1:,c b a c

b

a

R c ++≥

++∈

+求证;

(Ⅱ)某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3,求其对角线长的最小值.

P

B

C

A

?

厦门外国语学校2011届高三模拟考试理科数学参考答案

ACBCD ACCDB 2; 75; 1;

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4

3

; 2

±

16.解:争议的原因是收费标准中对于“每小时按加价50%收费”的含义出现了歧义。以下给出三种不同的理解:

解释一:第一小时为10元,以后每小时都为15元.14小时总收费为:

101513205+?=元;

解释二:第一小时为10元,以后每小时都比前一小时增加5元.

可以理解为等差数列求和,则14小时总收费为141414101355952

S =?+

??=元.

解释三:第一小时为10元,以后每小时都增加50%.可以理解为等比数列求和,

则14个小时的收费为58005

.11)

5.11(1014

14=--=

S 元

【说明】以上三种解释中能任意给出两种即可得满分. 17.解:(Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件A ,则

111()1(1)(1)6104

P A =--

?-

=

.所以,该产品不能销售的概率为

14

. (4)

(Ⅱ)由已知,可知X 的取值为320,200,80,40,160---. ………………………5分

411(320)()4256P X =-==, 1

34133(200)()4464

P X C =-=??=,

22241327(80)()()44128P X C =-=??=,3

341327(40)()4464P X C ==??=,

4381

(160)()4256

P X ===. ……………………………………10分

所以X

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E (X )112727813202008040160256

64

128

64

256

=-?

-?

-?

+?

+?

40=,所以均值E (X )为40.

18.解:(1)设F 、B 、C 的坐标分别为(-c , 0),(0, b ),(1, 0),则FC 、BC 的中垂线分别为x =1-c

2

y -b 2 =1 b (x -1 2 ),联立方程组,解出 ?

??

x =1-c 2 y=b 2-c 2b

即m= 1-c 2 , n= b 2-c

2b .

(2) m +n=1-c 2 +b 2

-c 2b

>0,即 b -bc +b 2

-c >0,即 (1+b )(b -c )>0,∴b >c 。

从而b 2>c 2,即有 a 2>2c 2,∴e 2

1 2 ,又e >0,∴0<e <2 2

(3)直线AB 与⊙P 不能相切。由 k AB =b ,k PB = b -b 2-c 2b

0-

1-c 2

=b 2+c

b (

c -1)

如果直线AB 与⊙P 相切,则 b ·b 2+c b (c -1)

=-1,又b 2+c 2

=1,

解出c =0或2,与0<c <1矛盾,所以直线AB 与⊙P 不能相切。

19.解:(1)当22

1,()(1),

'()()x x

a x x x e x e

x x --=Φ=++Φ=-+时.…(1分)

'()0,01;'()0,10.x x x x x Φ><<Φ<><当时当时或 ……(3分)

∴()x Φ的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为:(,0)-∞,(1,)+∞. ……(4分)

(2)切线的斜率为0'(0)|1x x k g e -===-=-,

∴ 切线方程为1y x =-+.……(6分)

所求封闭图形面积为

1121

00

111[(1)](1)()|2

2

x

x

x

S e

x d x e

x d x e

x x e

---=

--+=

+-=-+

-=

-

?

?

.

……(8分)

(3)22'()(2)()[(2)]x x x x x a e e x ax a e x a x ---Φ=+-++=-+-, ……(9分)

令'()0,02x x x a Φ===-得或. ……(10分)

若2=a ,0)(<'x φ,则)(x φ在R 上单调递减,不存在极大值,舍去; 若2

列表如下:

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由表可知,2()(2)(4)a x a a e -Φ=Φ-=-极大. ……(12分) 设22()(4),'()(3)0a a a a e a a e μμ--=-=->, ∴()(,2)a μ-∞在上是增函数,……(13分)

∴ ()(2)23a μμ≤=<,即2(4)3a a e --≠,

∴不存在实数a ,使()x Φ极大值为3. ……(14分)

20.解:(Ⅰ)由题设平面A C P ^平面B C P ,所以当B P ^C P 时,就有B P ^平面A P C ,即

点P 为斜边A B 高线的垂足,此时A P =

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(Ⅱ)当点P 为A B 中点时,可判定A P C D 为正三角形,如图,过A 作A E ^C P 于E 点,则以E

点为原点,E C 为x 轴,E A 为z 轴建立空间直角坐标系.

所以有(0,0,0),(0,0,3),0,0),(0,0)E A C P -

;又由相似比可求得(3,0)B -

(3,3)A B =--

, 0,3)A C =- , 设平面A B C 的法向量为(,,)n x y z =

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由0n A B

? ,0n A C

?

330030y z y z ì?-+-=?

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í?+-=??

令1z =

,则得3,1)n =

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设直线P A 与平面A B C 所成角为a

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,则sin co s ,13

P A n P A n P A n a ×=<>==

(Ⅲ).设A C P

q ?,则090B C P q ?-

,所以2

,A E C E q q ==,

连结B E ,在B E C D 中,2

2

2

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2cos(90)B E C E B C C E B C q =+-鬃

-

则2

2

222

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12sin 12cos 362482A B A E E B q q q q =+=++-=-, 当sin 21q =,即045q =时,A B

的最小值为,此时点P 为A B 与C D的平分

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线的交点. 21.(1)解:(Ⅰ)由22

1a ???

???12????-??=40-??

????

, ∴2243a a -=-?=. ---3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知M 2321??

=?

???

,则矩阵M 的特征多项式为 2

23

()(2)(1)6342

1

f λλλλλλλ--=

=---=---- -------------------------5分

令0)(=λf ,得矩阵M 的特征值为1-与4. (5分)

当1-=λ时, (2)30

02(1)0x y x y x y λλ--=??+=?

-+-=?

∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11??

?

?-??

; -------------------------6分 当4λ=时, (2)302302(1)0

x y x y x y λλ--=??-=?

-+-=?

∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32??

????

. -----------------------------7分

(2)解:(Ⅰ)(

co s 4

ρ

θ-

=cos sin 4

ρθ

ρθ+=,

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∴直线l 的直角坐标方程为4

x y +

=; --------3分

(Ⅱ)设点P 的坐标为()2cos sin ,αα,

得P 到直线l

的距离d

=

, --------------------------------5分

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d

=

,其中co s sin ?

?=

=

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当()sin 1

α

?

+=

-

时,m ax 2

d = -----------------------------------7分

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(3)m

解:(Ⅰ)+∈R c b a ,,,

2222222

2

2

2

2

:()(111)(111)1(),.

3

a b c a b c a b c a b c a b c ++++≥?+?+?++≥

++==根据柯西不等式有即当且时等式成立-----------4分

(Ⅱ)不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a

、b 、c ,

3,1a b c l a b c ++==

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====故有其对角线长当且仅当时对角线长取得最小值

---------------------7分

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