高2014届 高三模拟考试
数学(文科)试卷
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共5页,满分为150分,考试用时120分钟,考试结束后将答题卡交回。 注意事项:
1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;
4.不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的,答案无效。
第I 卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.把正确答案涂在答题卡上. 1.已知集合}{
22≤≤-=x x A ,B ={x |x ≤1},则A ∩B =( ) A .(-∞,2] B .[1,2] C .[-2,2] D .[-2,1] 答案: D
解析 }{
22≤≤-=x x A =[-2,2],B ={x ∈R |x ≤1}=(-∞,1],∴A ∩B =[-2,2]∩(-∞,1]=[-2,1],选D.
2. 在复平面内,)2(i i +的共轭复数对应的点位于( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
答案:C
3.若命题p :,N n ∈?使20142>n
,则p ?为( ) A.,N n ∈?20142≤n
B.,N n ∈?20142≥n
C.,N n ∈?20142≤n
D.,N n ∈?20142<n
答案:A
4.在ABC △中,π4A =
,BC =“AC =”是“π
3
B =”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 答案:B
5.某三棱锥的三视图如图所示,则这个三棱锥的体积为( )
A .31
B .3
3
C .32
D .3
2
答案:A
6. 已知y ,x 满足约束条件??
?
??≤≥+-≥-305x y x y x ,则y x z 42+=的
最小值是( )
A.-6
B.5
C.38
D.-10 答案:A 7. 函数sin(2)3
y
x π
=+的图像经过下列平移,可以得到偶函数图像的是( )
A.向右平移
6π个单位 B.向左平移6
π
个单位 C.向右平移512π个单位 D.向左平移512
π
个单位
答案:C
8.已知双曲线()22122:100y x C a b a b
-=>>,的离心率为2,若抛物线()
2
2:20C y px p =>的焦点到双曲线1C 的涟近线的距离是2,则抛物线2C 的方程是( ) A. 2
8y x =
B. 2
y x =
C. 2
y x =
D. 2
16y x =
答案:D
9.定义运算S a b =?,运算原理如右框图所示,则11
(2tan
)ln lg100()43
e π
-?+?=()
俯视图
8246692
A .13
B .12
C .11
D . 10
答案:A
解析:11
(2tan )ln lg100()43
e π
-?+? =13)12(3)11(23212=+++=?+? 10.已知函数()()()
221,03,0ax x x f x ax x ?++≤?=?->??有3个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .1a < B .0a > C .1a ≥ D .01a <<
答案:D
第II 卷(共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把正确答案填在答题卡相应的位置上. 11.如图是某校歌咏比赛,七位评委为某班打出的分数的茎叶
统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为_ _. 答案:85
12. 若12log 11a a <-,则a 的取值范围是 .
答案:()4+∞,
13.设向量,a b 的夹角为θ,a =(2,1),a +3b =(5,4),则sin θ=
答案:
1010
14.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=2x -l
-3,则不等式f (x )>l
的解集为 答案:()()+∞-,30,2
15. 若函数()y f x =对定义域D 的每一个1x ,都存在唯一的2x D ∈,使1)()(21=x f x f 成立,则称()f x 为“自倒函数”,下列命题正确的是______________.(把你认为正确自倒函数命题的序号都填上)
①x x f =)((0≠x )是自倒函数 ②)0(1
)(2
≠=
x x x f 是自倒函数 ③自倒函数()f x 的可以是奇函数 ④自倒函数()f x 的值域可以是R
答案:① ③
解析: x x f =)(时,存在唯一的2x D ∈,使1)()(21=x f x f 成立
在②中,
④在④中,因为f (x )的值域是R ,当f (x 1)=0时,f (x 1)?f (x 2)=0,不成立,所以不可以是R,
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)由于雾霾日趋严重,政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求.为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样,共抽取15人进行调查反馈,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表所示(单位:
(Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于分钟的人数; (Ⅱ)若从上表第三、四组的7人中选2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
解:(Ⅰ)候车时间少于10分钟的概率为,
157
1552=+ 所以候车时间少于10分钟的人数为 2815
7
60=?人; (Ⅱ)设事件A=“抽到的两人恰好来自不同组”,将第三组乘客编号为1a 、2a 、3a 、4a ,第四组乘客编
号为1b 、2b 3b 、.从7人中任选两人有包含以下基本事件:
()12,a a 、()13,a a 、()14,a a 、()11,a b 、
()12,a b )(31b a ,、
、()23,a a 、()24,a a 、()21,a b 、()22,a b ),(32b a 、、()34,a a 、()31,a b 、()32,a b ),(33b a 、
、()41,a b 、()42,a b ),(34b a 、、()12,b b ),(31b b 、),(32b b 、共21个基本事件, (9)
分
其中两人恰好来自不同组包含
()11,a b 、()12,a b )(31b a ,、
、()21,a b 、()22,a b ),(32b a 、、 ()31,a b 、()32,a b ),(33b a 、
、()41,a b 、()42,a b ),(34b a 、共12个基本事件, 所以,所求概率为7
4
)
(=
A P . 答:抽到的两人恰好来自不同组的概率74
)(=
A P
17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0,它的前n 项和为S n ,若S 5
=35,且a 2,a 7,a 22成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设数列????
??
1S n 的前
n 项和为T n ,求T n .
17.解 (1)∵数列{a n }是等差数列,
由S 5=5a 1+5×4
2d =35.
∴a 1+2d =7.①
由a 2,a 7,a 22成等比数列,∴a 27=a 2·a 22, ∴ (a 1+6d )2=(a 1+d )(a 1+21d )(d ≠0), ∴2a 1-3d =0.②
解①②得:a 1=3,d =2,∴a n =2n +1. (2)由(1)知,S n =3n +n (n -1)2·2=n 2+2n .
∴1S n =1n 2+2n =1n (n +2)=12(1n -1n +2
).
18. (12分)已知向量(,),(cos ,sin )a m n b x x ==,函数()2f x a b =?-. ⑴设1m n ==,x 为某三角形的内角,求()1f x =-时x 的值; ⑵设4,3m n ==,当函数()f x 取最大值时,求cos2x 的值. 【解析】:由题可知,()sin cos 2f x n x m x =+-,
⑴当1m n ==时,()sin cos 2f x x x =+-,
∵()1sin cos 1)14
f x x x x π
=-?+=?+-
∴sin()4x π+=
∵x 为三角形的内角,∴
34
42
x x π
ππ
+=
?= ⑵当4,3m n ==时,()3sin 4cos 25sin()2f x x x x ?=+-=+-,其中?为锐角,且
34
cos ,sin 55
??==,
当且仅当sin()16x π
+=时,函数max ()3f x =。
此时2()2()22x k k Z x k k Z ππ
?ππ?+=+∈?=+-∈
∴4cos cos(2)sin 25x k ππ??=+-==,则227
cos 22cos 12sin 125
x x ?=-=-=.
19. (本小题满分12分)如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,四边形BDEF 是矩形,平面BDEF ⊥平面ABCD ,BF =3,G 和H 分别是CE 和CF 的中点. (Ⅰ)求证:AC ⊥平面BDEF ; (Ⅱ)求证:平面BDGH //平面AEF ; (Ⅲ)求多面体ABCDEF 的体积.
19、解:(Ⅰ)证明:因为四边形ABCD 是正方形,
所以AC BD ⊥.
又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ,平面BDEF 平面ABCD BD =, 且AC ?平面ABCD ,
所以AC ⊥平面BDEF . (Ⅱ)证明:在CEF ?中,因为,G H 分别是,CE CF 的中点,
所以//GH EF ,
又因为GH ?平面AEF ,EF ?平面AEF ,
所以//GH 平面AEF . 设AC
BD O =,连接OH ,
F B C
G E
A
H
D
F
C
G
E
A
H
D O
在ACF ?中,因为OA OC =,CH HF =, 所以//OH AF ,
又因为OH ?平面AEF ,AF ?平面AEF ,
所以//OH 平面AEF . 又因为OH
GH H =,,OH GH ?平面BDGH ,
所以平面//BDGH 平面AEF . (Ⅲ)解:由(Ⅰ),得 AC ⊥平面BDEF ,
又因为AO =BDEF
的面积3BDEF
S
=?=,
所以四棱锥A BDEF -的体积1
1
43
BDEF
V AO S =??=.
同理,四棱锥C BDEF -的体积24V =.
所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=.
20.(本小题共13分)
已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b
y a x ,左焦点)0,3(-F ,且离心率23
=e
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,(N M ,不是左、右顶点),且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A. 求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标.
20.解:(Ⅰ)由题意可知:??
?
?
?
??+====222233
c b a a c e c
解得 1,2==b a
所以椭圆的方程为:14
22
=+y x
(II )证明:由方程组??
???+==+m kx y y x 1
422
0448)k 41222=-+++m kmx x 得(0)44)(41(4)8(222>-+-=?m k km
整理得01422>+-m k 设),(),,(2221y x N x x M
则2
221221414
4,418k
m x x k km x x +-=+-=+ 由已知,AN AM ⊥且椭圆的右顶点为)0,2(A
0)2)(2(2121=+--∴y y x x 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=
即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k
也即04418)2(4144))1(22
222
=+++-?-++-?+m k
km
km k m k 整理得:0121652
2=++k mk m
解得5
62k m k m -=-=或均满足0142
2>+-m k 当
k m 2-=时,直线的l 方程为k kx y 2-=,过定点(2,0)与题意矛盾舍去
当56k m -
=时,直线的l 方程为)5
6
(-=x k y ,过定点)0,56(
故直线l 过定点,且定点的坐标为)0,5
6
(
21.(本小题满分14分)
已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->.
(Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅲ)若()f x 在[1]e ,
上没有零点,求实数a 的取值范围. 18.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞,
. 22()2a f x x x '=-2222x a x
-=
2()()
x a x a x +-=. ()f x 在1x =处取得极值,
(1)0f '∴=,解得1a =或1a =-(舍).
当1a =时,()01x ∈,
,()0f x '<;()1x ∈+∞,,()0f x '>, 所以a 的值为1. (Ⅱ)令()0f x '=,解得x a =或x a =-(舍).
当x 在(0)+∞,
内变化时,()()f x f x ',的变化情况如下:
由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞,
,单调递减区间为(0)a ,. (Ⅲ)要使()f x 在[1
]e ,上没有零点,只需在[1]e ,上min ()0f x >或max ()0f x <, 又(1)10f =>,只须在区间[1]e ,
上min ()0f x >. (ⅰ)当a e ≥时,()f x 在区间[1]e ,
上单调递减, 22min ()()20f x f e e a ==->,
解得 02
a <<
与a e
≥矛盾. (ⅱ) 当1a e <<时,()f x 在区间[1)a ,
上单调递减,在区间(]a e ,上单调递增, 2
min ()()(12ln )0f x f a a a ==->,
解得0a <<
所以1a <<
(ⅲ)当01a <≤时,()f x 在区间[1]e ,
上单调递增,min ()(1)0f x f =>,满足题意.
综上,a 的取值范围为0a <<