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高2014届 高三模拟考试文科数学

高2014届 高三模拟考试

数学(文科)试卷

本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共5页,满分为150分,考试用时120分钟,考试结束后将答题卡交回。 注意事项:

1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;

4.不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的,答案无效。

第I 卷(共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.把正确答案涂在答题卡上. 1.已知集合}{

22≤≤-=x x A ,B ={x |x ≤1},则A ∩B =( ) A .(-∞,2] B .[1,2] C .[-2,2] D .[-2,1] 答案: D

解析 }{

22≤≤-=x x A =[-2,2],B ={x ∈R |x ≤1}=(-∞,1],∴A ∩B =[-2,2]∩(-∞,1]=[-2,1],选D.

2. 在复平面内,)2(i i +的共轭复数对应的点位于( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

答案:C

3.若命题p :,N n ∈?使20142>n

,则p ?为( ) A.,N n ∈?20142≤n

B.,N n ∈?20142≥n

C.,N n ∈?20142≤n

D.,N n ∈?20142<n

答案:A

4.在ABC △中,π4A =

,BC =“AC =”是“π

3

B =”的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件 答案:B

5.某三棱锥的三视图如图所示,则这个三棱锥的体积为( )

A .31

B .3

3

C .32

D .3

2

答案:A

6. 已知y ,x 满足约束条件??

?

??≤≥+-≥-305x y x y x ,则y x z 42+=的

最小值是( )

A.-6

B.5

C.38

D.-10 答案:A 7. 函数sin(2)3

y

x π

=+的图像经过下列平移,可以得到偶函数图像的是( )

A.向右平移

6π个单位 B.向左平移6

π

个单位 C.向右平移512π个单位 D.向左平移512

π

个单位

答案:C

8.已知双曲线()22122:100y x C a b a b

-=>>,的离心率为2,若抛物线()

2

2:20C y px p =>的焦点到双曲线1C 的涟近线的距离是2,则抛物线2C 的方程是( ) A. 2

8y x =

B. 2

y x =

C. 2

y x =

D. 2

16y x =

答案:D

9.定义运算S a b =?,运算原理如右框图所示,则11

(2tan

)ln lg100()43

e π

-?+?=()

俯视图

8246692

A .13

B .12

C .11

D . 10

答案:A

解析:11

(2tan )ln lg100()43

e π

-?+? =13)12(3)11(23212=+++=?+? 10.已知函数()()()

221,03,0ax x x f x ax x ?++≤?=?->??有3个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .1a < B .0a > C .1a ≥ D .01a <<

答案:D

第II 卷(共100分)

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把正确答案填在答题卡相应的位置上. 11.如图是某校歌咏比赛,七位评委为某班打出的分数的茎叶

统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为_ _. 答案:85

12. 若12log 11a a <-,则a 的取值范围是 .

答案:()4+∞,

13.设向量,a b 的夹角为θ,a =(2,1),a +3b =(5,4),则sin θ=

答案:

1010

14.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=2x -l

-3,则不等式f (x )>l

的解集为 答案:()()+∞-,30,2

15. 若函数()y f x =对定义域D 的每一个1x ,都存在唯一的2x D ∈,使1)()(21=x f x f 成立,则称()f x 为“自倒函数”,下列命题正确的是______________.(把你认为正确自倒函数命题的序号都填上)

①x x f =)((0≠x )是自倒函数 ②)0(1

)(2

≠=

x x x f 是自倒函数 ③自倒函数()f x 的可以是奇函数 ④自倒函数()f x 的值域可以是R

答案:① ③

解析: x x f =)(时,存在唯一的2x D ∈,使1)()(21=x f x f 成立

在②中,

④在④中,因为f (x )的值域是R ,当f (x 1)=0时,f (x 1)?f (x 2)=0,不成立,所以不可以是R,

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)由于雾霾日趋严重,政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求.为此,某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样,共抽取15人进行调查反馈,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表所示(单位:

(Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于分钟的人数; (Ⅱ)若从上表第三、四组的7人中选2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.

解:(Ⅰ)候车时间少于10分钟的概率为,

157

1552=+ 所以候车时间少于10分钟的人数为 2815

7

60=?人; (Ⅱ)设事件A=“抽到的两人恰好来自不同组”,将第三组乘客编号为1a 、2a 、3a 、4a ,第四组乘客编

号为1b 、2b 3b 、.从7人中任选两人有包含以下基本事件:

()12,a a 、()13,a a 、()14,a a 、()11,a b 、

()12,a b )(31b a ,、

、()23,a a 、()24,a a 、()21,a b 、()22,a b ),(32b a 、、()34,a a 、()31,a b 、()32,a b ),(33b a 、

、()41,a b 、()42,a b ),(34b a 、、()12,b b ),(31b b 、),(32b b 、共21个基本事件, (9)

其中两人恰好来自不同组包含

()11,a b 、()12,a b )(31b a ,、

、()21,a b 、()22,a b ),(32b a 、、 ()31,a b 、()32,a b ),(33b a 、

、()41,a b 、()42,a b ),(34b a 、共12个基本事件, 所以,所求概率为7

4

)

(=

A P . 答:抽到的两人恰好来自不同组的概率74

)(=

A P

17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0,它的前n 项和为S n ,若S 5

=35,且a 2,a 7,a 22成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)设数列????

??

1S n 的前

n 项和为T n ,求T n .

17.解 (1)∵数列{a n }是等差数列,

由S 5=5a 1+5×4

2d =35.

∴a 1+2d =7.①

由a 2,a 7,a 22成等比数列,∴a 27=a 2·a 22, ∴ (a 1+6d )2=(a 1+d )(a 1+21d )(d ≠0), ∴2a 1-3d =0.②

解①②得:a 1=3,d =2,∴a n =2n +1. (2)由(1)知,S n =3n +n (n -1)2·2=n 2+2n .

∴1S n =1n 2+2n =1n (n +2)=12(1n -1n +2

).

18. (12分)已知向量(,),(cos ,sin )a m n b x x ==,函数()2f x a b =?-. ⑴设1m n ==,x 为某三角形的内角,求()1f x =-时x 的值; ⑵设4,3m n ==,当函数()f x 取最大值时,求cos2x 的值. 【解析】:由题可知,()sin cos 2f x n x m x =+-,

⑴当1m n ==时,()sin cos 2f x x x =+-,

∵()1sin cos 1)14

f x x x x π

=-?+=?+-

∴sin()4x π+=

∵x 为三角形的内角,∴

34

42

x x π

ππ

+=

?= ⑵当4,3m n ==时,()3sin 4cos 25sin()2f x x x x ?=+-=+-,其中?为锐角,且

34

cos ,sin 55

??==,

当且仅当sin()16x π

+=时,函数max ()3f x =。

此时2()2()22x k k Z x k k Z ππ

?ππ?+=+∈?=+-∈

∴4cos cos(2)sin 25x k ππ??=+-==,则227

cos 22cos 12sin 125

x x ?=-=-=.

19. (本小题满分12分)如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,四边形BDEF 是矩形,平面BDEF ⊥平面ABCD ,BF =3,G 和H 分别是CE 和CF 的中点. (Ⅰ)求证:AC ⊥平面BDEF ; (Ⅱ)求证:平面BDGH //平面AEF ; (Ⅲ)求多面体ABCDEF 的体积.

19、解:(Ⅰ)证明:因为四边形ABCD 是正方形,

所以AC BD ⊥.

又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ,平面BDEF 平面ABCD BD =, 且AC ?平面ABCD ,

所以AC ⊥平面BDEF . (Ⅱ)证明:在CEF ?中,因为,G H 分别是,CE CF 的中点,

所以//GH EF ,

又因为GH ?平面AEF ,EF ?平面AEF ,

所以//GH 平面AEF . 设AC

BD O =,连接OH ,

F B C

G E

A

H

D

F

C

G

E

A

H

D O

在ACF ?中,因为OA OC =,CH HF =, 所以//OH AF ,

又因为OH ?平面AEF ,AF ?平面AEF ,

所以//OH 平面AEF . 又因为OH

GH H =,,OH GH ?平面BDGH ,

所以平面//BDGH 平面AEF . (Ⅲ)解:由(Ⅰ),得 AC ⊥平面BDEF ,

又因为AO =BDEF

的面积3BDEF

S

=?=,

所以四棱锥A BDEF -的体积1

1

43

BDEF

V AO S =??=.

同理,四棱锥C BDEF -的体积24V =.

所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=.

20.(本小题共13分)

已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b

y a x ,左焦点)0,3(-F ,且离心率23

=e

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,(N M ,不是左、右顶点),且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A. 求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标.

20.解:(Ⅰ)由题意可知:??

?

?

?

??+====222233

c b a a c e c

解得 1,2==b a

所以椭圆的方程为:14

22

=+y x

(II )证明:由方程组??

???+==+m kx y y x 1

422

0448)k 41222=-+++m kmx x 得(0)44)(41(4)8(222>-+-=?m k km

整理得01422>+-m k 设),(),,(2221y x N x x M

则2

221221414

4,418k

m x x k km x x +-=+-=+ 由已知,AN AM ⊥且椭圆的右顶点为)0,2(A

0)2)(2(2121=+--∴y y x x 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=

即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k

也即04418)2(4144))1(22

222

=+++-?-++-?+m k

km

km k m k 整理得:0121652

2=++k mk m

解得5

62k m k m -=-=或均满足0142

2>+-m k 当

k m 2-=时,直线的l 方程为k kx y 2-=,过定点(2,0)与题意矛盾舍去

当56k m -

=时,直线的l 方程为)5

6

(-=x k y ,过定点)0,56(

故直线l 过定点,且定点的坐标为)0,5

6

(

21.(本小题满分14分)

已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->.

(Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;

(Ⅲ)若()f x 在[1]e ,

上没有零点,求实数a 的取值范围. 18.(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)22()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞,

. 22()2a f x x x '=-2222x a x

-=

2()()

x a x a x +-=. ()f x 在1x =处取得极值,

(1)0f '∴=,解得1a =或1a =-(舍).

当1a =时,()01x ∈,

,()0f x '<;()1x ∈+∞,,()0f x '>, 所以a 的值为1. (Ⅱ)令()0f x '=,解得x a =或x a =-(舍).

当x 在(0)+∞,

内变化时,()()f x f x ',的变化情况如下:

由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞,

,单调递减区间为(0)a ,. (Ⅲ)要使()f x 在[1

]e ,上没有零点,只需在[1]e ,上min ()0f x >或max ()0f x <, 又(1)10f =>,只须在区间[1]e ,

上min ()0f x >. (ⅰ)当a e ≥时,()f x 在区间[1]e ,

上单调递减, 22min ()()20f x f e e a ==->,

解得 02

a <<

与a e

≥矛盾. (ⅱ) 当1a e <<时,()f x 在区间[1)a ,

上单调递减,在区间(]a e ,上单调递增, 2

min ()()(12ln )0f x f a a a ==->,

解得0a <<

所以1a <<

(ⅲ)当01a <≤时,()f x 在区间[1]e ,

上单调递增,min ()(1)0f x f =>,满足题意.

综上,a 的取值范围为0a <<

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