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黄冈中学高考数学典型例题11---函数综合问题

黄冈中学高考数学典型例题11---函数综合问题
黄冈中学高考数学典型例题11---函数综合问题

黄冈中学

高考数学典型例题详解

函数综合问题

每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释;

积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?

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函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法,并培养考生的思维和创新能力.

[学法指导]怎样学好函数

学习函数要重点解决好四个问题:准确深刻地理解函数的有关概念;揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系;把握数形结合的特征和方法;认识函数思想的实质,强化应用意识.

(一)准确、深刻理解函数的有关概念

概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.

(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.

所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面:(1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作为基本语言和工具出现在试题中.

(三)把握数形结合的特征和方法

函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.

(四)认识函数思想的实质,强化应用意识

函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,求得问题的解决.纵观近几年高考题,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识.

●难点磁场

(★★★★★)设函数f (x )的定义域为R ,对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=-4.

(1) 求证:f (x )为奇函数;

(2) 在区间[-9,9]上,求f (x )的最值.

●案例探究

[例1]设f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x =1对称,对任意x 1、x 2∈[0,21

],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0.

(1)求f (21)、f (4

1

);

(2)证明f (x )是周期函数; (3)记a n =f (n +

n

21

),求).(ln lim n n a ∞→

命题意图:本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力.

知识依托:认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口.

错解分析:不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形.

技巧与方法:由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为)2

()2()2()22()(x f x f x f x x f x f ??=+=是解决问题的关键.

(1) 解:因为对x 1,x 2∈[0,2

1

],都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=)2

()22(x f x x f =+≥0, x ∈[0,1]

又因为f (1)=f (2

1+21)=f (21)·f (21)=[f (2

1)]2

f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=[f (4

1)]2 又f (1)=a >0

∴f (21)=a 2

1

,f (4

1)=a 41

(2)证明:依题意设y =f (x )关于直线x =1对称,故f (x )=f (1+1-x ),即f (x )=f (2-x ),x ∈R .

又由f (x )是偶函数知f (-x )=f (x ),x ∈R ∴f (-x )=f (2-x ),x ∈R .

将上式中-x 以x 代换得f (x )=f (x +2),这表明f (x )是R 上的周期函数,且2是它的一个 周期.

(3)解:由(1)知f (x )≥0,x ∈[0,1] ∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n -1) n 21)=f (n 21)·f ((n -1)·n

21) =…… =f (

n 21)·f (n 21)·……·f (n

21) =[f (n 21

)]n =a 21

∴f (n

21

)=a n 21

.

又∵f (x )的一个周期是2

∴f (2n +n 21)=f (n

21

),因此a n =a n 21

∴.0)ln 21

(

lim )(ln lim ==∞

→∞

→a n

a n n n

[例2]甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速驶到乙地,速度不得超过c 千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v (km/h)的平方成正比,比例系数为b ,固定部分为a 元.

(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

命题意图:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识,还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.

知识依托:运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.

错解分析:不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题,易忽略对参变量的限制条件.

技巧与方法:四步法:(1)读题;(2)建模;(3)求解;(4)评价. 解法一:(1)依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v

S

,全程运输成本为y =a ·

v S +bv 2·v S =S (v

a

+bv ) ∴所求函数及其定义域为y =S (

v

a

+bv ),v ∈(0,c ]. (2)依题意知,S 、a 、b 、v 均为正数

∴S (v

a

+bv )≥2S ab ① 当且仅当v

a

=bv ,即v =b a 时,①式中等号成立.若b a ≤c 则当v =b a 时,有

y min ;

b a >

c ,则当v ∈(0,c ]时,有S (v a +bv )-S (c

a

+bc ) =S [(

v a -c a )+(bv -bc )]=vc

S

(c -v )(a -bcv ) ∵c -v ≥0,且c >bc 2,∴a -bcv ≥a -bc 2>0

∴S (v

a +bv )≥S (

c

a

+bc ),当且仅当v =c 时等号成立,也即当v =c 时,有y min ; 综上可知,为使全程运输成本y 最小,当b ab ≤c 时,行驶速度应为v =b

ab

,

当b

ab >c 时行驶速度应为v =c .

解法二:(1)同解法一.

(2)∵函数y =x +

x

k

(k >0),x ∈(0,+∞),当x ∈(0,k )时,y 单调减小,当x ∈(k ,+∞)时y 单调增加,当x =k 时y 取得最小值,而全程运输成本函数为y =Sb (v +v

b a

),v

∈(0,c ].

∴当b a ≤c 时,则当v =b a 时,y 最小,若b

a >c 时,则当v =c 时,y 最小.结论同上.

●锦囊妙计

在解决函数综合问题时,要认真分析、处理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决,尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)函数y=x+a与y=log a x的图象可能是( )

2.(★★★★★)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式:

①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)

b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)

其中成立的是( )

A.①与④

B.②与③

C.①与③

D.②与④

二、填空题

3.(★★★★)若关于x的方程22x+2x a+a+1=0有实根,则实数a的取值范围是_________.

三、解答题

4.(★★★★)设a 为实数,函数f (x )=x 2+|x -a |+1,x ∈R . (1)讨论f (x )的奇偶性; (2)求f (x )的最小值.

5.(★★★★★)设f (x )=

x

x

x +-++11lg

11. (1)证明:f (x )在其定义域上的单调性; (2)证明:方程f -1(x )=0有惟一解; (3)解不等式f [x (x -21

)]<2

1.

6.(★★★★★)定义在(-1,1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(-1,1),都有f (x )+f (y )=f (

xy

y

x ++1);②当x ∈(-1,0)时,有f (x )>0. 求证:)21

()1

31()11

1()5

1(2

f n n f f f >+++++ .

7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).

(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系式,并指出其定义域. (2)求污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求最低总造价.

8.(★★★★★)已知函数f (x )在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义,且在(0,+∞)上是增函数,f (1)=0,又g (θ)=sin 2θ-m cos θ-2m ,θ∈[0,

2

π

],设M ={m |g (θ)<0,m

∈R},N={m|f[g(θ)]<0},求M∩N.

参考答案

难点磁场

(1)证明:令x=y=0,得f(0)=0

令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)

∴f(x)是奇函数

(2)解:1°,任取实数x1、x2∈[-9,9]且x1<x2,这时,x2-x1>0,f(x1)-f(x2)=f [(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1)

因为x>0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0

∴f(x)在[-9,9]上是减函数

故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9).

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12.

∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12.

歼灭难点训练

一、1.解析:分类讨论当a>1时和当0<a<1时.

答案:C

2.解析:用特值法,根据题意,可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,

则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)-f(b)=f(2)-f(-1)=2+1=3.

g(b)-g(-a)=g(1)-g(-2)=1-2=-1.∴f(a)-f(-b)>g(1)-g(-2)=1-2=-1.

又f(b)-f(-a)=f(1)-f(-2)=1+2=3.

g(a)-g(-b)=g(2)-g(1)=2-1=1,∴f(b)-f(-a)=g(a)-g(-b).

即①与③成立.

答案:C

二、3.解析:设2x=t>0,则原方程可变为t2+at+a+1=0

方程①有两个正实根,则???

??>+=?>-=+≥+-=?0100)1(42

1212a t t a t t a a

解得:a ∈(-1,2-22]. 答案:(-1,2-22]

三、4.解:(1)当a =0时,函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ),此时f (x )为偶函数;当a ≠0时,f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1,f (-a )≠f (a ),f (-a )≠-f (a ).此时函数f (x )既不是奇函数也不是偶 函数.

(2)①当x ≤a 时,函数f (x )=x 2-x +a +1=(x -2

1

)2+a +4

3,若a ≤2

1,则函数f (x )在(-∞,a ]上单调递减,从而,函数f (x )在(-∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1.

若a >21,则函数f (x )在(-∞,a ]上的最小值为f (21)=4

3+a ,且f (2

1)≤f (a ).

②当x ≥a 时,函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43;当a ≤-2

1

时,则函数f (x )

在[a ,+∞)上的最小值为f (-21)=43-a ,且f (-21)≤f (a ).若a >-2

1

, 则函数f (x )

在[a ,+∞)上单调递增,从而,函数f (x )在[a ,+∞]上的最小值为f (a )=a 2+1.

综上,当a ≤-21时,函数f (x )的最小值是43-a ,当-21<a ≤2

1时,函数f (x )的最小值是a 2+1;当a >21时,函数f (x )的最小值是a +4

3.

5.(1)证明:由???

??≠+>+-0

2011x x x

得f (x )的定义域为(-1,1),易判断f (x )在(-1,1)

内是减函数.

(2)证明:∵f (0)=21,∴f --1(21)=0,即x =2

1是方程f --1(x )=0的一个解.若方程f --

1

(x )=0还有另一个解x 0≠21,则f --1(x 0)=0,由反函数的定义知f (0)=x 0≠2

1,与已知矛

盾,故方程f --1(x )=0有惟一解.

(3)解:f [x (x -21)]<21,即f [x (x -2

1)]<f (0).

.415121041510)21(1)21(1+<<<<-????

????

>-<-<-∴x x x x x x 或

6.证明:对f (x )+f (y )=f (xy

y

x ++1)中的x ,y ,令x =y =0,得f (0)=0,再令y =-x ,又得

f (x )+f (-x )=f (0)=0,即f (-x )=-f (x ),∴f (x )在x ∈(-1,1)上是奇函数.设-1<x 1<x 2<0,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (

21211x x x x --),∵-1<x 1<x 2<0,∴x 1-x 2<0,1-x 1x 2>0.∴2

12

11x x x

x --<0,于是由②知f (

2

12

11x x x x --) >0,从而f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),故f (x )在x ∈(-1,0)

上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称,知f (x )在x ∈(0,1)上仍是递减函数,且f (x )<0.

.

),2

1()21()21(,

0)21

(,1210),

21()21()]21()11([)]41()31([)]31()21([)

131()111()51()

21

()11()2

11112111(]

)

2)(1(11)

2)(1(1

[]1)2)(1(1[)131(22故原结论成立有时f n f f n f n n f f n f n f f f f f n n f f f n f n f n n n n f n n n n f n n f n n f >+-∴<+<+<+-=+-+++-+-=+++++∴+-+=+?

+-+-

+=++-

++=-++=++

7.解:(1)因污水处理水池的长为x 米,则宽为

x

200

米,总造价y =400(2x +2×x 200)+248×x 200×2+80×200=800(x +x

324

)+1600,由题设条件 ??

?

??≤<≤<16200

0,

160x x 解得12.5≤x ≤16,即函数定义域为[12.5,16]. (2)先研究函数y =f (x )=800(x +

x

324

)+16000在[12.5,16]上的单调性,对于任

意的x 1,x 2∈[12.5,16],不妨设x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=800[(x 2-x 1)+324(

1

211x x -)]=800(x 2-x 1)(1-

21324x x ),∵12.5≤x 1≤x 2≤16.∴0<x 1x 2<162<324,∴2

1324

x x >1,即1-2

1324

x x <0.又x 2-x 1>0,∴f (x 2)-f (x 1)<0,即f (x 2)<f (x 1),故函数y =f (x )在[12.5,16]上是减函数.∴当x =16时,y 取得最小值,此时,y min =800(16+

16

324

)+16000=45000(元),16

200

200=

x =12.5(米) 综上,当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低为45000元.

8.解:∵f (x )是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,∴f (x )在(-∞,0)上也是增函数.

又f (1)=0,∴f (-1)=-f (1)=0,从而,当f (x )<0时,有x <-1或0<x <1, 则集合N ={m |f [g (θ)]<θ=}={m |g (θ)<-1或0<g (θ)<1},

∴M ∩N ={m |g (θ)<-1}.由g (θ)<-1,得cos 2θ>m (cos θ-2)+2,θ∈[0,

2

π],令x =cos θ,x ∈[0,1]得:x 2>m (x -2)+2,x ∈[0,1],令①:y 1=x 2,x ∈[0,1]及②y 2=m (m -2)+2,显然①为抛物线一段,②是过(2,2)点的直线系,在同一坐标系内由x ∈[0,1]得y 1>y 2.∴m >4-22,故M ∩N ={m |m >4-22}.

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:

函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式:

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f .

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z , 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 弧度:一周的弧度数为2πr/r=2π,360°角=2π弧度,因此,1弧度约为57.3°,即57°17'44.806'', 1°为π/180弧度,近似值为0.01745弧度,周角为2π弧度,平角(即180°角)为π弧度, 直角为π/2弧度。(答:25-;5 36 π- ) (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈; α终边在y 轴上的角可表示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称,则α=____________。 (答:Z k k ∈+ ,3 2π π) 4、α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角,则2 α 是第_____象限角 (答:一、三) 5.弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22 S lR R α==,1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。 (答:22cm ) 6、任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是220r x y =+>,那么 s i n ,c o s y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec r x α=()0x ≠, ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。

(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、(2009)函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为 2π的奇函数 D .最小正周期为2 π 的偶函数 2、(2008)已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.(2009浙江文)已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能... 是( ) 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.(2009江西卷文)函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A .2π B . 32π C .π D . 2 π 6.(2009全国卷Ⅰ文)如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称,那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.(2008海南、宁夏文科卷)函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( ) A. -3,1 B. -2,2 C. -3, 3 2 D. -2, 32 8.(2007海南、宁夏)函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ,的简图是( )

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

高考数学高频考点三角函数

三角函数 一、重点突破 1、关于任意角的概念 角的概念推广后,任意角包括、正角、负角、零角;象限角、轴上角、区间角及终边相同的角 2、角的概念推广后注意“0°到90°的角”、“第一象限角”、“钝角”和“小于90°的角”这四个概念的区别 3、两个实用公式:弧度公式:l=|α|r,扇形面积公式:S=|α|r2 4、三角函数曲线即三角函数的图像,与三角函数线是不同的概念 5、利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式,诱导公式可以解决证明、化简、求值问题,而求值有“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”三类。 6、应用两角和与差的三角函数公式应注意: ⑴当α,β中有一个角为的整数倍时,利用诱导公式较为简便。 ⑵善于利用角的变形如β=(α+β)-α2α=(α+β)+(α-β),+2α=2(α+)等 ⑶倍角公式的变形——降幂公式:sin2α=,cos2α=,sinαcosα=sin2α应用十分广泛. 7、三角函数的图像和性质,重点掌握:, ⑴周期性的概念;⑵y=Asin(ωx+)的图像是由y=sinx的图像经过怎样的变换得到 ⑶五点法作图. 8、三角求值问题的解题思路: ⑴三种基本变换:角度变换、名称变换、运算结构的变换 ⑵给值求角问题的基本思路 ①先求出该角的一个三角函数值;②再根据角的范围与函数值定角,要注意角的范围对三角函数值的影响。 9、注意活用数学思想方法:方程思想、数形结合,整体思想、向量方法 二、注意点 ㈠三角函数y=Asin(ωx∈) (Aω>0)的性质 1、奇偶性:当=kπ+时是偶函数,当=kπ时是奇函数,当≠时是非奇非偶函数 (k∈Z) 2、对称性:关于点(0)中心对称,关于直线x= (k∈Z)轴对称. ㈡任意角三角函数 1、当α为第一象限角时,sinα+cosα>1 2、当α∈(-+2kπ +2kπ),k∈Z时,sinα-cosα<0 (点在x-y=0下方)

2020高考数学专项复习《三角函数大题压轴题练习》

3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 (Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解:(1)Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 (2)Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增,在区间[ , ] 上单调 递减, 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时, f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ,当 x = - 时, f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? (> 0 )的最小正周期为π . 2 ? ? ? (Ⅰ)求的值; 3 3 ) (k

2020-2021学年高考数学(理)考点:三角函数的图象与性质

2020-2021学年高考数学(理)考点:三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),????π2,1,(π,0),??? ?3π2,-1,(2π,0). (2)在余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),????π2,0,(π,-1),??? ?3π2,0,(2π,1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) ?? π 概念方法微思考 1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少?相邻两个对称中心的距离呢? 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期;相邻两个对称中心的距离也为半个周期. 2.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ≠0,ω≠0)是奇函数,偶函数的充要条件分别是什么? 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ=π 2+k π(k ∈Z ); (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z ).

1.(2019?新课标Ⅱ)若14 x π = ,234 x π = 是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点,则(ω= ) A .2 B . 32 C .1 D . 12 【答案】A 【解析】14 x π = ,234 x π = 是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点, 322( )44T πππ πω ∴=-== 2ω∴=, 故选A . 2.(2019?新课标Ⅱ)下列函数中,以2π为最小正周期且在区间(4π,)2 π 单调递增的是( ) A .()|cos2|f x x = B .()|sin 2|f x x = C .()cos ||f x x = D .()sin ||f x x = 【答案】A 【解析】()sin ||f x x =不是周期函数,可排除D 选项; ()cos ||f x x =的周期为2π,可排除C 选项; ()|sin 2|f x x =在 4π处取得最大值,不可能在区间(4π,)2 π 单调递增,可排除B . 故选A . 3.(2019?新课标Ⅲ)设函数()sin()(0)5f x x π ωω=+>,已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点.下 述四个结论: ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0, )10 π 单调递增 ④ω的取值范围是12 [5 ,29)10 其中所有正确结论的编号是( ) A .①④ B .②③ C .①②③ D .①③④ 【答案】D 【解析】当[0x ∈,2]π时,[ 5 5x π π ω+ ∈,2]5 π πω+, ()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,

高考数学三角函数公式

高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

高考全国卷三角函数大题训练

三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式;令n n b na =,求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--= (1)求A (2)若2a =,ABC ?的面积为3;求,b c 。 4.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B . (1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 5.已知数列{}n a 满足11a =,131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列,并求{}n a 的通项公式;(2)证明:1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1A C B -+=,2a c =,求C 。

7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ,求C 8.如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90° (1)若PB=1 2,求PA ;(2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA 9.在△ABC 中,a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边, 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ (Ⅰ)求A 的大小;(Ⅱ)求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8= -10 (I )求数列{a n }的通项公式;(II )求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c 。角A ,B ,C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值。 12.设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |=|b |,求x 的值;(2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值. 13.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c ,已知? =2,cosB=, b=3,求:(Ⅰ)a 和c 的值;(Ⅱ)cos (B ﹣C )的值. A B C P

高考数学之三角函数知识点总结

三角函数 一、基础知识 定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ,则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边及x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ,设它的坐标为(x ,y ),到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ,余切函数cot α=y x , 定理1 同角三角函数的基本关系式, 倒数关系:tan α= αcot 1,商数关系:tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin =; 乘积关系:tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α;平方关系:s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式(Ⅰ)s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; (Ⅱ)s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α; (Ⅲ)s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; ( Ⅳ)s in ?? ? ??-απ2 =co s α, co s ?? ? ??-απ 2 =s in α(奇变偶不变,符号看象 限)。 定理3 正弦函数的性质,根据图象可得y =s inx (x ∈R )的性质如下。 单调区间:在区间?? ? ?? ?+-22,2 2ππππk k 上为增函数,在区间 ?? ???? ++ππππ232,22k k 上为减函数,最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性:当且仅当x =2kx +2π 时,y 取最大值1,当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性:直线x =k π+2 π均为其对称轴,点(k π, 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质,根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)(含解析).doc

2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数(一) 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) , x R . ( 1)求函数 y f ( x) 的对称中心; 6 ( 2)已知在 △ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a , b , c ,且 f ( B 6 ) b c , ABC 的外接圆半径为 3 ,求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 (1)令 2x k ( k Z ),则 x k ( k Z ), 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ; 2 12 (2)由 f ( B ) b c ,得 sin( B ) b c ,即 3 sin B 1 cos B b c , 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c , 由正弦定理得: 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C , 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B , 又因为 sin B 0 , 所以 3 sin A cos A 1 ,即 sin( A 1 , 6 ) 2 由 0 A ,得 A 5 , 6 6 6 所以 A ,即 A 3 , 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 , 所以 a 2 3 sin A 3 ,由余弦定理得

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-,则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

高中文科数学三角函数知识点总结

三角函数知识点 一.考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二.知识点 1.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x +

(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin 2α+ cos 2α=1。 (2)商数关系: ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2παα??+= ???,cos sin 2παα??+=- ??? . x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o|cosx| |cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx| |sinx|>|cosx| sinx>cosx cosx>sinx 16. 几个重要结论:O O x y x y T M A O P x y

高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练 1.(2016?白山一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知= (1)求角C的大小, (2)若c=2,求使△ABC面积最大时a,b的值. 2.(2016?广州模拟)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别是a、b、c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A.(I)求角A的大小; (Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值. 3.(2016?成都模拟)已知函数f(x)=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)取得最大值时x的集合; (Ⅱ)设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角,若cosB=,f(C)=﹣,求sinA的值. 4.(2016?台州模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且c2=a2+b2﹣ab. (1)求角C的值; (2)若b=2,△ABC的面积,求a的值. 5.(2016?惠州模拟)如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cosB=. (Ⅰ)求△ACD的面积; (Ⅱ)若BC=2,求AB的长. 6.(2015?山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=,sin (A+B)=,ac=2,求sinA和c的值. 7.(2015?新课标I)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若a=b,求cosB; (Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积. 8.(2015?湖南)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C. 10.(2015?湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角. (Ⅰ)证明:B﹣A=; (Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围. 11.(2015?四川)已知A、B、C为△ABC的内角,tanA,tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0(p∈R)两个实根.(Ⅰ)求C的大小 (Ⅱ)若AB=3,AC=,求p的值.

高考数学典型例题详解

高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (2)=0,解不等式f [log 2(x 2+5x +4)]≥0. ●案例探究 [例1]已知奇函数f (x )是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f (x -3)+f (x 2-3)<0,设不等式解集为A ,B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=-3x 2+3x -4(x ∈B )的最大值. 命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析:题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域. 技巧与方法:借助奇偶性脱去“f ”号,转化为x cos 不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值. 解:由? ??<<-<

∴x -3>3-x 2,即x 2+x -6>0,解得x >2或x <-3,综上得2f (0)对所有θ∈[0, 2 π ]都成立? 若存在,求出符合条件的所有实数m 的范围,若不存在,说明理由. 命题意图:本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目. 知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法. 技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解:∵f (x )是R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ-3)>f (2m cos θ-4m ), 即cos2θ-3>2m cos θ-4m ,即cos 2θ-m cos θ+2m -2>0. 设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t ) =t 2-mt +2m -2=(t - 2 m )2 -4 2 m +2m -2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g (t )在[0,1]上的最小值为正. ∴当 2 m <0,即m <0时,g (0)=2m -2>0?m >1与m <0不符; 当0≤2 m ≤1时,即0≤m ≤2时,g (m )=-42m +2m -2>0 ?4-221,即m >2时,g (1)=m -1>0?m >1.∴m >2 综上,符合题目要求的m 的值存在,其取值范围是m >4-22.

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练 一. 教学内容: 三角函数总结及统练 (一)基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系:商数关系: 倒数关系:1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 6. 诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换:令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式: 2cos 12 sin αα -± =;2cos 12cos αα+±=; αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =

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