高中数学课本中的定理、公式、结论的证明

数学课本中的定理、公式、结论的证明

数学必修一

第一章 集合（无） 第二章 函数（无）

第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质：

如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么

（1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a

a a M

M N N

=； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质

证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +，

即证得log log log a a a MN M N =+．

证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =，

∴

q p q p

a a

a N M -==， ∴q p N

M

a

-=log ， 即证得log log -log a a a M

M N N

=．

证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =，

∴n np

M a =，

∴log n

a M np =，

即证得log log n

a a M n M =．

第四章函数应用（无）

数学必修二

第一章立体几何初步

直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明．

1、直线与平面平行的判定定理

若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行．

2、平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

3、直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．

4、平面与平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

证明：设直线l 的方向向量为a,平面βα，的法向量分别为u ，r （建立立体几何问

题与向量之间的联系），

因为β⊥l ，所以a||r ，即a=k r(R k ∈)（把立体几何问题转化为空间向量问题）, 又，α?l 所以a ⊥u ?a ?u=0（把立体几何问题转化为空间向量问题）， 所以k u ?r=0? u ⊥r ?βα⊥（把空间向量的结果转化为几何结论）， 所以平面α与平面β互相垂直，

5、直线与平面平行的性质定理

如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该

直线平行．

6、平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

7、直线与平面垂直的性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

另法

8、平面与平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，

:AB MN B AB αβαββα⊥?⊥⊥如图所示已知,=MN,AB 在内，于点。求证：.

9三垂线定理及逆定理

另法证明：已知：如图，直线l 与平面α相交与点A ，l 在α上的射影OA 垂直于α∈a a , 求证：l ⊥a

证明： 过P 作PO 垂直于α ∵PO ⊥α ∴PO ⊥a

又a ⊥OA ，PO ∩OA=O ∴a ⊥平面POA

∴a ⊥l

BC MN ABC -MN- ABC =90 AB BC AB MN AB ααβαβα⊥∠⊥∴∠∴⊥⊥∴⊥证明：在平面内做直线，则是二面角的

平面角，

，，又，

-y)（三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该平面内的投影

第二章 解析几何初步（无）

数学必修三 数学必修四

第一章 三角函数 诱导公式

公式：

如图：设α的终边与单位圆（半径为单位长度1的圆）交 于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为 P ′(x ，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得

sin α=y ， cos α=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x, 所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α

由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-α诱导公式，

公式： ααπ-sin sin(=+）

ααπ-cos cos(=+） ααπtan tan(=+） 它刻画了角π+α与角α的正弦值（或余弦值）之间的关

系，这个关系是：以角α终边的反向延长线为终边的角的正弦值

（或余弦值）与角α的正弦值（或余弦值）关系，设角α终边圆交于点P( x ，y)，则角α终边的反向延长线，即π+α角的终边

与单位圆的交点必为P ′(-x ，-y)（如图4-5-1）．

由正弦函数、余弦函数的定义，即可得

sin α=y ， cos α=x, sin(π+α)=-y, cos(π+α)=-x,

所以 :sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α．

由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。 相关诱导公式

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin （2k π+α）=sin α k ∈z cos （2k π+α）=cos α k ∈z tan （2k π+α）=tan α k ∈z

公式二：sin （π+α）=－sin α cos （π+α）=－cos α tan （π+α）=tan α 公式三：sin （－α）=－sin α

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=sin α cos （π－α）=－cos α tan （π－α）=－tan α 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sin α cos （2π－α）=cos α tan （2π－α）=－tan α 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin （π/2+α）=cos α cos （π/2+α）=－sin α tan （π/2+α）=－cot α sin （π/2－α）=cos α cos （π/2－α）=sin α tan （π/2－α）=cot α

ααcos cos(=-）α

αtan tan(-=-）αα-sin sin(=-）

第二章 平面向量

1、共线向量定理（p82例3）

内容：如图A,B,C 为平面内的三点，且A,B 不重合，点P 为平面内任一点，若C 在直线AB 上，则有PB PA PC )1(λλ-+= 证明：由题意，BC 与共线，

λ=∴

)

(,-=-∴-=-=λ

化简为：)1(λλ-+= 2、平面向量基本定理(p83)

内容：如果2

1,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量，存在唯一一对实数21,λλ，使得.2211e e λλ+=

证明：如图过平面内一点O ，作e e ===,,21，过点C 分别作直线OA 和直线OB 的平行线，交OA 于点M ，交OB 于点N ，有且只有一组实数，使

得21,λλ==

OB OA OC OM 21λλ+=∴+=

即.2211e e λλ+=

3、平行向量定理（p88）

内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；

若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行，

证明：设b a ,是非零向量，且),(),,(2211y x b y x a ==

若b a //，则存在实数λ使b a λ=，且由平面向量基本定理可知

.)(222211j y i x j y i x j y i x λλλ+=+=+

21x x λ=∴①，21y y λ=② ①-?2y ②2x ?得：01221=-y x y x

若0,021≠≠y y （即向量b a ,不与坐标轴平行）则

2

2

11y x y x =

A

O

e 1

4、余弦定理证明(p93)

内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则

??

???-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222

22222

证明：如图在ABC ?中，设b AC a BC c AB ===,,则

))((2

22a --===

cos 22A +?-=+?-=

A bc c b cos 22

2-+=

同理可证：?????-+=-+=C ab b a c A bc c b a cos 2cos 2222222 所以

??

???-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A

bc c b a cos 2cos 2cos 22222

22222

5、点到直线距离公式证明（p99）

向量法

定义法

证：如图,根据定义，点M 到直线 l 的距离是点M 到直线 l 的垂线段的长，如图1，

设点M 到直线l 的垂线为 '

l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B

A

'l ∴的方程：

00()B

y y x x A -=

-与l 联立方程组

解得交点2200002222

(,)B x ABy AC A y ABx BC

Q A B A B ----++

2222

2

000000222222

2200002222

2222200000022222222

||()()()()

()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B

A x ABy AC

B y ABx B

C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=

+++

|PQ ∴=

第三章 三角恒等变形

1、两角差的余弦公式证明cos （α﹣β）=cos αcos β+sin αsin β

证明 ：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心， 作一单位圆，再以原点为顶点，x 轴非负半轴为始边分别作角α，β，且α＞β．若α，β均为锐角时， 设它们的终边分别交单位圆于点P1（cos α，sin α），P2（cos β，sin β），即有两单位向量，它们的所成角是α﹣

β，

根据向量数量积的性质得：

①

又根据向量数量积的坐标运算得：

=cos αcos β+sin αsin β ②

由①②得 cos （α﹣β）=cos αcos β+sin αsin β ③

由诱导公式可证明当α，β均为任意角时③式仍成立， 2、两角和的余弦公式证明

[]

cos()cos ()αβαβ+=--=（略）

3、两角和（差）的正弦公式证明

内容：βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(,sin cos cos sin )sin(-=-+=+ 证明：

β

απ

βαπβαπβαπβαsin )2

sin(cos )2cos(])2cos[()](2cos[)sin(-+-=--=+-=+βαβαsin cos cos sin +=

β

απ

βαπβαπβαπβαsin )2

sin(cos )2cos(])2cos[()](2cos[)sin(---=+-=--=-βαβαsin cos cos sin -=

4、两角和（差）的正切公式证明 内容：

β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+，

β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

-

证明：

=

-

+

=-+=++=+βαβαβαβαβ

αβ

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(

βαβαtan tan 1tan tan -+

=

+

-

=+-=--=-βαβαβαβαβ

αβ

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(

βαβαtan tan 1tan tan +-

考题（2010四川理19）

○

1证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-； ○

2由C αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=-.

解：①如图，在直角坐标系xOy 内做单位圆O ，并作

出角α、β与-β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交

⊙O 于P 2

；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于P 3；角-β的始边为OP 1，终边交⊙O 于P 4．则P 1（1，0），P 2（cos α，sin α） ， P 3（cos （α+β），sin （α+β）），P 4（cos （-β），sin （-β））

数学必修五

第一章 数列 1、 等差数列通项公式

已知等差数列{n a }的首项为1a ，公差为d ，证明数列{n a }的通项公式为

d

n a a

n )1(1-+=

证明：由等差数列的定义可知:

说明：用“叠加法”证明等差数列的通项公式，需要验证对1a 同样成立

2、 等差数列前n 项和

内容：

{}n a 是等差数列，公差为

d ，首项为1a ，n S 为其前n 项和，则

2)(2)

1(11n n a a n d n n n a S +=-+

=

证明：由题意， )

)1((.......)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=① 反过来可写为：)

)1((.......)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②

①+②得：2n

S

个

n n a n a n a +++++=111.......

所以，

2)

(1n n a a n S +=

③，

把

d

n a a n )1(1-+=

代入③中，得

3、等比数列通项公式

已知等比数列{n a }的首项为1a ，公比为q ，证明数列{n a }的通项公式为

-1

n 1q a a n

=

类比等差数列通项公式的证明，用“叠乘法”证明

3、 等比数列前n 项和

内容：

{}n a 是等比数列，公比为

q ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则

n S =

??

?

??≠--=--=)1(,1)

1(1)

1(,111q q q a q q a a q na n n

证明：1

12111.......-++++=n n q a q a q a a S ①

n

n q a q a q a q a qS 131211.......++++=②

①—②得：n

n q a a S q 11)1(-=-，

当1≠q 时，n S q q a q q a a n n --=--=1)

1(1111 ③把11-=n n q a a 代入③中，得n

S q q a a n --=11 当1=q 时，很明显n S 1na =

所以，n S =

??

?

??≠--=--=)1(,1)

1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n

考题（2013陕西文） 17.设S n 表示数列{}n a 的前n 项和.

(Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;

(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11n

n q S q

-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.

解：(Ⅰ) 设公差为d,则d n a a n )1(1-+=

)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n n

n n ++++++++=???

?++++=++++=---- )2

1

(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=

?+=?.

（北师大版数学必修五---课本证明方法）

(Ⅱ) 1,011

≠≠=q q a 由题知，，

n n n n n n n n n n q q

q q q q q q S S a q q S N n =--=-----=-=?--=∈?++++11111111

111*

，

*2

1111

N n q a n q

n a n n n n ∈=????≥==--，.

所以,}{n a 数列是首项11=a ,公比1≠q 的等比数列，

2、（2013陕西理）17.设{}n a 是公比为q 的等比数列.

(Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;

(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列. 解：(Ⅰ) 分两种情况讨论，

①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列，所以是首项为时，数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=?++++=≠--1211211 时，当.

上面两式错位相减:

.)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- （ q

q a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=?，

③综上，??

?

??≠--==)

1(,1)

1()1(,11q q q a q na S n n

（北师大版数学必修五---课本证明方法）

(Ⅱ) 使用反证法，

设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则

①当1*

+∈?n a N n ，使得=0成立，则{1}n a +不是等比数列，

②当01*

≠+∈?n a N n ，使得成立，则恒为常数=++=++-+1

1

111

111n n n n q a q a a a 1,0111111=≠?+=+?-q a q a q a n n 时当，这与题目条件q ≠1矛盾，

③综上两种情况，假设数列{1}n a +是等比数列均不成立，所以当q ≠1时, 数列{1}n a +不是等比数列，

第二章 解三角形 1、正弦定理证明（p45）

内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即 .s i n s i n s i n C c

B b A a ==

已知：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，

求证：.sin sin sin C c

B b A a ==

证明：方法1 利用三角形的高证明正弦定理

（1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，

a

b

D

A

B

C

根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A = =sin CD a B ，

由此，得 sin sin a b A B =

，同理可得

sin sin c

b

C

B =

，

故有 sin sin a

b

A B =

sin c

C =

.

从而这个结论在锐角三角形中成立

.

（2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = ，

由此，得

=

∠sin sin a

b

A

ABC

，同理可得

=

∠sin sin c

b

C

ABC

故有 =

∠sin sin a

b

A

ABC

sin c

C =

.

（3）在ABC Rt ?中，

,sin ,sin c b

B c a A ==

∴c

B b

A a ==sin sin ，

.

1sin ,90=?=C C .sin sin sin C c B b A a ==∴

由(1)(2)（3）可知，在?ABC 中，sin sin a

b

A B

=

sin c

C =

成立.

方法2. 外接圆证明正弦定理

在△ABC 中,已知BC =a ,AC =b ,AB =c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′， ∴sin C =sin B′=R

c B C 2sin sin ='=

∴

R C

c

2sin = 同理,可得

R B b

R A a 2sin ,2sin ==

∴

R C

c

B b A a 2sin sin sin === 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式

C

c

B b A a sin sin sin == 方法3. 向量法证明正弦定理

A

B C

D

b

a

方法4.等面积法（略）

2、余弦定理证明（p49）

内容：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍，即

证明：方法1向量法证明

方法2 三角形证明（过程如下考题）

考题（陕西2011年文、理18）

叙述并证明余弦定理，

解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍，或：在 ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有

证法一 如图

2a BC BC =?()()AC AB AC AB =-?-2

2

2AC AC AB AB =-?+

222cos b bc A c =-+

即2222cos a b c bc A =+-

同理可证2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-

证法二 已知?ABC 中A,B,C 所对边分别为a,b,c,以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ,

2222(cos )(sin )a BC b A c b A ∴==-+

22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++

同理可证2222cos b a c ac B =+-

第三章 不等式 （无）

22

2AC AC AB COSA AB

=-?+222cos b c bc A

=+-222

2cos c a b ab C

=+-

数学选修2-1

第一章常用逻辑用语（无）

第二章空间向量与立体几何

1、空间向量基本定理：

2、线面垂直判定定理（p40例1）

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．

3、面面平行判定定理（p40例2）

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

4、三垂线定理（p41例3）

考题（2012陕西理18题）

（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a b

⊥”为真．

⊥，则a c

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

【解析】（Ⅰ）证法一

如图，过直线b上一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，

高中数学公式大全(完整版)

高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n n m a a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1）)n n a a =.（2）当n n n a a =；当n ,0||,0n n a a a a a a ≥?==?-∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=，

高级中学数学公式定理汇总

高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。

(3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

高中数学公式定理大集中

高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα 2cotα＝1 sinα 2cscα＝1 cosα 2secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα

sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα 2tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)

高一数学定理总结(全)

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 （济南加誉学堂） 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即 a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51推论任意多边的外角和等于360°

高级中学数学公式定理一览表

高中所用重点公式汇总

公式口诀： 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Y＝X是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。 函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集； 三、《不等式》 解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高中数学《立体几何》重要公式、定理

高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠

高一数学必修2空间几何部分公式定理大全

必修2空间几何部分公式定理总结 棱柱、棱锥、棱台的表面积 设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即 . 设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即 . 设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即 . 柱、锥、台的体积公式 柱体体积公式为：，（为底面积，为高） 锥体体积公式为：，（为底面积，为高） 台体体积公式为： （，分别为上、下底面面积，为高） 球的体积和表面积 球的体积公式 球的表面积公式

其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关. 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交的直线有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 空间两条直线的位置关系有且只有三种： 共面直线：相交直线（在同一平面内，有且只有一个公共点）；平行直线（在同一平面内，没有公共点）；异面直线：不同在任何一个平面内且没有公共点. 空间中直线与平面位置关系有且只有三种： 直线在平面内——有无数个公共点 直线与平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面平行——没有公共点 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 两个平面的位置关系只有两种： 两个平面平行——没有公共点 两个平面相交——有一条公共直线 异面直线所成的角 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线∥，∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线 是异面直线.

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A

高中数学公式大全由易到难

乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) ? a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

高中数学相关定理及证明

高中数学相关定理、公式及结论证明 汉阴中学正弦定理证明 内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则.sin sin sin C c B b A a == 证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A ==sin CD a B 。 由此，得 sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = . 从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。 由此，得 =∠sin sin a b A ABC ，同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . （3）在ABC Rt ?中，,sin ,sin c b B c a A == ∴ c B b A a ==sin sin ， .1sin ,90=?=C C Θ.sin sin sin C c B b A a ==∴ 由(1)(2)（3）可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 2.外接圆证明正弦定理 在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连结BO 并延长交圆于B ′,设BB ′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB ′=90°，∠C =∠B ′， ∴sin C =sin B ′=R c B C 2sin sin ='=. ∴R C c 2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C c B b A a 2sin sin sin ===. 3.向量法证明正弦定理 a b D A B C A B C D b a

高中数学定理公式大全

抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota

高一数学 余弦定理公式

正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA

[整理]年高中数学定理汇总

124推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 125切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 126圆的外切四边形的两组对边的和相等 127弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 128推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 129相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 130推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 131切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 132推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 133如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 134①两圆外离d﹥r+r ②两圆外切d=r+r ③两圆相交r-r﹤d﹤r+r(r﹥r) ④两圆内切d=r-r(r﹥r) ⑤两圆内含d﹤r-r(r﹥r) 135定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 136定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 137定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 138正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°/n 139定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 149正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 141正三角形面积√3a²/4( a表示边长) 142如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为（n-2）(k-2)=4 143弧长计算公式：l=nπr/180 144扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2 145内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r) 146等腰三角形的两个底角相等 147等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 148如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 149三条边都相等的三角形叫做等边三角形 150两边的平方的和等于第三边的三角形是直角三角形 编辑本段数学归纳法 （—）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值时命题成立 （2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 （二）第二数学归纳法： 第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：

(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法

(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法

高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A

高中数学公式定理定律大全

高中数学公式大全 (最全面，最详细) 高中数学公式大全 抛物线： y = ax *+ bx + c 就是 y 等于 ax 的平方加上 bx 再加上 c a > 0 时开口向上 a < 0 时开口向下 c = 0 时抛物线经过原点 b = 0 时抛物线对称轴为 y 轴 还有顶点式 y = a ( x+h) * + k 就是 y 等于 a 乘以( x+h)的平方 +k -h 是顶点坐标的 x k 是顶点坐标的 y 一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程 :y^2=2px 它表示抛物线的焦点在 x 的正半轴上 , 焦点坐标为 (p/2,0) 方程为 x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴 , 故共有标准方程 准线y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积 =4/3(pi )(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b )是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注： D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式： L=2πb+4(a -b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长 (2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长( a)与短半轴长( b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长 ( a)与短半轴长( b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率 T，但这两个 公式都是通过椭圆周率 T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI* 高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-

中学高中数学必修1集合概念公式定理汇总

必修1集合 解集合题首先想到Φ=方程无解

一，数学思想应用 1、数形结合思想在解集合题中的具体应用: 数轴法, 文氏图法, 几何图形法数几文 2、函数与方程思想在解集合题中具体应用: 函数法方程法判别式法构造法 3、分类讨论思想在解集合题中具体应用: 列举法补集法空集的运用数学结合 4、化归与转化思想在解集合题中具体应用: 列方程补集法文氏图法

二,集合的含义与表示方法 1、一般地，我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 2、集合元素三特性 1.确定性； 2.互异性； 3.无序性 3、a是集合A的元素，a∈A a不属于集合A 记作 a?A 立体几何中体现为点与直线/ 点与面的关系 元素与集合之间的关系 4、非负整数集（自然数集）记作：N 含0 正整数集N*或 N+ 不含0 整数集Z 有理数集Q 实数集R 3、集合表示方法：列举法描述法韦恩图 4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。 描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：不等式x-3>2的解集是 {x∈R| x-3>2} Y {x| x-3>2} 集合的分类：有限集无限集空集

三、集合间的基本关系 A?有两种可能 “包含”关系—子集B 立体几何中体现为直线与面关系（a）A是B的一部分 （b）A与B是同一集合。反之: A?/B Y B?/A A??C U B?C U A （c）A∩B=A ?B A?? C U B?C U A （d）A∪B=B ?B B??C U A?C U B （e）A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5?5=5) ①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B且A≠ B ? A B或B A ③A?B, B?C ? A?C ④ A?B 且B?A ?A=B B ? Y A= =I A B A B 我们把不含任何元素的集合叫做空集，Φ 规定: 空集是任何集合的子集，Φ?A 空集是空集的子集Φ?Φ 空集是任何集合的子集?该集合可为空集，必考虑Φ空集是任何非空集合的真子集 ΦA∩B?A∩B集合一定非空?方程有解

高中数学基本定理证明

1三角函数的定义证明. 已知锐角△ABC中，AB=c，AC=b,BC=a，利用三角函数的定义证明：c=acosB+bcosA解：作CD⊥AB于点D 在Rt△BCD中，由cosB=BD/BC，得BD=acosB,在Rt△ACD中，由cosA=AD/AC，得AD=bcosA，所以c=AB=BD+AD=acosB+bcosA 逐步提示： 1、根据待证明的条件中存在三角函数，而题目本身图形为锐角三角形，所以要在原图形中通过添加辅助线来构造直角三角形。 2、根据求【c的表达式，既是求AB的三角函数表达式】，因此添加辅助线时考虑【将AB 线段变为直角三角形的边】，可以作【CD⊥AB 于点D，】接下来考虑如何在在直角三角形中利用直角三角形三角函数来求解边角关系。 3、接下来分别在Rt△ACD和Rt△BCD中利用三角函数来表示AD的长度向待证靠近 2点P为△ABC内任意一点，求证点P到△ABC距离和为定值点P为△ABC外时,上述结论是否成立,若成立，请证明。若不成立h1,h2,h3与上述定值间有何关系【设点p 到AB,BC,CA三边距离为h1,h2,h3】 证明：连接ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ，过Ｃ作ＡＢ上的高ＡＤ，交ＡＢ于Ｇ。 过Ｐ作ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的重线交ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ于Ｄ、Ｅ、Ｆ 三角形ＡＢＣ面积＝ＡＢ＊ＣＧ／２ 三角形ＡＢＣ面积＝三角形ＡＢＰ＋ＢＣＰ＋ＣＡＰ面积 ＝AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2 =AB(PD+PE+PF)/2 故：AB*CG/2=AB*(PD+PE+PF)/2 CG=PD+PE+PF 即：点P到△ABC距离和为三角形的高，是定值。 （２） 若Ｐ在三角形外，不妨设h1>h3,h2>h3，则有： h1+h2-h3=三角形边上的高 3棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于多少？ 简证如下： 设Ｍ为正四面体Ｐ-ＡＢＣ内任一点， Ｍ到面ＡＢＣ，面ＰＡＢ，面ＰＡＣ，面ＰＢＣ的距离分别为ｈ1，ｈ2，ｈ3，ｈ4． 由于四个面面积相等， 则ＶＰ-ＡＢＣ＝ＶＭ-ＡＢＣ＋ＶＭ-ＰＡＢ＋ＶＭ-ＰＡＣ＋ＶＭ-ＰＢＣ

高中数学课本中的定理公式结论的证明

数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．

第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．