只用圆规五等分圆

只用圆规五等分圆

以O 为圆心, a 为半径作一个圆.

⑴以a 为半径在圆上相继取相等的弧AB, BC, CD 和DE.

⑵以AC 为半径, A 和D 分别为圆心, 作弧相交于F.

⑶以OF 为半径, A 为圆心作弧交圆O 于G.

⑷仍以OF 为半径, 分别以C 和E 为圆心, 作弧交于H.

GH 即是内接正五边形的边长, 以圆上任意一点开始, GH 为半径, 相继在圆上取5 个点, 这5 个点就可以五等分圆.

制图基础教学设计—圆周的多等分

授课课题制图基础—圆周的多等分 教学 目标和要求能力目标： 掌握几何图形的基本做图原理和方法 知识目标： 1.学会几何图形的基本原理； 2.掌握正三边形，正五边形，正六边形； 3.基本几何绘图。 情感目标： 培养学生看图和画图的能力，培养学生良好的学习习惯和积极向上的学习态度。 教学 重点和难点 绘制五等分圆周 教学方法讲练结合教学手段多媒体 授课时间一课时教学工具三角板圆规 教学过程 1.导入 机械零件的轮廓形状都各不相同，但分析起来都是有各种不同的几何图形 组成的，因此，熟练掌握几何图形的基本原理和正确的作图方法，是提高绘图速度和保证绘图质量的基本技能之一。接下来，大家先来看张图，告诉我你们看到了什么？（PPT打开图样）今天，我们正式开始进入到实际的绘图学习当中，感受图样绘制的精彩之处。5—7分钟

2.新课教授 1）.圆周的三等分及六等分 圆周的三等分 步骤：（1）以O为圆心做圆，并做直径AB （2）以B为圆心，OB为半径做弧，交于圆上1,2 （3）连接A1,12,A2即为圆周 的三等分 （学生思考，通过做圆周的正三边形怎样画出正六边形） （根据学生所提方式，尝试绘制正六边形） 圆周的六等分 步骤：（1）以O为圆心做圆，并 做直径AB （2）分别以A点，B点为 圆心，以OB为半径做弧，交于圆 上1，2，3，4点 （3）分别连接圆上交点， 即为正六边形。 （学生在草稿本上实际操作：做 直径为60的圆，并在圆内做 正六边形） 教师提出注意事项：在找交点时 必须要以圆的半径为半径作图， 否则不能得出正六边形

2）圆周的五等分及正五边形的画法 （学生先看教材上关于正五边形画法的步骤，根据步骤是否可以画出正五边形） 圆周的五等分 步骤： （1）以O为圆心做圆 （2）并做直径 （3）做OM的中点O 1 （4）以O 1圆心，O 1 A为半径做弧， 交于直径MN上另一点O 2 （5）以A为圆心，O 2 A为半径做弧交于圆上大约4—5分钟

圆周及弧的实用精确等分

圆周及弧的实用精确等分 湖南娄底华达技校黄正洪 人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此情形我曾在CIP书号为2015185547的[费马大定理的一个初等证明]的[试论作图题的重要性]一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、及这些等分的2n倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧。故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意。究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里传留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘份里开始探索吧，精诚所至必能金石为开。 《一》：准备一个顶角为0 60、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为0 60，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移。我们把这样一个圆锥体叫做等分工具锥。

《二》：准备一根已标记有n个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意n 边形，规定这个n边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长。 《三》：将任意n边形套在等分工具锥上。 《四》：将一个直径若30、长若200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台。 《五》：将工具锥沿铅垂轴心线向上平移，此时圆柱开口刷因被动受力而压实了任意n边形。由圆柱开口刷的加工制作和同轴受力而变形的情形，我们能证得这个任意n边形所处的平面与工具锥底面平行。于是知这个n边形此时已型变为了一个名符其实的圆，从理论上来说，专用细线上的n个等分点已精确的等分了此圆周而产生了n段相等的孤，我们把这个型变为圆的圆叫做等分基准圆。 以上五点是圆周精确等分的理论基础，有了工具锥就有了精确等分圆周的能力。这种能力是有型的，我们可以对其进行具体操作，也是无型的，我们可以将其工作过程中的一部份进行想象操作。此法中的巧妙在于：获得了基准圆上的n个等分点以后，即可作出过这些等分点的圆锥的母线，由于所有母线都可以任意延长，故我们可以将欲等分的圆周定义为任意大。由于延长后所形成的想象棱面三角形与原锥体上的局部剖视的棱面三角形相似，于是可根据相似三角形对应边的比例而求得最终结果。说到这里，我相信您不会怀疑我们能精确等分您所给出的任意直径和任意段数的圆周了吧。我们的结论是：如果

圆的等分

圆的三等分 先用圆规画一个圆，在圆上任意取一个点，以圆的半径为半径画弧，交圆与两点，再以其中一个点，以原半径为半径画弧，又交圆与两点（其中一个点与最初的一点重合），用另一点画弧，再交一点即把圆三等分 圆的五等分 方法一:首先在纸上用圆规画个圆，然后画出圆的两条相互垂直的直径AC与BD；之后分别用C、D作圆心，用直径BD的半径作弧，两弧交在E点。则OE便近似等于圆的内接正五边形之边长。自A点开始，用OE作半径在圆周上依次截出四个点来，连接相邻的二个点，得到的那个正五边形便叫做圆的内接正五边形(因为它的五个顶点都在圆上)。有了此五个顶点。就很易画出五角星了。 方法二：首先在纸上画个圆，画出圆的直径AB来。之后把AB三等分(这个工作可使用有刻度的直尺来作，分点作C与D；过点C作EF垂直于AB，交圆周在E、F；连接ED并且延长和圆周交在H；连接FD，并且延长和圆周交在G；最后连接AH与AG，所以，五角星便近似地画出来。 方法三：【自己想的，不是很好，但也是种方法】 用直尺测量圆的半径，计算内接五边形边长=2r*sin(72/2) 然后任取圆周一点画圆得两个交点，再一其中一点画圆再得一个交点 重复一次，得五个交点即是内接五边形得五个定点，成功 圆的六等分 先用任意半径画一个圆（画好后圆规两脚之间的距离不能动），再将圆规的一针固定在圆周上，以刚才画圆的半径为半径，在这个圆周上连续截五段弧，则这五段弧与圆周的交点，加上最初固定的一点将一个圆分成六等分。（可用等边三角形加以证明） 圆的七等分 这在建筑工程制图里是个很经典的作业 1.以圆心为坐标原点，建立坐标系 2.以Y轴上方与圆的交点为圆心，前一个圆的直径为半径做圆，交X轴与两点A B 3.把小圆的Y轴直径7等份等份点1 2 3 4 5 6 7 8 ； 4.连接；2A，2B，3A，3B，4A，4B...... 5.把圆上各点连接即得！！ 作圆内接任意多边形（以七边形为例） （1）将直径AB七等分； （2）以B为圆心，BA为半径作圆弧，交水平中心线于M和N两点; （3）M和N分别与各奇数点(1,3,5点)连接,连线分别交圆周于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ和Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ点.

谈五等分圆周的数学原理

谈五等分圆周的数学原理 眉山科学技术学校 陈善我 摘要：本文探讨尺规作图五等分圆周的数学原理。 关键词：尺规作图 五等分圆周 加法定理 在机械制图教科书[1][2]上，都介绍这样的 用圆规、直尺五等分圆周的作法（如图1）： 1、作圆O 2、作直径MN 3、过O 作MN 的垂线AO 交圆O 于A 4、作OM 的中点P 5、以P 为圆心，PA 长为半径作圆弧交 直径ＭＮ于Ｑ 6、以Ａ为圆心，ＡＱ为半径作圆弧，交 圆Ｏ于Ｂ，Ｅ，再分别以Ｂ，Ｅ为圆心，ＡＱ 长为半径作圆弧，交圆O 于C ，D 。 7、边结ABCDE ，多边形ABCDE 是正 五边形 人们不禁要问：这种作法精确吗？是近 似作法？还是精确作法？其数学原理是什 么？ 设图O 的半径为1，根据以上作法，则 OP=12，PQ=PA=2，QO=PQ 12-=12，所以 另外，如图2圆O 的半径为1，ABCDE 为圆O 的内接正五边形，S 是AB 的中点，则 A B O ⊥，3603610AOS BOS ??∠=∠==，故边长22s i A B A S O A ?==。

如果我们能够证明sin36?= 则上述作法就是五等分圆周的尺规作图方法，是精确作法。 下面我们推导sin36?= ， 因为 sin36sin1442sin 72cos724sin36cos36cos72???????===， 所以 1cos36cos 724 ??=。 由倍角公式，有()21cos362cos 3614??-= ， 即cos36?是下述三次方程 38410x x --= 的根。因式分解得 ()()2214210x x x +--= 故方程 38410x x --=有下述三个根： (( 1231110,10,10244x x x =-== ，由于cos360,? 舍去12,x x ，故方程的唯一正根是cos36?， 所以1cos364 ?=， 进而sin36?== 由于根据作法 AB = 而已证sin 36?=， 所以图1中的2sin362sin36AB AO ??==是半径为1的正五边形的一条边，

五等分圆周与正五角星

作正五角星与五等分圆周问题 先看几个问题： ㈠、 已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C,使 AB AC =AC BC . ㈡、 已知线段AB ，求作△ABE ，使AB=AE,且∠BAE=36°. ㈢、 用直尺和圆规作一个正五角星。 对于前述㈠、㈡两个问题，相信大家都会；一个是对线段进行 黄金分割，一个是利用黄金分割作出黄金三角形。现在把两个问题化作一个问题给出作法如下： 1.作BD=21 AB 且BD ⊥AB,连接AD ； 2.以D 为圆心，以BD 为 半径画弧，交AD 于点P. 3.以A 为圆心，以任AP 为半径画弧，交AB 于点C. 则AB AC =AC BC 。 4. 分别以A 为圆心AB 为半径、以B 为圆心AC 为半径画弧，两弧交于点E 。则∠BAE=36°。 此时点C 为线段AB 的黄金分割点，即2 15-=AB AC =AC BC ，利用勾股定理很容易证明；至于△ABE 中，若AB=AE,且 215-=AB BE 则∠BAE=36°，△ABE 为黄金三角形，后边有证明过程，这里就不说了。现在来说一说怎么用尺规作图画正五角星的问题。 一说到作五角星，人们首先会想到五等分圆周，即作一个圆， A B C D P

找出它的五等分点，然后每隔一个点连一条线段，就可得到一个正五角星。恐怕很少有人会想到作正五角星与黄金三角形有什么关系。本文拟就如何五等分圆周来谈一谈作黄金三角形和作正五角星之间的关系。 先来说一说五等分圆周问题。初一数学中，有五等分圆周的方法：先画一个圆，再任意画一条半径；因为360÷5=72,所以，只要以这条半径为一边，以圆心为顶点，顺次画五个72度的角，就可以把圆周五等分。但这种方法理论上说是可以的，而实际操作起来却很困难。因为用量角器量出的角度都是近似值。往往结果是画最后一个角的时候会发现这一个角与其他四个角大小不一样。 到了初三年级时，学习了正多边形和圆之后，这个问题又被重新提了起来。再次提到五等分圆周时，初一年级时的那种方法就自然被否定了。那么，现在又如何五等分圆周呢？ 目前为止，五等分圆周的方法虽然有很多，但是无论哪种方法，先不论作图步骤的繁简，都不能用初中阶段的学生能理解的方法明确地说明作图的理论根据。因为尺规作图，是一种理论上比较严谨的作图方法，每一种作图方法都应有严密的逻辑证明；正因为如此，再加上工具简单、可操作性又比较强，所以尺规作图才成为人们比较喜欢的方法，而被广泛的应用于各种作图。如果有一种作图方法，不能应用数学的观点给出严密的理论证明，即使是作的再精确，也不能被人们广泛接受。就五等分圆周来说，最常见的有两种。一种作法是：以 O 为圆心, a 为半径作一个圆.⑴以 a 为半径在圆上相继取

谈等分圆周的数学原理

谈五等分圆周的数学原理 摘要：本文探讨尺规作图五等分圆周的数学原理。 在机械制图教科书[1][2]上，都介绍这样的 用圆规、直尺五等分圆周的作法（如图1）： 1、作圆O 2、作直径MN 3、过O 作MN 的垂线AO 交圆O 于A 4、作OM 的中点P 5、以P 为圆心，PA 长为半径作圆弧交 直径ＭＮ于Ｑ 6、以Ａ为圆心，ＡＱ为半径作圆弧，交 圆Ｏ于Ｂ，Ｅ，再分别以Ｂ，Ｅ为圆心，ＡＱ 长为半径作圆弧，交圆O 于C ，D 。 7、边结ABCDE ，多边形ABCDE 是正 五边形 人们不禁要问：这种作法精确吗？是近 似作法？还是精确作法？其数学原理是什 么？ 设图O 的半径为1，根据以上作法，则 OP=12，PQ=PA=2，QO=PQ 12-=12，所以 另外，如图2圆O 的半径为1，ABCDE 为圆O 的内接正五边形，S 是AB 的中点，则 A B O ⊥，3603610AOS BOS ??∠=∠==，故边长22s i A B A S O A ?==。 如果我们能够证明sin36?= 则上述作法就是五等分圆周的尺规作图方法，是精确作法。

下面我们推导sin36?= ， 因为 sin36sin1442sin 72cos724sin36cos36cos72???????===， 所以 1cos36cos 724 ??=。 由倍角公式，有()21cos362cos 3614??-= ， 即cos36?是下述三次方程 38410x x --= 的根。因式分解得 ()()2214210x x x +--= 故方程 38410x x --=有下述三个根： ()()1231 110,150,150244x x x =-=-=+，由于cos360,?舍去12,x x ，故方程的唯一正根是cos36?， 所以cos36?=， 进而sin36?== 由于根据作法 AB = 而已证sin 36?=， 所以图1中的2sin362sin36AB AO ??==是半径为1的正五边形的一条边，多边形ABCDE 是正五边形，此种作法是精确作法。

在Word中巧画等分圆_施宝春

h ttp://w w w.ited u.o r https://www.wendangku.net/doc/1b2679483.html, 2009.01 ９５ 应用实践 技　术　与　应　用 Ｗｏｒｄ是应用广泛的文字处理软件。教师在工作中少不了用到它。在Ｗｏｒｄ的自选图形中只可以找到圆和四等分圆，而任意多边形工具也只适合绘制直线，精确地画出等分圆很困难。笔者经过摸索，找到了解决这个问题的捷径，现与大家分享。 一、如何画二等分圆 １．在Ｗｏｒｄ文档需要插入二等分圆的位置插入一个图表，依次单击“插入”菜单→图片→图表。 ２．选择图表类型为饼图 在图表编辑区的空白位置单击鼠标右键，在右键菜单中选“图表类型…”，在弹出的对话框的“标准类型”选项卡中，选择“饼图”，并且选饼图的第一个子图表类型。斜线框的内部是图表的编辑区，出现斜线框表明图表处于可编辑状态。在斜线框外单击鼠标左键即可退出编辑状态（斜线框消失）。如果图表已退出编辑状态，在图表上双击左键可重新进入编辑状态。 ３．设置图表格式，只留下空白饼图（１）删除图例 使图表处于可编辑状态，在图例上单击，图例将被选中，按“Ｄｅｌｅｔｅ”键将图例删除。 （２）去掉饼图背景色 使图表处于可编辑状态，在饼图背景区域（即绘图区）单击鼠标右键选择“设置绘图区格式…”，弹出“图形区格式”对话框。在“边框”和“区域”选项框中都选择“无”，按“确定”退出。 （３）去掉饼图内部填充色 使图表处于可编辑状态，在饼图上单击鼠标右键选择“设置数据系列格式…”（也可以直接在饼图上双击鼠标左键打开“数据系列格式”对话框）。在“图案”选项卡的“内部”选项框中选择“无”，即可去 在Ｗｏｒｄ中巧画等分圆 　／施宝春 掉饼图内部填充的颜色。 ４．填写数据表，绘出二等分圆 （１）删除数据表中的“西部”、“北部”数据图表处于可编辑状态时，相应的数据表也处于可编辑状态。选中数据表中的“西部”、“北部”两行数据，按“ｄｅｌｅｔｅ”键，将这两行记录删除。 （２）删除“第一季度”至“第四季度”等字样，但不要删除此行（此步操作可不进行）。 选中数据表中的“第一季度”至“第四季度”这四个单元格，按“Ｄｅｌｅｔｅ”键。“第一季度”至“第四季度”将分别显示为“扇面１”至“扇面４”。 （３）填写数据表，得到二等分圆 将“扇面１”、“扇面２”对应的数值均填写成“１”（其它数值也可以），删除其他扇面的数值，即可得到二等分圆。 二、如何画ｎ等分圆 １．画三等分圆 将三个扇面对应的单元格填写成相同的数值，即可得到三等分圆。另外，复制刚才得到的二等分圆，再修改数据表也可以很快得到三等分圆。 ２．画五等分圆 将五个扇面对应的单元格填写成相同的数值，即可得到五等分圆。“扇面１”、“扇面２”……由系统自动生成，无需用户输入。 ３．画ｎ等分圆 将ｎ个扇面对应的单元格填写成相同的数值，即可得到ｎ等分圆。 三、如何用阴影表示图的几分之一或几分之几 １．用阴影表示圆的几分之一 （１）选中某个扇形区域。在饼图上单击鼠标左键

角五等分

角五等分 和平 吧

前言 在角三等分中，国内外数学界一致认为用尺规作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”结论是完全正确的，由于这个错误结论的出现阻碍了角的其它等分和与它相对应的正多边形的解决，也阻碍了数学科学的发展，推翻这个错误的结论势在必行，来嘲弄法国科学院拒绝审理三等分角等难题。也要嘲弄孝忠于法国科学院的中国数学界，他们也作出了相似的约定：不再受理和讨论三等分角等难题，让错误的结论永远保存下来。多么可怕的举措啊！它是数学科学发展道路上绊脚石和拦路虎！吹鼓手摇旗呐喊数学权威说了此路不通向回走！权威说的话句句是真理！错的也是真理！你敢说个不字我就不受理，这样的规章制度到底给谁制定的？那有真理可言！那有一点民主呀！为什么中国的数学停滞不前，原来是他们作的怪。看看中国的宇宙飞船走在世界最前列，让中国人感到自豪，再看看中国的数学让中国人感到失望。彼此之间你捧我，我捧你，吹来吹去还是老一套，没有新东西，没有新突破，在世界上根本挂不上号，别看我在世界上数不上，在国内可数第一啊！我有打压不同观点好帮手—规章制度啊！错误的结论也是真理，因为我是有权有势的数学权威，我就是真理，你想改变这种恶习推动数学向前发展没门，规章制度在手，谁敢违抗！这是彻头彻尾的一言堂，专横跋扈到了极点。叫人忍无可忍！向不合理的规章制度开炮！猛轰！让它永世不得翻身！让中国数学科学按着宇宙飞船速度向前发展。给中国人争气！ 在前面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中，无论从理论上还是从实际尺规作图上都证明了角三等分确实有解，让角三等分无解的结论彻底破灭，给中国人争气！也使得角的其它等分和与它相对应的正多边形都得到解决。下面我来介绍角五等分问题，角五等分也有两种题解，即角五等分和剖析角五等分及解，下面介绍的是第一种题解即角五等分，通过尺规（这里用的尺是不带刻度直尺，规是圆规，简称为尺规。）作图在没有坐标的条件下找到一个角，用这个角来证明它等于任意角的五分之一，並对大小各不相等的角进行角五等分尺规作图达586次，装订成册7本，验证了这个理论的正确性。角五等分也为正五边形的解决打下基础，也是角尺规等分法中的一部分。 由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。 2011-7-23 和平