【新编】高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数章末总结-可编辑

章末总结

二、根置教材，考在变中 一、选择题

1．(必修1 P 58练习T 2(1)改编)函数f (x )＝32－

x 的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．[1，2] C ．[0，1] D ．(1，2)

解析：选B.因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ∩B ＝[1，2]，故选B.

2．(必修1 P 74A 组T 2(2)(3)(4)改编)设a ＝log 87，b ＝log 43，c ＝log 73，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a >b >c

B ．a >c >b

C ．b >a >c

D ．b >c >a

解析：选A.由a ＝log 87得8a ＝7，即23a ＝7，2a

＝713，即a ＝log 2713

.由b ＝log 43得4b ＝3，即22b

＝3，2b

＝312

，即b ＝log 2312

.又()7

13

6＝49，()312

6

＝27.所以713>312

，则a >b .由于1<4<7，

所以log 43>log 73，即b >c ，所以a >b >c .

3．(必修1 P 44A 组T 7改编)已知f (x )＝a －x 1＋x ，且f ????

1b ＝－f (b )对于b ≠－1时恒成立，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．－1

解析：选B.因为f (x )＝a －x 1＋x

，由f ????

1b ＝－f (b )，得a －

1b 1＋1b

＝－a ＋b 1＋b ，化简得(a －1)(b ＋1)＝

0.要使上式对于b ≠－1恒成立，则a －1＝0，所以a ＝1.

4．(必修1 P 45B 组T 6改编)定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (4)＝f (－2)＝0，在区间(－∞，－3)与[－3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式xf (x )>0的解集为( )

A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

B ．(－4，－2)∪(2，4)

C ．(－∞，－4)∪(－2，0)

D ．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)

解析：选D.因为f (x )是偶函数，所以f (4)＝f (－4)＝f (2)＝f (－2)＝0，又f (x )在(－∞，－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D.

5．(必修1 P 36练习T 1(2)改编)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )

解析：选B.易判断函数为奇函数．由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当01时，y >0，故选B.

6．(必修1 P 88例1改编)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )

A ．f (a )

B ．f (a )

C ．f (1)

D ．f (b )

解析：选A.由题意，知f ′(x )＝e x ＋1>0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，所以函数f (x )的零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1

x ＋1>0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，

g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2)．综上，可得0

7．(必修1 P 24A 组T 1(1)改编)已知函数f (x )＝

3x

x －4

的图象与直线x ＋my －3m －4＝0有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2

x 1＋x 2

等于( )

A ．4

3

B ．34

C ．－4

3

D ．－34

解析：选B.因为f (x )＝

3x x －4＝3（x －4）＋12x －4＝3＋12x －4

，其图象是由y ＝12x 向右平移4

个单位后，再向上平移3个单位得到，所以函数f (x )＝

3x

x －4

的图象关于点(4，3)对称，又直线x ＋my －3m －4＝0，即为(x －4)＋m (y －3)＝0，从而恒过定点(4，3)．所以A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)关于点(4，3)对称，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝6，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝68＝34

.

8．(必修1 P 23练习T 3改编)已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )

A ．a <0，b <0，c <0

B ．a <0，b ≥0，c >0

C ．2－a <2c

D ．2a ＋2c <2

解析：选D.作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，又a f (c )>f (b )，结合图象知f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1，所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，所以f (c )<1，所以0f (c )，即1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D.

二、填空题

9．(必修1 P 75B 组T 2改编)若log a 2<1(a >0且a ≠1)，则a 的范围为________．

解析：当01时，log a 2<1即为log a 22，综上所述a 的范围为(0，1)∪(2，＋∞)．

答案：(0，1)∪(2，＋∞)

10．(必修1 P 23练习T 3改编)函数y ＝|x ＋a |的图象与直线y ＝1围成的三角形的面积为__________．

解析：作出其图象如图所示，

由?

????y ＝|x ＋a |，y ＝1，得A (－1－a ，1)，B (1－a ，1)，所以|AB |＝2，所以S △ABC ＝12×2×1＝1.

答案：1

11．(必修1 P 75A 组T 12改编)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼逆流游速可以表示为函数v ＝a log 3Q

100，其中v 的单位为m/s ，Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数，a 为正常数．已知一条鲑鱼

游速为3

2 m/s 时，其耗氧量为2 700个单位数，则当它的游速为2 m/s 时，它的耗氧量是静

止时耗氧量的________倍．

解析：当Q ＝2 700时，v ＝32 m/s.所以32＝a log 32 700100，所以a ＝12.即v ＝12log 3Q

100.所以当

v ＝2时，2＝12log 3Q 100，此时Q ＝8 100，当v ＝0时，0＝12log 3Q

100，此时Q ＝100.所以游速2

m/s 时的耗氧量是静止时耗氧量的8 100

100

＝81倍．

答案：81

12．(必修1 P 83B 组T 4改编)已知函数f (x )＝e x ＋k e －

x 为奇函数，函数g (x )是f (x )的导函数，有下列4个结论：

①[f (x )]2－[g (x )]2为定值；

②曲线f (x )在任何一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角； ③函数f (x )与g (x )的图象有且只有1个交点； ④f (2x )＝2f (x )g (x )恒成立．

则正确的结论为________(将正确结论的序号都填上)．

解析：因为f (x )＝e x ＋k e －x 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即e －x ＋k e x ＝－e x －k e －

x ，(k ＋1)(e －x ＋e x )＝0.所以k ＝－1.即f (x )＝e x －e －x .则g (x )＝f ′(x )＝e x ＋e －

x ，所以[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －

x )2－(e x ＋e －

x )2＝－4为定值，故①正确．又f ′(x )＝e x ＋e －

x ≥2e x ·e －

x ＝2.所以f ′(x 0)≥2> 3.即曲线f (x )在任意一点(x 0，f (x 0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角，故②

正确．③由f (x )＝g (x )，即e x －e －x ＝e x ＋e －x 得e －

x ＝0，无解．即函数f (x )与g (x )的图象无交

点，故③错误．④f (2x )＝e 2x －e －2x ，f (x )g (x )＝(e x －e －x )(e x ＋e －x )＝e 2x －e －

2x ，所以f (2x )＝f (x )g (x )，所以f (2x )＝2f (x )g (x )恒成立错误，故④错误．

答案：①②