备战2014-高考数学一轮精品教学案全套系列--9.7 空间向量的应用(新课标人教版,学生版)

D B

A C α空间向量的应用（理科）

【考纲解读】

1．理解直线的方向向量与平面的法向量．

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．

3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．

4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

【考点预测】

高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:

1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.

2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定. 【要点梳理】

1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是]2

,

0(π

。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；

②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是]2

,

0[π

。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：

①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；

③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；

③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；

④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；

c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求

。

作

二

面

角

的

平

面

角

常

有

三

种

方

法

①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；

②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；

③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

斜面面积和射影面积的关系公式：θcos ?='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。

2．空间的距离 （1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。

点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法

（2）异面直线间的距离：异面直线b a ,间的距离为b a ,间的公垂线段的长．常有求法①先证线

段ＡＢ为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。

（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。 （4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。

以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。

3．空间向量的应用

（1）用法向量求异面直线间的距离

如右图所示，a 、b 是两异面直线，n 是a 和b 的法向量，点E ∈a ，

F ∈b ，则异面直线 a 与b

之间的距离是d

=

；

（2）用法向量求点到平面的距离

如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，为平面α的

法向量，则 A 到平面α

的距离为d =

；

（3）用法向量求直线到平面间的距离

首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。

（4）用法向量求两平行平面间的距离

首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。 （5）用法向量求二面角

1n 与2n ，

如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量则平面α与β所成的角跟法向量1n 与2n 所成的角相等或互补，所以

首先必须判断二面角是锐角还是钝角。

（6）法向量求直线与平面所成的角

要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a

的夹角的余弦a ，易知

θ=a

或者

a 2

-π

。

【例题精析】

考点一 空间角

例 1.(2012年高考陕西卷理科5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，

12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）

（A ）

5 （B ）3 （C ） 5（D ） 3

5

【变式训练】

1. (2012年高考浙江卷理科20) (本小题满分15分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为

的菱形，且∠BAD ＝120°，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．

(Ⅰ)证明：MN ∥平面ABCD ；

(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ， 求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值．

考点二 空间距离

例2.（2011年高考全国卷文科8)已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，

,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1,AB AC BD ===则D 到平面ABC 的距离等于( )

（A ）3 （B ）3 （C ）3

（D ）1

图1

图2

【变式训练】

2.(2012年高考重庆卷理科19)如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点

（Ⅰ）求点C 到平面11A ABB 的距离;

（Ⅱ）若11AB AC ⊥,求二面角 11A CD C --的平面角的余弦值。

【易错专区】

问题：综合应用

例.(广东省六校2012年2月高三第三次联考理)

（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC 的中点，2DB =，1,DC =BC AB AD ==将（图1）沿直线BD 折

起，使A BD C --为060（如图2）

（1）求证：AE

⊥平面BDC ；

（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点B 到平面ACD 的距离.

【课时作业】

1. (2012年高考全国卷文科8)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为

1CC 的中点，则直线1

AC 与平面BED 的距离为（ ）

（A ）2 （B （C （D ）1

2.(2012年高考四川卷文科19) (本小题满分12分) 如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=

，

60PAB ∠= ，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB

上。

（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。

3. (2012年高考广东卷理科18)如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。

（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；

（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；

4．(2012年高考北京卷理科16)如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ,如图2.

(I)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

(II)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；

(III)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由

【考题回放】

1. (2012年高考全国卷文科16)已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11BB CC 、的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.

2.(2012年高考四川卷文科14)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，

M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的

大小是____________。

3. (2012年高考浙江卷文科20)如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，

AD ⊥AB ，。AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交

点。

（1）证明：（i ）EF ∥A 1D 1； （ii ）BA 1⊥平面B 1C 1EF ；

（2）求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值。

4.(2012年高考重庆卷文科20)已知直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为

AB 的中点。（Ⅰ）求异面直线1CC 和AB 的距离；

（Ⅱ）若11AB AC ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.

5. (2012年高考天津卷文科17)

如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，，PD=CD=2.

（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；

（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

6.(2012年高考全国卷文科19)如图，四棱锥P ABCD -中，底面

ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =2PA =，E 是

PC 上的一点，2PE EC =。

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；

（Ⅱ）设二面角A PB C --为90

，求PD 与平面PBC 所成角的大小.

7. (2012年高考上海卷文科19) 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底

面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝

2

π

，2AB =，AC =2PA =，求：

（1）三棱锥P ABC -的体积；

（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

8． (2012年高考湖北卷理科19)如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A-BCD 的体积最大；

（2）当三棱锥A-BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小

9．(2012年高考上海卷理科19)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知

2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：

（1）三角形PCD 的面积；

（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.

10.(2012年高考山东卷理科18)在如图所示的几何体中，四边形

ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF 。

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）求二面角F-BD-C 的余弦值。

11.(2012年高考天津卷理科17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面

ABCD ，

AC 丄AD ，AB 丄BC ，45BAC ?∠=，==2PA AD ，=1AC .

(Ⅰ)证明：PC 丄AD ；

（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；

（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为0

30，

求AE 的长.

12.(2012年高考全国卷理科18)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面

ABCD ，

AC =2,PA E =是PC 上的一点，2PE EC =。

（1）证明：PC ⊥平面BED ；

（2）设二面角A PB C --为90?，求PD 与平面PBC 所成角的大小。

D

C

B

A

P

D