另令t
t t g 11ln )(+
-=，则有01)(2
>-=
't
t t g
∴g(t)在),1(+∞上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴t
t 11ln ->
综上得
x
x x x 11ln
1
1<+<+
（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得
1
12111ln 2
3ln
12ln 13121-+
++
<-+++<+++n n n n
即得1
1211ln 13
121-+
++<<+++n n
7. (1)易求得n
n p a = （2）n
n
n
n
n
n
n n n p
p p S a C a C a C n f -?
+?-=
??++?+?+=
11)2
1(
2
121)(22
11
作差比较易得：)(21)1(n f p
p n f +<
+
（3）当1=n 时，不等式组显然成立.
当??
?
???-+--+<
-+++≥-12)11(111)12()2()1(2n p p p p n f f f n 时，先证 由（2）知)1()
1
1(
)1()
1
1(
)(11)1(2
f p p n f p p n f p p n f n
-+<<--+<-+<
+
)2()21(
)()
21(1
≥+
p n f p
p n
n
∑
-=---??
?
???+--+=
+-
+-+=
++++++<
∴
1
21
121
21
22
)21(111211)
21(
121)
21(
)21(
21)(n i n n n p p p p p
p p
p p
p p
p p
p p
p i f 再证
)()12()12()2()1(n f n n f f f ->-+++
n
n n
p
p p
p p p n f f n f f 21
2)(11
)2
1(12
)12()1(2)12()1(++-+-=-?>-+-
而2
21
221
2)1(21)(1n
n
n n
n p p p p
p
p p
-=+?-<++---
)
(211)
2
1)(
1(211
)2
1(12)
1(1)21(12)12()1(2
)12()1(2
n f p
p p
p p
p p
p p p p p n f f n f f n
n
n
n
n
n
=-+-=-?
+?-=-+->-?>-+∴
同理：)(2)22()2(n f n f f >-+，)
(2)32()3(n f n f f >-+
，……，
)(2)1()12(n f f n f >+-
以上各式相加得：[])()12(2)12()2()1(2n f n n f f f ->-+++
即 )()12()(1
21
n f n i f n i ->∑-=.
8. （1）263510a a a a +=+=，又 2621a a ?=
2637
a a =?∴?
=? 或 2673
a a =??
=?
若26
7
3a a =??=?，则9n a n =-，101a =-与0n a >矛盾；
若2637
a a =??
=?，则1n a n =+，显然0n a >，
∴1n a n =+ （2）111lg 2lg 3,9b S b ==∴=，
当2n ≥时，1
1
9lg lg 910n n n n b S S --??
=-=? ?
??
，欧1
9910n n b -??
∴=? ?
??
1n = 时，19n b b ==，1
99,10n n b n N -*
??
∴=?∈ ?
??
1910
n n
b b +∴
=
∴数列是以9为首项，
910
为公比的等比数列。
（3）()1
99110n n c n -??
=+ ?
??
，设()2k c k ≥是数列{}n c 中的最大项，则
由11
k k k k c c c c +-≥??
≥? 可得89k ≤≤
∴数列{}n c 有最大项，最大项是7
8998110c c ??
==? ???
。
9. （1）由,32)3(32)3(11+=+-+=+-++m ma s m m ma s m n n n n 得
,3,2)3(1-≠=++m ma a m n n 两式相减得
,3
21+=
∴
+m m a a n
n
∴{}n a 是等比数列。
（2）2,3
2)(,111≥∈∴+=
===+
n N n m m m f q a b
.
2
3,
3
231113111.
3
111333
223
)(2
31
1111
1+=
∴+=
-+
=∴
??
????∴=
-
?
=+?+?
=
=------n b n n b b b b b b b b b b b f b n n
n n n
n n n n n n n n 为公比的等差数列为首项是
10.
（Ⅰ）经计算33=a ，4
14=
a ，55=a ，8
16=
a ．
当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，
122)1(112-=?-+=∴-n n a a n ；
当n 为偶数，n n a a 2
12=
+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列，
n
n n a a )2
1()21(122=?=∴-．
因此，数列}{n a 的通项公式为??
???
=)
()21
()
( 2
为偶数为奇数n n n a n n
．
（Ⅱ） n
n n b )2
1
()12(?-=，
n
n n n n S )2
1()12()21()32()21(5)21(321
1132?-+?-++?+?+?
=∴- (1)
1
432)2
1()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21
+?-+?-++?+?+?=n n n n n S …（2） （1）、（2）两式相减， 得
132
)2
1()12(])21()21()21
[(
22
11 2
1+?--++++?
=n n n n S 11
)21()12(2
11]
)21(1[21
21+-?---
-?+=n n n 1)21()32(23+?+-=n n ．
n
n n S )2
1
()32(3?+-=∴．
11. 设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则
34567141848T a a a a a d =+++=+=- （1） 489151...8840T a a a a d =+++=+= （2）
解得121,2a d =-=，则223n a n =-。
（2）当2n ≥时，在前n-1组中共有项数为：2
2
1
122 (22)
1n n --++++=-。故第n 组中的第一项是数列{}
n a 中的第1
2
n -项，且第n 组中共有1
2
n -项。
所以11
1
1
22
1
212
2
(2
1)32
242
2
n n n n n n n T a d ------=?+
?-=?-?
当n=1时，1121T a ==-也适合上式，故22
1
32
242n n n T --=?-?。
（3）8128...S T T T =+++。即数列{}n a 前8组元素之和，且这8组总共有项数
2
7
8
122...221255++++=-=。
则8111255255254255(21)2552542594152
2
S a d =+
???=?-+
???=
12. （Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-
即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++? 因为0>n a ，所以 ,1210
10
=q
解得2
1=q ，因而 .,2,1,2
11
1 ===-n q
a a n
n n
（Ⅱ）因为}{n a 是首项2
11=
a 、公比2
1=
q 的等比数列，故
.2
,2
112
11)2
11(21n
n
n
n
n n n nS
S -
=-
=-
-=
则数列}{n nS 的前n 项和 ),2
2
22
1(
)21(2
n
n n n T +
++
-+++=
).2
212
22
1(
)21(2
121
3
2
++
-+++
-+++=n n
n n n n T 前两式相减，得
1
22
)2
12
121()21(2
12++
+
++
-+++=n n
n n n T
1
2
2
11)211(2
1
4
)
1(++-
--+=
n n
n
n n 即 .22
2
12
)
1(1
-+
+
+=
-n
n n n n n T
13. （1）∵01=a ,当1=n 时,|sin ||)sin(|)(11x a x x f =-=,],0[2a x ∈, 又∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根,∴π=2a
∴],0[,sin )(1π∈=x x x f ， π=2a
由(1),],[|,2
cos
||)(2
1sin
||)(2
1sin
|)(322a x x x a x x f ππ∈=-=-=
∵对任意的
)
1,0[∈b ,
b
x f =)(1总有两个不同的根, ∴
π33=a
],3[|,3
1sin
||)3(3
1sin
||)(3
1sin
|)(433a x x a x x f πππ∈=-=-=
∵对任意的)1,0[∈b ,b x f =)(1总有两个不同的根, ∴π64=a
由此可得πn a a n n =-+1， 2
)1(π
-=
n n a n
（1） 当Z k k n ∈=,2，k k k a a a a a a S 21243212-++-+-=-
π
πππππ4
])12(53[)()()[(2
2
1223412n
k k a a a a a a k k -
=-=-++++-=-++-+--=- ∴π4
2
n
S n -
=
当Z k k n ∈+=,12，πππ4
)
1)(1(2
2)12(2
12212+-=
++-=+=++n n k
k k a S S k k k
∴π4
)
1)(1(+-=
n n S n
14. （1）3,401010.102010=∴=+==d d a a .
（2）(
)
)0(110102
2
2030>++=+=d d
d d
a a ，??
?
?????+??? ??+=4321102
30
d a ，
当),0(∞+∈d 时，. ),10(30+∞∈a
（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列.
研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a
的取值范围．
15. （1）由已知得()()()2312,21
n f n f
n n
n N
n *
-=-≥∈+
当2n =时，()()4311121415315
f f -=?=
?=
+， 1分
同理可得()()113,435
63
f f
=
= 3分 猜想()()()
()1
2121f n n n =
*-+
下面用数学归纳法证明()*成立
①当1,2,3,4n =时，由上面的计算结果知()*成立 6分 ②假设()4,n k k k N
*
=≥∈时，()*成立，即()()()
1
2121f k k
k =
-+ ， 那么当1n k =+时，()()()()
21211
123
23
2121k k f k f
k k k k k --+==
?
++-+
即()()()1
1211211f k k k +=
+-++????????
∴当1n k =+时，()*也成立
综合①②所述，对n N *
?∈ ，()()()
1
2121f n n n =
-+成立。
（2）由（1）可得
()()
()()
1
1
1
212116112195
220071220071n n =
=
-+?-??+
2007n ∴=
()11122121f
n n n ??=
- ?-+?? 20071111111
1123355740134015S ??
????????∴=-+-+-++-
? ? ? ?????????????
1120071240154015??=
-=????
16. （I ）解：由121+=+n n S S λ得 12412,1212122
23112++=+=+=+=+=λλλλλλS S a S S ，
.1,0,4,432
233=∴>==-=∴λλλa S S a
（II ）由)1(211211+=++=++n n n n S S S S 整理得，
∴数列{1+n S }是以S 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
),
2(2
,
12
,2
211
11
≥=-=∴-=∴?=+∴---n S S a S S n n n n n
n n n
当n=1时a 1=1满足.2
,2
1
1
--=∴=n n n n a a
（III ）,2
2)1(2322211
2
2
1
--?+?-++?+?+?=n n n n n T ①
n
n n n n n n T 22)1(2
)2(222121
2
2
?+?-+?-++?+?=-- ，②
①－②得n
n n n n T 22
22211
2
2?-+++++=--- ，
则122+-?=n
n
n n T .
.2
32
)3()12
(2
1
22
2
1
+
?-=--+-?=
-∴
-n n
n
n
n n n n S T
∴当n =1时，
.02
12
,
2,02
12
2211<-
=-=<-
=-S T n S T 时当
即当n =1或2时，
.2
,
02
n n n n S T S T <<-
当n >2时，
.2
,
02
n n n n S T S T >>-
17. （1）由条件a n ＋1＝2a n 2
＋2a n ， 得2a n ＋1＋1＝4a n 2
＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2
．∴{b n }是“平方递推数列”．∴lg b n
＋1
＝2lg b n ．∵lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，∴lg(2a n +1＋1)
lg(2a n ＋1)
＝2．∴{lg(2a n ＋1)}为等比数列．
（2）∵lg(2a 1＋1)＝lg5，∴lg(2a n ＋1)＝2
n －1
?lg5，∴2a n ＋1＝5
2
n －1
，∴a n ＝12
(52n －1
－1)．
∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝lg5?(1－2n
)1－2＝(2n
－1)lg5．
∴T n ＝52n
－1
．
（3）c n ＝lg T n lg(2a n ＋1)＝(2n
－1)lg52n －1lg5＝2n
－12n －1＝2－? ??
??12n －1，
∴S n ＝2n －[1＋12＋? ????122＋…＋? ??
??12n －1]＝2n －
1－? ???
?12n 1－
12
＝2n －2[1－? ????12n ]＝2n －2＋2? ??
??12n ．
由S n ＞2008得2n －2＋2? ????12n ＞2008，n ＋? ??
?
?12n ＞1005， 当n ≤1004时，n ＋? ????12n ＜1005，当n ≥1005时，n ＋? ????12n ＞1005，∴n 的最小值为1005． 18. （1）B （2）因为A 2
si n
、B 3
sin
、C 2
sin
成等差数列，所以C A B 2
2
2
si n
si n
si n 2+=，
所以2
222c a b +=．又
abc
b
c a b
B 2cos 2
2
2
-+=
，abc a
c b a A 2cos 2
22-+=
，
abc c
b a c
C 2cos 2
22-+=
．显然
c
C a
A b
B cos cos cos 2+=
，即a
A cos 、
b
B cos 、
c
C cos 成等差数列．若其为等比
数列，有
c
C b
B a
A cos cos cos =
=
，所以C B A tan tan tan ==，C B A ==，与题设矛盾
19. （1）??
?
??=?+
=+18529
10108
11d a d a 解得5,31==a d 23+=∴n a n
（2）n
a n
b 2
=……7分 82
2
2
2
3
111====
∴
-+++n
n n
n a a a a n
n b b }{n b ∴是公比为
8的等比数列……10分
32
2
1
1==a b )
18(7
328
1)81(32-=
--=
∴n
n
n
T
20. （I ）a a a 211
1112=+
=+=，
a a a 322
1212
52
=+
=+
=
4分
（II ）当k ＝2，3，4，5，…时， a a a a a a k k k k k k 2
11
212
1
2
12
1122=+
=+
+>+-----()
∴a a k k 2122->-，∴a a a
a n n k k k n
212
212
2
21-=
->--=∑()()
∴a a n n n 212
2121>+-=-()，∴a n n >
-21
∵a 11=，)432(11
1…，，，＝k a a a k k k --+
=
∴10111=≥>>--a a a a k k k ∴，
∴331)1()1(21)1(2)(2
2
1
2
2
122
12-=-+-≤+
-=-=
-∑
∑
=-=-n n n a n a a a a n
k k n
k k k n ×
∴23332
12-=+-≤n a n a n ，∴23-≤
n a n
∴
)5432(2312…，，，，=-≤
<-n n a n n
21. （I ）设数列{}a n 的公差为d ，则d
a a 213
+=，
)1(28813d a a -=∴=，
又)2(61192610
2
)
(20120120=+∴=+=
d a a a S
由（1）（2）得321==d a ， ∴数列{}a n 的通项公式)
(13N n n a n
∈-=
（II ）n
a a a a T n 2842++++=…
=?-+?-++?-=++++-=?
---=?--+()()()
()()
321341321322
22322
121
326
1
2
31
……n
n
n
n n
n
n
∴数列{}b n 的前n 项和)(62
31
N n n T n n ∈--?=+ 22. 设等比数列的公比为q ，由已知条件，
得???????=++++=++++②
．①
251111212
33333
2
2
33332
3q a q a a a q a q q a q a a q a q
a
①÷②得：25
1212
3=
a ，所以 5
113=
a ．①×②，得551112
2
=+
+
++q
q
q q ，
即 056)1()1(2
=-+
++
q
q q q ．71=+
q
q 或81-=+
q
q ．（舍去）
由 71=+q
q 得：0172
=+-q q 2
5
37±=
q
∴ 3
)
2
5
37(
5
11-±=
?n n a
23. （1）由已知，得??
?=+=+2
)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得：??
?-==12b a ，
．
∴ )12(log )(3-=x x f （2）123
)
12(log 3-==-n a n n ．*N ∈n
设存在正数k ，使得?+
+
)11)(11(2
1
a a …12)11(+≥+
?n k a n
对一切*N ∈n 均成立，
则?+
+
+≤
)11)(11(1
212
1
a a n k …)11(n
a +
?．记?+
+
+=
)11)(11(121)(2
1
a a n n F …
)11(n
a +
?，则)1(+n F ?+
+
+=
)11)(11(3212
1
a a n …)1
1(n
a +
?)11(1
++
n a ．
∵
1)
1(2)1(21
)1(4)1(2)
32)(12(2
2)
()1(2
=++>
-++=
+++=
+n n n n n n n n F n F ．
∴ )()1(n F n F >+，∴ F （n ）是随n 的增大而增大，
∵ *N ∈n ，∴ 当1=n 时，3
32)1()(min =
=F n F ．
∴ 3
32≤
k ，即k 的最大值为
3
32．
24. （1）∵f(1),f(2),f(4)成等差数列， ∴f(1)+f(4)=2f(2).
即log 2(1+m)+log 2(4+m)=log 2(2+m)2
∴(m+1)(m+4)=(m+2)2
即m 2+5m+4=m 2
+4m+4 ∴m=0
(2) ∵f(a)+f(c)=log 2(a+m)+log 2(c+m)=log 2[(a+m)(c+m)],
2f(b)=2log 2(b+m)=log 2(b+m)2
, ∵a,b,c 成等比数列， ∴ac b =2
∵(a+m)(c+m)-(b+m)2
=ac+am+cm+m 2-b 2-2bm-m
2
=ac+m(a+c)-b 2
-2bm =m(a+c)-2m ac ∵a>0,c>0. ∴a+c ≥2ac
①m>0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2
>0,
∴log 2[(a+m)(c+m)>log 2(b+m)2
∴f(a)+f(c)>2f(b);
②m<0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2
<0,
∴log 2[(a+m)(c+m)]∴f(a)+f(c)<2f(b);
③m=0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2
=0
∴log 2[(a+m)(c+m)]=log 2(b+m)2
∴f(a)+f(c)=2f(b); 25. ∵
),32(2
1)64(4
1)32(4
1411111114d a d a d a d a d a a S +=
+=
++++++=
),52(21)156(6
1)9264(616111116d a d a d a d a S +=
+=+++=
∴???????=+++++=+?+12
)52(21)32(21,116)52(21)32(21
1
1111d a d a d a d a d a 即???=+++=++62,4644)52)(32(1
111d a d a d a d a
∴??
?++-=+-=+4
64824)12)(12(,
621d d d d d a
∴28561442
+=-d d
即0116562
=-+d d
解之，得)(058,2应舍去<-==d d 把d=2代入a 1+2d=6, 得a 1=2 ∴n n a n 2)1(22=-+=
26. 等比数列}{n a 中，???=+=;90120424a a S ，当1≠q 时，?????=+=--,90,1201)
1(3
1141q a q a q q a 化简得0342
=+-q q ，所以3=q ，
31=a ，n
n a 3=，等差数列}{n b 中，???=+=，，
346042
4b b S '
数列极限数学归纳法综合能力训练
1 mn 4(m n) mn 2(m n) 【综合能力训练】 一、选择题 1?数列｛a n ｝是等比数列，下列结论中正确的是（ ） A. a n ? a n+1 >0 B. a n ? a n+1 ? a n+2>0 C. a n ? a n+2 >0 D. a n ? a n+2 ? a n+4>0 2.在等比数列｛a n ｝中，a 1=sec 0 （ B 为锐角），且前n 项和S n 满足lim S n = ，那么B 的 n a 1 取值范围是（ ） A. （0, ） B. （0, ） C. （0, ） D. （0, 2 3 6 4 3.已知数列｛a n ｝中，a n =p^ （n € N ），则数列｛a n ｝的最大项是（ ） n 156 A.第12项 B.第13项 C.第 项或13 . D.不存在 4.三个数成等差数列，如果将最小数乘 2，最大数加上 7,所得三数之积为 1000,且成 等比数列，则原等差数列的公差一定是（ ) A.8 B.8 或—15 C. ± 8 D. ± 15 112 1 2 3 1 2 9 1 5.已知数列｛a n ｝： , + , + +-, + + …+ ” , ... 那么数列｛ 2 3 3 4 4 4 10 10 10 a n ?a n 1 的所有项的和为（ ) A.2 B.4 C.3 D.5 n 1 | n n 1 . n 6.已知a 、b € —?a -> lim n ，贝V a 的取值范围是（ ） n a n a A. a>1 B. — 11 D.a>1 或一1O ,且 |a 10|<|an|, S n 为其前 n 项之和, 则（） A. S 1,S 2,…， S 10都小于零，S 11, S 12, …都大于零 B. S 1,S 2,…， S 5都小于零，S 6, S 7,… 都大于零 C. S 1,S 2,…， S 19都小于零，S 20, S 21 , …都大于零 D. S 1,S 2,…， S 20都小于零，S 21 , S 22 , …都大于零 9.将自然数1, 2, 3,…，n ,…按第k 组含k 个数的规则分组： (1), (2, 3), (4, 5, 6）,…，那么1996所在的组是（ ） A.第62组 B.第63组 C.第64组 D.第65组 10.在等差数列中，前 n 项的和为S n ,若 S m =2n,S n =2m,(m 、 n € N 且m ^ n ）,则公差d 的 值为（ ）
2019年高考数学二轮复习试题：专题六 第4讲 用数学归纳法证明数列问题(带解析)
第4讲用数学归纳法证明数列问题 选题明细表 知识点·方法巩固提高A 巩固提高B 数学归纳法的理解1,2,5 1 数学归纳法的第一步3,7 2,7 3,4,5,6,8, 数学归纳法的第二步4,6,10,12 9,12 类比归纳8,9,11 10,11 数学归纳法的应用13,14,15 13,14,15 巩固提高A 一、选择题 1.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,若P(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是( B ) (A)P(n)对所有正整数n都成立 (B)P(n)对所有正偶数n都成立 (C)P(n)对所有正奇数n都成立 (D)P(n)对所有正整数n都成立 解析:由题意n=k时成立,则n=k+2时也成立,又n=2时成立,则P(n)对所有正偶数都成立.故选B. 2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立.”那么,下列命题总成立的是( D )
(A)若f(2)≤4成立,则当k≥1时,均有f(k)≤k2成立 (B)若f(4)≤16成立,则当k≤4时,均有f(k)≤k2成立 (C)若f(6)>36成立,则当k≥7时,均有f(k)>k2成立 (D)若f(7)=50成立,则当k≤7时,均有f(k)>k2成立 解析:若f(2)≤4成立,依题意则应有当k≥2时,均有f(k)≤k2成立,故A不成立; 若f(4)≤16成立,依题意则应有当k≥4时,均有f(k)≤k2成立,故B不成立; 因命题“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立”?“当f(k+1)>(k+1)2成立时,总可推出f(k)>k2成立”;因而若f(6)>36成立,则当k≤6时,均有f(k)>k2成立 ,故C也不成立; 对于D,事实上f(7)=50>49,依题意知当k≤7时,均有f(k)>k2成立,故D成立. 3.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为( C ) (A)1 (B) (C)1++++(D)非以上答案 解析:注意f(n)的项的构成规律,各项分子都是1,分母是从1到6n-1的正整数, 故f(1)=1++++.故选C. 4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从k到k+1时,左端需增乘的代数式为( B ) (A)2k+1 (B)2(2k+1) (C)(D) 解析:n=k时左边为(k+1)(k+2)…(k+k),n=k+1时左边为(k+2)(k+3)…(k+k+2),
高考数学难点突破_难点41__应用问题
难点41 应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场 1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由 南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上， 一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图）， 现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上 以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本 身的大小）. 2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟. 3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足 R (x )=???>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ ●案例探究 ［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水 中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料 60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？ 命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目. 知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y = ab k (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值，只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )
数列数学归纳法测试题
数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S 45a a (D ) 36a a ≥45a a 10、一个等比数列前n 项和为21n -，则它的前n 项的各项平方和为……………………………（ ） (A )2(21)n - (B ) 122(21)n - (C )41n - (D )1(41)3 n - 11、据市场调查，预测某种商品从2004年初开始的几个月内累计需求量n S （万件）近似满足n S =2(215)90 n n n --，则本年度内需求量超过1.5万件的月份是……………………………（ ）
高三数学知识点重难点梳理最新5篇
高三数学知识点重难点梳理最新5篇 与高一高二不同之处在于，高三复习知识是为了更好的与高考考纲相结合，尤其水平中等或中等偏下的学生，此时需要进行查漏补缺，但也需要同时提升能力，填补知识、技能的空白。 高三数学知识点总结1 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_. (2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_是公差为md的等差数列. (4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项). 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=n(a1+an)/2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_都成立; (3)通项公式法：验证an=pn+q; (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明
高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用
难点34 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-= x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 2222222222 22222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(] ))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+' +--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21 v －21·2x =f ′(12+x )·211 1 2+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′ =f ′(12+x )·21(x 2+1)21- ·(x 2+1)′
数列、极限、数学归纳法 归纳、猜想、证明 教案
数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案 张毅 教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计 （一）复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？ 生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1． （二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式． 师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上） 师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下．
上海高考数学知识点重点详解
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 高考前数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.已知集合A 、B ，当A B ?=?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?； 4. 注意下列性质：（1） 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-， n 2 2.- （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 6.可以判断真假的语句叫做命题。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
高中数学归纳法大全数列不等式精华版
§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．
5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n
高考数学难点突破 难点22 轨迹方程的求法
难点22 轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. ●难点磁场 (★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. ●案例探究 ［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程. 错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +- 所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,241+= +y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. ［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招) 命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系. 错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论. 技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系. 解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有
全国百强名校 ”2020-2021学年高三数学重难点训练 (91)
第一讲 等差数列、等比数列 [高考导航] 1．对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解． 2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题． 3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节． 考点一 等差、等比数列的基本运算 1．等差数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1＋(n －1)d ； S n ＝n (a 1＋a n )2 ＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1q n －1(q ≠0)； S n ＝????? na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).
1．(2019·大连模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5 ＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 [解析] 由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列 方程组，得????? 2a 1＋7d ＝24， 6a 1＋6×5 2d ＝48， 即?? ? 2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16， 解得?? ? a 1＝－2，d ＝4， 故选C ． [答案] C 2．(2019·济南一中1月检测)在各项为正数的等比数列{a n }中，S 2＝9，S 3＝21，则a 5＋a 6＝( ) A ．144 B ．121 C ．169 D ．148 [解析] 由题意可知， ?? ? a 1＋a 2＝9，a 1＋a 2＋a 3＝21，即?? ? a 1(1＋q )＝9，a 1(1＋q ＋q 2)＝21， 解得?? ? q ＝2，a 1＝3 或????? q ＝－23， a 1＝27 (舍)． ∴a 5＋a 6＝a 1q 4(1＋q )＝144.故选A ． [答案] A 3．(2019·广东珠海3月联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 9＝15，则S 8－S 3＝( ) A ．30 B ．25
高考数学难点突破__函数中的综合问题含答案
高考数学难点突破 函数中的综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力. ●难点磁场 (★★★★★)设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4. (1)求证：f (x )为奇函数； (2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值. ●案例探究 ［例1］设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,2 1 ］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0. (1)求f ( 21)、f (4 1); (2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (n +n 21 ),求).(ln lim n n a ∞→ 命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力. 知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口. 错解分析：不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形. 技巧与方法：由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为) 2 ()2()2()22()(x f x f x f x x f x f ??=+=是解决问题的关键. (1) 解：因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=)2 ()22(x f x x f =+≥ 0, x ∈［0,1］ 又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (2 1 )］2 f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2 又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21 ,f (4 1)=a 41 (2)证明：依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即f (x )=f (2－x ),x ∈R . 又由f (x )是偶函数知f (－x )=f (x ),x ∈R ∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R .
(完整版)高考数学高考必备知识点总结精华版
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
高考数学难点突破 难点38 分类讨论思想
难点38 分类讨论思想 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场 1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-= x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 . 2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值. ●案例探究 ［例1］已知{a n }是首项为2，公比为 21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立. 命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质. 错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-22 3. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案. 解：（1）由S n =4(1–n 21），得 221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>- =--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要2 3S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）
高中奥数_函数 不等式 数列 极限 数学归纳法
函数 不等式 数列 极限 数学归纳法 一 能力培养 1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨 问题1数列{n a }满足112 a =,212n n a a a n a ++???+=,(n N *∈). (I)求{n a }的通项公式; (II)求1100n n a -的最小值; (III)设函数()f n 是 1100n n a -与n 的最大者,求()f n 的最小值. 问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件: 1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,???),21a a ≠, 1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,???),其中a 为常数,k 为非零常数. (I)令1n n n b a a +=-(n N * ∈),证明数列{}n b 是等比数列; (II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞. 问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ?,PM PN ?,NM NP ?成公差小 于零的等差数列. (I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM 与PN 的夹角,求tan θ.
三 习题探讨 选择题 1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *∈),则k 的取值范围是 A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n n a b = A, 23 B,2131n n -- C,2131 n n ++ D,2134n n -+ 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是 A, B, C, D, 4在等差数列{}n a 中,1125 a = ,第10项开始比1大,记21lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是 A,475t > B,837525t <≤ C,437550t << D,437550t <≤ 5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)上三个点,F 为焦点, 若,,AF BF CF 成等差数列,则有 A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,213 211x x x =+ D,2213x x x =? 6在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空 7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = . 8223323232323236666n n n n S ++++=+++???+,则lim n n S →∞= . 9在等比数列{}n a 中,121lim()15 n n a a a →∞++???+=,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,22n n a =.则这个数列的前 2m 项之和2m S = . 11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <,
高中数学重难点总结(强烈推荐)
高中数学必修+选修知识点归纳 前言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。
数学归纳法解题
2012届高考数学难点 数学归纳法解题 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12 )1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n . 命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b , c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时，4 1211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=4 1(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－3 21-k 应舍去，这一点往往容易被忽视.
