§4-5 反常积分

第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广

182

§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)

柯西-黎曼积分通常称为正常积分.它的特征是:积分区间是有限区间,而函数在这个区间上是有界函数(无界函数不可积).这一章中所讨论的积分称为反常积分,其中或者积分区间为有限区间而函数在该区间上是无界函数(称为奇异积分),或者积分区间为无限区间(称为无穷积分).反常积分不像柯西-黎曼积分那样是作为积分和的极限,而是变上限或变下限积分作为函数时的极限.

1.奇异积分

§4-5 反常积分

按照正常积分,函数在区间]1,0(上不可积,因为它在区间]1,0(上

是无界函数(图4-30).可是对于任意正数1

ε<,

§4-5 反常积分

函数在区间[,1]

ε上是可积的,而且有极限

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

11

00

lim lim

x

ε

εε

ε

++

→→

=

§4-5 反常积分

?0lim(22

ε+

=-=

§4-5 反常积分

我们将把这个极限值称为函数]1,0(上的奇异积分,并记成

§4-5 反常积分

1

x

?

§4-5 反常积分

1

lim2

x

εε

+

??

==

??

??

?

§4-5 反常积分

它在几何上表示由曲线y=竖直线1

=

x和两个坐标轴围成的无界图形的面积(面积为2单位平方).

一般地,设函数)

(x

f在(左开右闭)区间]

,

(b

a上连续,而在点a近旁无界[这样的点a就称为函数)

(x

f的奇点](图4-31).我们形式上就定义奇异积分为

()d lim()d

b b

a a

f x x f x x

εε

+

→+

=

??

所谓“形式上”,是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的,则称奇异积分是收敛的;否则,就说它是发散的.在后一种情形下,()d

b

a

f x x

?仅是一个记号.

例20

1

d(0,)

()

b

a

x a b

x aμ

μ><

-

?01

lim d

()

b

a

x

x aμ

ε

ε++

=

-

?,

其中当1

μ=时,

图4-31

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

4-30

§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)

183

1d ln()

ln()ln (0)b

b a a x x a b a x a

ε

ε

εε+++=-=--→+∞→-?

当1μ>时,

111d ()()

1b

b a a x x a x a μ

μ

ε

ε

μ

-++=

---?

111

()(0)1b a μμεεμ--+??=

--→+∞→?

?- 当1μ<时,

111d ()

()

1b

b a a x x a x a μ

μ

ε

ε

μ

-++=

---?

111

()

1b a μ

μ

ε

μ--??=

--?

?

-1()(0)1b a μεμ

-+-→→-

综上所述:当1<μ时,奇异积分

1

d ()b

a x x a μ

-?收敛; 当1≥μ时,奇异积分

1d ()b

a

x x a μ

-?

发散.

【注】当0≤μ时,

1d ()b

a

x x a μ

-?

是正常积分.

计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等,都可以转移到奇异积分上来.例如,若函数)(x f 在区间],(b a 上连续(a 是奇点),)(x F 是它的一个原函数,则有

()d ()

()()b

b a

a

f x x F x F b F a +==-?

其中)(lim )(x F a F a

x +

→+=. 而且,当有极限)(lim )(x F a F a

x +

→+

=时,奇异积分收敛;当没有极

限)(lim )(x F a F a

x +

→+

=时,奇异积分发散.因此,例20就可以做成

1d ()

b

a x x a μ

-?(1)

1

d ln()

b

b a

a

x

x a x a

μ+

+

====

=--?ln()()b a =---∞=+∞

(*)

1d ()

b

a

x x a μ-?

(1)

11

1d ()

1()

b

b

a

a

x

x a x a μμ

μ

μ

+

+

≠-===

=

---?

11()

(1)

1()(1)1b a b a μ

μ

μμμμ--?->+∞=+∞?-?

=?-?

事实上,奇异积分与正常积分是相通的.............

,因为有时奇异积分经过换元会变成正常积分,反过来也是如此.例如,

(*)在扩充实数系中,规定±∞=±∞+)(x .

第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广

184

1

§4-5 反常积分

x ?

(奇异积分

)1

[2

12

d 1t t t +?

(正常积分)

§4-5 反常积分

同样,若函数)(x f 在(左闭右开)区间),[b a 上连续且点b 是奇点(图4-32),则也可形式

上定义奇异积分

§4-5 反常积分

()d lim

()d b

b a

a

f x x f x x ε

ε+

-→=?

?

而且它的收敛性也是根据右端是否有极限来确定.像例20 那样,可以证明奇异积分

1d ()()b

a

x a b b x μ

<-?

当1<μ时收敛,而当1≥μ时发散. 积分的上下限可能同时都是被积函数的奇点,当奇异积分收敛时,就可以像正常积分那

样去计算.例如

1

11

arcsin arcsin 1arcsin(1)x x

--==--?

22π

π??

=

--=π ???

,

§4-5 反常积分

1

1

10

2

2arcsin x x x

-==??

2arcsin 10=-=π,

(偶函数的积分)

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

1

2

[sin ]

1

2

d x t x t t ππ=--π-π=====

=

=π?

?

?

.

(换元积分法)

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

函数的奇点也可能出现在积分区间的内部.譬如,若点),(b a c ∈是函数)(x f 的奇点,而且函数)(x f 在区间),[c a 和],(b c 上连续,则可形式上定义奇异积分

()d ()d ()d b

c

b

a

a

c

f x x f x x f x x =

+

?

?

?

请注意,只有当右端两个奇异积分都收敛时,才能说左端的奇异积分是收敛的.换句话说,只要右端至少有一个积分是发散的,则左端的积分就是发散的.

因为奇异积分实际上是函数的极限,所以有下面的结论:

⑴若奇异积分

()d b

a f x x ?和

()d b

a

g x x ?都收敛,则

[]()()d b

a

f x

g x x α

β±?

也收敛,且有

[]()()d ()d ()d b

b

b a

a

a

f x

g x x f x x g x x α

βα

β

±=±?

?

?

(线性运算性质)

⑵若奇异积分()d b

a

f x x ?

()d b

a

g x x ?

中有一个收敛,另一个发散,则

[]()()d b

a

f x

g x x ±

?

必发散.

图4-32

§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)

185

但是请读者注意,若奇异积分()d b

a f x x ?

()d b

a g x x ?

都发散时,

则[]()()d b

a

f x

g x x ±?

可能收敛.

在许多理论问题中,只需要知道一个奇异积分是否收敛,而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下,就需要下面的柯西判别法.

柯西判别法 设函数)(x f 在区间],(b a 上连续(a 是奇点).若有某个正数1<μ和某个正数A ,使

()()()

A f x a x b x a μ

<≤- (4-22)

则奇异积分

()d b

a

f x x ?收敛;相反,若有某个1μ≥和某个正数A ,使

()()()

A f x a x b x a μ

<≤- (4-23)

则奇异积分()d b

a

f x x ?

发散.

证 当满足条件(4-22)时,则有

μ

μ

μ

)

(2)

()()

()(0a x A a x A x f a x A x f -≤

-+

≤-+

≤)(b x a ≤<

于是,对于任意正数a b -<ε,根据积分单调性,有

10()d 2d ()()

b

b

a a A

f x x A x x a x a μμ

ε

ε

++??≤

+≤??--?

??

?

112()2d 1()

b

a

A b a A

x M x a --≤=

=--?

μ

μ

μ

其中右端是与ε无关的正常数,即作为ε的函数

()()d ()b

a A

g f x x x a με

ε+??=

+??-?

??

)0(a b -<<ε有上界; 又当+→0ε时,函数)(εg 是增大的,所以有极限(单调有界原理)

0lim ()g εε+

→=lim ()d ()b

a A f x x x a μεε

ε

+

→+??+??-??

?

()d ()b

a

A

f x x x a μ??=+??-??

?

)1(<μ 因此,也有极限

0lim

()d b

a f x x εε

+

→+?

lim ()d ()()b

a A A f x x x a x a μμεε

+

→+??????=+-????--??????? lim

()d ()b

a A

f x x x a μεεε

+

→+??=+??-??

?

0lim d ()

b

a A x x a μ

εε

+→+--?

()d ()b

a

A f x x x a μ??

=

+

??-?

?

?

d ()

b

a

A x x a μ

--?

即奇异积分

()d b

a

f x x ?

收敛.

其次,当条件(4-23)满足时,函数)(x f 不变号[因为)(x f 是连续函数],不妨认为

第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广

186 ()0f x >)(b x a ≤<.根据例20,则有

()d lim

()d b

b

a

a f x x f x x εε

+

→+=?

?

(1)

1

lim d ()b

a A x x a μμ

εε

+≥→+?

?≥====+∞?

?-?

?

?

即奇异积分

()d b

a

f x x ?

发散.

我们当然可以把上面的结论及其证明类比到上限b 是奇点的情形.作为习题,请你证明下面的柯西判别法:

设函数()f x 在区间),[b a 上连续(b 是奇点).若有某个正数1<μ和某个正数A ,使

()()()

A

f x a x b b x μ

≤≤<- 则奇异积分

()d b

a

f x x ?收敛;相反,若有某个1μ≥和某个正数A ,使

()()()

A f x a x b b x μ

≤<-

则奇异积分()d b

a

f x x ?

发散.

例21

研究奇异积分

10

x ?

的敛散性.

§4-5 反常积分

解 点0和点1都是奇点.为了研究它的敛散性,需要把它分成两个积分,使每一个积分只含有一个奇点,即

1

x =

?

1/2

x +

?

1

1/2

x ?

(0是奇点) (1是奇点)

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

在右端第一个积分中,因为

102x ??

=

§4-5 反常积分

<≤ ??

?

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

根据柯西判别法,所以右端第一个积分收敛;在右端第二个积分中,因为

112x ??

=

§4-5 反常积分

≤< ???

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

(注意上限1是奇点) 根据柯西判别法,所以右端第二个积分也收敛.

因此,奇异积分

1

x ?

收敛.

§4-5 反常积分

2.无穷积分 在计算某些几何量或物理量时,有时会遇到无限区间上的“积分”,即

()d a

f x x +∞

?

,或

()d b

f x x -∞

?

,或

()d f x x +∞

-∞

?

它们都不是正常积分中那种积分和的极限,而是变上(下)限积分(看作函数时)的极限.例如图4-33中那个由曲线21y x =与O x 轴和直线1x =围成的无界图形的面积,规定为极限

§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)

187

2

1

1d x x +∞

=?

2

1

1

lim

d b

b x

x →+∞

?

1

1lim b

b x →+∞??

=- ???1lim 11b b →+∞?

?=-= ??

?(单位平方) 是合理的.

§4-5 反常积分

再如放置在原点O 处带有正电量q 的点电荷,在它周围产生有静电场(图4-34).今有单位正电荷,它到原点的距离为a ,并在电场力的作用下移动的距离为r 时,电场力所做的功为

2

1

1d a r

a

q

x q a a r x μμ+??=- ?+??

?

因为通常把无穷远处的电位看作零,所以点a 处的电位是

2

1

1()lim

d lim a r

r r a

q

q U a x q a a r a x μμμ+→+∞

→+∞??==-=

?+??

?

还有,当用换元积分法计算正常积分时,经过换元有时也会遇到无穷积分.例如,

tan 22

12d d 1sin (1)x t x t x

t ?

?=??π

+∞

??

=====

++?

?

]d 12d ,12[sin 2

2

t t

x t

t x +=

+=

因此,我们有必要来定义无穷积分.虽然这种积分不是用积分和的极限定义的正常积分,但是它与正常积分是相通的.

设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续.形式上就定义无穷积分为

()d lim

()d b

b a

a

f x x f x x +∞

→+∞

=?

?

所谓“形式上”,是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的,则称无穷积分是收敛的;否则,就说它是发散的.在后一种情形下,()d a

f x x +∞

?仅是一个记号.

类似地,也可形式上定义无穷积分

()d lim

()d b

b

a a

f x x f x x →-∞

-∞

=?

?

()d lim

()d lim

()d ()d ()d c

b c a b a

c

c

f x x f x x f x x f x x f x x +∞

+∞

→-∞

→+∞

-∞

-∞

=+=

+

?

?

?

?

?

并且规定:

图4-33

O

· q · a a +r

· x

图4-34

第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广

188

+∞

-∞

?

()d f x x 是收敛的,当且仅当

-∞

?

()d c

f x x 和

+∞

?

()d c

f x x 都是收敛的.

请读者注意,不能把其中的无穷积分()d f x x +∞-∞

?

理解为极限

()d lim

()d a

a a

f x x f x x +∞

→+∞

-∞

-=?

?

因为右端极限存在时,而左端的无穷积分有可能不收敛.例如li m

s i n d 0a

a a x

x -→+∞=?,但

s i n d x x +∞

-∞?不收敛.

例22

e

d lim

e

d lim

d (e

)b b

x

x

x

b b x x x x x +∞

---→+∞

→+∞

==-?

?

?

lim e e b x x b x --→+∞

??=--??

lim e e 10011b b

b b --→+∞

??=--+=++=?? 注意,其中()lim e (0)0b b b -→+∞

-∞?=是根据洛必达法则.

计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式,也可以转移到无穷积分上来.若函数)(x f 在区间

),[+∞a 上连续,)(x F 为它的一个原函数,则

()d ()

()()a

a

f x x F x F F a +∞

+∞==+∞-?

其中记号)(lim )(x F F x +∞

→=+∞.若有极限)()(lim +∞=+∞

→F x F x ,则无穷积分

()d a

f x x +∞

?

是收敛

的;否则,它就是发散的.因此,例22就可以直接做成

e

d e

d [

e e ]

1x

x

x x x x x x

x +∞

+∞

+∞----=

=--=?

?

其中原函数在上限的值当然是指它在无穷远处......)(+∞的极限...

.类似地,像下面这样的演算也是合法的,即

22

11

d d arctan 2211x x

x

x x

+∞

+∞

+∞-∞

-∞

-∞

π

π??

=

==

--=π ?++???

? 或

2

2

2

111

d 2

d 2

d 111x x x

x x x

+∞

+∞

+∞

-∞

==+++?

?

?0

2arctan 22

x

+∞π==?

(偶函数的积分)

正常积分中的换元积分法和分部积分法,也可以转移到无穷积分上来.例如,若函数()f x 和

()g x 都有连续导数,则有

()d ()()()

()d ()a

a

a

f x

g x f x g x g x f x +∞

+∞

+∞=-

?

?

因此,例22也可以做成

§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)

189

e

d d (e

)[e

]

(e )d x

x

x

x x x x x x +∞

+∞

+∞

+∞----=

-=--

-?

?

?

e

1x

+∞-=-=

例23 在含参数μ的无穷积分

1d (0)a

x a x

μ

+∞>?

中,

若1μ>,则

11111

d 11

x x a

a

x x

a

x

μ

μ

μ

μ

μ+∞

=+∞--==

=

--?

若1μ≤,则

1(1)ln 1

d 1(1)

1x x a x a

x a x x x x μμ

μμμ=+∞+∞

==+∞-=?==+∞

?=?<=+∞?-?

?

因此,当1μ>时,它收敛;当1≤μ时,它发散.

因为无穷积分实际上也是函数的极限,根据函数极限的运算性质,所以有下面的结论:

⑴ 若无穷积分()d a f x x +∞

?

()d a g x x +∞

?

都收敛,则

[]()()d a

f x

g x x α

β+∞

±?

也收敛,

且有

[]()()d ()d ()d a

a

a

f x

g x x f x x g x x α

βα

β

+∞

+∞+∞

±=±?

?

?

(线性运算性质)

⑵ 若无穷积分

()d a f x x +∞

?

()d a

g x x +∞

?中有一个收敛,另一个发散,则

[]()()d a

f x

g x x +∞

±?

必发散.

但是请读者注意,若无穷积分()d a f x x +∞

?

()d a

g x x +∞

?

都发散时,则

[]()()d a

f x

g x x +∞

±?

有可能收敛.

在许多理论问题中,只需要知道一个无穷积分是否收敛,而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下,像奇异积分那样,就需要下面的柯

西判别法.

柯西判别法 设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续(0)a >.若有某个正数1>μ和某个正数A ,使

)0()(+∞<≤<≤

x a x

A x f μ

(4-24)

则无穷积分

()d a

f x x +∞

?收敛;相反,若有某个正数1μ≤和某个正数A ,使

()(0)A f x a x x μ

<≤<+∞ (4-25)

则无穷积分()d a

f x x +∞

?

发散.

第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广

190 证 当满足条件(4-24)时,有

μ

μ

μ

x

A x

A x f x

A x f 2)()(0≤

+

≤+

≤ )0(+∞<≤

于是,对于a b >,根据积分单调性,有

110()d 2d 2d b

b

a

a

a

A f x x A x A

x x x x μμ

μ

+∞

?

?≤

+≤≤????

?

?

?

121

A

a M μμ-=

=-(常数)

即作为上限b 的函数

()()d b

a

A g b f x x x μ?

?=

+???

??

)0(+∞<<

lim ()lim

b b g b →+∞

→+∞

=()d b

a

A f x x x μ?

?+=???

??

()d a

A f x x x μ+∞

?

?+???

??

因此,也有极限

lim

()d lim

b

b b a

f x x →+∞

→+∞

=?

()d b a

A A f x x x x μμ??

??+-?????

????

lim

()d b b a

A f x x x μ→∞

?

?=+???

??

lim d b

b a

A x x

μ

→+∞-?

)1(>μ()d a

A f x x x μ+∞

?

?=

+???

??

d a

A x x

μ

+∞

-?

【因为右端两个积分都是收敛的】

即无穷积分

()d a

f x x +∞

?

收敛.

其次,当条件(4-25)满足时,函数)(x f 不变号,不妨认为)(0)(a x x f ≥>.于是有

1()d lim

()d lim d b

b

b b a

a

a

f x x f x x A

x x μ

+∞

→+∞

→+∞

?

?

=≥???

?

?

?

?

1d a

A x x

μ

+∞

==+∞?

(例23)

即无穷积分

()d a

f x x +∞

?

发散.

例24 研究积分

2

e d x x +∞--∞

?

的收敛性.

§4-5 反常积分

解 见图4-35,在概率论中称函数

2

()e x x ?-=

为标准正态分布的密度函数.为了讨论无穷 积分

2

e

d x x +∞

--∞

?

的收敛性,需把它分成两

个积分,即

2

e

d x x +∞

--∞

?

2

e

d x x --∞

=

+

?

2

e d x x +∞-?

在右端第二个积分中,根据不等式e 1(0)x

x x ≥+≥,则有2

2

e 1x

x ≥+,所以

图4-35

§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)

191

2

2

2

1

10e 1e

x x x

-≤=

+

因此,对于任意0b >,有

2

2

2

110e

d d d 11b

b

x x x x x

x

+∞

-≤

++?

?

?

arctan 2

x

+∞π==

注意到积分

2

e d b

x x -?

关于上限b 是单调增大的,根据函数极限的单调有界原理,必有极限

2

2

lim

e

d e d b

x x b x x +∞

--→+∞

=

?

?

2

e d x x +∞

-?

收敛.又积分

2

e

d x x --∞

?

2

()

e

d t x t t +∞

=--===

=

?

2

e d x x +∞

-?

所以

2

e

d x x --∞

?

也收敛.因此,

2

e d x x +∞--∞

?

收敛.

因为概率论中用到无穷积分

2

e d x x +∞--∞

?

,所以称它为概率积分(历史上称它为欧拉—泊

松积分).在节后的附录中,进一步证明了

2

e d x x +∞--∞

=

?

.

§4-5 反常积分

【注】概率论中用到的是下面的结论.设函数()t ?在任意有限区间上可积分,且无穷积

()d x

t t ?-∞

?

对任意(,)x ∈-∞+∞都收敛,

则在概率论中就用()()d x

F x t t ?-∞=?定义连续型随

机变量的分布函数.等读者学习到§5-1时,就能够像正常积分那样证明:

⑴函数()F x 是连续函数;

⑵若()t ?在点x 是连续的,则()F x 在点x 可微分且()()F x x ?'=.

3.绝对收敛和条件收敛 在正常积分中,若函数()f x 在[,]a b 上可积,则()f x 在[,]a b 上也可积(相反的结论不成立).可是在反常积分中,结论恰好相反.譬如在奇异积分中,

()d b

a

f x x ?

收敛

(*)

,则

()d b

a

f x x ?

也收敛(相反的结论不成立).

这个结论的证明与柯西判别法的证明是一样的.事实上,不妨设a 为函数()f x 的奇点.因为0()()2()f x f x f x ≤+≤,所以作为ε的函数

()()()d b a g f x f x x +??=

+???

ε

ε(0)b a <<-ε

当0+→ε时单调增大有上界,因此有极限

00lim ()lim

()()d ()()d b b a a

g f x f x x f x f x x +

+

→→+????=+=

+?????

?

εεε

ε

(*)

有时称函数()f x 在[,]a b 上绝对可积。注意,“绝对可积”的称呼是专门用于反常积分的!

第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广

192 从而也有极限

{}

00lim

()d lim

()()()d b

b

a a f x x f x f x f x x +

+

→→++??=+-

???

?εεε

ε

()()d ()d b

b

a

a

f x f x x f x x ??=

+-

???

?

()d b a

f x x ?收敛.

若()d b a

f x x ?

收敛,从而

()d b a

f x x ?

也收敛,则称

()d b a

f x x ?的收敛性为绝对收敛;而

()d b a

f x x ?

收敛,但

()d b a

f x x ?

发散,则称

()d b a

f x x ?

的收敛性为条件收敛.

同样,对于无穷积分来说,若()d a f x x +∞

?

收敛,

则()d a f x x +∞

?

也收敛,

在这种情形下,就说

()d a f x x +∞

?

是绝对收敛的.若

()d a f x x +∞

?

收敛,

但()d a f x x +∞

?

发散,

就说()d a

f x x

+∞

?

是条件收敛的.

作为条件收敛的一个例子,我们考虑著名积分

sin d x x x

+∞?(狄利克雷积分)

首先证明它是收敛性.为此,先把它分成两个积分,即

sin d x x x

+∞?

10

sin d x x x

=

?

(正常积分)1

sin d x x x

+∞+

?

这样,只要证明无穷积分

1

sin d x x x

+∞?

收敛就行了.事实上,对于任意实数1b >,则

1

sin d b

x x x

=

?

2

1

1

1

1cos cos d(cos )d b

b

b

x x x x x

x

x -=-

-

?

?

2

1

cos cos cos1d b

b x x b

x =-

-

?

于是,

1

sin d x x x

+∞

=?

1

sin lim

d b

b x x x

→+∞

?

2

1

cos cos1d x x x

+∞

=-

?

其中积分

2

1

cos d x x x +∞

?

是收敛的[因为

2

2

cos 1x

x

x

,用柯西判别法].因此,积分

1

sin d x x x

+∞

?

是收敛的,即

sin d x x x

+∞

?

也是收敛的.积分

sin d x x x

+∞

?

的收敛性是因为函数x sin 的周期性变

化,在x O 轴以上的正面积与在x O 轴以下的负面积,有一部分相抵消了(见图4-36).在本书第二篇(§6-3)中将证明

sin d 2

x x x

+∞

π=

?

§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分) 193

§4-5 反常积分

其次,为证积分

sin d x x x

+∞

?

是发散的,同样因为 0

sin d x x x

+∞

?

1

sin d x x x

=

?

(正常积分)1

sin d x x x

+∞

+

?

所以只要证明

1

sin d x x x +∞

?

是发散的就行了.事实上,对于1b >,则

21

1

1

sin sin 1cos 2d d d 2b

b

b

x x x

x x x x

x x -≥

=

?

?

?

1

1

1

11

cos 2d d 22b b x x x x

x

=

-

?

?

1

11cos 2ln d 2

2

b

x

b x x

=

-

?

因为有极限

2

1

1

1

1

cos 21

d (sin 2)1

sin 2sin 2lim

d lim lim d 22b

b

b

b

b b b x x x x x x x

x x x →+∞

→+∞→+∞??

??==+

?

? ? ??

??

?

?

?

?

2

1

sin 21

sin 2d 2

2x x x

+∞=-+

?

(收敛,用柯西判别法)

所以

1

1

sin 11

cos 2lim

d lim ln d 22b

b

b b x x x b x x

x

→+∞

→+∞??

≥-

=+∞ ? ??

?

?

?

1

sin d x x x

+∞

?

发散.因此,

sin d x x x

+∞

?

也发散.

无穷积分

sin d x x x

+∞

?

发散表示上图4-36中阴影部分“面积”的总和为∞+.

除此以外,像

2

sin d x x +∞

?

20

cos d x x +∞

?

这样的无穷积分,也都是条件收敛的.

习题

1.根据定义或用适当的积分法(包括使用牛顿—莱布尼茨公式),研究下列奇异积分或无穷积分的敛散性(收敛时,并求出积分值):

1

x ?

1

x ?

1

x ?

x

图4-36

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广

194

2

2

1d x x x

+∞

-?

; ⑸

2

1d 1x x

+∞

+?

; ⑹

e

cos d x

x x +∞

-?

.

答案:⑴发散;⑵收敛,积分值为2

8

π

;⑶收敛,积分值为4-;⑷2ln ;⑸

2

π;⑹

2

1.

2.证明:奇异积分

20

ln sin d x x π

?

(0是奇点) 和

20

ln cos d x x π

?

(

2

π是奇点)

都收敛(提示:分部积分),而且

20

ln sin d x x π

?

20

ln cos d x x π

=

?

ln 22

π=-

3.研究下列无穷积分的敛散性: ⑴

24

2

d 1

x

x x x +∞

-+?

; ⑵

2

sin d x x x

+∞

?

.

答案:⑴收敛;⑵发散.

4.设多项式()p x 和()q x [()0]q x ≠不含公因式,且分母()q x 的次数比分子()p x 的次数至少大1.证明:无穷积分

()sin d ()

p x bx x q x +∞

-∞

?

()cos d ()

p x bx x q x +∞

-∞

?

(其中0b >为常数)

都收敛.(提示::分部积分)

5.证明:

22

ln d 0(1)

x x x x +∞

=+?

.(注意,点0是被积函数的可除间断点)

6.利用概率积分

2

e

d x

§4-5 反常积分

x +∞--∞

=

?

2

e

d 2

x

x +∞

-=

?

,证明:

§4-5 反常积分

2

2

()4e

d x a x σ

-+∞

-

-∞

?

2σ=σ,a 为常数且0>σ)

§4-5 反常积分

(读者在概率论的学习中将会遇到这个积分)

7.求2

§4-5 反常积分

220

e

d (0)a x x x a ??

-++∞

? ???

=

>?

I 的值. 答案:22

a -=

I .

8.设函数()f x 在区间[,)a +∞上有连续的导函数()f x ',且

()d a

f x x +∞?

()d a

f x x +∞'?

都收敛.证明:lim ()0x f x →+∞

=. [在积分变换理论中会用到这个结论]

提示:根据牛顿-莱布尼茨公式,

§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分) 195

()()()d x a

f x f a f t t '=+

?

因此,有极限lim ()x f x A →+∞

=,因为

()d a

f x x +∞'?

收敛.

9.利用0

sin d 2

x x x

+∞

π=

?

,证明:

sin d x x x

α+∞

=

?

2

πsgn α(其中sgn α为符号函数)

; 提示:当0α=时,等式显然成立.当0α≠时,则

sin sin d d()x x

x x x

x

αααα+∞+∞=

?

?

()

x t α=====

2

2

sin d 2

x x x

+∞π=

?

提示:

2

2

2

sin 1d sin d x x x x x

+∞+∞-??=

???

?

?

(分部积分)=

2

cos()cos cos 1

d a b x ax bx x x

+∞-∞

---+?

()a b a b =π+--.

提示:

2

cos()cos cos 1

d a b x ax bx x x

+∞-∞---+?

2

[cos()1][1cos ][1cos ]

d a b x ax bx x x

+∞-∞

--+-+-=

=

?

【附录】因为

2

e

d x x +∞

--∞

?

2

2

e d x x +∞

-=?

,所以只需证明

I =

2

§4-5 反常积分

e d 2

x x +∞

-=

?

就行了.为此,考虑函数t t t -+=e )1()(?.它在点0=t 有最大值1)0(=?,所以有1e )1(≤+-t t . 分别用)(2x -和2x 替换其中的t ,可得到不等式

2

22

11e 1x x x --≤≤

+, 从而2

221(1)e (1)n n x n

x x --≤≤

+(n 为正整数)

根据积分单调性,

2

1

220

1(1)d e

d d (1)

n

n x n

x x x x x +∞

+∞

--≤

+?

?

?

其中各个积分依次为

1

2

2210

(2)!!(1)d (sin )cos dt (21)!!

n

n n x x x t t n π+-==

=

+?

?

令 [见§4-3例11]

第4章柯西-黎曼积分及其应用和推广196

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

22)

00

e d e d)

nx x

+∞+∞

--

=

?

§4-5 反常积分

(令)

t

§4-5 反常积分

§4-5 反常积分

=2

e d

t t

+∞

-

==

2

22

2

00

1(23)!!

d(tan)cos d

(22)!!2

(1)

n

n

n

x x t t t

n

x

+∞π

-

===

-

+

??

令[见§4-3例11] 所以有不等式

§4-5 反常积分

(2)!!(23)!!

(21)!!(22)!!2

n n

n n

≤≤

+-

各项平方后得

222

2

(2)!!(23)!!

(21)!!(22)!!4

n n

n n

n n

????

≤≤

????

+-

????

I (※)

另一方面,根据瓦里斯公式

2

(2)!!1

lim

(21)!!212

n

n

n n

→∞

??π

=

??

-+

??

(见§4-3)

则式(※)左端的极限是

22

(2)!!(2)!!1

lim lim

(21)!!21(21)!!21

n n

n n n

n

n n n n

→∞→∞

????

=

????

++-+

????

1

224

ππ

=?=

而右端的极限是

22

(23)!!

lim

(22)!!4

n

n

n

n

→∞

??

??

-

??

2

2

22(21)!!

lim(21)

42121(2)!!

n

n n n

n

n n n

→∞

??

??

π-

??

??

=?+ ?

?

-+

??

????

??

2

2

22(21)!!

lim lim(21)

42121(2)!!

n n

n n n

n

n n n

→∞→∞

??

????

π-

??

??

=?+

?? ?

?

-+??

??

????

????

212

424

ππ

=??=

π

【用瓦里斯公式】

在式(※)两端让n→∞,则得2

4

π

=

I

§4-5 反常积分

,即

2

=

I

相关推荐