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【成才之路】高中数学 2-1-2第2章 第2课时 数列的递推公式同步检测 新人教B版必修5

【成才之路】高中数学 2-1-2第2章 第2课时 数列的递推公式同步检测 新人教B版必修5
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第2章 2.1 第2课时数列的递推公式(选学)

一、选择题

1.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=3,a n =a n -1+

1

a n -2

(n ≥3),则a 5=( )

A.5512

B.13

3 C .

4 D .

5 [答案] A

[解析] 令n =3,4,5,求a 5即可.

2.已知数列{a n }中,a n +1=a n +2+a n ,a 1=2,a 2=5,则a 6=( ) A .-3 B .-4 C .-5 D .2 [答案] A

[解析] 由a n +1=a n +2+a n 得a 3=3,

a 4=-2,a 5=-5,a 6=-3.

3.正项数列{a n }中,a n +1=a n

1+3a n

,a 1=2,则a 4=( ) A.165 B.219 C.85 D.87 [答案] B

[解析] 由递推关系可得a 2=27,a 3=213,a 4=219

.

4.已知数列{a n }满足a 1=x ,a 2=y ,且a n +1=a n -a n -1(n ≥2),则a 2007=( ) A .x B .y C .y -x D .-x [答案] C

[解析] 根据递推关系可得x ,y ,y -x ,-x ,-y ,x -y ,这6个数值重复出现a 2007=a 334×6+3=a 3.

5.已知S k 表示数列的前k 项和,且S k +S k +1=a k +1(k ∈N *

),那么此数列是( ) A .递增数列 B .递减数列 C .常数列 D .摆动数列

[答案] C

[解析] ∵由a k +1=S k +1-S k =S k +S k +1 ∴S k =0(k ∈N *

)

可知此数列每一项均为0,即a n =0是常数列.

6.观察下图,并阅读图形下面的文字,像这样10条直线相交,交点的个数最多的是( )

A .40个

B .45个

C .50个

D .55个 [答案] B

[解析] 交点个数依次组成数列为1,3,6,即2×12,2×32,3×42,由此猜想a n =

n n -12

∴a 10=10×9

2=45.

二、填空题

7.已知数列{a n }的通项公式a n =3n -1(n ∈N *

),通过公式b n =a n +1

a n

构造一个新数列{b n },那么{b n }的前五项为________________.

[答案] 52,85,118,1411,1714

[解析] ∵a n =3n -1(n ∈N *

) ∴a n +1=3(n +1)-1=3n +2, ∴b n =

a n +1a n =3n +2

3n -1

. ∴b 1=52,b 2=85,b 3=118,b 4=1411,b 5=1714

.

8.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2

-4n -12(n ∈N *

),则 (1)这个数列的第四项是________; (2)65是这个数列的第________项;

(3)这个数列从第________项起以后各项都为正数. [答案] -12;11;7

[解析] (1)a 4=42

-4×4-12=-12. (2)令65=n 2

-4n -12,∴n 2

-4n -77=0, ∴n =11或n =-7(舍去). 故65是这个数列的第11项. (3)令n 2

-4n -12>0,得n >6或n <2. ∴这个数列从第7项起以后各项都为正数.

三、解答题

9.在数列{a n }中,已知a 1=1,且满足a n +1=a n +a n

n +1

,求通项公式.

[解析] 由a n +1=a n +a n

n +1,得a n +1=n +2

n +1

a n , 即

a n +1a n =n +2n +1.∴a 2a 1=32,a 3a 2=43,a 4a 3=5

4

,…, a n a n -1=n +1n

(n ≥2). 将以上各式相乘,得

a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=32·43·54·…·n +1n

∴a n a 1=

n +12,∴a n =n +1

2

(n ≥2),

又a 1=1满足上式. ∴a n =

n +1

2

(n ∈N *

).

10.设数列{a n }的前n 项的和为S n ,且方程x 2

-a n x -a n =0,有一根为S n -1,n =1,2,3,…,求a 1、a 2.

[解析] 当n =1时,x 2

-a 1x -a 1=0有一根为S 1-1=a 1-1,于是(a 1-1)2

-a 1(a 1-1)-a 1=0,解得a 1=12

.

当n =2时,有一根为S 2-1=a 2-12,于是(a 2-12)2-a 2(a 2-12)-a 2=0,解得a 2=1

6

.

能力提升

一、选择题

1.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +ln(1+1

n

),则a n =( )

A .2+ln n

B .2+(n -1)ln n

C .2+n ln n

D .1+n +ln n

[答案] A

[解析] 解法一:取n =2,则a 2=a 1+ln2=2+ln2,排除C 、D ; 取n =3,则a 3=a 2+ln(1+12)=2+ln2+ln 3

2=2+ln3,排除B ,选A.

解法二:直接将选项依次代入验证. 当a n =2+ln n 时,a n +1=a n +ln(1+1

n

)

=2+ln n +ln(1+1

n

)

=2+ln(n +1)满足,故选A. 解法三:∵a n +1=a n +ln(1+1

n

),

∴a 2-a 1=ln(1+1

1

)=ln2,

a 3-a 2=ln(1+12)=ln 32

, a 4-a 3=ln(1+13

)=ln 43

a n -a n -1=ln(1+

1n -1)=ln n n -1

. 相加得:a n -a 1=ln2+ln 32+…+ln n

n -1=ln n ,∵a 1=2,∴a n =2+ln n .

2.已知数列{a n }满足a 1=0,a n +1=

a n -3

3a n +1

(n ∈N +),则a 20=( ) A .0 B .- 3 C. 3 D.3

2

[答案] B

[解析] ∵a 1=0,a 2=

a 1-33a 1+1=-3,a 3=a 2-33a 2+1=3,a 4=a 3-3

3a 3+1

=0,... 至此可知:数列{a n }的各项的值依次为0,-3,3,0,-3,3,0,...,周而复始. ∵20÷3=6余2,∴a 20=a 2=- 3. 二、填空题 3.设f (n )=1n +1+1n +2+ (12)

(n ∈N *

),那么f (n +1)-f (n )=________. [答案]

12n +1-12n +2

[解析] f (n +1)=

1n +2+1n +3+1n +4+…+12n +12n +1+12n +2

, ∴f (n +1)-f (n )=12n +1+12n +2-1n +1=12n +1-1

2n +2

.

4.若数列{a n }中,a 1=3,且a n +1=a 2

n (n 是正整数),则数列的通项a n =________. [答案] a n =32

n -1

[解析] a 1=3,a 2=32

,a 3=34

,a 4=38

…,猜想a n =32

n -1

.

三、解答题

5.数列{a n }的通项公式是a n =-2n 2

+19n -23,则数列{a n }中最大的一项是第几项?并求出该项.

[解析] a n =-2n 2

+19n -23=-2(n -194)2-23+192

8=-2(n -194)2+177

8

∵n ∈N *

,∴当n =5时,a n 最大,

a 5=-2×52+19×5-23=22.

故数列{a n }最大的一项是第5项,且a 5=22.

6.设函数f (x )=log 2x -log x 4(0

n )=2n (n ∈N *

),求数列{a n }的通项公式.

[解析] ∵f (x )=log 2x -log x 4, ∴f (2 a

n )=log 22 a

n -log 2 a

n 4=2n , 即a n -2a n

=2n ,∴a 2

n -2na n -2=0,

∴a n =n ±n 2

+2. 又∵0

n <1,

∴a n <0(n ∈N *

),∴a n =n -n 2

+2(n ∈N *

).

7.一辆邮车每天从A 地往B 地运送邮件,沿途(包括A ,B )共有8站,从A 地出发时,装上发往后面7站的邮件各一个,到达后面各站后缷下前面各站发往该站的一个邮件,同时装上该站发往下面各站的邮件各一个,试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列,画出该数列的图象,并判断该数列的增减性.

[解析] 将A 、B 之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号,通过计算,上面各站剩余邮件数依次排成数列:7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表:

它在{1,2,3,4}上是递增的,在{4,5,6,7,8}上是递减的.

8.某林区改变植树计划,第一年植树增长率200%,以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的12

.

(1)假设成活率为100%,经过四年后,林区的树木量是原来的树木量的多少倍? (2)如果每年都有5%的树木死亡,那么经过多少年后,林区的树木量开始下降?

[解析] (1)设林区原有的树木量为a ,调整计划后,第n 年的树木量为a n (n =1,2,3,…),则

a 1=a (1+200%)=3a ,

a 2=a 1(1+100%)=2a 1=6a , a 3=a 2(1+12

)=32

a 2=9a a 4=a 3(1+14

)=54

a 3=454

a .

所以经过四年后,林区树木量是原来树木量的45

4

倍;

(2)若每年损失树木量的5%,则第n 年后的树木量与第(n -1)年的树木量之间的关系为:

a n =a n -1(1+

12

n -2

)(1-5%)=1920(1+1

2

n -2)a n -1(n ≥2).

设第n 年后树木量开始减少, 则???

?

?

a n ≥a n -1a n ≥a n +1

即????

?

19201+1

2

n -2a n -1≥a n -119201+1

2

n -1a n ≤a n

∴?????

12n -2

≥1

1912n -1

119

,∴176≤12n ≤1

38

,解得n =6.

(完整版)数列的递推公式教案

数列的递推公式教案 普兰店市第六中学陈娜 一、教学目标 1、知识与技能:了解数列递推公式定义,能根据数列递推公式求项,通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法:通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念,体会数列递推公式与通项公式的不同,探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观:培养学生积极参与,大胆探索精神,体验探究乐趣,感受成功快乐,增强学习数学的兴趣,培养学生一切从实际出发,认识并感受数学的应用价值。 二、教学重点、难点和关键点 重点:数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点:数列的递推公式求通项公式。 关键:同本节难点。 三、教学方法 通过创设问题的情境,在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望;引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究;引导学生积极思考,运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题,再提出问题,解决问题……经历知识的发生和发展过程,并注意总结规律和知识的巩固与深化。 四、教学过程 环节1:新课引入 一老汉为感激梁山好汉除暴安良,带了些千里马要送给梁山好汉,见过宋江以后,宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他,老汉又去见卢俊义,把

现有的马匹全送给了他,卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的,老汉下山回家时还剩下两匹马,问老汉上山时一共带了多少匹千里马? 通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2:引例探究 (1)1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境,让学生分析找出这些数列从第二项(或后几项)后一项与前一项的关系,从而引出数列的递推公式的定义,便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义: 如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法,它包含两个部分,一是递推关系,一是初始条件,二者缺一不可. 环节3:应用举例及练习 例1:已知数列{a n }的第1项是1,以后的各项由公式 (n ≥2)给出,写出这个给出,写出这个数列的前5项. 解:据题意可知:a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+=

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 (1)1=k 时,}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列,)(1b a n b a n -+?= (2)1≠k 时,设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数:b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列,公比为k ,首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 (1)1=k 时,)(1n f a a n n =-+,若)(n f 可求和,则可用累加消项的方法。 例:已知}{n a 满足11=a ,)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解: ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这(1-n )个式子求和得: n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

(2)1≠k 时,当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得:1-=k a A ,2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项,k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 (3)n q n f =)((≠q 0,1) 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 (1)若)(n f 是常数时,可归为等比数列。 (2)若)(n f 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。 例:已知: 311= a ,1121 2-+-=n n a n n a (2≥n )求数列}{n a 的通项。 解:123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

求递推数列的通项公式的十一种方法

求递推数列的通项公式的十一种方法 利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{n a }中,31=a ,) 1(1 1++=+n n a a n n ,求通项公式n a . 解:原递推式可化为:1111+- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ,……,n n a a n n 1111--+=-逐项相加得:n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法 例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列,且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n (n=1,2,3…),则它的通项公式是n a =▁▁▁(2000年高考15题) 解:原递推式可化为: )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1>0, 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……,n n a a n n 11-=- 逐项相乘得:n a a n 11=,即n a =n 1 . 三、换元法 例3 已知数列{n a },其中913,3421== a a ,且当n ≥3时,)(3 1 211----=-n n n n a a a a ,求通项公式n a (1986年高考文科第八题改编). 解:设11---=n n n a a b ,原递推式可化为: }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列,9134913121=-=-=a a b ,公比为31 .故 n n n n b b )31()31(91)31(2211==?=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得:n n a )3 1 (2123-=. 例4已知数列{n a },其中2,121==a a ,且当n ≥3时,1221=+---n n n a a a ,求通项公式n a 。解 由1221=+---n n n a a a 得:1)()(211=------n n n n a a a a ,令11---=n n n a a b ,则上式为 121=---n n b b ,因此}{n b 是一个等差数列,1121=-=a a b ,公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2 ) 1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-= -n n a n ,即)2(2 1 2+-=n n a n

高中数学-数列公式及解题技巧

数列求和的基本方法和技巧 除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式: 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1+x 2+x 4+x 6+…x 2n+4(x≠0) 解: ∵x≠0 ∴该数列是首项为1,公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2=1 即x =±1时 和为n+3 评注: (1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x 是否为0进行讨论. (2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n 项. 对应高考考题:设数列1,(1+2),…,(1+2+1 2 2 2-?+n ),……的前顶和为 n s ,则 n s 的值。

二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出 了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列 的公比q ;然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法。 [例] 求和:1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ( 1≠x )………………………① 解:由题可知,{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题:设正项等比数列{}n a 的首项2 1 1= a ,前n 项和为n S ,且0)12(21020103010=++-S S S 。(Ⅰ)求{}n a 的通项; (Ⅱ)求{}n nS 的前n 项和n T 。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +. [例] 求证:n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 证明: 设n n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- (反序)

数列的递推公式练习

数列的递推公式练习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

课时作业5数列的递推公式(选学) 时间:45分钟满分:100分 课堂训练 1.在数列{a n}中,a1=,a n=(-1)n·2a n-1(n≥2),则a5=() A.- C.- 【答案】 B 【解析】由a n=(-1)n·2a n-1知a2=,a3=-2a2=-,a4=2a3=-,a5=-2a4=. 2.某数列第一项为1,并且对所有n≥2,n∈N,数列的前n项之积为 n2,则这个数列的通项公式是() A.a n=2n-1 B.a n=n2 C.a n=D.a n= 【答案】 C 【解析】∵a1·a2·a3·…·a n=n2,a1·a2·a3·…·a n-1=(n-1)2,∴两式相除,得a n=. 3.已知数列{a n}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=a n,n∈N+,则a2009= ________,a2014=________. 【答案】10 【解析】考查数列的通项公式. ∵2009=4×503-3,∴a2009=1, ∵2014=2×1007,∴a2014=a1007,

又1007=4×252-1,∴a1007=a4×252-1=0. 4.已知数列{a n},a1=0,a n+1=,写出数列的前4项,并归纳出该数列的通项公式. 【解析】a1=0,a2==,a3===,a4===. 直接观察可以发现,把a3=写成a3=, 这样可知a n=(n≥2,n∈N+). 当n=1时,=0=a1, 所以a n=(n∈N+). 课后作业 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.已知数列{a n}满足:a1=-,a n=1-(n≥2),则a4=() C.- 【答案】 C 【解析】∵a1=-,a n=1-(n≥2), ∴a2=1-=1-=5, a3=1-=1-=, a4=1-=1-=1-=-. 2.数列{a n}满足a1=,a n=-(n≥2,n∈N+),则a2013=() B.- C.3 D.-3 【答案】 A

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法举隅 类型一:1n n a pa q +=+(1p ≠) 思路1(递推法):()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。 思路2(构造法):设()1n n a p a μμ++=+,即()1p q μ-=得1 q p μ= -,数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列,则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ,即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:方法1(递推法): ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。 方法2(构造法):设()12n n a a μμ++=+,即3μ=,∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列,则1 1342 2n n n a -++=?=,即123n n a +=-。 类型二:1()n n a a f n +=+ 思路1(递推法): 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。

高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导

高中数学几种常见的数列递推关系式 数列的递推关系是指数列中的前一项(前几项)与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容,通过递推关系,观察,探求数列的规律,进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习,可以培养学生的观察能力,归纳与转化能力,综合运用知识等能力,因此,是近几年高考与竞赛的热点。 下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法 常见形式: 已知:a a a a d n n 11==++, ① 或a a a a q n n 110=≠=+, ② (其中,d 常数,q ≠0为常数) 定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。 已知首项,与递推关系,数列的通项即知,在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中,在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。 二. 迭代法 常见形式:已知 a a a a f n n n 110=≠=++,() ③ 或a a a a f n f n n n 110=≠=+,,()()不恒为零 ④ (这里的f n ()是关于n 的关系式)。 这两个形式的递推关系式,虽然不是等差与等比数列,但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如:③a a f 211-=() a a f 322-=() …… a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*, 将以上n -1个式子叠加,可得 a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…, 这里,我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和,即可求出数列 {}a n 的通项公式来。 如:④的具体例子: 例1. (2006年东北三省三校一模试题21)已知数列{}a n ,S n 是数列的前n 项和, a S n a n n 212 ==,。求S n 。 解:因为S n S S n n N n n n =-≥∈-2 21()()*, 所以n S n S n n 22 21-=- S S n n n n N n n -= -≥∈123()*, S S S S S S S S n n n n n n N n n n n 324312131425364132 3·…····… ·,---=---≥∈()*

高中数学数列公式大全(很齐全哟~!)之欧阳数创编

一、高中数列基本公式:1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。3、等差数列的前n项和公式:Sn=Sn= Sn=当d≠0时,Sn是关于n 的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。4、等比数列的通项公式:an= a1qn-1an= akqn-k (其中a1

为首项、ak为已知的第k项, an≠0)5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);当q≠1时, Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。2、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则 3、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-

S3m、……仍为等比数列。5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法: a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;四个

递推数列通项公式求法(教案)讲解学习

递推数列通项公式求 法(教案)

由递推数列求通项公式 马鞍中学 --- 李群花 一、课题:由递推数列求通项公式 二、教学目标 1、知识与技能: 会根据递推公式求出数列中的项,并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。 2、过程与方法: ①复习回顾所学过的通项公式的求法,对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性,引出课题。 ②对比等差数列的推导总结出叠加法的试用题型。 ③学生分组讨论完成叠乘法及待定系数法的相关题型。 3、情感态度与价值观: ①通过对数列的递推公式的分析和探究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神; ②通过对数列递推公式问题的分析和探究,使学生养成细心观察、 认真分析、善于总结的良好思维习惯; ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。 三、教学重点:根据数列的递推关系式求通项公式。 四、教学难点:解题过程中方法的正确选择。 五、教学课型,课时:复习课 1课时 六、教学手段:多媒体课件,黑板,粉笔 七、教学方法:激励——讨论——发现——归纳——总结 八、教学过程 (一)复习回顾:

1、通项公式的定义及其重要作用 2、学过的通项公式的几种求法 3、区别递推公式与通项公式,从而引入课题 (二)新知探究: 问题1: 在数列{a n }中 a 1=1,a n -a n-1=2n-1(n ≥ 2),求数列{a n } 的通项公式。 活动:通过分析发现形式类似等差数列,故想到用叠加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。 总结:类型1:)(1n f a a n n =-+,利用叠加法(逐差相加法)求解。 问题2:例2在数列{a n }中 a 1=1, (n ≥ 2),求数列{a n } 的通项公式。 方法归纳:利用叠乘法求数列通项 活动:类比类型1推导过程,让学生分组讨论研究相关解题方案。 练习2设{a n }是首项为1的正项数列,且(n+1)a n 2+1 –na n 2 +a n+1a n =0, n n n a a 21 =-

(完整版)数列专题1递推公式求通项公式(练习)

专题1:递推公式求通项公式 1.数列3,7,13,21,31,…,的一个通项公式为( ) A .14-=n a n B .223++-=n n n a n C .12 ++=n n a n D .不存在 2.在数列}{n a 中,21-=a , n a a n n +=+21,则=3a ( ) A. 6- B. 5- C. 4- D. 3- 3.数列}{n a 中,a 1=1,对于所有的2n ≥,* n N ∈都有2123n a a a a n ??=L ,则35a a +=等 于( ) A. 16 61 B. 9 25 C. 16 25 D. 15 31 4.下列各式中,可以作为数列}{n a 的通项公式的是:( ) A .2-= n a n B .)2(log 1-=-n a n n C .112 ++= n n a n D .4 tan π n a n = 5.在数列}{n a 中,2,121==a a ,n n n a a a -=++122,则=4a ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 6.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 ( ) A .289 B .1024 C .1225 D .1378 7.数列}{n a 的前n 项和)2(2 ≥?=n a n S n n ,而11=a ,通过计算2a ,3a ,4a 猜想=n a A . 2)1(2+n B .n n )1(2+ C .122-n D .1 22 -n 8.数列}{n a 中,)2(31, 11 1 1≥+= =--n a a a a n n n ,则数列{a n }的通项公式是:( )

常见递推数列通项公式的求法

数列复习课(3)———常见递推数列通项公式的求法 主备人:刘莉苹 组长:李英 时间:2013-9-16 教学目标: 1.通过求出数列前几项,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据特殊的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法,体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程. 教学重点:处理递推关系的基本方法. 教学难点:通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助 问题生成 引入新课: 由递推公式求数列的通项公式的类型: (1) (2) (3) (4)()n f pa a n n +=+1型数列(p 为常数) (5)n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 (6)递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 即n a 与n s 的关系11(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? (7)r n n pa a =+1)0,0(>>n a p (8)) ()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ (9)周期型 思考:各类型通项公式的求法? 合作探究 问题解决 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 1() n n a a f n +=+1() n n a a f n +=?1(0,1) n n a pa q p p +=+≠≠

变式: 1. 已知数列{}n a 满足211=a ,112 n n a a +=+,求n a . 2.若数列{}n b 满足11b =,112n n n b b +??-= ???(1)n ≥,求数列{}n b 的通项公式. 3.已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 变式: 1. 已知31=a ,132n n a a += ,求n a 。 2.已知31=a ,n n a n n a 23131 +-=+ )1(≥n ,求n a 。

高中数学-递推数列的通项的求法练习

高中数学-递推数列的通项的求法练习 1.(·海南三亚一模)在数列1,2,7,10,13,…中,219是这个数列的第( )项.( ) A .16 B .24 C .26 D .28 答案 C 解析 设题中数列{a n },则a 1=1=1,a 2=2=4,a 3=7,a 4=10,a 5=13,…,所以a n =3n -2.令3n -2=219=76,解得n =26.故选C. 2.设数列{a n }的前n 项和S n =n 2 ,则a 8的值为( ) A .15 B .16 C .49 D .64 答案 A 解析 a 1=S 1=1,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2 =2n -1(n≥2).a 8=2×8-1=15.故选A. 3.已知数列{a n }满足a 1=0,a n +1=a n +2n ,则a 2 017等于( ) A .2 017×2 018 B .2 016×2 017 C .2 015×2 016 D .2 017×2 017 答案 B 解析 累加法易知选B. 4.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且1x n -1+1x n +1=2 x n (n≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1 B .(23)n C.n +12 D.2 n +1 答案 D 解析 由关系式易知?????? 1x n 为首项为1 x 1=1,d =12的等差数列,1 x n =n +12,所以x n =2 n +1 . 5.已知数列{a n }中a 1=1,a n =12a n -1+1(n≥2),则a n =( ) A .2-(12)n -1 B .(12)n -1 -2 C .2-2n -1 D .2n -1 答案 A 解析 设a n +c =12(a n -1+c),易得c =-2,所以a n -2=(a 1-2)(12)n -1=-(12)n -1 ,所以选A. 6.若数列{a n }的前n 项和为S n =32a n -3,则这个数列的通项公式a n =( ) A .2(n 2+n +1) B .2·3n C .3·2n D .3n +1

人教新课标版数学高二B版必修5素材 预习学案 2.1.2数列的递推公式(选学)

预习导航 1.体会递推公式是数列的一种表示方法. 2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项. 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式. 1.数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项1n a (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 名师点拨:(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法.事实上,递推公式与通项公式一样,都是关于n 的恒等式,我们可用符合要求的正整数依次去替换n ,从而可以求出数列的各项. 【做一做1】 数列2,4,6,8,10,…的递推公式是( ) A .a n =a n -1+2(n ≥2) B .a n =2a n -1(n ≥2) C .a n =a n -1+2,a 1=2(n ≥2) D .a n =2a n -1,a 1=2(n ≥2) 答案:C 2.通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项a n 是序号n 的函数式a n =f (n ) 都是给出数列的方法,可 求出数列中任意一项 递推公式 已知a 1(或前几项)及相邻项(或相邻几项) 间的关系式 但并不是所有的数列都有递推公式.例如\r(2)精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式. 【做一做2-1】 已知在数列{a n }中,a 1=2,a n =a n -1+2(n ≥2),则{a n }的通项公式是 ( ) A .3n B .2n C .n D .n 2 答案:B 【做一做2-2】 在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且a n +1-a n =1+(-1)n (n ≥2),则a 10=________. 解析:由题意,知a 10-a 9=1+(-1)9,a 9-a 8=1+(-1)8,a 8-a 7=1+(-1)7,…,a 3

数列通项公式求法大全(配练习及答案)

数列通项公式的几种求法 注:一道题中往往会同时用到几种方法求解,要学会灵活运用。 一、公式法 二、累加法 三、累乘法 四、构造法 五、倒数法 六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = (七)、对数变换法 (当通项公式中含幂指数时适用) (八)、迭代法 (九)、数学归纳法 已知数列的类型 一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ (1)()f n d = (2)()f n n = (3)()2n f n =

例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=,,求数列{}n a 的通项公式。(3 1.n n a n =+-) 三、累乘法 n n a n f a )(1=+ (1)()f n d = (2)()f n n =, 1 n n +,2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 ((1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???) 评注:本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+,进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ,即得数列{}n a 的通项公式。 例4 (20XX 年全国I 第15题,原题是填空题) 已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ,,求{}n a 的通项公式。(! .2 n n a = ) 评注:本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥,进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ,从而可得当2n n a ≥时,的表达式,最后再求出数列{}n a 的通项公式。

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法 类型一:1n n a pa q += +(1p ≠) 思路1(递推法):()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2(构造法):设()1n n a p a μμ++=+,即()1p q μ-=得1 q p μ= -,数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列,则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??,即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式。 解:方法1(递推法): ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2(构造法):设()12n n a a μμ++=+,即3μ=,∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列,则113422n n n a -++=?=,即1 23n n a +=-。

1n n +思路1(递推法): 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2(叠加法):1(1)n n a a f n --=-,依次类推有:12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=,将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ,即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =,1n n a a n -=+,求n a 。 解:方法1(递推法):123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2(叠加法):1n n a a n --=,依次类推有:121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=,将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ,12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

(推荐)高中数学数列知识点精华总结

数 列 专 题 ◆ 考点一:求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有: ①利用S n -S n -1=a n (n≥2)转化为a n 的递推关系,再求其通项公式; 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n =? ?? ?? S 1,n =1, S n -S n -1,n≥2.当n =1时,a 1若适合S n -S n -1,则n =1的情况可 并入n≥2时的通项a n ;当n =1时,a 1若不适合S n -S n -1,则用分段函数的形式表示. ②转化为S n 的递推关系,先求出S n 与n 的关系,再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、构造法求解. ◆ 累加法:递推关系形如a n +1-a n =f(n),常用累加法求通项; ◆ 累乘法:递推关系形如a n +1 a n =f(n),常用累乘法求通项; ◆ 构造法:1)递推关系形如“a n +1=pa n +q(p 、q 是常数,且p≠1,q≠0)”的数列求通 项,此类通项问题,常用待定系数法.可设a n +1+λ=p(a n +λ),经过比较,求得λ,则数列{a n +λ}是一个等比数列; 2)递推关系形如“a n +1=pa n +q n (q ,p 为常数,且p≠1,q≠0)”的数列求通项,此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4),或同除以p n +1 转为用迭加法求解. 3) ◆ 倒数变形

3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识,函数的思想方法来解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用:①作差;②作商;③结合函数图象等方法. (3)数列{a n }的最大(小)项的求法 可以利用不等式组? ?? ?? a n -1≤a n ,a n ≥a n +1,找到数列的最大项;利用不等式组? ?? ?? a n -1≥a n , a n ≤a n +1,找到 数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }.(1)若a n =n 2 -5n +4,①数列中有多少项是负数?②n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值. (2)若a n =n 2 +kn +4且对于n ∈N * ,都有a n +1>a n 成立.求实数k 的取值范围. 考点二:等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n -a n -1=常数(n≥2) a n a n -1=常数(n≥2) 通项公式 a n =a 1+(n -1)d a n =a 1q n -1 (q≠0)

数列的递推公式练习

课时作业5 数列的递推公式(选学) 时间:45分钟 满分:100分 课堂训练 1.在数列{a n }中,a 1=1 3,a n =(-1)n ·2a n -1(n ≥2),则a 5=( ) A .-16 3 C .-83 【答案】 B 【解析】 由a n =(-1)n ·2a n -1知a 2=23,a 3=-2a 2=-4 3,a 4=2a 3 =-83,a 5=-2a 4=163. 2.某数列第一项为1,并且对所有n ≥2,n ∈N ,数列的前n 项之积为n 2,则这个数列的通项公式是( ) A .a n =2n -1 B .a n =n 2 C .a n =n 2 n -12 D .a n =n +12 n 2 【答案】 C 【解析】 ∵a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,a 1·a 2·a 3·…·a n -1=(n -1)2,∴两式相除,得a n =n 2 n -12 . 3.已知数列{a n }满足:a 4n -3=1,a 4n -1=0,a 2n =a n ,n ∈N +,则a 2 009=________,a 2 014=________. 【答案】 1 0 【解析】 考查数列的通项公式.

∵2 009=4×503-3,∴a 2 009=1, ∵2 014=2×1 007,∴a 2 014=a 1 007, 又1 007=4×252-1,∴a 1 007=a 4×252-1=0. 4.已知数列{a n },a 1=0,a n +1=1+a n 3-a n ,写出数列的前4项,并归 纳出该数列的通项公式. 【解析】 a 1=0,a 2=1+a 13-a 1=13,a 3=1+a 23-a 2=1+13 3-13=1 2,a 4=1+a 33-a 3 =1+12 3-12 =3 5. 直接观察可以发现,把a 3=12写成a 3=2 4, 这样可知a n =n -1 n +1(n ≥2,n ∈N +). 当n =1时,1-1 1+1=0=a 1, 所以a n =n -1 n +1 (n ∈N +). 课后作业 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.已知数列{a n }满足:a 1=-14,a n =1-1 a n -1(n ≥2),则a 4=( ) C .-14 【答案】 C

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