切线长定理
切线长定理
教材分析：
本节内容是切线长的概念和切线长定理。通过本节教学应使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，这个定理经常用到，因此，它是本节的重点。灵活运用图形语言、文字语言、符号语言三种语言表述切线长定理，学生感觉困难;用切线长定理解决有关问题中，准确应用数学语言进行表述，学生感觉困难;从实际情境中抽象出切线长定理模型解决问题，学生感觉困难;在综合题中迅速找出切线长定理模型, 学生感觉困难;因此,综合应用切线长定理及有关知识解决问题，是本节的难点。本节内容是在学习了“切线的判定和性质”之后，并进一步了解了“三角形的内切圆”这一内容的基础上进行研究的。是前面内容的必然延伸，也是后面学习切割线定理等重要内容的基础。切线长定理的出现，可以让我们对直线与圆位置关系的研究由定性分析深入到定量研究。再次让我们感触到了圆的轴对称性。它为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。通过本节内容的学习，会让学生更客观地认识切线的有关问题。同时，该定理的学习对我们解决一些实际问题很有指导意义。因此，本节内容在这部分中具
有非常重要的作用，是“直线与圆的位置关系”这部分内容的纽带和桥梁。同时,它综合运用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识解决问题。切线长定理及其研究方法又是研究两圆相切问题的基础，因此，本节内容在整个初中几何教材体系中，起着承上启下的作用。
学生分析：
1、经过前面几节的学习，学生对圆的轴对称性已经有了初步了解，掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识，具备了学习本节内容的知识基础。
2、经过前面的学习，学生已经对合情推理和逻辑推理都有了一定的认识,具备了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的基本技能。
3、初三学生已经具备了一定的探索解决问题方法的经验，从心理学的角度分析：他们正处于想成为大人，想得到别人肯定的年龄阶段，因此，他们会不遗余力地提出他们自己的看法并能较有条例地申述自己的理由，这些是很必要的情感准备；但由于特定年龄阶段的关系，他们对问题的分析还不是很全面，用数学语言表述看法，有时还欠准确贴切。有待于教师不断地加以培养。
设计理念：
1、本着“人人都能学好数学”，“人人都学有价值的数
学”的理念，我将本节的问题情境设置为两个小朋友玩滚圈游戏，目的是想通过游戏营造一种氛围，在一开始就抓住学生，激发他们解决问题的愿望，让他们体验到：数学源于生活，生活中处处有数学，建立数学模型能解决实际问题；感受到数学探索的乐趣。
2、按照建构主义的理念，本节课试图让学生经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程，体验数学与生活的内在联系，获得方法与经验，发展思维能力，增强应用数学的自信心。
3、本着“数学学习最根本的是数学思想和方法的学习”，“只有亲身经历过，才会是印象最深刻的，哪怕他的探索没有成功，他也会获得很多。”的理念，本节课在设计时，注重给学生探究的机会，在教师的引导下，让学生自主探索解决问题的途径，通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力。从而，锻炼学生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，让他们体会从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。
教学目标：
知识与技能目标：
1、理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。
2、通过学生动手实验、观察图形、发现并解决问题培养他们主动获取知识的能力、抽象概括的能力及提出问题的能力。
过程与方法目标：
1、经历，领悟从实际问题情境中抽象出数学模型，从而解决实际问题的方法。
2、运用这种方法解决有关实际问题。
情感、态度、价值观目标：
1、在切线长定理模型的探索过程中，经历概括、分析、提
出问题、
克服困难解决问题等阶段，体验成功的喜悦。
2、通过这节课的学习，培养学生热爱生活的积极人生态度,
锻炼学
生百折不挠克服困难的精神，增强他们学习数学的内驱力，激发学习兴趣。
3、经过本节课的探索，在建立数学模型解决问题的过程中，
体会从特殊
到一般，从一般到特殊的数学思想方法。
教学准备：
1、教师准备：本节教学课件。
2、学生准备：一个圆形硬纸片、一把刻度尺、一副三角板、
一个圆规，课本，练习本。
教学过程：
一、问题情境：（大屏幕展示动画）
小明和小亮在玩滚圈游戏，小亮一不小心把小明的铁圈弄坏了，小明说：“我不用你赔了，但你要用我们近期所学的数学知识，设计出方案测出这个铁圈的直径，以便在做一个和它一样的铁圈。”小亮用手挠了挠头，有点发愁，聪明的同学们，请你们开动脑筋，帮小亮解决这个问题，好吗？老师相信你们一定能行！赶快动手吧。
[设计目的：通过游戏营造一种氛围，挖掘学生内心乐于助人的潜能，激发他们解决问题的愿望，让他们体验到数学与生活的联系，鼓励他们自己动手，自主探究。]师：想帮小亮解决这个问题，我们第一步该怎样做？
生1：将该问题抽象为数学问题。
师：怎样抽象？抽象出的数学问题又是怎样的？
生2：认真阅读，把有关大小、形状、位置等的语言用数学语言翻译出来。例如，本问题中的铁圈可抽象为一个圆。这样，抽象出的数学问题是：利用刻度尺、三角板、圆规，运用已学知识，设计一个测量已知圆的直径的方案。
[设计目的：引导学生用数学的眼光看待周围的一切，增强他们数学地解决问题的意识；探索将实际问题抽象为数学问题的方法：关注实际问题中的数量、形状、位置等语言，将其翻译成符号语言、图形语言。]
A
P
B
O
师：刚才，这两位同学说得很好，下面我们就分小组利用准备的材料，探索设计出这个方案吧！（学生分组活动，教师巡回参与、指导。）
学生们通过探讨提出的方案有：
生3：方案（一）：如图(1)将铁圈卡在墙角,可用刻度尺测得AP的长度.
图(1)
理由是: 设铁圈所在的圆的圆心为O,连结OA,OB,由切线的性质得OA⊥AP,OB⊥PB,
B
A
D
E
C
又AP ⊥BP,OB=OA,则四边形APBO为正方形.那么,铁圈半径OB=AP,这样就可求出铁圈的直径.
图(2)
生4：方案（二）：如图(2),把三角板顶点A放在铁圈边缘,设三角板一边与铁圈边缘交于点B,另一边交于点C,(若三角板另一边无法达到铁圈边缘, 延长另一边与铁圈边缘交于点C),度量BC长即为直径.
二、问题拓展探究：
探索问题1
师问：方案（一）中由四边形APBO为正方形易得PA=P B，∠BPA如果不是90°，PA=PB还成立吗？做出判断，并
说明理由。请同学们运用任何工具和方法（如：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等）研究这个问题。（分小组研究探索，一个小组确定一个发言人。）
[设计目的：让学生体验数学研究的一种方法：变化其中的特殊条件为一般条件，观察、分析出变中不变的结论，作为规律。体验从特殊到一般的数学思想方法。请同学们运用任何工具和方法（如：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等）研究这个问题。目的是想促使学生人人参与，提高参与度。让他们发现更多的方法，明确逻辑推理是建立在合情推理的基础上的；而合情推理是在观察、对折等实际操作的基础上，加以分析得来的。]
展示探索结果：
图（3）
生5：第一种证法：如图（3）连结OP，则OP是整个图形的对称轴，沿OP折叠，两侧的部分能够互相重合，可证PA=P B。
教师强调：合情推理也是数学说理的一种方法，运用时语言要简洁明确。
生6：第二种证法：连结OP,OA,OB，
由切线的性质得OA⊥AP,OB⊥PB,OB=OA,
又∵OP=OP
∴Rt△APO≌Rt△BPO
∴PA=PB
教师给出切线长的定义：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
教师强调：
切线是直线，切线长是切线上一条线段的长。
问：在图（3）中利用三角形全等你还发现那些特性？请用语言叙述出来。（叙述时用上切线长这个概念。）
生7：∠OPA=∠OPB，用语言叙述为：在圆外找一点，作圆的两条切线，可得切线长相等，OP平分两切线的夹角。
师：说得好，将OP改换成文字，再简化一下，就更好了。下面老师板书
图（4）
定理，请同学们认真体会一下自己的说法与定理叙述间的差距，做好自我教育，提高语言叙述水平。
[设计目的：训练学生的数学表达，体会定理的语言叙述，就是将定理的应用情境及结论用数学语言明确表达。]教师板书：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
教师强调：
（1）此定理用于证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等
（2）此定理有三种表达方式：文字表达（板书的定理）、图形表达（如图4）、符号表达（如下）
∵PA、PB切圆O于A点B点
∴PA=PB ∠OPA=∠OPB
三、理解应用━━巩固练习、变式训练
例1、已知：如图PA、PB是圆O的两条切线，A、B 为切点，直线OP交圆于点D、E，交AB于C
⑴写出图中所有的垂直关系；
⑵写出图中所有的全等三角形；
⑶如果PA=4cm，PD=2cm，
P
A
B
C
D
O
E
求半径OA的长（一位同学板演，其他同学在练习本上做。）[设计目的：本例题较简单，学生能够独立完成，想用它训
练学生的规范书写。]
解：⑴OA⊥PA，OB⊥PB，
OP⊥AB；
图5
⑵△OAP≌△OBP，
△OCA≌△OCB，
△ACP≌△BCP
⑶设OA=xcm；
在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=x+2(cm)，P A=4cm，
由勾股定理，得PA2+OA2=OP2 即42+x2=(x+2) 2
解得，x=3cm
所以，OA的长为3cm
反馈练习：
图6
1、填空：已知如图4，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，P O与⊙O相交于点D，
（1）若PA=12，则PB= ；
（2）若∠APB=80o，则∠APO= ，
∠AOB=
（3）∠APO=30o，OA = 2，则PB=
[设计目的：让学生体会一般到特殊的数学思想方法，体会应用切线长定理的关键是读出该定理的应用情境，即定理的前提，得出定理的结论。初步感受该定理与垂直、三角形全等、
解直角三角形的综合应用。]
生8：（1）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA=PB=12
1
1
2
生9：（2）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B 2
∴∠OPA=∠OPB= —∠APB =— 80°= 40°OA⊥AP,OB⊥PB
∴∠AOP = 50°同理，∠BOP = 50°
∴∠AOB = ∠AOP + ∠BOP = 100°
师：还有其他方法吗？
生10：还可用四边形内角和为360°，得
∠AOB = 360°- 90° - 90°- ∠APB
= 100°
生11：（3）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴PA = PB，OA⊥AP
∵∠APO=30o，OA = 2
∴OP = 4,
由勾股定理，得
3
PA = 2
3
PA = PB = 2
师：还有其他方法吗？
生12：还可用30°角的余弦值来求。
师：请同学们课下，自己做一做。
2、实际问题：
小亮经过冥思苦想设计了一个方案:如图7
测得AB=3cm,请你帮助小亮计算一下铁圈的直径.（找学生板演）
A
B
C
O
7
[设计目的：呼应问题情境,展示该问题的另一种方案设计，让学生体验切线长定理的实际应用,进一步感受该定理与解直角三角形的综合应用。]
解：由题意，得∠ABC = 120°,BC,BA为⊙O的切线，连结OA,OB,
OA
则OA⊥OB, ∠OBA = 60°
AB
∵Rt△OAB 中， tan∠OBA=
∴OA = AB tan∠OBA
= 3 tan60°
3
= 3 (cm)
3
∴2OA = 6 (cm)
3
答：这个铁圈的直径为6 cm.
变式训练：
师：图7中的三角板换成含45°角的三角板可以吗？
生13：可以。
师：小亮没有用含45°角的三角板, 你认为为什么呢？
生13：因为，如果用含45°角的三角板，∠ABC = 135°，则∠OBA = 67.5°
不是特殊角，计算不方便。
师：三角板在该设计中所起的主要作用是什么呢？
生14：提供∠ABC的度数。
3、探索问题2：
1、连结图3中的两个切点AB交OP于点C，如图（5），
又能得出什么结论？并把它们分类。
[设计目的：使学生深刻体会切线长定理与有关知识的综合应用，学会“把书读厚”。]
生15：相等的角：∠POA = ∠ POB, ∠OAB = ∠OBA, ∠PAB = ∠PBA,
∠ACP = ∠BCP = ∠ACE = ∠BCE = ∠OAP = ∠OBP = 90°
相等的线段：AC = BC,OA = OB = OC = OE
相等的弧：弧 AD = 弧BD, 弧AE = 弧BE
相似三角形：△ACO∽△PAO∽△BCO∽△PBO
成比例的线段：根据三角形相似，可以得到许多成比例的线段，在计算中非常有用的是有关射影定理的、有关面积的。
2、师：思考一下，这些结论都源于该图形的那个性质呢？
[设计目的：让学生体验如何透过现象抓住本质，学会“把书读薄”。]
生16：源于该图形是以直线OP为轴的轴对称图形。
课堂小结:
通过本节课的实践、探索、交流，你有哪些收获？
[设计目的：关注学生的体验，提高参与度。]
生17：我学会了切线长的概念，掌握了切线长定理并会运用它解决有关问题。
生18：我知道了应用定理最主要的是深刻理解定理的应用情境，即定理的前提条件,得出定理的结论；应用定理解决实际问题最主要的是将实际问题抽象为数学问题。
生19：我明白了学习数学也不是很难，但仍需要百折不挠克服困难的精神。
生20：将实际问题抽象为数学问题的方法：关注实际问题中的数量、形状、位置等语言，将其翻译成符号语言、图形语言。]
生21：观察、测量、比较、对折、猜想、论证等都是研究数学问题的方法。
师：同学们说得都很好，由于时间关系，就交流到这儿，谁还有自己的见解，请在今天的数学日记中与老师交流。这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究，请看课外作业。
布置作业:
一、探索问题3：
已知：如图5，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若AD=4，BC=5，CF=6，
则△ABC的周长是＿＿；
（3）若AB=4，BC=5，AC=6，
则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.
二、探索问题4：图8
已知：如图6，四边形ABCD的边AB、
BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.
想一想： AB+CD与
AD+BC之间有什么关系？
说明你结论的正确性。图9 [设计目的：本着“数学学习最根本的是数学思想和方法的学习”，“只有亲身经历过，才会是印象最深刻的，哪怕他的探索没有成功，他也会获得很多。”的理念，将本节的学习引向课外，为同学们提供利用本节所获得的经验方法解决问题的机会，让他们获得更多的成功体验，积累更丰富的探索经验：在复杂图形中寻找几个基本图形解决问题。]
课后反思：
较成功之处：
（1）从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的
问题情境（如概念的具体形象化、定理的猜想与证明、
实际问题的探索等），引导学生通过实践、思考、探索、
交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促
使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地
学习。
（2）充分运用现代教学技术和手段提高教学效益。数学知识是抽象的，有很多难懂的地方，而信息技术的运用可以解决这些难点，使抽象枯燥的数学知识变得直观形象，使乏味的数学学习变得生动有趣，学生乐于接受、易于接受，节省教学时间，提高教学效益，起到事半功倍的效果。
（3）培育和发展学生的信息素养。在本课教学中，注重培育学生捕捉信息的敏锐性、筛选信息的果断性、评估信息的准确性、交流信息的自如性和应用信息的独创性。
（4）培养学生参与意识，提高参与度。在本节教学中，努力做到学生的全员参与、全程参与和有效参与。首先用游戏吸引学生的目光，以由游戏抽象出来的几何图形为切入点，引导学生参与数学知识的学习，进而通过问题的探索激活学生的思维，一环紧扣一环的情境创设使学生欲罢不能，从而主动参与到知识的探索过程中来。
（5）注重学生的体验。真正的学习不只是纯粹智力增长，学习的主要意义取决于学生的课堂体验。本节课教学中让学生亲身经历数学知识的形成与应用过程，在问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排上等都尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题
的策略，并尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，使每个学生都能获得丰富的内心感受，体验到数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，锻炼克服困难的意志。
（6）优化课堂评价，激励学生学习热情，促进学生全面发展。在教学中，教师要更加注意观察学生基础知识与基本技能的掌握状况，在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度，解决问题的能力，与他人合作交流的情况等，并适时进行恰当的评价，从而帮助学生树立学习数学的自信心，提高学习数学的兴趣，促进学生的发展。
不足之处：
（1）问题情境中可用来探索的数学信息较少，
问题情境的设计不是很成功。
（2）学习的最终目的是解决问题，解决问题的最好方法是最简单的方法。本节课在出示并
解决完小亮的设计方案后，应该安排一点时
间，用于方案择优。
（3）四十五分钟时间有限，尽管努力面向全体学生，但对于基础特差的学困生和学有余力
的优生的关注仍然不够，需利用数学日记、
特殊作业等形式给与特殊关注。
切线长定理
《切线长定理》评课稿 舒兰十二中 曹雪松
李艳萍老师的《切线长定理》这一课体现了“阳光课堂” 的理念。所谓“阳光课堂”，它的核心理念是“积极向上、优质高效、和谐愉悦、整体提升”；“阳光课堂”的内涵：培养学生高尚健全的思想品格，自信乐观的人生态度，积极进取的阳光心态；提高学生自主学习、自我管理的能力，以达到知识与方法的优质高效；营造和谐愉悦的课堂氛围，创设轻松快乐的学习环境；整体提升学生的综合素养和教师的专业品质，全面推进教育内涵的发展。李艳萍老师此次的阳光教学行动，采用“问题导学”的教学模式，即学前准备——自主学习——合作探究——归纳提升——达标测评。 一、课前学案的充分“预设”与课堂的自由“生成”相呼应。 本节课中李老师课前以学案的形式预设问题：分别让学生画圆的一条切线，两条切线，三条切线、四条切线。以开放的形式为学生创造广泛的思考空间，同时赋予学生充分的思考时间。优秀的学生可以画出多种位置的切线发展他们思维的广泛性，学困生也可以在复习切线判定的基础上顺利完成，激发他们研究的兴趣。这样，不仅节省了课上时间，也兼顾到所有学生的发展，为课堂自由“生成”切线长的概念做好了铺垫。由于，课前学生亲自动手画出圆的切线，不仅增强了学生直观体验，更易于学生体会并发现切线和切线长的区别，完成基础目标的教学。 二、充分体现新课标中自主学习、合作探究的精神。 新课标中积极倡导自主、合作、探究的学习方式。以激发学生的学习兴趣、好奇心和求知欲。本节课中设置了三个探究问题主线：
问题一：观察从圆外一点画出圆的两条切线的图形，小组交流讨论你的发现和结论，加以验证，并向大家展示你的成果。此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。学生在总结出切线长定理的同时，又通过观察图形发现了圆心和这一点的连线为圆的对称轴，利用对称性还可的到更多的边等、角等、弧等的结论。然后，通过动态演示强化切线长定理这一核心知识。可以看出设置探究性的问题，可以树立学生已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知转化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题的思考方法。本环节教师通过学生探究、学生讲解、学生总结、归纳总结得出本节课的核心知识“切线长定理”，又通过动态演示强化核心知识。最后通过习题、生活中的实例让学生应用核心知识，树立学生的应用意识。这样多种形式、多种角度强化核心知识，更易学生接受。 这一环节结束后，教师再次创设问题二：观察圆的三条切线组成三角形的图形，此环节让学生根据题设和已有的切线长定理，经过观察推理学生水到渠成的得出三角形的内切圆的相关概念。问题二的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学。最后，通过在三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究，帮助学生从实际中发现数学
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理1
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段
定理图形已知结论证法 相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交 于P. PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证： △APC∽△DPB. 相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB 于P. PC2＝PA·PB. 用相交弦定理. 切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T， 割线PB交⊙O于A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线， 交⊙O于A、C PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用 两次切割线定理 一、选择题 1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（） A. B. C. 5 D. 8 2.下列图形一定有切圆的是（） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（） 图1 A. 50° B. 40° C. 60° D. 55° 4.圆两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm
切线长定理(教案)
优质课教案 切线长定理 西平县权寨中学 2018年3月1日
切线长定理 一、教学设计 教材分析 “切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。 学情分析 我班学生来自全县各个乡镇，学生的基础参差不齐。再加上这个班是进入九年级我才接手的成绩较差的班级，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识来源的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。 教学目标 一、知识与技能： 1.了解切线长的概念． 2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用． 3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形
角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题． 二、数学思考： 1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。 2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。 三、解决问题 1.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。 2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。 四.情感、态度与价值观 培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。 二、教学过程 复习巩固：（放投影，提问） 1．如图，PA与⊙O相切于点A，则PA_________OA。 2．如图，四边形ABCD的各边均与⊙O相切，则这个四边形叫圆的_________四边形。
切线长和切线长定理的应用
A 第20题 N C B D E F M O O 切线长和切线长定理的应用 例（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。 （1） 求证：OD ∥BE; (2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。 解：（1）证明：连接OE ∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=2 1 ∠AOE …………2分 ∵∠ABE=2 1 ∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF = 2 1 CD …………4分 理由：连接OC ∵BE 、CE 是⊙O 的切线 ∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO ∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =2 1 CD ……7分 巩固提高 1、如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。 （1） 求证：CD 是圆O 的切线； （2）若2OA =且6AD OC +=，求CD 的长？ C O D B A
2、在Rt ABC ?中，90A ∠=?，点O 在BC 上，以O 为圆心的圆O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若A B a =， AC b =，则圆O 的半径为（ ） A 、ab B 、a b ab + C 、ab a b + D 、2 a b + C E O F B A C E O D B A P E O F D B A 例1图 例2图 例3图 3、如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的圆O 相切于点E ，9AB =，4CD =，则四边形ABCD 的面积为 。 4、如图，过O 外一点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD BE =，BD AF =，连结DE 、DF 、EF ，则EDF ∠=（ ） A 、90P ?∠－ B 、1902P ?-∠ C 、180P ?-∠ D 、1 452 P ?∠- 5、如图，已知ABC ?中，AC BC =， CAB α∠=（定值），圆O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。 （1）求POQ ∠； （2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否保持不变，并说明理由。 N Q P O D C B A 6、如图，圆O 为Rt ABC ?的内切圆，点D 、E 、F 为切点，若6AD =，4BD =，则ABC ?的面积为 。 C E O F D B A
切线长定理
切线长定理 教材分析： 本节内容是切线长的概念和切线长定理。通过本节教学应使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，这个定理经常用到，因此，它是本节的重点。灵活运用图形语言、文字语言、符号语言三种语言表述切线长定理，学生感觉困难;用切线长定理解决有关问题中，准确应用数学语言进行表述，学生感觉困难;从实际情境中抽象出切线长定理模型解决问题，学生感觉困难;在综合题中迅速找出切线长定理模型, 学生感觉困难;因此,综合应用切线长定理及有关知识解决问题，是本节的难点。本节内容是在学习了“切线的判定和性质”之后，并进一步了解了“三角形的内切圆”这一内容的基础上进行研究的。是前面内容的必然延伸，也是后面学习切割线定理等重要内容的基础。切线长定理的出现，可以让我们对直线与圆位置关系的研究由定性分析深入到定量研究。再次让我们感触到了圆的轴对称性。它为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据。通过本节内容的学习，会让学生更客观地认识切线的有关问题。同时，该定理的学习对我们解决一些实际问题很有指导意义。因此，本节内容在这部分中具
有非常重要的作用，是“直线与圆的位置关系”这部分内容的纽带和桥梁。同时,它综合运用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识解决问题。切线长定理及其研究方法又是研究两圆相切问题的基础，因此，本节内容在整个初中几何教材体系中，起着承上启下的作用。 学生分析： 1、经过前面几节的学习，学生对圆的轴对称性已经有了初步了解，掌握了等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、四边形等知识，具备了学习本节内容的知识基础。 2、经过前面的学习，学生已经对合情推理和逻辑推理都有了一定的认识,具备了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的基本技能。 3、初三学生已经具备了一定的探索解决问题方法的经验，从心理学的角度分析：他们正处于想成为大人，想得到别人肯定的年龄阶段，因此，他们会不遗余力地提出他们自己的看法并能较有条例地申述自己的理由，这些是很必要的情感准备；但由于特定年龄阶段的关系，他们对问题的分析还不是很全面，用数学语言表述看法，有时还欠准确贴切。有待于教师不断地加以培养。 设计理念： 1、本着“人人都能学好数学”，“人人都学有价值的数
切线长定理及其应用
切线长定理及其应用 知识点一 切线长定义及切线长定理 1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长. 注意切线长和切线的区别和联系: 切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。 2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB. 推论： （1）△PAB 是等腰三角形； （2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ； （3）弧AM=弧BM ； （4）在Rt OAP ?和Rt OBP ?中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论； 如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==?==?==? （5）图中全等的三角形有 对，分别是： 题型一 切线长定理的直接应用 【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、 F ，求这两条切线的夹角及切线长. 【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．
【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________. 【过关练习】 1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长. e于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O △APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.
切线长定理—知识讲解
切线长定理—知识讲解 【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．（2015秋?湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA=6，求△PCD的周长． （2）若∠P=50°求∠DOC． 【答案与解析】 解：（1）连接OE， ∵P A、PB与圆O相切， ∴PA=PB=6， 同理可得：AC=CE，BD=DE， △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；
（2）∵PA PB与圆O相切， ∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC=∠COE， 同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=65°． 【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点. 求证：DE是⊙O切线. 【答案与解析】 连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC， ∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形. ∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED， ∴DE是⊙O切线. 【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE. 举一反三： 【变式】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线. F C F C 【答案】连接AO. ∵ AO BO =，∴ 23 ∠=∠.
切线长定理
第 9课时切线长定理 课型：新授执笔：审核上课时间：月日 班级：姓名：自评：优良中差 学习目标 1、了解切线长的概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 【学习重点、难点】切线长定理的运用 一、学前准备： 1切线的判断定理：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线 符号语言表述为：∵。∴。 2、切线的性质（1）圆的切线（）过切点的半径。 符号语言表述为：∵。∴。 一、探究新课： 问题：（1）过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作 圆的几条切线呢？ 如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。 （2） 圆的切线长定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其 中一个切点之间的__ __的长，叫做这点到圆的切线长 思考：你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？ 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3）你知道如何证明切线长定理吗？ 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 证明： 该定理用数学符号语言叙述为： ∵ ∴ （4）若PO与圆相分别交于C、D,连接AB于PO交于点E,图中相等的线段有，相等的角有，相等的弧有， 互相垂直的线段有，全等的三角形有。 二、例题探究 1、如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO= . P P
P B （2）若PO=10，AO=6，则PB= ； （3）若PA=4，AO=3，则PO= ； 2. 如图，PA ，PB 分别为⊙O 为的切线，PA =3cm ，∠APB=60°， 则∠APO= ，PB = ， ∠AOP= 3.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切 线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm =，求△PEF 的周长. 4. 已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径。求证：AC ∥OP 。 四、谈谈这节课的收获。 三、课堂检测 1.已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线， A 和 B 是切点，（1）若PA=3cm ，则PB= cm 。 （2）若PA=12-x ，PB=5+x ，则x = （3）若⊙O 的半径为3，∠APB=60°，则PA= 2.如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）． A ．60° B ．75° C ．105° D ．120° 3．如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，?已知PA=7cm ，求△PCD 的周长． 4．已知：如图，从两个同心圆O 的大圆上一点A ，作大圆的弦AB 切小圆于C 点，大圆的弦 P
切线长定理
切线长定理 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点
教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB． 4、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确。需要证明． 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？ ∠OPA＝∠OPB(如图)等． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 5、归纳： 把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP 于C (1)写出图中所有的垂直关系； (2)写出图中所有的全等三角形； (3)写出图中所有的相似三角形； (4)写出图中所有的等腰三角形． 说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．（二）应用、归纳、反思
数学人教版九年级上册切线长定理的证明及其运用
《切线长定理》教学设计 1、教材分析 重点、难点分析 重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握切线长定理； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 切线长定理是教学重点 教学难点: 切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB 叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB． 4、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确。需要证明． 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB， 要证明PA＝PB． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？ ∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 5、归纳： 把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质 6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流） 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C 要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确 的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简 短的话语证明你的结论是正确的。 说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几 何中关键，它是灵活应用知识的基础． （二）应用、归纳、反思 例1、已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
切线长定理(教案)
切线长定理教学设计长青中学程七龙 课题直线与圆的位置关系（4）课型课时 新授课 1 教学目标知识与技能： 1、掌握切线长定理的概念和性质。 2、会运用切线长定理解决简单的实际问题。 过程与方法： 1、在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结. 2、在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 情感态度与价值观： 1、通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 2、培养学生自主探究，勇于发现，善于解决问题的能力。 教学分析教学重点： 切线长定理的概念和性质, 教学难点： 会运用切线长定理解决简单的实际问题. 教 学 资 源 教材电子白板课件 教学设计 教师活动学生活动备注与点评 （一）观察、猜想、证明，形成定理 动手做一做：在纸上画出⊙O的切线PA， A为切点（复习如何作切线），而后连结PO， 并沿PO将纸对折，你们能够发现什么？ 观察：1、PA，PB都是⊙O的切线，PA， PB的线段的长叫做切线长. 2、PA＝PB 3、∠APO＝∠BPO 在此基础上进行理论证明：（连结OA、OB，证全等）。 其实PA、PB是圆的切线上某一点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的 切线长。 得出结论：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一点和 圆心的连线平分这两条切线的夹角。 学生自己 操作 教师进行 引导
（二）例题讲解 例1.如图，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B，直线OP交O 于D、E，交AB于点C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中与∠OAC相等的角；（3）写出图中所有的全等三角形；（4）写出图中所有的等腰三角形；（5）若PA=4、PD=2，求圆O的半径OA. （三）小结：1、切线长定理；2、归纳基本图形的结论；3三角形内切圆有关问题；4、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．教师分析 学生板演 及时帮助 学生归纳 常见的解 题方法和 技巧. 作业 布置 课时作业 板书 设计 教学 反思
中考数学讲义-切线长定理(1)
中考数学讲义 切线长定理 1 ?掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3?学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. D 如图，PA PB 分别与O 0相切于点A B,O O 的切线EF 分别交PA PB 于点 E 、 F , 切点C 在ABh .若PA 长为2,则厶PEF 的周长是 ______________ . 解析：因为PA PB 分别与O O 相切于点A 、B ,所以PA= PB 因为O O 的切线EF 分别交 PA PB 于点 E 、F ,切点为 C,所以 EA= EC CF= BF,所以△ PEF 的周长 PE + EF + PF = PE + EO CF + PF= (PE^ EC + (CF + PF ) = P 冊 PB= 2+ 2 = 4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小 那么/ OPA 勺度数是 _________ 度. 解析：如图所示，连接 OA OB ??? PA PB 是 O O 的切线，切点分别为 A 、B,「. OAL PA 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园, 筑方 案. 请你设计一个建 二、合作探究 探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长 PA PB 是O 0的切线, 切点分别为A 、B ,点C 在O 0上, 如果/ ACB= 70°, 如图,
OBL PBOA Q/ OB Q 90° .又???/ AOB= 2/ACB= 140°,二 / APB= 360°— / PAO- 1 / AO—/ OBP= 360 °—90° —140° —90° = 40° .又易证△ POA^A POB「./ OPA=二 / APB =20 ° .故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形. 另外根据全等的判定，可得到PO平分/ APB 【类型三】切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径?若测得PA= 5cm,则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的 . 解：过O作OQL AB于Q设铁环的圆心为O连接OP OA ?/ AP AQ为O O的切线，二AO为/ PAQ勺平分线，即/ PAO=Z QAO又/ BAC= 60°, / PA Q/ QA Q-Z BA G 180°, ? / PAO=/ QA G 60 ° .在Rt△ OPA中, PA= 5,/ PO G 30°,二OP= 5/5(cm)，即铁环的半径为5 '5cm. 探究点二：三角形的内切圆 【类型一】求三角形的内切圆的半径 ?E 解析：如图，连接OD由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点?所以 1 / OC G 30°, OD L BC 所以CD=尹6 OC= 2OD又由BC= 2,贝U CD= 1.在Rt△ OCD中，根 据勾股定理得OD+ C D= OC,所以OD+ 12= (2OD2，所以O*：3即O O的半径为￥ 3 3 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边 的距离相等. 如图，O O是边长为2的等边△ ABC的内切圆，则O O的半径为
九年级数学第三章切线长定理
切线长定理 【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点进阶： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】 类型一、切线长定理 例1．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长． （2）若∠P=50°求∠DOC．
例2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点. 求证：DE是⊙O切线. 举一反三： 【变式】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线. O F D C B A 3 4 2 1 O F D C B A 例3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（） A.12 B.24 C.8 D.6
切线的证明及切线长定理(培优)
切线的判定和性质练习一 一、选择题 1．如图，AB 、AC 分别与⊙O 相切于B 、C ，∠A=50°，点P 是圆上异于B ，C 的动点，则∠BPC 的度数是( ) A. 65° B. 115° C. 65°和115° D. 130°和150° 2．如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C=36°，则∠ABD 的度数是( ) A. 72° B. 63° C. 54° D. 36° 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一交点为D ，则线段BD 的长为( ) A. 1 B. 12 C. 13 D. 14 4. 正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF ∶FD ＝（ ） A 、1∶2 B 、1∶3 C 、1∶4 D 、2∶5 5、如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（ ） A 、900－∠P B 、900－21 ∠P C 、1800－∠P D 、450－2 1 ∠P 二、填空题 6.如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点D 且AB 为⊙O 的直径，点E 是ABD 上异于点A 、D 的一点．若∠C =40°，则∠E 的度数为 ____ ． 7.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 ? O F E D C B A ? P O F E D B A
切线长定理(1定稿试卷模板)-(彭秋怡)
图9 O D C B A 中学九年级数学科教(导)学案 NO. 备课日期： 教出时间： 月 日 课题：切线长定理（1） 主备人：彭秋怡 使用人： 审核： 学习目标:1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。 学习重点：切线长定理的应用 （1分钟）一、引入新课： 过圆上一点做圆的切线你能画出几条 （3分钟）二、探究： ^ 1.切线长的定义 2.切线长定理： 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。 定理叙述： 该定理用数学符号语言叙述为： ∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线 ∴ = ， = = （2分钟）三.想一想： ？ 四边形ABCD 的四条边都与⊙O 相切，切点分别为点E 、F 、G 、H ， 图中的线段之间有哪些等量关系说说你的理由。 AE=AH, , , 理由：∵四边形ABCD 的四条边都与⊙O 相切，切点分别为点E 、F 、G 、H ， ∴AE=AH, , , 四.应用巩固（18分钟） 1.如图,从☉O 外一点P 引圆的两条切线PA,PB,切点分别是A,B, 如果∠APB=60°,线段PA=8,那么弦AB 的长是 · 2.如图,PA,PB 是☉O 的两条切线,切点是 A,B,连接AB 与OP 交于点 C, 则 下列结论中不一定正确的是（ ） 3.如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 为切点， ∠APB ＝60°，OA ＝2， (1)∠APO ＝________，AP ＝________； (2)连接AB ，则△APB 是________三角形. 4.如图，一圆内切四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ） A ．50 B ．52 C ．54 D ．56 5（2013?天津）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ， ; 若∠P=70°，则∠C 的大小为 度． 6.（2016?重庆校级二模）如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P=40°，则∠ACB 的大小是（ ） A ．60° B ．65° C ．70° D ．75° 7如图，PA 与PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 是 上任意一点， 过C 作⊙O 的切线交PA 及PB 于D 、E 两点，若PA=PB=5cm ， 求△PDE 的周长． < 五.小测试（16分钟） 1.如图1,PA,PB 是☉O 的两条切线,切点是 A,B,线段PA=6cm,那么PB 的长是 2.如图2，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ， EF 切⊙O 于C 点，分别交PA 、PB 于点E 、F ，已知PA=7cm ，则 △PEF 的周长等于_________． 3如图3，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）． : A ．60° B ．75° C ．105° D ．120° （第 2 题 图 ） （第3题图） 4.如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB 的度数；（2）当OA=3时，求AP 的长． _ ww . czsx . ~ . cn _ O _B _ ` _ P ? A B P C E F ?O B A C P O
切线长及切线长定理
一、切线长定理： 1．切线长概念： 在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 二、弦切角定理： 1．弦切角概念： 理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D， 已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数 如图，△ABC中,∠C =90o,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r. 如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
一、选择题 1．如图，P是⊙O外一点，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA.PB于D.E,若△PDE的周长为20cm,则PA长为。 2.如图，AB.AC与⊙O相切于B.C∠A=50°，点P是圆上异于B.C的一动点，则∠BPC的度数是。 3．如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，且⊙O的半径为2，则CD的长为。 3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP， 则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 4题图5题图6题图 5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18
切线长定理
切线长定理 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：及其应用．因再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点． 难点：与有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 是教学重点 教学难点 : 的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O 的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 2、观察 利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系． 3、猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB． 4、证明猜想，形成定理． 猜想是否正确。需要证明． 组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？ ∠OPA＝∠OPB(如图)等． ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 5、归纳： 把前面所学的切线的5条性质与一起归纳切线的性质 6、的基本图形研究 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C (1)写出图中所有的垂直关系； (2)写出图中所有的全等三角形； (3)写出图中所有的相似三角形； (4)写出图中所有的等腰三角形． 说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．（二）应用、归纳、反思
3.7 切线长定理1
*3.7 切线长定理 1．理解切线长的定义；(重点) 2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点) 一、情境导入 如图①，P A为⊙O的一条切线，点A 为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条半径，PB是⊙O的一条切线．图中P A与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？ 二、合作探究 探究点：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求线段的长 如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线P A、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°，线段P A＝10，那么弦AB的长是() A．10 B．12 C．5 3 D．10 3 解析：∵P A、PB都是⊙O的切线，∴P A＝PB.∵∠APB＝60°，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A＝10.故选A. 方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】利用切线长定理求角的度数 如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OP A的度数是________度． 解析：如图所示，连接OA、OB.∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA ⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠P AO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA≌△POB， ∴∠OP A＝ 1 2∠APB＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型三】利用切线长定理求三角形的周长 如图，P A、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长． 解析：连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥P A.根据勾股定理，得P A＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．解：连接OA，则OA⊥P A.在Rt△APO