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2009~2010年高一数学复习讲义第21节圆的方程、直线与圆的位置关系

2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义

第二十一节圆的方程、直线与圆的位置关系

一、内容提示：

1. 圆的方程：

圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （圆心(,)a b ，半径为r ）

圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（其中22

40D E F +->），圆心为点)2

,2(E D --，半径2422F E D r -+= （Ⅰ）当2240D E F +-=时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22D E -

- （Ⅱ）当22

40D E F +-<时，方程不表示任何图形。 2. 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（Ⅰ）若22B A C

Bb Aa d +++=，d r >?相离，即直线与圆没有公共点；

（Ⅱ）d r =?相切，即直线与圆只有一个公共点；

（Ⅲ）d r

3. 两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，d O O =21。

12d r r >+?外离；

12d r r =+?外切；

1212r r d r r -<<+?相交；

12d r r =-?内切；

120d r r <<-?内含。

二、例题分析：

【例1】求经过原点，且过圆0216822=+-++y x y x 和直线50x y -+=的两个交点的圆的方程。

【例2】已知直线l :052=+-y x 与圆C :36)1()7(2

2=-+-y x .

（1）判断直线l 圆的位置关系;

（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长.

三、典题精练：

1. 圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为( )

A. 22(2)5x y -+=

B. 22(2)5x y +-=

C. 22(2)(2)5x y +++=

D. 22(2)5x y ++=

2. 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )

A. 03=--y x

B. 032=-+y x

C. 01=-+y x

D. 052=--y x

3. 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( )

A. 2

B. 1+

C. 2

21+ D. 221+ 4. 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( ) A. 023=-+y x B. 043=-+y x C. 043=+-y x D. 023=+-y x

5. 圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程

为____________.

6. 从点4,5P （）向圆（x －2）2＋y 2＝4引切线，求切线方程。

7. 自33A -（，）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆C ：224470x y x y +--+=

相切，求光线l 所在直线方程。

8. 求经过直线l ：240x y ++=及圆C ：222410x y x y ++-+=的交点，且面积最小的圆的方程。

9. 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程。

四、方法反馈：

1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时，要充分利用圆的几何性质，从而达到简化运算的目的：

(1)当圆与直线l 相离时，圆心到l 的距离大于半径；过圆心且垂直于l 的直线与圆的两个交点，分别是圆上的点中到l 的距离的最大、最小的点。

(2)当圆与直线l 相切时，圆心到l 的距离等于半径；圆心与切点的连线垂直于l ；过圆外一点可作两条圆的切线，且此两切线长相等。

(3)当圆与直线l 相交时，圆心到l 的距离小于半径，过圆心且垂直于l 的直线平分l 被圆截得的弦；连结圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的弦是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的弦是过这点的直径。

2、求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点在圆上还是在圆外，再设切线方程为点斜式，用圆心到直线的距离等于半径或利用?=0求出切线的斜率，从而求得切线的方程，但要注意有时在求过圆外一点的切线方程时，其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在，由此而产生漏解。

3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程，可设切线方程为斜截式，具体操作方法同上。但此种情形的圆的切线应有两条。

五、答案参考：

【例1】解法一：由???=+-=+-++0

50216822y x y x y x ，求得交点()2,3-或()4,1-

设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=．

∵(00)(23)(41)--，，

，，，三点在圆上， ∴??

???=++-+=++-+=0411*******F E D F E D F ，解得199,,055D E F ==-= ∴所求圆的方程为：22199055x y x y ++

-= 解法二：设所求圆的方程为()228-621-50x y x y x y λ+++++=．

将原点(0,0)代入上述方程得215λ=-，所求圆的方程为：22199055

x y x y ++-= 【例2】（1）解法一:由方程组???=+-=-+-0

5236)1()7(22y x y x (Ⅰ)

消去y 后整理，得 0615052=+-x x ,

∵012806154)50(2>=??--=?,

∴方程组(Ⅰ)有两组不同的实数解,即直线l 与圆C 相交.

解法二:圆心(7,1)到直线l 的距离为

52)

2(15127122=-++?-?=d , 因6=

（2）解法一:由方程组???=+-=-+-0

5236)1()7(22y x y x ，得0615052=+-x x ，

设直线l 与圆C 的两交点为),(11y x A 、),(22y x B ，则5

61,102121==+x x x x

∴12||AB x x =-

8== ∴直线l 被圆C 所截得的弦长为8。

解法二: ∵圆心(7,1)到直线l 的距离为52)

2(15127122=-++?-?=d , 又圆的半径r =6，

∴直线l 被圆C 所截得的弦长为

三、典题精练：

1. A 解析：(,)x y 关于原点(0,0)P 得(,)x y --，则得22(2)()5x y -++-=，即22(2)5x y -+=。

2. A 解析：设圆心为(1,0)C ，则,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-,即03=--y x 。

3. B 解析：圆心为(1,1),1,C r =max 1d ∴=

4. D 解析：圆2224x y -+=（）的圆心为(2,0)C ，则PC k =1l PC k k =-=

所以切线方程为：1)y x =-，即 023=+-y x 。 5. 22(2)(3)5x y -++= 解析：圆心既在线段AB 的垂直平分线即3y =-，又在

270x y --=上，即圆心为(2,3)-，r =22(2)(3)5x y -++=。

6. 解：当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为5(4)y k x －＝－

即540kx y k －＋－＝，又圆心坐标为(2,02r ）,＝因为圆心到切线的距离等于半径，即20

21,21|

4502|2==+-+-k k k k 所以切线方程为2120160x y －＋

＝当切线的斜率不存在时，也符合条件，所以还有一条切线是4x =。

所以，所求的切线方程为：2120160x y －＋

＝或4x =。 7. 解：圆C 的方程为：1)2()2(22=-+-y x ，它关于x 轴对称圆C '的方程为：1)2()2(22=++-y x ，

设光线l 所在的直线方程为：()33y k x -=+，则光线l 所在的直线必与圆C '相切，故11|

55|2=++k k ，即01225122=++k k ，解得4

334-=-=k k 或， ∴光线l 所在直线方程为0334=++y x 或0343=-+y x

8. 解：设所求圆的方程为0)42(14222=++++-++y x y x y x λ，

即041)4()22(22=++--+++λλλy x y x ，则所求圆的圆心为)22,1(λλ-

--。 ∴04)22()1(2=+-+--λ

λ，解得58=

λ， ∴所求圆的方程为0371*******=+-++y x y x

9. 解：设圆心为(3,),t t 由于圆C 和y 轴相切，∴半径为3r t =，

令圆心到直线的距离为d ，则d ==，而22222,927,1r d t t t =--==±

22(3)(1)9x y ∴-+-=或22(3)(1)9x y +++=

高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题.

直线与圆的方程、直线的方程已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1） P 2（ x 2,y 2 ）当 x 1 = x 2 时， =900 ，不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0）特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴）（ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系（ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知方程说明斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平行于 y 轴的直线两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和平行于坐标轴的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式几种特殊位置的直线 ①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴： y=b ④平行于 y 轴： x=a ⑤过原点： y=kx y 的二元一次方程。 1、倾斜角： 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜

高中数学圆的方程专题复习

高二数学辅导资料(三) 内容：圆与方程本章考试要求考试内容要求层次A B C 圆与方程圆的标准方程与一般方程√ 直线与圆的位置关系 √ 两圆的位置关系√ 用直线和圆的方程解决简单的问题 √空间直角坐标系空间直角坐标系√ 空间两点间的距离公式√ 一、圆的方程【知识要点】圆心为，半径为的圆的标准方程为：时，圆心在原点的圆的方程为：. 圆的一般方程，圆心为点，半径，其中. 圆系方程：过圆：与圆：交点的圆系方程是（不含圆）, 当时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】考点一求圆的方程问题1．求满足下列各条件圆的方程：以两点，为直径端点的圆的方程是求经过，两点，圆心在直线上的圆的方程；

过点的圆与直线相切于点，则圆的方程是? 考点二圆的标准方程与一般方程问题2．方程表示圆，则的取值范围是考点三轨迹问题问题3.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是问题4．设两点，，动点到点的距离与到点的距离的比为，求点的轨迹. 二、直线和圆、圆与圆的位置关系【知识要点】直线与圆的位置关系位置关系相切相交相离几何特征代数特征将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆的半径为，圆心到直线的距离为,则直线与圆的位置关系满足以下关系：直线截圆所得弦长的计算方法：利用垂径定理和勾股定理：（其中为圆的半径，直线到圆心的距离）. 圆与圆的位置关系：①设两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系满足关系：位置关系外离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解 ②设两圆，，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是相切问题的解法：

高三总复习直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角：，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022

二、两直线的位置关系（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学直线与圆的方程知识点总结 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围：斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式： 1、直线的五个方程：

①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式： ①两点间距离：2 2122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2 2 00B A C By Ax d +++= ③平行直线间距离：2 2 21B A C C d +-= 4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2 ,2( 2 121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3 2,32(2 1 21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3 2,32(2 121 y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题

直线与圆知识点及经典例题

圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。说明： 1 、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且〉0,圆的方程就给定了。就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二)圆的一般方程将圆的标准方程, 展开可得。可见,任何一个圆的方程都可以写成: 问题：形如的方程的曲线是不是圆将方程左边配方得： (1)当〉0时，方程(1 )与标准方程比较，方程表示以为圆心,以为半径的圆。, (3)当v 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当〉0时，方程称为圆的一般方程? 圆的一般方程的特点： ( 1 )和的系数相同,不等于零； ( 2)没有xy 这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 ( 1 )相离--- 求距离；(2) 相切--- 求切线；( 3)相交--- 求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤： ( 1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 ( 2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 (3)作判断：当d>r时，直线与圆相离；当 d = r时，直线与圆相切；当d0时，直线与圆相交。【典型例题】类型一：圆的方程例 1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．变式1：求过两点、且被直线平分的圆的标准方程. 变式2：求过两点、且圆上所有的点均关于直线对称的圆的标准方程. 分析：欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点与圆的位置关系,只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外；若距离等于半径,则点在圆上；若距离小于半径,则点在圆内．解法一：(待定系数法) 设圆的标准方程为????圆心在上，故????圆的方程为. 又???该圆过、两点.??? 解之得：，所以所求圆的方程为．解法二：(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即．又知圆心在直线上，故圆心坐标为.??半径. 故所求圆的方程为．又点到圆心的距离为

高一数学必修知识点：圆的方程

高一数学必修知识点：圆的方程精品学习高中频道为各位同学整理了高一数学必修知识点：圆的方程，供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程圆心，半径为r; (2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需

要求出D，E，F; 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： (1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有 (2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程： ①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条; 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

高中数学-必修二-圆与方程-经典例题

习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222 )() (r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心 ),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题．一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（ ) （A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x （C)9)1() 2(22 =++-y x （D)9)1()2(22=-++y x 解已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B ）)12,12( +- （C))12,12(+-- (D))12, 0(+ 解化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ,注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切;?