燕尾定理详细解析.题库教师版

燕尾定理：

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=．

O

F

E D

C

B

A

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理：

如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==

S 3

S 1S 4S 2E

D

C

B

A

【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，

所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在

BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

3332

1F E D

C B

A

A

B

C

D

E

F

【解析】 方法一：连接CF ，

例题精讲

燕尾定理

根据燕尾定理，

12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE

S EC

==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标

所以55

1212

DCEF ABC S S ==△

方法二：连接DE ，由题目条件可得到11

33ABD ABC S S ==△△，

1121

2233

ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以

11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111

22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，

而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5

12

．

【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积

.

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，

所以1103ABE ABC S S ==△△，1

152

ABD ABC S S ==△△．

根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD

S CD

==△△,

所以1

7.54

ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，

所以阴影部分面积是30107.512.5--=．

(法二)连接DE ，由题目条件可得到1

103

ABE ABC S S ==△△，

112

10223

BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以

11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111

2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，

而21

1032

CDE ABC S S =??=△△．所以阴影部分的面积为12.5．

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，

AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．

F

E

D C

B

A

A

B

C D

E

F F

E

D

C

B

A

【解析】 连接CF ，

根据燕尾定理，

2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36

510

ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =?=+△份，3

10623

CDF S =?=+△份，

所以24545

200(6910)(

6)8(6)93(cm )88

DCFE S =÷++?+=?+=

【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △

面积的几分之几？

O

E D

C

B

A

13.5

4.59

2

1121

3

O E D C

B

A

【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部

分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59

,,,30306030103020

+===

【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1

3

CQ CA =，BQ 与AP 相交于

点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．

X

Q

P

A

B

C X

Q

P

A

B C

4

4

11

X

Q

P

C

B

A

【解析】 方法一：连接PQ ．

由于12CP CB =，1

3

CQ CA =，所以23ABQ ABC S

S =，11

26BPQ BCQ

ABC

S S S ==．

由蝴蝶定理知，21

:::4:136

ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，

所以44122

6 2.455255

ABX ABP ABC ABC S S S S ==?==?=．

方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++?=△

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分

的面积各是多少?

A

B

C

D

E F

4

8

621

A

B

C

D

E

F

【解析】 连接CF ，设1AEF

S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以

121AEF S =

△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217

FDCE S +==

【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC

的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．

A B

C

D

E F

A B

C

D

E

F 2.41.62A B

C D

E F 12

【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，

12ABF ACF S BD S DC ==△△，

2

3

ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2D C F

S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，2

41.623

AEF S =?

=+△ 份,3

4 2.423

EFC S =?=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABC

S =÷?=△

【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影

部分)的面积为多少？

【解析】 连接BN ．

ABC △的面积为3223?÷=

根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△

设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224?=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷?=．

【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少

平方厘米

?

y B C

D E

G

E D C

B

A

E

D

B A

【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示55

1212

BCD S S =

=△阴影平方厘米.

【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边

形BODC 的面积为________．

O

F

E D

C

B

A

68

46

2

1

O F E D

C

B A

【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设

1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==?=.

【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形

AGCD 的面积是_________平方厘米．

G

F

E D

C

B

A

G

F

E D C

B

A

【解析】 连接AC 、GB ，设1A G C

S =△份，

根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =++?=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷?=

【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的

面积是_____平方厘米．

E

D

C

B

E

D

C

B

【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，

因此122)210S =

++?=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以7

12010146

BFHG S =÷?=(平方厘米).

【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．

F

E D C B A

F

E D

C

B A

【解析】 连接CD ．

由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，

根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．

【巩固】在ABC ?中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？

A B

C

D

E O

A

B

C

D

E O

【解析】 连接OC ．

因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ??==，即3

2

AOB AOC S S ??=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ??=．则334

2223AOB AOC AOE AOE S S S S ????==?=， 所以::2:1AOB AOE

OB OE S S ??==．

【巩固】在ABC ?中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？

A B C

D

E O

【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积

比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．

A B C

D

E O

因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ??==，即2AOB AOC S S ??=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ??=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ????==?=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ??==．

【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且

13AE AB =，1

4CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ?与CGF ?的

面积之和为 ．

B

E

H B

E

B

E

【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，

所以1

22

AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，

所以12231

1033942AEG ABF ABCD S S S ??=??=??=．

且22313342EG HF EC EC ==?=，故CG GE =，则1

152

CGF AEG S S ??=??=．

所以两三角形面积之和为10515+=． (法2)如上右图，连接AC 、BG ．

根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ??==，::2:1BCG ACG S S BE AE ??==，

而1

602

ABC ABCD S S ?==，

所以3321ABG S ?=++，160302ABC S ?=?=，2321BCG S ?=++，1

60203ABC S ?=?=，

则1103AEG ABG S S ??==，1

54

CFG BCG S S ??==，

所以两个三角形的面积之和为15．

【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．

O F E

D

C

B

A

【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△

::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△

【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .

O F E

D

C

B

A

【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△

【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =

G

F E

D

C

B

A

【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG

S S ==△△,所以

:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .

O F E

D

C

B

A

【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△

::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△

【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，

且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．

I H

G

F

E

D

C B

A

I H

G F

E

D

C

B

A

【分析】 连接AH 、BI 、CG ．

由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =

，故22

55

ABE ABC S S ??==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ??==，::3:2BCG ABG S S CE EA ??==，所以

::4:6:9ACG ABG BCG S S S ???=，则419ACG S ?=，9

19

BCG S ?=；

那么2248

551995

AGE AGC S S ??==?=；

同样分析可得9

19

ACH S ?=，则::4:9

A C G A C H EG EH S S ??==，::4:19ACG AC

B EG EB S S ??==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，

所以5521101055BIE BAE S S ??==?=，5511

1919519GHI BIE S S ??==?=．

【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形

ABC 的面积．

I

H G F

E

D

C

B

A I

H G F

E

D

C

B

A

【解析】 连接BG ，AGC S △=6份

根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△

得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此6

19

AGC ABC S S =△△,

同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,6

19

BIC ABC S S =△△,

所以

196661

1919

GHI ABC S S ---==

△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19

【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ?中2BD DA =，2CE EB =，

2AF FC =，那么ABC ?的面积是阴影三角形面积的 倍．

B

C

B

【分析】 如图，连接AI ．

根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ??==，::1:2BCI ABI S S CF AF ??==，

所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ???=，

那么，22

1247

BCI ABC ABC S S S ???==++．

同理可知ACG ?和ABH ?的面积也都等于ABC ?面积的

2

7

，所以阴影三角形的面积等于ABC ?面积的21

1377

-?=，所以ABC ?的面积是阴影三角形面积的7倍．

【巩固】如图在ABC △中，

1

2

DC EA FB DB EC FA ===,求

GHI ABC △的面积△的面积的值． I

H

G F

E

D

C

B

A

I

H

G F

E

D

C

B A

【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,

得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此2

7

AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得

27ABH ABC S S =△△,2

7

BIC ABC S S =△△, 所以

72221

77

GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

【巩固】如图在ABC △中，1

3

DC EA FB DB EC FA ===,求

GHI ABC △的面积△的面积的值． I

H

G F

E

D

C

B

A

I

H G F

E

D

C

B A

【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::3:1ABG AGC S S BD DC ==△△,

得3AGC S =△(份)，9ABG S =△(份),则13ABC S =△(份)，因此3

13

AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得

13ABH ABC S S =△△,3

13

BIC ABC S S =△△, 所以

133334

1313

GHI ABC S S ---==△△

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI

的面积．

I

H G F

E

D

C

B

A

I

H G F

E

D

C

B

A

【解析】 连接BG ，AGC S △=12份

根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGC S S AF FB ===△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC ===△△

得9BGC S =△(份)，16ABG S =△(份)，则9121637ABC S =++=△(份)，因此12

37

AGC ABC S S =△△,

同理连接AI 、CH 得1237ABH ABC S S =△△,12

37BIC ABC S S =

△△, 所以

371212121

3737

GHI ABC S S ---==

△△ 三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是1

74237

?

=

【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，

则阴影四边形的面积是多少？

【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.

再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．

设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF FE

=，再连结DE．

所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，

则()()

:33:10:10

x AD DB x

+==+，所以15

x=，四边形的面积为18．

方法二：设

ADF

S x

=

△

，根据燕尾定理::

ABF BFC AFE EFC

S S S S

=

△△△△

,得到3

AEF

S x

=+

△

，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3

x x

++=，解得7.5

x=四边形的面积为7.57.5318

++=

【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．

【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：

()

2:13:4

S=+

阴影

，解得2

S=

阴影

.

方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3

S+=

阴影

（），解得2

S=

阴影

.

【例10】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?

35

30

40

84

O

F

E

D C

B

A

【解析】设

BOF

S x

=

△

，由题意知:4:3

BD DC=根据燕尾定理,得

::4:3

ABO ACO BDO CDO

S S S S

==

△△△△

,所以

33

(84)63

44

ACO

S x x

=?+=+

△

，

再根据::

ABO BCO AOE COE

S S S S

=

△△△△

，列方程

3

(84):(4030)(6335):35

4

x x

++=+-解得56

x=

:35(5684):(4030)

AOE

S=++

△

,所以70

AOE

S=

△

所以三角形ABC的面积是844030355670315

+++++=

【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积．

F C

B

A F C

B

A

【解析】 令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．

在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,

所以1

3

ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△

由于11

22

AEM AMC ABM S S S ==△△△S ，所以:2:1BM ME =

在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△

设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)，

所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,11

48BNE BCE ABC S S S ==△△△，因为:2:1BM ME =,F 为BC 中点,

所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==?=△△△△,1111

2248

BFN BNC ABC S S S ==?=△△△,

所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ??

=+==?= ???

△△阴影(平方厘米)

【例 12】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，

AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？

N M G

A B

C

D E

F

N

M

G

A B

C

D E

F

【解析】 连接CM 、CN ．

根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以1

5

ABM ABC S S =△△；

再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以

:4:3AN NF =，那么

1422437ANG AFC S S =?=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ??

=-=?= ???

△△△．

根据题意，有1

5

7.25

28

ABC

ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC ?中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，

若ABC ?的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．

F A

B

C

D

E M N

F

A

B

C

D

E

M

N

【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，

那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．

根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ??==，而2ACM ADM S S ??=，所以24ABM ACM ADM S S S ???==，那

么4BM DM =，即4

5

BM BD =．

那么421453215BMF BCD BM BF S S BD BC ??=??=??=，147

21530

CDMF S =-=

四边形． 另解：得出24ABM ACM ADM S S S ???==后，可得1111

55210

ADM ABD S S ??==?=，

则117

31030

ACF ADM CDMF S S S ??=-=-=四边形．

【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，

请写出这9部分的面积各是多少?

G

F

E D C

B

A

N M

Q

P

G

F E

D

C

B

A

【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，

CQ ，CM ，CN ．

根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则

1225ABC S =++=△(份)，所以1

5

ABP S =△

同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，121

3721AQG S =-=△．

同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239

273570PQMN S =--=

四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115

321642

GFNQ S =--=四边形

【巩固】如图，ABC ?的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四

边形JKIH 的面积是多少？

K J

I H

A

B

C D E

F G

K

J

I H

A B

C

D E

F

G

【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．

根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ??==，::1:2ABK CBK S S AG CG ??==，

所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ???=，那么111247ACK S ?==++，11

321

AGK ACK S S ??==．

类似分析可得2

15

AGI S ?=．

又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ??==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ??==，可得14

ACJ S ?=． 那么，111742184

CGKJ S =

-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为

17

84

，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE

S S S ???++=?++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070

-=．

【例 14】 如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，

求阴影部分面积．

C

B

B

【解析】 设IG 交HF 于M ，IG 交HD 于N ，DF 交EI 于P ．连接AM ， IF ．

∵:3:4AI AB =，:3:4AF AC =，9

16

AIF ABC S S ∴=△△

∵::2FIM AMF S S IH HA ==△△，::2FIM AIM S S FG GA ==△△，

∴19464AIM AIF ABC S S S ==△△△ ∵:1:3AH AI = ∴3

64

AHM ABC S S =△△，

∵:1:4AH AB = :3:4AF AC = ∴3

16

AHF ABC S S =△△ ．

同理 316CFD BDH ABC S S S ==△△△ ∴716FDH ABC S S =△△ 33

::1:46416

HM HF ==，

∵ :3:4,:3:4AI AB AF AC ==， ∴IF BC ∥ ，

又∵:3:4,:1:2IF BC DE BC ==，

∴:2:3,:2:3DE IF DP PF ==，

同理 :2:3HN ND =，∵:1:4HM HF =，∴:2:5HN HD =，

∴177

10160160

HMN HDF ABC S S S ===

△△△． 同理 6个小阴影三角形的面积均为7

160

．

阴影部分面积721

616080

=?=．

【例 15】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴

影部分面积.

G

C

B

A

G

C

B

A

【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP

⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，

::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△

设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),

所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,1

12AIM ABC S S =△△,

所以111

()12126

ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,

同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的1

6

⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理

::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,

所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==?=△△△△,同理1

21

BEQ ABC S S =△△

在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△

所以1

5

ABP ABC S S =△△

所以11

11152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ??=--=--= ???△△△△△五边形

同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11

105

所以11113

133610570

S =-?-?=

阴影

【例 16】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中

心六边形面积

.

G

C

B

A

G

C

B

A

【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR

在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,

::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△

所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,2

7CQB ABC S S =△△

所以2221

17777RQS S =---=△

同理1

7

MNP S =△

根据容斥原理，和上题结果11131

777010

S =+-=六边形

【例 17】 （2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009

平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平

A 4

B 5A 3

A 4

5A 3

【解析】 （方法一）因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍，所以关键求23A A G △的面积，根据燕尾定理可

得231233311

7732

A A G A A A S S S ==??△△正六边形，但在123A A A △用燕尾定理时，需要知道13,A D A D 的长度比，

连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线，交13A A 于E ，根据沙漏模型得1A D DE =,再根据金字塔

模型得13A E A E =,因此13:1:3A D A D =,在123A A A △中，设121A A G S =△份，则233A A G S =△份,313

A A G S =△份，所以2312333111

773214A A G A A A S S S S ==??=△△正六边形正六边形，

因此14

1620091148147

S S =-?=?=阴影正六边形（）（平方厘米）

（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正

六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为8

2009114814

?=（平

方厘米）

A 3

A

【例 18】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =

b

a

H

F

E

D

b

a

M

E

D

【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目

条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ，

根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△

所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ，

∴22

=

OM ON a b

::

∴33

==

::1:8 S S a b

乙

甲

∴:1:2

a b=

完整版二项式定理测试题及答案

二项式定理测试题及答案 n 能使(n+i) 4 成为整数(B ) C.2 D.3 A A ； L L A ；J°，则S 的个位数字是(C ) -a ) 8展开式中常数项为1120，其 中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和 x A. 15 个 B. 33 个 C. 17 个 D. 16 个 是(C ) A.28 B.38 C.1 或38 D.1 或 28 5.在(2 3 5)100的展开式中，有理项的个数是( 6.在、x 1 3x 24 的展开式中，x 的幕指数是整数的项共有(C B . 4项 -x)6的展开式中，含 、5 A. 3项 7?在(1 - x)5- (1 A 、一 5 B 、5 C & (1 x)5 (1 x)3的展开式中x 3的系数为(A A . 6 B. -6 C. 9 9.若x==，则(3+2x) 10的展开式中最大的项为(B 2 A.第一项 C . 5项 3 x 的项的系数是(C 、一10 B. 、10 ) D . -9 第三项 C. 第六项 D. 第八项 A. 7 B. 12 C. 14 D . 5 11.设函数 f(x) (1 2x)10 ,则导函数 2 f (x)的展开式x 项的系数为(C ) A. 1440 B .-1440 C .-2880 D .2880 12 .在(x 1 5 -I)5 x '的展开式中，常数项为( B ) (A ) 51 (B ) -51 (C )- ii (D ) ii 13 .若(x n n 1) x L 3.2. ax bx L 1(n N )，且 a:b 3:1，则n 的值为(C ) A. 9 B . 10 C . ii D. 12 14 .若多项式x 2 10 x =a 0 a i (x 1) a 9(x i)9 a i0(x i)i0, 则 a 9 ( ) (A ) 9 (B ) 10 (C ) 9 (D ) 10 10.二项式 n 的最小值为( ) A 解：根据左边 1,易知 a io 10 X 的系数为 1，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为 1 3 )n 的展开式中含有非零常数项，则正整数 3x 3 1.有多少个整数 A.0 B.1 2. 2 4 展开式中不含x 项的系数的和为(B ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3?若 S =A 1 4.已知(x (2x 4

最新美术教师招聘考试题库(附答案)

美术课程标准理论测试题 一、填空题（每空1分，共32分） 1、美术课程以对视觉形象的、和为特征，是学校进行美育的，是九年义务教育阶段全体学生必修的基础课程，在实施素质教育的过程中具有的作用。 2、美术课程总目标按“”“”“”三个维度设定。 3、美术课程分目标从“”“”“”“”四个学习领域设定。 4、“综合·探索”学习领域是指通过综合性的美术活动，引导学生主动探索、研究、创造以及综合解决问题的学习领域。它分为三个层次：一是，二是相综合，三是相联系。 5、重视和不仅是内容的改革，是本次课程改革的一个重要特点。 6、美术课程评价应以学生在美术学习中和客观事实基础，注重评价与教学的协调统一，尤其要加强评价和评价。 7、在针对具体的美术作业、作品评价时应该考虑和两个方面。 8、美术课程标准修订的总原则是不“伤筋动骨”，而着力于使之更、更、更、更中国的文化教育传统和中国义务教育阶段的美术教学实际。 9、美术课程具有视觉性，可以从、、和四个方面来理解。 10、一般来说，评价的时机可以从教学的不同阶段切入，包括学习开始、学习过程、学习结束三个阶段。 第一、学习开始时进行评价。第二、学习过程中的评价。第三、学习结束进行评价。 二、选择题（每题2分，共16分） 1、关于美术课程标准的评价建议的说法错误的是（）。 A、依据美术课程标准进行评价 B、注重美术学习表现的评价 C、采用一种评价方式评价美术作业 D、鼓励运用美术学习档案袋、展示和课堂讨论等质性评价方法 2、下列资源中：①、学校资源②、自然资源③、社会资源④、网络资源⑤、物力资源属于美术课程资源的是（）A、①②③④B、①③④⑤C、①②④⑤D、②③④⑤ 3、下列说法中：①形式大于内容②一味地“鼓励”产生误导③重结果轻过程④对学生的评价是错误的。属于当前课程评价中存在的主要问题的是（）。A、①②④B、①③④C、②③④D、①②③ 4、关于美术课程的基本理念的说法错误的是（）。 A、面向全体学生 B、激发学生学习兴趣 C、关注文化与生活 D、注重审美精神 5、各学习领域分别由目标、学习活动建议和（）要点三部分组成。 A、评价 B、反思 C、总结 D、交流 6、（）是当代教育发展的一个新特点，美术课程特别设置了“综合·探索”这一新的学习领域。 A、自主学习 B、合作学习 C、探究性学习 D、综合性学习 7、对于美术课程的性质有以下几种说法，其中错误的是（）。 A、美术课程凸显视觉性 B、美术课程具有理论性 C、美术课程追求人文性 D、美术课程强调愉悦性 8、下面选项中不是检测课堂教学的有效性的是（）。 A、教学目标达成情况。 B、课堂文化建设情况。 C、反思教学的负效应。 D、学生课上的表现情况 三、简答题（48分） 1、美术课程标准的教材编写建议是什么？（4分） 2、新课程标准修订的具体原则是什么？（6分） 3、课程评价的内容包括哪些方面？（3分） 4、如何提高美术课堂教学的有效性？（5分）

2021年教师招聘考试面试必备题库附答案解析(精选)

2021年教师招聘考试面试必备题库附答案解析 （精选） 一、小明的考试成绩不理想，他伤心地哭了，作为教师的你会怎么办? 首先，小明会因为自己的成绩不理想而哭泣，这说明小明是一个上进的学生，对于这一点，我应该感到很欣慰。但这同时也说明了一个问题:小明承受挫折的能力可能不够强。对于这个问题，我想分两种情况来处理: 1.如果小明是一个成绩一直很优秀的学生，这样的一次“失败”，对于他来说未尝不是一件好事。挫折教育理论告诉我们，在教育过程中，挫折教育能打击学生的骄傲情绪。对于一直很优秀的学生，往往会滋生骄傲的情绪，这样的一次挫折恰好可以帮助训练其对逆境的承受能力，以防今后一旦遇到挫折就一蹶不振，对生活失去信心。对于这样的学生，我会用一周的时间静观其变，他一般都可以自己调整过来，如果情绪依然低落，我会适当地进行激励，告诉他:这点挫折都接受不了，可不像我认识的某某了!老师相信你是一个很坚强的人! 2.如果小明是一个一直努力学习，却成绩上不去的学生，就要多费点心思进行引导。首先，我觉得很有必要在讲解试卷的过程中，告诉学生:“这次的考试，可能有的学生成绩不理想，但这原因是多方面的，有可能是没有发挥好，有可能是学习方法不当，但是，这次考试并不是我们最后的结果，只要我们勇于面对这次的挫折，在后面的时间里，

分析自己有什么不足，及时调整学习方法，继续努力，相信每个学生都会有很大的进步。”在说的过程中，我会有意识地多看小明几眼，并握拳微笑。倘若，小明依然不能振作，我会找他单独谈话，和他一起他分析考试成绩不理想的原因，并且告诉他，挫折是人一生中必然也必须经历的，但是面对挫折，我们不可以选择放弃，而是要越挫越勇，这样才是一个坚强的人!”这样做，首先会让学生觉得，自己依然受到老师的重视，从而增加学习的动力和信心，也会通过老师的分析找到自己的问题，帮助接下来的学习。在解决考试问题的同时，也增进了自己与学生之间的感情。 四、你的班上有一位同学经常迟到，作为班主任该怎么办? 1.不管是因为什么原因，经常迟到是不对的，除非家里有什么特别重要的事，没能按时上课，真是这种情况我会想办法与家长沟通，让他们明白，孩子正是读书的重要年龄，要尽量把精 力都放在学习上，有了家长的支持和监督，相信孩子迟到的机会就不多了。 2.如果只是因为态度问题，我有以下几个办法: <1>.买了小闹钟送给他，告诉他，老师希望这个小闹钟可以帮助老师叫你起床。 <2>.把班里的钥匙交给他保管，我想他应该不好意思让全班同学等他一个人。

(完整版)二项式定理典型例题解析

二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3 +C 44(－ 2b )4 =a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例2】展开(2x － 223x )5 . 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2 23x )3+ C 4 5 (2x )(－223x )4+C 55(－2 23x )5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x －223x )5=105 332)34(x x =10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5 ］ = 10 321 x (1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－ r (－3)r . 令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4 10. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项

2018届浙江省基于高考试题的复习资料——二项式定理

（2）增减性与最大值：当r≤n+1 22 n 相等并同时取最大值。 九、计数原理与古典概率 （二）二项式定理 一、高考考什么？ [考试说明] 3．了解二项式定理，二项式系数的性质。 [知识梳理] 1．二项式定理：(a+b)n=C0a n+C1a n-1b+ n n +C r a n-r b r+ n +C n b n，其中组合数C r叫 n n 做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项T r+1=C r a n-r b r(r=0,1,2, n ???），会求常数项、某项的系数等 2．二项式系数的性质： （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m=C n-m； n n n+1 时，二项式系数C r的值逐渐增大，当r≥时, n C r的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第n n 2＋1项） 的二项式系数C n 2 n 取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第 n+1n+3 和项）的 22 二项式系数C n-12 n =C n+12（3）二项式系数的和： C0+C1+ n n +C r+ n +C n=2n； n C0+C2+???=C1+C3+???=2n-1。n n n n 3.展开式系数的性质：若 (a+bx)n=a+a x+ 01+a x n；令f(x)=(a+bx)n n 则：（1）展开式的各项系数和为f (1) （2）展开式的奇次项系数和为1 [f(1)-f(-1)] 2

（6） x - ? 展开式中的常数项是（ ） 1 （3）展开式的偶次项系数和为 [ f (1)+ f (-1)] 2 二、高考怎么考？ [全面解读] 从考试说明来看，二项式定理主要解决与二项展开有关的问题，从考题来看，每一年均 有一题，难度为中等，从未改变。命题主要集中在常数项，某项的系数，幂指数等知识点上。 掌握二项式定理主要以通项为抓手，由通项可解决常数项问题、某项的系数问题，系数要注 意二项式系数与展开式系数的区别。 [难度系数] ★★★☆☆ [原题解析] [2004 年] （7）若 ( x + 2 3 x )n 展开式中存在常数项，则 n 的值可以是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．12 [2005 年] （5）在 (1- x)5 + (1- x) 6 + (1- x) 7 + (1- x) 8 的展开式中，含 x 3的项的系数是（ ） A ．74 B ． 121 C ．－74 D ．－121 [2006 年] （8）若多项式 x 2 + x 10 = a + a ( x + 1) + 1 + a ( x + 1) 9 + a ( x + 1) 10 , 9 10 则 a = （ ） 9 A ．9 B ．10 C ．-9 D ．-10 [2007 年] ? 1 ?9 ? x ? A ． -36 B ． 36 C ． -84 D ． 84 [2008 年]

2018年教师招聘考试真题及答案

2018年教师招聘考试真题及答案 一、单项选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分) 1、在下列认知风格中，容易给学习带来不利影响的认知风格是()。 A、场独立型 B、场依存型 C、冲动型 D、沉思型 〔解析〕C、冲动型认知方式倾向于很快地检验假设，且常常出错。 2、下列哪项属于真正的创造()。 A、鲁班发明锯子 B、高斯少年时做数字1~100的连加 C、找到远古时期的化石 D、陶渊明发现桃花源 〔解析〕A、真正的创造是指产生了具有人类历史首创性成品的活动。 3、我国近代教育史上，被毛泽东称颂为”学界泰斗，人世楷模”的教育家是()。 A、陶行知 B、杨贤江 C、徐特立 D、蔡元培 〔解析〕D略。 4、在古希腊，最早提出发现法的大教育家是()。 A、德谟克利特 B、亚里士多德 C、柏拉图

D、苏格拉底 〔解析〕D苏格拉底在教学法中强调使学生自己进行思考得出结论，从这个意义上说，苏格拉底最早提出了发现法。[page] 5、学生操行评定的主要负责人是()。 A、科任教师 B、班主任 C、级任导师 D、班委会 〔解析〕B班主任是学生操行评定的主要负责人。 6、对个别学生的教育()。 A、就是要靠班主任 B、就是要靠集体活动来教育 C、是同集体教育相辅相成的 D、主要是对较差学生的教育工作 〔解析〕C、对个别学生的教育也包括了对先进生和后进生的教育，需要和集体教育结合起来。 7、根据学习的定义，下列属于学习的现象是()。 A、吃了酸的食物流唾液 B、望梅止渴 C、蜘蛛织网 D、儿童模仿电影中人物的行为

〔解析〕D学习指人和动物在生活过程中，凭借经验而产生的行为或行为潜能的相对持久的变化。[page] 8、小学生因上课专心听讲受到老师表扬而逐步养成上课专心听讲的习惯属于()。 A、经典条件反射 B、操作条件反射 C、联结反应 D、习惯成自然 〔解析〕B操作性行为主要受强化规律的制约。儿童做对了某件事后得到成人的物质奖励或表扬属于正强化。 9、激发、维持和指引个体学习活动的心理动因或内部动力称为()。 A、学习需要 B、学习期待 C、学习动机 D、学习态度 〔解析〕C、本题考查学习动机的定义。 10、最重要和最良性的学习动力是()。 A、学习兴趣和教师的期待 B、学习兴趣和远大的理想 C、教师的期待和远大的理想 D、教师的期待和家长的期待 〔解析〕B为教师的期待而学习的动机是低级的动机。[page]

二项式定理 练习题 求展开式系数的常见类型

二项式定理 1．在()103x -的展开式中，6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为 。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是 . 7.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．

14.(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则n= ，展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数． 17.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为64，则二项式系数的最大值为________． 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则展开式的系数和为________． 19.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 20.已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题-- 例1 在二项式n x x ?? ? ??+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数． 分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开． 解：方法一：[]6 262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4 4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5 x 项的系数为6． 例3 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n ；

（2）)12(1 1C 11C 31C 21C 1210 -+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 n n n n n n 2C C C C 210 =++++ ． 解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-? =k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边． （2）)! ()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+ 11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 1 1C 11C 11++++++++++= n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 例4 展开5 2232??? ? ?-x x ． 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开． 解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即 ∑=-?+=++=++100101010 10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开， 不同的乘积k k k z y x C ?+-1010) (（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)(（10,,1,0 =k ）． 其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，

最新二项式定理练习题(含答案)

二项式定理 1 单选题 2 （x+1）4的展开式中x的系数为3 A.2 B. 4 C. 6 D.8 4 答案 5 B 6 解析 7 分析：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C 4 r x r；分析可得，r=1时，有x 8 的项，将r=1代入可得答案．9 解答：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C 4 r x r； 10 当r=1时，有T 2=C 4 1（ x）1=4x； 11 故答案为：4． 12 故选B． 13 点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简． 14 2 （x+2）6的展开式中x3的系数是 15 A.20 B.40 C.80 D. 160 16 答案 17 D 18 解析 19 分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中20 x3的系数． 21 解答：设含x3的为第r+1， 22 则Tr+1=C6rx6-r?2r， 23

24 令6-r=3， 25 得r=3， 26 故展开式中x3的系数为C63?23=160． 27 故选D． 28 点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工29 具 30 3在（1+数学公式）4的展开式中，x的系数为 31 A.4 B.6 C.8 D.10 答案 32 33 B 34 解析 35 分析：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；分析可36 得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案． 37 解答：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r； 当r=2时，有T3=C42（数学公式）2=6x； 38 39 故选B． 40 点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简． 4（1+x）7的展开式中x2的系数是 41 42 A.21 B.28 C.35 D.42 43 答案 A 44 45 解析

教师招聘考试题库1000道

教师招聘考试题库1000道 （附答案） 1、教育学是研究教育现象、揭示教育规律的一门科学。 2、我国春秋木年的《学记》是世界上第一部论述教育问题的专著。比古罗马昆体良的《论演况家的教育》早约三百年。其中的主要思想有：“不揠苗助长”、“不陵节而施”(体现了循序渐进的教学原则)；“道而弗牵、强而弗抑、开而弗达”(反映了启发性教学原则)；“教学相长”(体现了教师主导作用与学生主体作用相统一的教学规律)。 3、捷克夸美纽斯1632年的《大教学论》是近代第一部系统论述教育问题的专著。他提出了班级授课制。 4、美国杜威的《民本主义与教育》强调“儿童中心”，提出了“做中学”的方法，开创了“现代教育派”。 5、苏联赞可夫的《教学与发展》把学生的“一般发展”作为教学的出发点与归属。 6、美国布鲁纳的《教育过程》的主要思想是结构主义和发现法的教学方法。 7、苏联苏霍林斯基的《给教师的建议》、《把整个心灵献给孩子》，其著作被称为“活的教育学”和“学校生活的百科全书”。 8、教育的概念：广义指社会教育、学校教育和家庭教育三个方面；狭义指学校教育；偏义指思想品德教育。 9、教育的社会属性有：永恒性、历史性、相对独立性。 10、我国封建社会学校的教学内容主要是：“四书”(《大学》、《中庸》、《论语》、 1

《盂子》)；“五经”(诗、书、礼、易、春秋)。其贯穿了儒家思想。 11、遗传素质对人的身心发展不起决定作用，社会环境对人的发展起着决定性作用。但环境决定论又是错误的，因为人接受环境影响不是消极的、被动的，而是积极的能动的实践过程。 12、我国普通中学的双重任务是：培养各行各业的劳动后备力量；为高一级学校输送合格新生。 13、我国全面发展教育的组成部分是德育、智育、体育、美育和劳动技术教育。 14、“双基”是指系统的科学文化基础知识和基本技能技巧。 15、智育的任务之一是发展学生的智力，包括观察力、想象力、思维力、记忆力和注意力，其中思维能力是决定性的因素。 16、体育的根本任务是增强学生体质。 17、蔡元培于1912年最早提出美育，并主张“以美育代宗教”。 18、美育的任务：（1）使学生具有正确的审美观和感受美、鉴赏美的知识与能力； (2)培养学生表现美和创造美的能力；(3)培养学生的心灵美和行为美。 19、劳动技术教育的任务：（1）培养学生的劳动观点，养成正确的劳动态度和习惯；（2）教育学生初步掌握一些基本生产知识和劳动技能。 20、义务教育是依法律规定、适龄儿童和青少年都必须接收，国家、社会、家庭予以保证的国民教育。义务教育是一种强制性教育。 21、教师是教育工作的组织者、领导者，在教育过程中起主导作用。 22、教书育人是教师的根本任务。 23、教师劳动的特点：（1）复杂性、创造性；（2）时间上的连续性、空间上的广 2

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题-- 典型例题一 例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17页 系数和为n 3． 典型例题四 例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

二项式定理(基础+复习+习题+练习)

课题：二项式定理 考纲要求： 1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1.二项式定理及其特例： ()101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， ()21(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ + 2.二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项： 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式 系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量 的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） 6.()1对称性． 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴. ()2增减性与最大值： 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值 ()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +， 令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++ ++ +

2019教师招聘考试试题库和答案(最新完整版)45825

一、选择 1. 1903年,在美国出版第一本《教育心理学》的心理学家是(1.1) A．桑代克B．斯金纳C．华生D．布鲁纳[A] 2. 20世纪60年代初期,在美国发起课程改革运动的著名心理学家是(1.2) A．桑代克B．斯金纳C．华生D．布鲁纳[D] 3. 已有研究表明,儿童口头语言发展的关键期一般在(2.1) A．2岁B．4岁C．5岁以前D．1—3岁[ A] 4. 儿童形状知觉形成的关键期在(2.2) A．2-3岁B．4岁C．5岁以前D．1—3岁[B ] 5. 人格是指决定个体的外显行为和内隐行为并使其与他人的行为有稳定区别的 A．行为系统B．意识特点C．综合心理特征D．品德与修 养[ C] 6. 自我意识是个体对自己以及自己与周围事物关系的(2.4) A．控制B．基本看法C．改造D．意识[ D] 7. 广义的学习指人和动物在生活过程中,（凭借经验）而产生的行为或行为潜能的相对(3.1) A．地升华B．发挥C．表现D．持久的变化[ D] 8. 桑代克认为动物的学习是由于在反复的尝试—错误过程中,形成了稳定的 A．能力B．技能C．兴趣D．刺激—反应联结[D ] 9. 提出经典条件反射作用理论的巴甫洛夫是 A．苏联心理学家B．美国心理学家C．俄国生理学家和心理学

家D．英国医生[C ] 10. 先行组织者教学技术的提出者是美国著名心理学家 A．斯金纳B．布鲁纳C．奥苏伯尔D．桑代克[C ] 11. 根据学习动机的社会意义,可以把学习动机分为(4.1) A．社会动机与个人动机B．工作动机与提高动机C．高尚动机与低级动机D．交往动机与荣誉动机[ C] 12. 对学习内容或学习结果感兴趣而形成的动机,可称为 A．近景的直接动性机B．兴趣性动机C．情趣动机D．直接性动机[ A] 13. 由于对学习活动的社会意义或个人前途等原因引发的学习动机称作 A．远景的间接性动机B．社会性动机C．间接性动机D．志向性动机[A ] 14. 由于个体的内在的需要引起的动机称作 A．外部学习动机B．需要学习动机C．内部学习动机D．隐蔽性学习动机[C] 15. 由于外部诱因引起的学习动机称作 A．外部学习动机B．诱因性学习动机C．强化性动机D．激励性学习动机[ A] 16. 学习迁移也称训练迁移,是指一种学习对(5.1) A．另一种学习的影响B．对活动的影响C．对记忆的促进D．对智力的影响[ A] 17. 下面的四个成语或俗语中有一句说的就是典型的对迁移现象。

教师招聘考试常考题题库(最新)

教师招聘考试常考题题库(最新) 1.教育心理学是一门研究学校情境中学与教的什么规律的科学（ C ） A．基本教育规律 B．基本教学规律 C．基本心理规律D．基本身心规律 2. 按照智力测验的标准，智力超常儿童的智商最低临界值应是（ B ） A．130 B．140 C．150 D．160 3. “将符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立起非人为的和裨性的联系”属于（ C ） A．接受学习B．发现学习 C．意义学习D．机械学习 4. 自我意识包括三种成分：自我认识、自我体验和（ D ） A．自我了解B．自我实现 C．自我行动D．自我控制 5. 一种学习中习得的一般原理、方法、策略和态度等迁移到另一种学习中去是（ A ） A．一般迁移B．具体迁移 C．垂直迁移D．水平迁移 6. 智力的性别差异的研究结果表明，男女智力的总体水平是（ B ）A．女优于男B．大致相等

D．男优于女D．中国人相等，外国人不相等 7. 在知识的学习过程中，掌握同类事物的共同的关键特征和本质特征属于（ A ） A．概念学习B．意义学习 C．命题学习D．符号学习 8. 艾宾浩斯遗忘曲线说明遗忘的规律是（ C ） A．均衡发展B．先慢后快 C．先快后慢D．先慢后快又慢 9. 人和动物一旦学会对某一特定的条件刺激做出条件反应之后，其他与该条件相类似的刺激也会诱发其条件反应。这是条件刺激的（ D ） A．一般化 B．具体化C．分化 D．泛化 10. 在操作技能形成的哪个阶段，动觉控制起主导作用（ C ）A．操作模仿B．操作整合 C．操作熟练D．操作定向 11. 创造性思维的核心是（ C ） A．形象思维B．抽象思维 C．发散思维D．聚合思维 12. 学生中常见的焦虑反应是（ D ） A．生活焦虑B．择友焦虑 C．缺钱焦虑D．考试焦虑

二项式定理练习题.doc

10.3二项式定理 【考纲要求】 1、能用计数原理证明二项式定理. 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】 1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( 二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。 2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =???） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项 （2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的 系数是字母幂前的常数。 （3）注意0,1,2,,r n =??? 3、二项式展开式的二项式系数的性质 （1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即 m n C =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值， 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。 （3）所有二项式系数的和等于2n ，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--ΛΛ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛΛΛ 4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ???的性质： 对于2012()n n f x a a x a x a x =++++g g g 0123(1)n a a a a a f ++++???+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+???+-=- 5、证明组合恒等式常用赋值法。 【例题精讲】 例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +） 解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1

2020年最新教师招聘考试教育综合基础知识复习题库及答案(精品)

2020年最新教师招聘考试教育综合基础知识复习题库及 答案(精品) 选择题: “以僧为师”，“以吏为师”是古代什么时期的教育特征？ A．中国B．埃及C．希腊 D．罗马 ( B) 以培养有文化修养和多种才能的政治家和商人为教育目的的是古代 A．斯巴达 B．埃及C．希腊 D．雅典 ( D) 以培养忠于统治阶级的强悍的军人为教育目的是古代 A．希腊 B．埃及C．斯巴达 D．雅典 ( C ) 以注重身心的和谐发展，教育内容比较丰富，教育方法比较灵活为特征的是古代 A．希腊 B．埃及C．斯巴达D．雅典 ( D ) 以强调军事体育训练和政治道德灌输，教育内容单一，教育方法比较严厉为特征是古代A．希腊 B．埃及C．斯巴达D．雅典 ( C ) 初等义务教育普遍实施于 A．古代 B．文艺复兴后的欧洲C．近代 D．现代 ( C )

以“教育的终身化”为教育特征的是 A．古代 B．文艺复兴后的欧洲C．近代D．现代 ( D ) 以“教育的民主化”为教育特征的是 A．古代 B．文艺复兴后的欧洲C．近代D．现代 ( D ) 以“教育的多元化”是为教育特征的是 A．古代 B．文艺复兴后的欧洲C．近代 D．现代 ( D ) 反映孔子教育思想的文献是 A．《学记》 B．《论语》C．《礼记》 D．《中庸》( A ) 在教育史上主张“有教无类”的教育家是 A．孔子B．孟子C．墨翟 D．荀子 ( A ) 在教育史上提出“学而不思则惘，思而不学则殆”的教育家是 A．孔子 B．孟子C．墨翟 D．荀子 ( A ) 在教育史上主张“不愤不启，不悱不发”的教育家是 A．孔子 B．孟子C．墨翟 D．荀子( A ) 下述属于墨家主张的是 A．有教无类 B．兼爱C．复归人的自然本性 D．化民成俗，其必由学 ( b )

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 （包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

高二数学排列组合二项式定理单元测试题(带答案)

排列、组合、二项式定理与概率测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是由四个色块构成，可以用 线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ） A ．96种 B ．180种 C ．240种 D ．280种 3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能排在一起，则 不同的选排方法共有（ ） A ．12种 B ．20种 C ．24种 D ．48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种 5、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod m )。已知 a =1+C 120+C 2 20·2+C 320·22+…+C 2020· 219，b ≡a (mod 10)，则b 的值可以是（ ） A.2015 B.2011 C.2008 D.2006 6、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ） A ．22种 B ．23种 C ．24种 D ．25种 7、令1 ) 1(++n n x a 为的展开式中含1 -n x 项的系数，则数列}1 { n a 的前n 项和为 （ ） A ． 2) 3(+n n B ． 2) 1(+n n C ． 1+n n D ． 1 2+n n 8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ） A ．32 B ．1 C ．-1 D ．-32