幂函数基础填空题(含答案)
3.3幂函数基础填空题
一．填空题（共30小题）
1．（2016?衡水模拟）函数y=x a为偶函数且为减函数在（0，+∞）上，则a的范围
为．
2．（2016?武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则实数
m的值为．
3．（2016春?沭阳县期中）设幂函数f（x）=x a（a为实数）的图象经过点（4，8），则f（x）=．
4．（2016春?淮阴区期中）幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，
则m=．
5．（2015?株洲一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数
，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是．
6．（2015?涪城区校级模拟）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=．7．（2015?揭阳二模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为．
8．（2015?张家港市校级模拟）设，若幂函数y=xα为偶函数且
在（0，+∞）上单调递减，则α=．
9．（2015秋?天水校级期末）已知函数f（x）=log a x（a，0且a≠1）满足f（9）=2，则a=．10．（2015秋?承德期末）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为．
11．（2015秋?福建期末）幂函数在区间（0，+∞）上
是增函数，则m=．
12．（2015秋?庄河市期末）幂函数的图象与坐标轴没
有公共点，则m的值为．
13．（2015秋?北京校级期末）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）?x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为．
的解集是．
15．（2014秋?薛城区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为．
16．（2015秋?余姚市校级期中）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是．
17．（2015秋?齐齐哈尔校级期中）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为．
18．（2015秋?宜昌校级期中）已知函数是幂函数，且
f（x）在（0，+∞）上为减函数，，则实数a的取值范围
为．
19．（2015秋?宿迁校级期中）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的取值范围是．
20．（2015秋?吉安校级期中）设a∈，则使函数y=x a的定义域为R且为
奇函数的a的集合为．
21．（2015秋?枣阳市校级期中）给出下列说法：
①幂函数的图象一定不过第四象限；
②奇函数图象一定过坐标原点；
③y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；
④定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则f（x）在R上是增函数；
⑤的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
正确的有．
22．（2015春?杭州校级期中）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，则k+α=；函数的定义域为．
23．（2015秋?合肥校级期中）已知幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，则实数a=．
24．（2015秋?衡阳县校级月考）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为．
25．（2015秋?青海校级月考）函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（x）=．
26．（2015秋?南京校级月考）当时，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有个．
27．（2015秋?邵阳校级月考）已知幂函数f（x）=k?x a的图象过点，则
k+a=．
28．（2015春?保定校级月考）已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈
（0，+∞）时，f（x）是增函数，则m的值是．
29．（2015秋?亭湖区校级月考）已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x 轴，y轴均无交点，则m=．
30．（2015秋?抚州校级月考）已知函数是幂函数，则
m=．
3.3幂函数基础填空题
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题）
1．（2016?衡水模拟）函数y=x a为偶函数且为减函数在（0，+∞）上，则a的范围为a＜0且a为偶数．
【分析】根据减函数以及偶函数的性质结合幂函数的定义求出a的范围即可．
【解答】解：∵函数为减函数，
∴a＜0，
∵函数为偶函数，
∴a为偶数，
故答案为：a＜0且a为偶数．
【点评】本题考查偶函数的定义，幂函数定义，是一道基础题．
2．（2016?武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则实数m的值为m=1或m=2．
【分析】由幂函数的图象不过原点，知，由此能求出实数m的值．
【解答】解：∵幂函数的图象不过原点，
∴，
解得m=1或m=2．
故答案为：m=1或m=2．
【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
3．（2016春?沭阳县期中）设幂函数f（x）=x a（a为实数）的图象经过点（4，8），则f（x）
=．
【分析】根据幂函数f（x）的图象经过点（4，8），列出方程，求出a的值．
【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（4，8），
∴4a=8；
解得a=．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
4．（2016春?淮阴区期中）幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，
则m=0．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是幂函数，
∴（m﹣1）2=1，得m=0，或m=2，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣4m+2＞0，
则当m=0时，2＞0成立，
当m=2时，4﹣8+2=﹣2＞0，不成立，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义求出m的值是解决本题的关键．
5．（2015?株洲一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数
，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是（，）．
【分析】先求出A、B、C的坐标，设出点D的坐标，再根据矩形ABCD得出=，利用向量坐标运算求出点D的坐标．
【解答】解：由题意可得，A、B、C点坐标分别为（，2），（4，2），（4，），
设D（m，n），
再由矩形的性质可得=，
故（m﹣，n﹣2）=（0，﹣2），
∴m﹣=0，n﹣2=﹣．
解得m=，n=，故点D的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条件，属于基础题．
6．（2015?涪城区校级模拟）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=2．
【分析】由题意得，由此能求出m=2．
【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），
∴，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．
7．（2015?揭阳二模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为
1．
【分析】利用待定系数法求出f（x）的表达式即可．
【解答】解：设f（x）=xα，
则f（3）=3α=，解得α=﹣1，
则f（x）=x﹣1，f（2）=，
则log f（2）=log=1，
故答案为：1；
【点评】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．
8．（2015?张家港市校级模拟）设，若幂函数y=xα为偶函数且
在（0，+∞）上单调递减，则α=﹣2．
【分析】由幂函数y=xα为（0，+∞）上递减，推知α＜0，又通过函数为偶函数，推知α为偶数，进而推知α只能是﹣2．
【解答】解：∵y=xα在（O，+∞）上是单调递减
∴α＜0，又∵，
∴，
又函数y=xα为偶函数，知α为偶数，
∴α=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了幂函数单调性和奇偶性．要理解好幂函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用．
9．（2015秋?天水校级期末）已知函数f（x）=log a x（a，0且a≠1）满足f（9）=2，则a=3．【分析】根据f（9）=2建立等式，利用对数与指数的互化建立等式，解之即可求出所求．【解答】解：由f（9）=2得f（9）=log a9=2
即a2=9，而a＞0
所以a=3．
故答案为：3
【点评】本题主要考查了对数函数与指数函数的互化，同时考查了运算求解的能力，属于容易题．
10．（2015秋?承德期末）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为（3，0）．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合对数函数的性质求出A的坐标即可．
【解答】解：若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，
则m=2，
则函数g（x）=log a（x﹣m）=（其中a＞0，a≠1），
令x﹣2=1，解得；x=3，g（x）=0，
其图象过定点A的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查对数函数的性质，是一道基础题．
11．（2015秋?福建期末）幂函数在区间（0，+∞）上
是增函数，则m=2．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断即可．
【解答】解：若幂函数在区间（0，+∞）上是增函数，
则由m2﹣3m+3=1解得：m=2或m=1，
m=2时，f（x）=x，是增函数，
m=1时，f（x）=1，是常函数，
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
12．（2015秋?庄河市期末）幂函数的图象与坐标轴没
有公共点，则m的值为1．
【分析】根据幂函数的定义、图象与性质，列出方程组，即可求出m的值．
【解答】解：幂函数的图象与坐标轴没有公共点，
∴，
解得，
即m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了幂函数的定义、图象与性质的应用问题，是基础题目．
13．（2015秋?北京校级期末）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）?x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为2．
【分析】根据幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1解出m，又因为函数为减函数舍去一个m即可得到．
【解答】解：利用幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1，解得m=2，m=﹣1；
则幂函数解析式为y=x﹣13为减函数和y=x2为增函数，所以m=2
故答案为2
【点评】考查学生利用幂函数的性质的能力．
的解集是[﹣4，4]．
【分析】先确定幂函数的解析式，再解不等式，可得结论．
【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，则，∴α=，∴
不等式f（|x|）≤2等价于，∴|x|≤4
∴﹣4≤x≤4
∴不等式f（|x|）≤2的解集是[﹣4，4]
故答案为[﹣4，4]．
【点评】本题考查幂函数解析式的求法，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．
15．（2014秋?薛城区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时
为减函数，则实数m的值为2．
【分析】利用幂函数的定义及其性质可得：m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0，解出即可．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，
∴m2﹣m﹣1=1，m2﹣2m﹣3＜0，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的定义及其性质，属于基础题．
16．（2015秋?余姚市校级期中）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是[1，）．
【分析】根据幂函数y的图象求出的解析式，再利用幂函数的性质把不等式f（2﹣a）＞f （a﹣1）化为等价的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R；
其图象过点，
∴2α=，
解得α=，
∴f（x）==；
∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）可化为
＞，
即，
解得1≤a＜，
∴实数a的取值范围是[1，）．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
17．（2015秋?齐齐哈尔校级期中）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为3．
【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，以及函数在x∈（0，+∞）上为增函数，列出不等式组求解即可．
【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，
则，解得：m=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数．
18．（2015秋?宜昌校级期中）已知函数是幂函数，且f（x）在（0，+∞）上为减函数，，则实数a的取值范围为[﹣1，）．
【分析】运用幂函数的定义，可得m2﹣m﹣1=1，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m，再根据幂函数的性质得到关于a的不等式组解得即可．
【解答】解：由幂函数定义可知：m2﹣m﹣1=1，
解得m=2或m=﹣1，
又函数在x∈（0，+∞）上为减函数，
当m=2时，m2﹣2m﹣3=4﹣4﹣3＜0，符合题意，
当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，不符合题意
则m=2，
∵，
∴＜，
∴，
解得﹣1≤a＜，
故实数a的取值范围为[﹣1，），
故答案为：[﹣1，），
【点评】本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，也考查了不等式的解法与应用问题，属于基础题．
19．（2015秋?宿迁校级期中）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的取值范围是（﹣∞，1）．
【分析】利用幂函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，∴m﹣1＜0，解得m＜1．故答案为：（﹣∞，1）．
【点评】本题考查了幂函数的单调性，属于基础题．
20．（2015秋?吉安校级期中）设a∈，则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．
【分析】分别验证a=1，﹣1，，3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R且为奇函数．
【解答】解：当a=﹣1时，当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不合题意；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；
当a=时，函数y=的定义域是（0，+∞），不合题意；
当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．
故使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的a的集合为{1，3}．
故答案为：{1，3}．
【点评】本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．
21．（2015秋?枣阳市校级期中）给出下列说法：
①幂函数的图象一定不过第四象限；
②奇函数图象一定过坐标原点；
③y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）；
④定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则f（x）在R上是增函数；
⑤的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
正确的有①④．
【分析】根据幂函数的图象的性质，可判断①正确，根据奇函数的定义，可判断②的正误；根据对折变换的图象变化及二次函数的单调性，可判断③的真假；根据单调性的定义，可判断④是正确的；根据单调区间的定义，可以判断⑤的对错．
【解答】解：由幂函数的图象的性质，易得幂函数的图象一定不过第四象限，故①正确；若奇函数在x=0时有意义，则图象一定过坐标原点，但奇函数在x=0时无意义时，则图象不过坐标原点，故②错误；
y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间有两个：[﹣1，0]和[1，+∞）故③错误；
若，则f（x）在R上是增函数，故④正确；
的单调减区间有两个：（﹣∞，0）和（0，+∞），但函数在区间（﹣∞，
0）∪（0，+∞）上不具备单调性，故⑤错误；
故答案为：①④
【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象的性质，奇函数的定义，单调性的定义，单调区间的定义，熟练掌握函数的图象和性质，理解函数性质的定义是解答本题的关键．
22．（2015春?杭州校级期中）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，则k+α=3；函数的定义域为[﹣3，1]．
【分析】利用幂函数的定义求出k，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果，再根据二次根式，得到3﹣2x﹣x2≥0，解得即可．
【解答】解：因为幂函数f（x）=k?xα（k，α∈R）
由幂函数的定义可知k=1，
幂函数f（x）=k?xα（k，α∈R）的图象过点，
∴=（）α，解得α=2，
∴k+α=3，
∴f（x）=x2，
∵，
∴3﹣2x﹣x2≥0，
解得﹣3≤x≤1，
所以函数的定义域为为[﹣3，1]．
故答案为：3；[﹣3，1]．
【点评】本题考查了幂函数的图象和性质，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．
23．（2015秋?合肥校级期中）已知幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，则实数a=3．
【分析】利用幂函数的定义，求出a的值，利用幂函数的性质判断结果即可．
【解答】解：函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9是幂函数，可得a2﹣9a+19=1，
解得a=3或a=6．
当a=3时，2a﹣9＜0，幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，成立．
当a=6时，2a﹣9＞0，幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒过原点，不成立．
故答案为：3．
【点评】本题考查幂函数的图象与性质的应用，考查计算能力．
24．（2015秋?衡阳县校级月考）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为2．
【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m ﹣1）x m才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0
【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则解得：m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数
25．（2015秋?青海校级月考）函数的图象恒过定点P，P在幂函数
f（x）的图象上，则f（x）=．
【分析】由题意求出点P的坐标，代入f（x）求函数解析式
【解答】解：根据题意：令2x﹣3=1，
∴x=2，此时y=，
∴P（2，）
∵P在幂函数f（x）的图象上，
设f（x）=xα
∴=2α，
∴α=﹣，
∴f（x）=，
故答案为：
【点评】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．
26．（2015秋?南京校级月考）当时，幂函数y=xα的图象关于
原点对称的有3个．
【分析】根据α的取值，逐个验证幂函数y=xα的图象是否关于原点对称即可．
【解答】解：α=﹣1时，幂函数y=x﹣1的图象关于原点对称，
α=1时，幂函数y=x的图象关于原点对称，
α=3时，幂函数y=x3的图象关于原点对称；
α=时，幂函数y=x（x≥0）的图象不关于原点对称，
α=2时，幂函数y=x2的图象关于y轴对称，不关于原点对称；
综上，幂函数y=xα的图象关于原点对称的有3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
27．（2015秋?邵阳校级月考）已知幂函数f（x）=k?x a的图象过点，则k+a=
．
【分析】根据幂函数的定义，以及函数值，即可求出．
【解答】解：幂函数f（x）=k?x a的图象过点，
∴k=1，=3a，
∴a=﹣，
∴k+a=，
故答案为：．
【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．
28．（2015春?保定校级月考）已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈
（0，+∞）时，f（x）是增函数，则m的值是2．
【分析】根据幂函数的定义求出m，利用幂函数的性质即可确定m的值．
【解答】解：∵f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，
解得m=﹣1或m=2．
∵当m=﹣1时，幂函数f（x）=x﹣3，在x∈（0，+∞）上单调递减，不满足条件；
当m=2时，幂函数f（x）=x3，在x∈（0，+∞）上单调递减增，满足条件；
m=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，要求熟练掌握幂函数的定义和性质．
29．（2015秋?亭湖区校级月考）已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x 轴，y轴均无交点，则m=1．
【分析】利用幂函数的性质可得3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数，解出即可．
【解答】解：由题意可得：3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数．
解得m＜，∴m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
30．（2015秋?抚州校级月考）已知函数是幂函数，则m=4．【分析】利用幂函数的定义即可得出．
【解答】解：∵函数是幂函数，
∴m2﹣m﹣11=1，≠0，m+3≠0，
解得m=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
幂函数(基础+复习+习题+练习).docx
考纲要求：①了解彖函数的概念. a 1 1 ② 结合函y = x, y = x2,y = x3,y = — ,y = x2的图像，了解它们的变化情况. x 教材复习 1.形如的函数叫做幕函数，其中是自变量，是常数，如 MB MM MM MM MM MM MM MM ?MM MM MM ■ y = x x, y = x?,y =，,y = 2",y = A，y = 2,其中是離函数的有_________________________ ?2 函数 y = x 9 y = x^ 3 y = x1 y = y = x'1 图像 L r r r L 0 0 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 .同一坐标系中五种幕函数的图像（右下图）: 4.幕函数的特点： ①幕函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第 四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性； ②幕函数的图像最多只能出现在两个象限内； ? 如果幕函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点. ④仅的正负：G〉0时，图像过（0,0）和（1,1）,在第一象限 的图像上升；&<0时，图像不过原点，盘第一象限的图像下 降； ⑤曲线在第一象限的凹凸性：Q>1时，曲线下凹；0 典例今析: 题型一：幕函数的概念及解析式 问軀7，⑴下列函数是幕函数的序号是___________ ? y = 2X;②）'=2才；③ y =（兀+ 2『；④ y = ;⑤ y = / ］、I /n"（2）已知離函数y = /（x）的图像经过点4丄，则f⑵=A.- B.4C.与 D.迈 I 2 丿 4 2 题型二：幕函数图像与解析式的对应 问龜三，（1）如图给出4个幕函数的图像，则图像与函数大致对应的是 D. c 幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两 点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ） 幂函数与二次函数基础梳理 1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3 ，y ＝x 12， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递减 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递增 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ? ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 函数y ＝f (x )对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2 2对称． (2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 练习检测 1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A 2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B 3．(2011·浙江)设函数f (x )＝? ???? －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 解析 由????? α≤0，－α＝4或? ???? α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B 4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增， 指数与指数幂的运算 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数 与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且 m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 3．运算法则 当a ＞0,b ＞0时有： （1）n m n m a a a +=?； （2）()mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-； (3)幂指数不能随便约分.如2 142 )4()4(-≠-. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y . n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式 （1）当1n >且*n N ∈时， ()n n a a =； （2）???=)(||) (,为偶数为奇数n a n a a n n 要点诠释： ①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误． ②指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数． 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如 )，先要化成假分数（如15/4）， 幂函数（2） 分层训练 1．函数25y x =的单调减区间为 （ ） A ．(,1)-∞ B ．(,0)-∞ C ．[0,)+∞ D ．(,)-∞+∞ 2．幂函数3 4y x =，13y x =，4 3y x -=的定义域分别为M 、N 、P ，则 （ ） ()A M N P ??≠≠ ()B N M P ??≠≠ ()C M P N ??≠≠ ()D ,,A B C 都不对 3．设121.1a -=，120.9b -=，12 c x -=，且a c b <<，则对于整数c 的值，下列判断正确的是 （ ） ()A 1c > ()B 1c < ()C 1c = ()D c 与1的大小关系不能确定 4．221 333123111(),(),()252 T T T ===，则下列关系式正确的是 （ ） A ．123T T T << B ．312T T T << C ．231T T T << D ．213T T T << 5．函数()a y x a R =∈的图象，当01x <<时，在直线y x =的上方；当1x >时，在直线y x =的下方，则a 的取值范围是 ； 6．用“<”、“>”或“=”号填空： （1）若54a a -<-，则a ______0； （2）若0.390.38b b <，则b ______0； （3）若1 1 ()()23n n ->-（n Z ∈），则当n 为偶数时，n 0； 当n 为奇数时，n 0． 7．比较下列各题中两个值的大小： （1）25( 1.5)-与25( 1.7)-；（2）233.14 -与23π- （3）13(5) --与13(6)--； （4）143与212 8．若1 133 (1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围． _幂函数及图象变换_基础 巩固练习 1．下列函数中，3543 1 ,21,,y y x y x x y x x = =+=+=是幂函数的个数是（ ）． A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数12 y x - =的定义域是( ) A.[0，+∞） B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.R 3.函数23y x =的图象是( ) 4.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是( ) A.2y x -= B. 1y x -= C. 2 y x = D. 13 y x = 5.幂函数35 m y x -=，其中m ∈N ，且在(0，+∞)上是减函数，又()()f x f x -=，则m=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.若幂函数y x α =的图象在0 .. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围：基本不等式；考试时间：100 分钟；命题人：聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷（选择题） 评卷人得分 一、选择题 1．化简的结果为（） A． 5B．C．﹣D．﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 ．函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 ， 2] 上的最大值比最小值大3 ，则a的值为 （） A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析：结合指数函数的性质，当0 a 1 ，函数为减函数.则当 x 0 时， o 1 ，当 x 2 时，函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ，则1 a ， 4 解得 a 2 （负舍） . 2 考点：指数函数的性质. 3．指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数，则 a 的取值范围是（） A．a 1 B． a 2 C． 0 a 1 D． 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析：对于指数函数 x 1 时，函数在R上是增函数，当 0 a 1时，y a ，当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知：a 1 1 即， a 2 . 考点：指数函数的性质 . 4．若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数，则m的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2 【答案】 A Word 完美格式 【解析】 试题分析：由题意，得 2m 3 1 m 1 ，解得 ． 考点：幂函数的解析式． 5．若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点，则（ ） A ． 1 m 2 B ． m 1 m 2 或 C ． m 2 D ． m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析： y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数，则必有 m 2 3m 3 1，得 m 1 1, m 2 2 ， 又函数图象不过原点，可知其指数 m 2 0 ， m 1 1, m 2 2 均满足满足，故正确选项 为 B. 考点：幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数，说明幂的系数必须为 1，即 可得含有 m 的方程；其次幂函数的图象不过原点，说明指数为负数或者零，即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意， 00 是不存在的， 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6．设 2, 1, 1 ,1,2,3 ，则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 a y x 是奇函数，所以 a 应该为奇数，又在 (0, ) 是单调递增的，所 以 a 0 则只能 1,3 ．考点：幂函数的性质 . 7．已知函数 ，若 ，则实数 （ ） A ． B ． C ． 2 D ． 9 【答案】 C 【解析】因为 ， 所以 ． 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝ 1 2 x ?? ? ?? ；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为() A．1B．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝( ) 22 23 1m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y ＝() 2 223 1m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x － 3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x － 3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α (α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件． 【对点训练】 函数f(x)＝( ) 22 3 1m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的 解析式． 解：根据幂函数的定义得 m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3 在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f(x)＝x 3. 题型二、幂函数的图象 【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α 在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，1 2，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4 的α的值依次为( ) A ．－2，－12，1 2 ，2 B ．2，12，－1 2 ，－2 2.3幂函数 （一）实例观察，引入新课 (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 P是W的函数 （y=x） (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 S是a的函数 （y=x2） (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 S是a的函数 （y=x3） (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a= 1 2 S a是S的函数 （y= 1 2 x） (5)如果某人 t s内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数（y=x-1） 问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征? 学生反应：底数都是自变量，指数都是常数. 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.（二）类比联想，探究新知 1.幂函数的定义 一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ， 其中x为自变量，ɑ为常数。 注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2 y=（x+1）2 y=x2+1 是否为幂函数） 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 2.幂函数的图像与简单性质 同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点） 不妨也找出典型的函数作为代表： y=x y=x2 y=x3 y= 1 2 x y=x-1 让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像 问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？ 学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚. 教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减. 问题五：所有图像都过哪些点，为什么？ 学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1. 问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？ 学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义. 问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？ 学生反应：当0 人教A 版（2019）高中数学课时练 必修第一册 第三章函数概念与性质 3.3冥函数 一、选择题（60分） 1．若幂函数y＝(m 2＝3m＝3)x m －2的图像不过原点＝则m 的取值范围为( ) A ．1≤m ≤2 B ．m＝1或m＝2 C ．m＝2 D ．m＝1 2．已知 43 2a =，2 54b =，1 325c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 3．设a ＝12?? ???34，b ＝15?? ???34，c ＝12?? ??? 1 2，则( ) A ．a 7．有四个幂函数：①1 ()f x x -=；②2 ()f x x -=；③3 ()f x x =；④1 3 ()f x x =.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{ y y R ∈，且0}y ≠；（3）在(,0)-∞上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．下列关于幂函数的结论，正确的是（ ）. A ．幂函数的图象都过(0,0)点 B ．幂函数的图象不经过第四象限 C ．幂函数为奇函数或偶函数 D ．幂函数在其定义域内都有反函数 9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221 ()(23)2 f x x a x a a = -+--，若x R ?∈，都有(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．11[,]66 - B ．[ C ．11[,]33 - D ．[ 10．已知321 ()(1)1 x f x x x +=+--，若(2018)f a =，则(2016)f -=（ ） A ．a - B ．2a - C ．4a - D ．1a - 11．已知实数a ，b 满足等式1 1 32 a b =，则下列五个关系式中可能成立的是（ ） A ．01b a <<< B ．10a b -<<< C ．a ＜b ＜1 D ．10b a -<<< 12．已知幂函数()n m f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（ ） A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数 B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数 简单的幂函数 【学习目标】 1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。 3.理解函数的奇偶性定义，会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：()2 42 3,1,2 y x y x y x ==+=-等都不是幂函数. 要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象： (1)x y=；(2)2 1 x y=；(3)2x y=；(4)1- =x y；(5)3x y=． 要点诠释： 幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)0 > α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当1 0< <α时，幂函数的图象上凸； (3)0 < α时，幂函数的图象在区间) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． () y x R αα =∈ () y x R αα =∈ 3.3 幂函数中档题 一．选择题（共4小题） 1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（） A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞） 2．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（） A．B．C． D． 3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值 （） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（） A．B． C．D． 二．填空题（共1小题） 5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）； ③＞；④＜．其中正确结论的序号是． 三．解答题（共13小题） 6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣ k． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，数k的取值围． 7．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求a++的取值围． 8．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求的取值围． 9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上 是减函数， （1）求函数f（x）的解析式； （2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小． 10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=． （1）求g（x），f（x）的解析式； （2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），数a的取值围． 11．函数f（x）=是偶函数． （1）试确定a的值，及此时的函数解析式； （2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数； （3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域． 12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a） 2.3.幂函数教学设计 【教学分析】 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究2 11 32,,,,x y x y x y x y x y =====-等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数0>α时，幂函数的图象都经过点()0,0和()1,1，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数0<α时，幂函数的图象都经过点()1,1，且在第一象限单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质.其中，学生在初中已经学习了1 2 ,,-===x y x y x y 等三个简单的幂函数，对它们的图像和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法.因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 【课前准备】 1.教师准备：PPT 课件，几何画板《幂函数》导学案. 2.学生准备：课前预习幂函数定义，完成导学案1,2，并画出1 2 ,,x y x y x y ===的图象. 【教学目标】 1.知识与技能 （1）通过实例，了解幂函数的概念. （2）通过具体实例了解几个常见幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. （3）学会研究函数图象和性质的一般方法和思想. 幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n m n a a =（0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：m n n m a a - = （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 一、幂函数的定义 一般地，形如 y x α =（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22 a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 三、幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断 例1．在函数22031 ,3,,y y x y x x y x x ===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） 3.3幂函数基础填空题 一．填空题（共30小题） 1．（2016?衡水模拟）函数y=x a为偶函数且为减函数在（0，+∞）上，则a的范围 为． 2．（2016?武汉校级模拟）若幂函数的图象不过原点，则实数 m的值为． 3．（2016春?沭阳县期中）设幂函数f（x）=x a（a为实数）的图象经过点（4，8），则f（x）=． 4．（2016春?淮阴区期中）幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增， 则m=． 5．（2015?株洲一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数 ，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是． 6．（2015?涪城区校级模拟）幂函数y=（m2﹣3m+3）x m过点（2，4），则m=．7．（2015?揭阳二模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为． 8．（2015?张家港市校级模拟）设，若幂函数y=xα为偶函数且 在（0，+∞）上单调递减，则α=． 9．（2015秋?天水校级期末）已知函数f（x）=log a x（a，0且a≠1）满足f（9）=2，则a=．10．（2015秋?承德期末）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=log a（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为． 11．（2015秋?福建期末）幂函数在区间（0，+∞）上 是增函数，则m=． 12．（2015秋?庄河市期末）幂函数的图象与坐标轴没 有公共点，则m的值为． 13．（2015秋?北京校级期末）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）?x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为． 的解集是． 15．（2014秋?薛城区校级期中）幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为． 16．（2015秋?余姚市校级期中）已知幂函数f（x）过点，则满足f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是． 17．（2015秋?齐齐哈尔校级期中）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣5）x m﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为． 18．（2015秋?宜昌校级期中）已知函数是幂函数，且 f（x）在（0，+∞）上为减函数，，则实数a的取值范围 为． 19．（2015秋?宿迁校级期中）若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是减函数，则实数m 的取值范围是． 20．（2015秋?吉安校级期中）设a∈，则使函数y=x a的定义域为R且为 奇函数的a的集合为． 21．（2015秋?枣阳市校级期中）给出下列说法： ①幂函数的图象一定不过第四象限； ②奇函数图象一定过坐标原点； ③y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）； ④定义在R上的函数f（x）对任意两个不等实数a、b，总有成立，则f（x）在R上是增函数； ⑤的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）． 正确的有． 22．（2015春?杭州校级期中）已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点，则k+α=；函数的定义域为． 23．（2015秋?合肥校级期中）已知幂函数f（x）=（a2﹣9a+19）x2a﹣9的图象恒不过原点，则实数a=． 24．（2015秋?衡阳县校级月考）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为． 幂函数 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 创设情境组织探究尝试练习巩固反思作业回馈课外活动问题引入． 幂函数的图象和性质． 幂函数性质的初步应用． 复述幂函数的图象规律及性质．幂函数性质的初步应用． 利用图形计算器或计算机探索一般幂函数的图象规律． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 创设情境阅读教材的具体实例（1）~（5），思考下列问题： 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案） 1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4） 开方；（5）取倒数（或求－1次方）． 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx y= 的函数，其中x是自变量，是α常数． 生：独立思考完成引 例． 师：引导学生分析归纳 概括得出结论． 师生：共同辨析这种新 函数与指数函数的异 同． 组织探究材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 α x y=) (R a∈ 的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）x y=；（2）2 1 x y=；（3）2x y=； （4）1- =x y；（5）3x y=． [解] ○1列表（略） ○2图象 师：说明： 幂函数的定义来 自于实践，它同指数函 数、对数函数一样，也 是基本初等函数，同样 也是一种“形式定义” 的函数，引导学生注意 辨析． 生：利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象，观察所 图象，体会幂函数的变 化规律． 师：引导学生应用画函 数的性质画图象，如： 定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画 图象易犯的错误． 环节教学内容设计师生双边互动 高中数学幂函数同步练习 知识梳理： 1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常 用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下： （1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数. （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. 3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α . 诊断练习： 1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点2 ，则(4)f 的值等于 2．函数y ＝（x 2 －2x ） 2 1－ 的定义域是 3．函数y ＝5 2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝ 2 21 m m x －－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _． 范例分析： 例1比较下列各组数的大小： （1）1.53 1，1.73 1，1； （22 3 2- ，（－ 107 ）3 2，1.1 3 4- ； （3）3.83 2-，3.95 2，（－1.8）5 3； （4）31.4，51.5 . 例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值． 例3幂函数2 7323 5 ()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式. 图像 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ??????4ac －b 2 4a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 2 4a 单调性 在x ∈? ???? －∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈??? ? ?? －b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈? ???? －∞，－b 2a 上单调递增； 在x ∈??? ? ?? －b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ? ?? ??－b 2a ，4ac －b 2 4a 对称性 图像关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 3. 幂函数 形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 4． 幂函数的图像及性质 (1)幂函数的图像比较 (2)幂函数的性质比较 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 1 2 y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且 x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且 y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函 数 奇函数 单调性 增 x ∈[0，＋∞) 时，增； x ∈(－∞，0] 时，减 增 增 x ∈(0，＋∞) 时，减； x ∈(－∞，0) 时，减 [难点正本 疑点清源] 1． 二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式． (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2． 幂函数的图像 (1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴． (2)函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12 ，y ＝x －1 可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表． 1． 已知函数f (x )＝x 2 ＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－2] 解析 f (x )的图像的对称轴为x ＝1－a 且开口向上， ∴1－a ≥3，即a ≤－2.幂函数题型归纳
幂函数与二次函数
指数对数幂函数总结归纳
苏教版高中数学高一必修一第28课时 幂函数2 同步练习
_幂函数及图象变换_基础
(完整版)幂函数与指数函数练习题教师版.doc
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