数列试题汇编

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2.设{}n a 是由正数构成的等比数列,公比q=2。且30123302a a a a ???

?=,则

36930a a a a ???

?=

( ) C A 、10

2 B 、 15

2 C 、20

2 D 、16

2

3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若42009OB a OA a OC =+,且,,A B C 三点共线(O 为该直线外一点),则2012S 等于( )B

A .2012

B .1006

C .20122

D .10062

4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1313113a S a ===,则 D A.14-

B.13-

C.12-

D.11-

5.已知各项为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100,那么714a a ?的最大值为 ( ) A A .25 B .50

C .100

D .不存在

6. 等差数列{}n a 中,已知112a =-,13

0S

=,使得0n a >的最小正整数n 为 B

A .7

B .8

C .9

D .10

7.已知等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,若13a =-,510S S =,则当n S 取到最小值时n 的值为( )D

A .5

B .7

C .8

D .7或8

8.数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列,已知b 1 =2,b 3 =6,b n =a n+l -a n (n ∈N *)则a 6=

( ) A .30 B .33 C .35 D .38 9.已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为A A .21-

B .23-

C .21

D .2

3

10. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ,51,763==S a ,则公差d 的值为B

A. 2

B. 3

C. -3

D. 4 11.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且7453

n n A n B n +=+,则使得

n

n

a b 为整数的正整数n 的个数是( )D A .2 B .3 C .4 D .5

12.已知{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,若公差0d <且27S S =,则下列结论中不正..确的是...

( )D

A .45S S =

B .90S =

C .50a =

D .2745S S S S +=+

13.如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127a a a ++

+=( ) C

(A )14 (B )21 (C )28 (D )35 14.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于

( )C

(A)1

2

2n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -

15.如果数列3

2112

1

,,,,

,n

n a a a a

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a a a -…是首项为1,公比为a 5等于A

A .32

B .64

C .—32

D .—64

16.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若14611,6a a a =-+=-,则当S n 取最小值时.n 等于 A

A .6

B .7

C .8

D .9

17.已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,且

4

24S S =,则64

S S =( )A A .94

B .

3

2 C .5

3

D .4

18.已知等差数列}{n a 中,81,23211=++=a a a a ,则654a a a ++的值是D (A )6 (B )18 (C )26 (D )54

19. 在数列{}n a 中,若

114a =,且212l o g 1l o g n n a a +=+,则满足{}

1,2,3,4,,100i a ∈的i 的个

数为B

A .6 B. 7 C. 8 D. 9 20.已知等比数列

{}n a 中有31174a a a =,数列{}n b 是等差数列,且77a b =,则59b b += C

A .2

B .4

C .8

D .16

21. 已知数列{}a n 满足)2(,,3,11121≥===-+n a a a a a n n n ,则a 2013的值等于( )A A. 3 B. 1 C. 3

1 D. 32013 22.已知数列{}n a 满足1166,4,n n a a a n +=-=则

n

a n

的最小值为__________. 21 23. (12分)等差数列{}n a 不是常数列,且11a =,若139,,a a a 构成等比数列. (1)求n a ;

(2)求数列{2}n a

n a ?前n 项和n S .

23解:(1)22193,1(18)(12),101,n a a a d d d d d a n =?+=+==∴==即解得或(舍去),

1232341(2)1222322,21222322n n n n S n S n +=?+?+?+

+?=?+?+?+

+?

112312(2222)(1)22n n n n S n n +-=?-+++

+=-+相减得

24.(本小题共12分)已知在等比数列}{n a 中,11=a ,且2a 是1a 和13-a 的等差中项.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=,求}{n b 的前n 项和n S .

24.【解】:(Ⅰ)设公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和13-a 的等差中项,

∴22132(1)21(1)2a a a q q q =+-?=+-?=,∴12n n a -=

(Ⅱ)121212n n n b n a n -=-+=-+ 则1[13(21)](122)n n S n -=++

+-+++

+

2[1(21)]1221212

n

n n n n +--=+=+--

25.(本小题满分12分)已知等差数列

{}n a ,满足37a =,5726a a =+.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项n a ;

(Ⅱ)令2

1

1

n n b a =

-(n N +∈),求数列{}

n b 的前n 项和n S . 26.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前.n 项积..

为n T ,且n n a T 22-= ()n N *∈. (Ⅰ)求证数列1n T ??

????

是等差数列;

(Ⅱ)设)1)(1(1+--=n n n a a b ,求数列{}n b 的前n 项和n S .

26.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)113

2

T = (1分)

由题意可得:122n n n T T T -=-?1122n n n n T T T T --?=-(2)n ≥,所以1111

2

n n T T --=(6

分)

(Ⅱ)数列1n T ??????为等差数列,12

2n n T +=,12n n a n +=+,(8分)1(2)(3)n b n n =

++(10分),

111

3445(2)(3)

n S n n =+++

??+?+111111()()()344523n n =-+-++-++ 113339

n

n n =-=++(12分)

27.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差d >0,且35,a a 是方程2

14450x x -+=的两个根.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列3n n a ??

?

???

的前n 项和为 n T .

27. (本小题满分12分)

【解】:(Ⅰ)依题意355,9a a ==,21n a n =- …………………………(6分)

(Ⅱ)1

13

n n n T +=-

……………………(12分) 28.(本小题满分12分)数列{}n a 中,2,841==a a ,满足n n n a a a -=++122, *

N n ∈。

⑴求数列{}n a 的通项公式; (2)设n b =

)

12(1

n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ,求最大的整数m ,使得

对任意*

N n ∈,均有>n T 32

m 成立.

28. 解:(1)由题意,n n n n a a a a -=-+++112,

}{n a ∴为等差数列,设公差为d ,

由题意得2382-=?+=d d ,

n n a n 210)1(28-=--=∴

(2))1

1

1(21)1(21)12(1+-=+=-=

n n n n a n b n n

∴n T )]111()111(

)4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)1(2+=n n

若32m T n >

对任意*N n ∈成立,即161m n n >+对任意*

N n ∈成立,

)(1*N n n n ∈+ 的最小值是21,,2

116<∴m m ∴的最大整数值是7 即存在最大整数,7=m 使对任意*

N n ∈,均有.32

m T n > 29.(本题满分12分)已知数列{}n a 的首项为11=a ,其前n 项和为n s ,且对任意正整数n 有:n 、n a 、n S 成等差数列. (1)求证:数列{}2++n S n 成等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式.

29.解:(1)证明:成等差数列、、n n S a n )2()2(21≥-=≥+=∴-n S S a n S n a n n n n n ,又

n S S S n S S n n n n n +=+=-∴--112)(2即

22221++=++∴-n S n S n n ][2)1(221+-+=++∴-n S n S n n 即

22

)1(2

1=+-+++-n S n S n n {}成等比数列2++∴n S n

(2)由(1)知{}2++n S n 是以43311=+=+a S 为首项,2为公比的等比数列

112242+-=?=++∴n n n n S 又1222,2+=+∴+=n n n n a S n a 12-=∴n n a

30.(本小题12分)

已知数列{}n a 满足14n n a a +=+,182012a a +=,等比数列{}n b 的首项为2,公比为q 。 (Ⅰ)若3q =,问3b 等于数列{}n a 中的第几项?

(Ⅱ)数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别记为n S 和n T ,n S 的最大值为M ,当2q =时,试比较M 与9T 的大小 30.(本小题12分)

已知数列{}n a 满足14n n a a +=+,182012a a +=,等比数列{}n b 的首项为2,公比为q 。 (Ⅰ)若3q =,问3b 等于数列{}n a 中的第几项?

(Ⅱ)数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别记为n S 和n T ,n S 的最大值为M ,当2q =时,

试比较M 与9T 的大小

解:(I )23118b b q ==. ……………2分

由14n n a a +=+,得14n n a a +-=-,即{}n a 是公差4d =-的等差数列.……………3分 由182012a a +=,得1118678a d a +=?=.

78(1)(4)482n a n n ∴=+--=-+. ………………5分 令348218n b -+==,得16n =.

3b ∴等于数列{}n a 中的第16项. ………………6分

(Ⅱ)12b q ==,91092(12)

22102212

T -∴=

=-=-.…………8分 又22(1)

78(4)2802(20)8002

n n n S n n n n -=+?-=-+=--+,

20800n M ∴==时,最大值. ……………11分 9M T ∴<. ……………12分

31.(本小题满分20分)

已知n S 是数列}{n a 的前n 项和,*

∈+=>N n a a S a n

n n n ,2,02,

(1)求证:}{n a 是等差数列;

(2)若数列}{n b 满足

n a n b b b n

+==+2,211,求数列}{n b 的通项公式n b . 21.(本小题满分20分)

(1)由22n n

n a a S +=,*

n N ∈知:1=n 时12112a a a +=11=∴a 或01=a (舍去) 2

2n n

n a a S +=

)(1

21

121

---+=

n n n a a S )(2

(1)-(2)得:0112

2=-----n n n n a a a a

∴0)1)((11=--+--n n n n a a a a 0>n a ∴11=--n n a a

所以

{}n a 是等差数列

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32.(本小题满分12分) 已知数列

{}n a 满足11,a =11,n n n n a a a a ++-=数列{}n a 的前n 项和为n S .

(1)求证:数列1n a

??

????为等差数列;

(2)设

2n n n T S S =-,求证:1n n T T +>.

17.(本小题满分12分) (1)证明:由

11,n n n n a a a a ++-=

从而得111

1n n

a a +-=…………3分

11a =∴数列1n a ????

??是首项为1,公差为1的等差数列. …………5分

(2)

1

n n a =则

1111

,123n n a s n n =∴=++++

…………7分

2n n n T S S =-=

11111111

1(1)23

1

223

n n n n +

+++

+++

-+++++

111

122n n n +++

++…………9分

证法1:∵

111111

1()23

2212

2n n T T n n n n n n +-=

+++

-+++

+++++

=11121221n n n +-

+++=11102122(21)(22)n n n n -=>++++

1n n T T +>.…………12分

证法2:∵2122n n +<+ ∴11

2122n n >

++

∴1111

022221n n T T n n n +->

+-=+++

1n n T T +>.…………12分

33. (本小题满分12分)

在正项等差数列{}n a

中,对任意的*n N ∈都有

1211

.

2n n n a a a a a +++

+=

(Ⅰ)求数列{}n a

的通项公式;

(Ⅱ)设数列{}n b 满足

2,n

a

n b =其前n 项和为n S ,求证;对任意的*n N ∈,1n n S b +-均为定值.

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34.(本小题满分12分)

已知在公比不等于1的等比数列}{a n 中,a a a 582,,成等差数列。 (1) 求证:s s s 7104,,成等差数列;

(2) 若11=a ,数列}{3a n 的前项和为T n ,求证:2

的公比为q (q ≠1),

由题意得 241171q a q a q a += , (1分) ∴247q q q +=,即27410q q q +=,

∴S4+S7=q q a q q a --+

--1)1(1)1(7141=q q q a ---1)2(741=q q a --1)

22(101 =q q a --1)

1(2101=S10 . (5分)

∴S4、S10、S7成等差数列. (6分)

(Ⅱ)依题意得数列}{3a n 是首项为1,公比为q 3

的等比数列,

∴T n =|

|1||13

3q q n -- . (7分) 又由(Ⅰ)得247q q q +=,∴20136=--q q ,(8分) 解得13=q (舍去),3q =-2

1

. (10分) ∴T n =

|

2

1|1|21|1----n

=])21(1[2n -<2 . (12分) 35.(本小题满分12分)

数列{}n b (n ∈N*)是递增的等比数列,且13135, 4.b b b b +==数列{n a }满足

2log 3.n n a b =+

(I )求数列{},{}n n b a 的通项公式:

(II )设数列{},n n a n S 的前项和为是否存在正整数n ,使得数列411{

}n S n

n

-前n 项和为2

(1)4025n n T T n --=满足?若存在,求出n 的值;若不存在,请说明理由。

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36.(本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,346S a =+,且1413,,a a a 成等比数列.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)求数列1

{

}n

S 的前n 项和公式. 19.(本小题满分12分)

【解】:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为0d 1.

因为346S a =+,

所以11323362

d

a a d 创+

=++. ① 因为1413,,a a a 成等比数列,

所以2111(12)(3)a a d a d +=+. ② 由①,②可得:13,2a d ==.

所以21n a n =+.…………………………………………………………(6分) (Ⅱ)由21n a n =+可知:2(321)22

n n n

S n n ++ =

=+

所以11111()(2)22n S n n n n ==-++

所以123111111n n S S S S S -+++++

11111111111()2132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)

n n

n n n n +=+--=

++++. 所以数列1

{}n S 的前n 项和为2354(1)(2)

n n n n +++. ……………………(12分)

37.(本小题满分12分)

数列{}n a 的各项均为正数,n S 为其前n 项和,对于任意*N n ∈,总有2,,n n n a S a 成等差数列.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设2

1

n n

b a =

,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:1n n T n >+. 19.解:(Ⅰ)由已知:对于*

N n ∈,总有22n n n S a a =+ ①成立

∴2

1112n n n S a a ---=+ (n ≥ 2)② ①-②得2

112

2----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a

∵1,-n n a a 均为正数,∴11=--n n a a (n ≥ 2)

∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n=1时,21112S a a =+, 解得1a =1, ∴n a n =.(*

N n ∈) (Ⅱ) 解:由(1)可知 2

1n b n =

2

1111

(1)1

n n n n n >=-++ 11111(1)()()22311

n n

T n n n ∴>-+-++-=++

38.(本小题12分)

已知{}n a 的前n 项和为n S ,且4n n a S +=. (Ⅰ)求证:数列{}n a 是等比数列; (Ⅱ)是否存在正整数k ,使

12

22

k k S S +->-成立.

【解析】(Ⅰ)由题意,4n n a S +=,114n n a S +++=,

由两式相减,得11()()0n n n n a S a S +++-+=, 即120n n a a +-=,11

2

n n a a +=

, ………………3分 又11124a a S =+=,∴12a =,

∴数列}{n a 是以首项12a =,公比为1

2

q =的等比数列.…………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得212[1()]

242112

n n n S --=

=--. ………………8分 又由12

22

k k S S +->-,得

124222422k k ---->--, 整理得12213k -<<,即1

3122

k -<<, ………………10分

∵*k N ∈,∴1*

2k N -∈,这与132(1,)2

k -∈相矛盾,

故不存在这样的k ,使不等式成立. ………………12分

39. (本小题满分12分)

已知数列{}n a 是首项为114a =

,公比1

4

q =的等比数列. 设

14

23log n n b a +=*()n ∈N ,数列{}n c 满足1

1

n n n c b b +=

?. (Ⅰ)求证:数列{}n b 成等差数列; (Ⅱ)求数列{}n c 的前n 项和n S .

16.解:(Ⅰ)由已知可得,n n n q

a a )41(1

1==-,n b n n 3)41

(log 324

1==+ 23-=∴n b n ,31=-+n n b b }{n b ∴为等差数列,其中11,3b d ==. ------6分

(Ⅱ)111111

()3n n n c b b +=

==-??(3n-2)(3n+1)3n-23n+1

, 31n n S n =+ -----12分 40.(本小题满分12分)已知}{n a 满足:2

2322212)2

)1((321+=++++n n a n a a a n

),3,2,1( =n .

(Ⅰ)求}{n a 的通项公式;

(Ⅱ)若数列}{n b 满足,1

22+=n n

n a a b ),3,2,1( =n ,试}{n b 前n 项的和n S

解:(Ⅰ):2

2322212)2)1((321+=++++n n a n a a a n

222

22123

1123(1)(1)()2

n n n n a a a a ---++++= 上述两式相减得:1n n a =;

(Ⅱ)122

+=

n n

n a a b 212()

111221

()n n n n n b ++?==-

∴323

42(1)(2)

n n n n S +++=- 41.(本题满分12分)数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =,,,),

且123a a a ,,成公比不为1的等比数列.

(Ⅰ)求c 的值;

(Ⅱ)求{}n a 的通项公式.

17.解:(I )12a =,22a c =+,323a c =+,

因为1a ,2a ,3a 成等比数列,所以2(2)2(23)c c +=+,解得0c =或2c =.

当0c =时,123a a a ==,不符合题意舍去,故2c =.

(II )当2n ≥时,由于21a a c -=,322a a c -=,……1(1)n n a a n c --=-, 所以1(1)

[12(1)]2

n n n a a n c c --=++

+-=

. 又12a =,2c =,故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=,,. 当n=1时,上式也成立,所以22(12)n a n n n =-+=,,

42.(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的各项都是正数,前n 项和是n S ,且点

(),2n n a S 在函数2y x x =+的图像上. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)设121

,2n n n n

b T b b b S =

=+++,求n T .

16.解:(Ⅰ)依题意:22n n n S a a =+得 21112n n n S a a +++=+,21112a a a =+

221112n n n n n a a a a a +++∴=-+-,11a = 即22110n n n n a a a a ++---=

所以()()1110n n n n a a a a +++?--= 3分

n a >

11

n n a a +∴-= 所以

n a n =

6分

(Ⅱ)()12n n n S +=

()111

11

n b n n n n ∴==-++ 9分 所以 111

11111223

111

n n

T n n n n =-+-+

+

-=-=+++ 12分 43.(本小题满分12分)

等比数列....

{}n c 满足()

{}1*

1104,n n n n c c n N a -++=?∈数列的前n 项和为n S ,且2l o g .

n n a c = (I )求,n n a S ;

(II )数列{}{}1,41

n n n n n b b T b S =

-满足为数列的前n 项和,是否存在正整数m ,

()1k m k <<,使得1,,m k T T T 成等比数列?若存在,求出所有,m k 的值;若不存在,请说

明理由.

(19)(本小题满分12分)

解: (Ⅰ)40,103221=+=+c c c c ,所以公比4=q ……………………2分

10411=+c c 得21=c

121242--=?=n n n c ……………………4分

所以212log 221n n a n -==- ……………………5分

21()[1(21)]

22

n n n a a n n S n ++-=

== ……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2

11114122121n b n n n ??

==- ?--+??

于是11111

112335212121n n T n n n ????????=

-+-++-= ? ? ???

-++????

????

…………9分 假设存在正整数(),1m k m k <<,使得1,,m k T T T 成等比数列,则

2

1

21321

m k m k ??=? ?

++??, 可得22

32410m m k m

-++=>, 所以2

2410m m -++>

数列试题汇编

数列试题汇编

从而有,11m <<, 由,1m N m *∈>,得2m = …………………… 11分 此时12k =.

当且仅当2m =,12k =时,1,,m k T T T 成等比数列. ……………………12分

已知数列{}n a 各项均为正数,且11a =,22

11n n n n a a a a ++-=+.

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设21

n n

b a =

,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <. 44.(本小题满分12分)

解:(1)由已知得:11()(1)0n n n n a a a a +++--=

∵{}n a 各项均为正数,∴11n n a a +-=

∴数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列, ∴n a n =.

(2)由(1)可知 2

1n b n =

当2n ≥时 21111

(1)1n n n n n <=---

222111

123n T n ∴=++++

111111

1(1)()()222231n n n

≤+-+-++-=-<-

45. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和1

1

()

22

n n n S a -=--+(n 为正整数)

(Ⅰ)令2n n n b a =,求证:数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)令121,n n n n n C a T C C C n +=

=+++,求n T 并比较n T 与521

n

n +的大小。 20. 解:(I )在11

()2

2n n n S a -=--+中,令n=1,可得1112n S a a =--+=,即

112a = 当2n ≥时,21

111111

()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++,,

11n 111

2a (),21

2n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2.

112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时,b .

又1121,b a ==∴数列}{

n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是

1(1)12,2n n n n n n

b n n a a =+-

?==∴=

.

(II)由(I )得

11

(1)()2n n n n c a n n +=

=+,所以

数列试题汇编

数列试题汇编

由①-②得

111

11

[1()]

133421(1)()1222123

32n n n n n

n n n T -++-+=+-+=--+∴=-

535(3)(221)3212212(21)n

n n n n n n n n T n n n ++---=--=

+++

于是确定

521n n T n +与 的大小关系等价于比较221n

n +与的大小

可猜想当322 1.n

n n ≥>+时,

证明如下: 证法1:(1)当n=3时,由上述验算显示成立。 (2)假设1n k =+

数列试题汇编

所以当1n k =+时猜想也成立

综合(1)(2)可知,对一切3n ≥的正整数,都有22 1.n

n >+

证法2:当3n ≥时,

数列试题汇编

综上所述,当1,2n =时

521n n T n <

+,当3n ≥时521n n

T n >

+

46.(本小题满分14分)

数列{}n a 的各项均为正数,n S 为其前n 项和,对于任意*N n ∈,总有

2

2n n n S a a =+.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ) 设正数数列{}n c 满足())(,*1

1N n c a n n n ∈=++,求数列{}n c 中的最大项;

(Ⅲ) 求证:4

444

123

111

111

10

n n T a a a a =

++++

<.21. (本小题满分14分) (1)由已知:对于*N n ∈,总有22n n n S a a =+ ①成立

∴)2(22

111≥+=---n a a S n n n ②

①②得2

1122----+=n n n n n a a a a a

∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a ∵1,-n n a a 均为正数,∴11=--n n a a )2(≥n ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n =1时,21112S a a =+, 解得1a =1. ∴n a n =. (2)(解法一)由已知 221212=?==c c a ,

5

45

45434

34323

235

5,244,33=?====?===?==c c a c c a c c a

易得 12234,...c c c c c <>>> 猜想2≥n 时,{}n c 是递减数列.

令()()22ln 1ln 1

,ln x x x x

x x x f x x x f -=-?='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ,即则时, ∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数. 由()1

1ln ln 1

1++=

=++n n c c a n n n

n 知.

∴2≥n 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列. 又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .

(解法二) 猜测数列{}n c 中的最大项为323=c . 123c c c <<易直接验证; 以下用数学归纳法证明3≥n 时,1(1)n n n n +>+

(1)当3n =时,18164(1)n n n n +=>=+, 所以3n =时不等式成立;

(2)假设(3)n k k =≥时不等式成立,即1(1)k k k k +>+,即1(

)k

k k k

+<, 当1n k =+时,1222212

(

)()()()()()111111

k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++=<<<++++++, 所以21(1)(2)k k k k +++>+,即1n k =+时不等式成立. 由(1)(2)知1(1)n n n n +>+对一切不小于3的正整数都成立. (3)(解法一)当4n ≥时,可证:416(1)n n n >-

1111111[]1681163445(1)

11111111()

168116310

n T n n n <+

+++++??-=+++-<

(解法二) 2n ≥时,42222

11111

[](1)21(1)n n n n n n <=----

47(本题满分12分)已知数列{}n a 满足13a =,

*

133()n n n a a n N +-=∈,数列{}n b 满足

3n n n a b =

.

(1)证明数列{}n b 是等差数列并求数列{}n b 的通项公式;

(2)求数列

}{n a 的前n 项和n S .

18.解(1)证明:由

3n n n a b =

,得1

1

13n n n a b +++=,

111

1333n n n n n n a a b b +++-=

-= ---------------------2分

所以数列{}n b 是等差数列,首项1

1b =,公差为13 -----------4分

12

1(1)33n n b n +=+-=

------------------------6分 (2)1

3(2)3n n n n a b n -==+? -------------------------7分

n n a a a S +++=∴ 2113)2(3413-?+++?+?=n n ----①

n n n S 3)2(343332?+++?+?=∴ -------------------②----------9分

①-②得n n n n S 3)2(33313212?+-++++?=--

n n n 3)2(3331212?+-+++++=-

n

n n 3)2(23

3?+-+=-----------------------------------11分

23)2(433n

n n n S ++

+-=∴------------------------------------------12分

48.(本小题满分12分)

已知函数f (x )=a x 的图象过点(1,12),且点(n -1,a n

n 2)(n ∈N *)在函数f (x )=a x 的图象上.

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)令b n =a n +1-1

2a n ,若数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:S n <5.

19.(1)∵函数f (x )=a x

的图象过点(1,12

),

∴a =12,f (x )=(12

)x

.

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