山东省淄博市2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题及答案

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高三复习阶段性诊断考试试题

理科数学（解析版）

本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

1. 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =?.

2.球的体积公式34

3

V R π=

，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

（1）已知复数121,1z i z i =-=+，则

12

z z i

等于 (A) 2i (B) 2i - (C) 2i + (D) 2i -+

【答案】：B

（2）设集合{}{}

2230,,x

A x x x

B y y e x R A B =--<==∈=，则I

(A) ()03， (B) ()02， (C) ()0，1 (D) ()1，2

【答案】：A

（3）已知函数()2sin(2)(||)2

f x x π

??=+<

的图象过点，则()f x 的图象的一个对称中心

是

(A) (,0)3

π

-

(B) (,0)6

π-

(C) (

,0)6

π (D) (

,0)4

π 【答案】：B

（4）下列四个结论：

①命题“,ln 0x R x x ?∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ?∈-≤”；

②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆否命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④若0x >，则sin x x >恒成立. 其中正确结论的个数是 (A) 1个 (B) 2个

(C) 3个

(D) 4个

【答案】：C （5）已知函数()()2

1cos ,4

f x x x f x '=

+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是

(A) (B) (C) (D)

【答案】：A （6）如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的

值是

(A) 0 (B) 1- (C) 2-

(D) 3-

【答案】：C

（7）已知函数()()()2

111f x x x a x a b ??=-+++++??的三个

零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则22

a b +的取值范围是

A.)+∞

B.

)

+∞ C.[)5,+∞ D.()5,+∞

【答案】：D

（8）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不

在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为

(A) 432

(B) 288

(C) 216

(D) 144

【答案】：B ；法一：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有22326C A =种．

先排3个奇数：①若1排在左端，方法有2

2A 种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，

方法有12C 种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有1

3C 种，

根据分步计数原理求得此时

结束

满足条件的六位数共有

211223672A C C =种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有2

2A 种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步

计数原理求得此时满足条件的六位数共有

22

246144A A =种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B ；法二：223222

323423(2)288C A A A A A -=．

（9）已知()2

223,0

43,0

x x x f x x x x ?--+>?=?-+≤??，不等式()()2f x a f a x +>-在[],1a a +上恒成立，则实

数a 的取值范围是

(A) (),2-∞-

(B) (),0-∞

(C) ()0,2

(D) ()2,0-

【答案】：A

（10）已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的

右支交于两点，若抛物线2

4y cx =

的准线被双曲线截得的弦长是2

3

be （e 为双曲线的离心率）

，则e 的值为

(A)

(B)

(C)

2

33

或

(D)

【答案】：B

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 【答案】：6

第11题图

（12）若1a >，函数()()2

221f x x x a g x x x a =++=-++与有相同的最小值，则

()1

a

f x dx =?___________．

【答案】：

28

3

2

（13）设,,a b c r r r

是单位向量，且()()

0a b a c b c ?=+?+r r r r r r ，则的最大值为________．

【答案】

：1（14）在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：

（Ⅰ）对任意R a ∈，0a a *=；

（Ⅱ）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．

关于函数1

()()x

x f x e e

=*

的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．

其中所有正确说法的序号为 ．

【答案】：①② （15）已知函数()21

f x x =

+，点O 为坐标原点，点()()()*

,n A n f n n N ∈，向量()0,1,n m θ=是向量n OA uu r 与m 的夹角，则3

2015121232015

cos cos cos cos sin sin sin sin θθθθθθθθ+++??????+

的值为__________. 【答案】：

2015

1008

三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）

设向量(sin 2,cos2)m x x ωω=，(cos ,sin )n ??=，其中2

π

?<

，0ω>，函数

()f x m n =?的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为(,1)6

P π

，在原点

右侧与x 轴的第一个交点为5(,0)12

Q π

. （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；

（Ⅱ）在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若3

()1,2

f C CA

CB =-=-

， 且a b +=c ．

解：解：（I ）因为()f x m n ==sin(2)x ω?+， -----------------------------1分 由题意

514126

T T πππω=-∴=∴=， -----------------------------3分 将点(

,1)6

P π

代入sin(2)y x ?=+，得sin(2)16

π

??+=，

所以2,()6

k k π?π=

+∈Z ，又因为||,2

6

π

π

??<

∴=

-------------------5分

即函数的表达式为()sin(2),()6

f x x x R π

=+

∈． ---------------------6分

（II ）由()1f C =-，即sin(2)16

C π

+

=-

又

20,3

C C π

π<<∴=

------------------------8分 由32CA CB =- ，知3

cos 2

ab C =-，

所以3ab = -----------------10分

由余弦定理知22222cos ()22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+-

-

21

2323()92

=-?-??-=

所以 3c = ----------------------------------------------------12分

（17）（本小题满分12分）

在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点， =90ABC ACD ?∠∠=,=60BAC CAD ?∠∠=, 2AC AP ==. （Ⅰ）求证：PC AE ⊥；

（Ⅱ）求二面角A CE P --的余弦值． 解：（Ⅰ）取PC 的中点F ,连接EF ,AF , 则EF ∥CD . 因为2AC AP ==

所以PC AF ⊥.………………………………1分 因为 PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD

所以 PA CD ⊥ 又 AC CD ⊥

所以 CD ⊥平面PAC ……………………………………………………………3分 因为PC ?平面PAC ,所以 CD ⊥PC ； 又 EF ∥CD ，所以 EF PC ⊥； 又因为 PC AF ⊥,AF

EF F = ；

所以 PC ⊥平面AEF ……………………………………………………………5分 因

为

AE ?平面

AEF

，所以

PC AE ⊥ …………………………6分

（注：也可建系用向量证明）

（Ⅱ）以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

P

A

B

C D

P

E

B xyz -.

则()0,0,0B ,()0,1,0A

,)

C

，()D

,)

2,1E

,()0,1,2P

(

)

3,1,0AC =

-，()0,2,1CE =.

………………………………………………8分

设平面ACE 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,

0.

AC CE ??=???=??

n n 所以0,20.y y z -=+=??

令1

x =.

所以1(1=-n . ……………………9分 由（Ⅰ）知CD ⊥平面PAC ,AF ?平面PAC ,所以CD ⊥AF .

同理PC ⊥AF .所以AF ⊥平面PCE 所以平面PCE 的一个法向量231

(

,1)2

AF ==-n . …………………10分

所以121212cos ,4

?=

=-

?n n n n n n ， ……………………11分 由图可知，二面角A CE P --为锐角，

所以二面角A CE P -- ……………………12分 （18）（本小题满分12分）

某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每

两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分． 根据以往的比赛情况统计：

注：各队之间比赛结果相互独立． （Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；

（Ⅱ）设随机变量X 为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）在目前的积分情况下，M 同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N 同学认为：乙队

至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证

明）

解析：

（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A 1、A 2、A 3，乙队胜、平、负丁队为事件B 1、B 2、B 3． 则1()P A =2()P A =

14，3()P A =1

2

；1()P B =2()P B =3()P B =13；…………2分

设乙队最后积4分为事件C ， 则1313()()()()()P C P A P B P B P A =+=

11111

43234

?+?=．…………………4分 （Ⅱ）随机变量X 的可能取值为：7，5，4，3，2，1．………………5分

11111

(7)()()4312

P X P A P B ===?=；

122111111

(5)()()()()43436P X P A P B P A P B ==+=?+?=；

133111111

(4)()()()()43234

P X P A P B P A P B ==+=?+?=；

22111

(3)()()4312

P X P A P B ===?=；

233211111

(2)()()()()43234

P X P A P B P A P B ==+=?+?=；

33111

(1)()()236

P X P A P B ===?=；

………………………………………………8分

11111110

()754321126412463

E X =?

+?+?+?+?+?=．……………10分 （Ⅲ）N 同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．……………12分

当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4，3，2，1，乙队为小组第2出线； 当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线； （19）（本小题满分12分）

,12,2,1(1)(1)

n n n n a a +--n n S .

解：(Ⅰ)设第一列依次组成的等差数列的公差为d ， 设第一行依次组成的等比数列的公比为(0)q q ≠，

则22

2,32,13,23,1(1)8(12)6

a a q d q a a q d q ?==+=??==+=?? ………………………………4分 解得：7

18

d d =-=或，因为等差数列是正数数列，所以1d =，2q = …………5分

12,2,12n n n a a q -== ………………………………6分（Ⅱ）因

为,11,1(1)n a a n d n =+-= ………………………………7分 所以 2,,12,2,1(1)(1)(1)

n

n n n n n a b a a a +=

+---

11

211(1)(1)(21)(21)2121

n n n

n n n n n n ++=+-=-+----- ……………………9分 11111111(1)()()()12345(1)3377152121n n n n S n +=-+-+-++--+-+-++---

11

112345(1)2

n n n +=--+-+-++- ………………………………10分

当n 为偶数时11122n n n

S +=-+ ………………………………11分

当n 为奇数时111

122

n n n S ++=-- ………………………………12分

（20）（本小题满分13分）

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为2

2．过点M 作倾斜角互补的两

条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）证明：直线PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ 能否为直角？证明你的结论．

解：（Ⅰ）由题设，得4a 2＋1

b

2＝1，①

且a 2－b 2a ＝22， ②

由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，

椭圆C 的方程为x 26＋y 2

3

＝1． …………………………………………………3分

（Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．由题意知，直线MP 、MQ 的斜率存在． 设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，

－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋2

1＋2k 2

．

设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，

同理得x 2＝－4k 2－4k ＋2

1＋2k 2

．………………………………………………………6分

因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，

故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2

＝8k

1＋2k

2

8k 1＋2k 2

＝1，

因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………………9分 （Ⅲ）（方法一）设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 假设∠PMQ 为直角，则k ·(－k )＝－1，k ＝±1．…………………………11分 若k ＝1，则直线MQ 方程y ＋1＝－(x ＋2)， 与椭圆C 方程联立，得x 2＋4x ＋4＝0，

该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k ＝－1也不合题意． 故∠PMQ 不可能为直角．…………………………………………………………13分 （方法二）由（2）直线PQ 的斜率为1，设其方程为y x m =+

2

2

163

x

y y x m

?+

=???=+?由 得2

2

34260x mx m ++-= 2

1

2

1

2

426,33

m m x x x x -∴+=-=

1

1

2

2

(2,1),(2,1)MP x y MQ x y =++=++

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

(2)(2)(1)(1)

=2(3)()25

263=2(3)2533

=21

MP MQ x x y y x x m x x m m m m

m m m m m ∴?=+++++++++++--?++?+++-+

假设PMQ ∠为直角，则由2

210m m -+=得1m =………………………………11分

所以直线PQ 的方程为1y x =+

因为点M （-2，-1）在直线1y x =+上，即点Ｐ或点Ｑ中有一点与点Ｍ重合，不符合题意． 所以PMQ ∠不可能为直角．………………………………13分 （21）（本小题满分14分）

已知函数()=ln(1+)ax

f x x x a

-

+． （Ⅰ）证明：当1a =，0x >时，()0f x >； （Ⅱ）若1a >，讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性； （Ⅲ）设*n N ∈，比较

12231

n n ++???++与ln(1)n n -+的大小，并加以证明． 解：（Ⅰ）当1a =时，()=ln(1+)1

x

f x x x -+，222

1(1)()=1+(1)(1)x x x x f x x x x +-+'-=++……1分 所以0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 又(0)=0f ， ()(0)0f x f >=；

结论得证．………………………………………………………4分 （Ⅱ）由题设，()()()()()

2

2

20,,1x x a a x f x x x a ??--??

'∈+∞=

++．…………………5分

① 当2

20a a -≤，即12a <≤时，

则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．…………………7分

② 当2

20a a ->，即2a >时，

有()

20,2x a a ∈-时，()0,f x '<()f x 在()

2

0,2a a -上是减函数；

()22,x a a ∈-+∞时，()0,f x '>()f x 在()22,a a -+∞上是增函数．……9分

综上可知，当12a <≤时， ()f x 在()0,+∞上是增函数；当2a >时，()f x 在()

2

0,2a a

-上是减函数，在()22,a a -+∞上是增函数．……10分

（Ⅲ）

12ln(1)231

n n n n ++???+>-++，证明如下： 方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1

由（Ⅰ），可得ln(1＋x )>x

1＋x

，x >0.

令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1

n ＋1

下面用数学归纳法证明．

① 当n ＝1时，1

2

②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1

k ＋1

那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2

k ＋2

即结论成立．

由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．………………………………………………………14分 方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1

由（Ⅰ），可得ln(1＋x )>x

1＋x

，x >0.

令x ＝1

n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.………………………………11分

故有ln 2－ln 1>12，

ln 3－ln 2>1

3，

……

ln(n ＋1)－ln n >1

n ＋1

，

上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1

n ＋1

，

结论得证．………………………………………………………14分

方法三：如图，??0

n x x ＋1

d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋

n

n ＋1

是图中所示各矩形的面积和，………………………………12分 错误！未找到引用源。

∴12＋23＋…＋n n ＋1>??0

n x x ＋1

d x ＝ ??0

n ???

?1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证．………………………………………………………14分