北京市怀柔区2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理

怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高二数学理试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．在空间，可以确定一个平面的条件是 A ．两条直线 B ．一点和一条直线 C ．三个点 D ．一个三角形 2．直线10x y --=的倾斜角是

A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 3. 若椭圆

116

252

2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离为 A ．7

B ．5

C ．3

D ．2

4．在空间，下列结论正确的是

A ．平行直线的平行投影重合

B ．平行于同一直线的两个平面平行

C ．垂直于同一平面的两个平面平行

D ．垂直于同一平面的两条直线平行

5．已知双曲线22116x y m

-=的离心率为5

4, 则m =

A ．7

B ．6

C ．9

D ．8

6．已知(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足2

PA PB x ?=，则动点P 的轨迹为

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．两条平行直线

7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为

A ．8

B ．

主视图

左视图

C ．10

D ．

8．设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=，则0x 的取值范围是

A ．[1,1]-

B ．11[,]22-

C ．[

D ．[22

-

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．原点到直线4310x y +-=的距离为___________． 10．抛物线22y x =的准线方程是___________．

11．已知(1,=a ，(1=-b ，则?+=a b b ___________． 12．过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________． 13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．

14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下 问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个 圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺， 米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为

1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PD DC ==，

G ，F 分别是,AD PB 的中点．

（Ⅰ）求证：CD PA ⊥； （Ⅱ）证明：GF ⊥平面PBC ． .

16．（本题满分13分）

已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P ，并且垂直于直线

012=--y x ．

（Ⅰ）求交点P 的坐标； （Ⅱ）求直线l 的方程．

17．（本小题满分13分）

如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点． （Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；

（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值．

18．（本小题共13分）

已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3)． （Ⅰ）求直线l 的方程；

（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程．

19．（本小题满分14分）

如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，

90ADC BAD ?∠=∠=．F 为PA 中点，PD =1

12

AB AD CD ===． 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．

（Ⅰ）求证：AC // 平面DEF ； （Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；

（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与

平面BCP 所成角的大小为6π

？ 若存在，求出

Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ?面积的最大值．

高二数学理科参考答案及评分标准 2017.1

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．

9.

1

5

； 10. 12x =-；

11. 1；

12. x-2y-1=0； 13. 16π； 14. 22． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PD DC ==，

G ，F 分别是,AD PB 的中点．

（Ⅰ）求证：CD PA ⊥； （Ⅱ）证明：GF ⊥平面PBC ． . 解法一： （Ⅰ）证明：

因为ABCD 是正方形， 所以 CD AD ⊥. 又PD ⊥底面ABCD ， 所以PD CD ⊥.又AD

PD D =,

所以CD ⊥平面PAD .而PA ?平面PAD ,

所以CD PA ⊥. -------------------------------------6分 （Ⅱ）取PC 的中点M ，连结,DM FM ,所以FM ∥BC ，1

2

FM BC =， 因为GD ∥BC ，1

2

GD BC =

，所以四边形FMDG 为平行四边形， 所以GF ∥DM . 又易证⊥BC 平面PDC ，所以DM BC ⊥,又PD DC =,M 为PC 的中点， 所以DM PC ⊥.则GF BC ⊥且GF PC ⊥ . 又BC PC C ?=,

所以GF ⊥平面PCB ---------------------------------------------13分

解法二： （Ⅰ）证明：

以D 为原点建立如图空间直角坐标系 则(2,0,0)

(2,2,0)(0,2,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C P F

所以(2,0,2)PA =-,(0,2,0)DC =.

则0PA DC ?=，所以PA CD ⊥. --------------------------6分 （Ⅱ）设(1,0,0)G 则(0,1,1)FG =--，(2,0,0)CB =，(0,2,2)PC =-.

又0,0,

FG CB FG PC ??=???=?? 故GF ⊥平面PCB . ------------------------------------------------13分 16.（本题满分13分）

已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P ，并且垂直于直线

012=--y x .

（Ⅰ）求交点P 的坐标； （Ⅱ）求直线l 的方程.

解：（Ⅰ）由3420220x y x y +-=??++=?，，得22x y =-??=?

，，

所以P (2-，2). --------------------------------------------------5分

（Ⅱ）因为直线l 与直线012=--y x 垂直，

所以2-=l k ，

所以直线l 的方程为022=++y x .---------------------------------------13分 17.（本小题满分13分）

如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点.

（Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；

（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值.

（Ⅰ）如图，建立坐标系A-xyz,

则A(0，0，0)，

E （1，0，2

1

），

A 1（0，0，1）

F （

2

1

，1，0） =(1，0，21

),

A 1=(2

1

，1，-1)

A 1?=0 所以F A AE 1⊥

所以AE 与A 1F 所成角为90°-------------------------------------6分 （Ⅱ）解法1：∵1111ABCD A BC D -是正方体，

∴BB 1⊥平面ABCD

∴∠EAB 就是AE 与平面ABCD 所成角，又E 是BB 1中点， 在直角三角形EBA 中，tan ∠EAB =

2

1

.-------------------------------------13分 解法2：设AE 与平面ABCD 所成角为α 平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1) 则 sin α=cos<,n

5

1, 可得 tan α=

2

1 ∴AE 与平面ABCD 所成角的正切等于2

1

. ----------------------------------13分 18．（本小题共13分）

已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3). （Ⅰ）求直线l 的方程；

（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程.

解：（Ⅰ）由已知，直线l 的斜率31

142

k -=

=-， 所以，直线l 的方程为10x y --=. --------------------6分

（Ⅱ）因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(,1)a a -，

因为圆C 与y 轴相切于(0,3)点，所以圆心在直线3y =上. 所以4a =.

所以圆心坐标为(4,3)，半径为4.

所以，圆C 的方程为22(4)(3)16x y -+-=. ---------------------------13分

19.（本小题满分14分）

如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ?

∠=

∠=. F 为PA 中点，

PD =1

1.2

AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .

(I) 求证：AC // 平面DEF ； (II) 求二面角A BC P --的大小；

(III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与 平面BCP 所成角的大小为

6

π

？ 若存在，求Q 点 所在的位置；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ?中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC

因为,,FN DEF AC DEF ??平面平面

所以//DEF AC 平面 ----------------------------------5分

(Ⅱ)如图以D

,,DA DC DP 轴，建立空间直角坐标系.D xyz -

则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),(1,1,0).P B C PB BC =-=-所以

设平面PBC 的法向量为

(,,),m x y z =则(,,)(1,1,0

,(,,)(1,1,0)0

m PB x y z m BC x y z ??=?=??

?=?-=??

即0,0

x y x y ?+-

=??

-+=?? 解得,x x

z =???

=??

令1x =，得 1

1,x y

z ?=?

=??

=? 所以(1,1m =

因为平(0,0,1),ABC n =面的法向量 所以2cos ,n m n m n m

?=

=

?， 由图可知二面角A BC P --为锐二面角， 所以二面角A BC P --的大小为

.4

π

-----------------------------10分 (Ⅲ)

设存在点Q 满足条件，且Q 点与E 点重合.

由1(22

F E 设

(01)FQ FE λλ=≤≤， 整理得 1

(

,22Q λλ-，1(,22BQ λλ+=-- 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为

6

π， 所以 1sin

|cos ,|||62

219BQ m BQ m BQ m π?====?， 则2

1,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合. -------------------14分

20．（本小题满分14分）

已知圆:O 2

2

1x y +=的切线l 与椭圆:C 2

2

34x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ?面积的最大值.

解：（Ⅰ）由题意可知24a =，2

43b =

，所以222

83

c a b =-=．

所以3c e a ==

．所以椭圆C

的离心率为3

-----------------------------------5分

（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．

在223144

x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ?=-=．所以OA OB ⊥． 同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+

1=，即221k m +=．

由22

34

y kx m x y =+??

+=?，得222

(31)6340k x kmx m +++-=．显然0?>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km

x x k +=-+，2122

3431

m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 所以1212OA OB x x y y ?=+221212(1)()k x x km x x m =++++

22

222346(1)3131

m km

k km m k k -=+-+++

222222

2(1)(34)6(31)31

k m k m k m k +--++=+

222

44431

m k k --=+ 222

4(1)44031

k k k +--==+． 所以OA OB ⊥．

综上所述，总有OA OB ⊥成立． ----------------------------------------------10

分

（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ?的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．

则1OAB S ?=.

当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，

AB =

=

2

31

k =+

==

= 所以22422

2

224242

4(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961

k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 242

22164164164419613396k k k k k

=+?=+≤+=++++

（当且仅当k =时，等号成立）

．所以AB ≤

．此时

, max (S )OAB ?=.

综上所述，当且仅当k =时，OAB ?

．-------------------14分