2016新课标三维人教物理必修2 第七章 机械能守恒定律 第10节 能量守恒定律与能源

第10

节

能量守恒定律与能源

一、能量守恒定律

1．建立能量守恒定律的两个重要事实 (1)确认了永动机的不可能性。

(2)发现了各种自然现象之间能量的相互联系与转化。 2．内容

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。

3．意义

能量守恒定律的建立，是人类认识自然的一次重大飞跃。它是最普遍、最重要、最可靠的自然规律之一，而且是大自然普遍和谐性的一种表现形式。

二、能源和能量耗散 1．能源与人类社会

1．能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从 一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移 到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量 保持不变，这个规律叫做能量守恒定律。

2．能量耗散是指可利用的能源最终变成了周围环境的 内能，我们无法把这些散失的能量收集起来重新利 用。

3．能量耗散反映了能量转化的宏观方向性，所以能源 的利用是有条件的，也是有代价的，自然界的能量 虽然守恒，但还是要节约能源。

4．功和能量的关系：功是能量转化的量度。

人类对能源的利用大致经历了三个时期，即柴薪时期、煤炭时期、石油时期。自工业革命以来，煤和石油成为人类的主要能源。

2．能量耗散

燃料燃烧时一旦把自己的热量释放出去，就不会再次自动聚集起来供人类重新利用。电池中的化学能转化为电能，电能又通过灯泡转化成内能和光能，热和光被其他物体吸收之后变成周围环境的内能，我们无法把这些散失的能量收集起来重新利用。

3．能源危机的含义

在能源的利用过程中，即在能量的转化过程中，能量在数量上虽未减少，但在可利用的品质上降低了，从便于利用的变成不便于利用的了。

4．能量转化的方向性与节约能源的必要性

能量耗散反映了能量转化的宏观过程具有方向性。所以，能源的利用是有条件的，也是有代价的，所以自然界的能量虽然守恒，但还是很有必要节约能源。

1．自主思考——判一判

(1)当一个物体的能量减少时，一定有其他物体的能量增多。(√)

(2)做功越多，能量的转化也越多。(√)

(3)外力对物体不做功，这个物体就没有能量。(×)

(4)煤、石油、天然气属于常规能源。(√)

(5)电能、焦炭、氢能属于一次能源。(×)

(6)冒起的煤烟和散开的炭灰可以重新合成一堆煤炭。(×)

2．合作探究——议一议

(1) 一个叫丹尼斯·李(Dennis Lee)的美国人在《美国今日》《新闻周刊》等全国性报刊上刊登大幅广告，在全美各地表演，展示其号称无需任何能源的发电机。

图7-10-1

你认为这种发电机能造出来吗？

提示：不能。能量守恒定律是自然界最普遍、最重要、最可靠的规律之一，物体间只能发生能量的转化或转移，但总能量不变，任何事物都不可能违背能量守恒定律。

丹尼斯·李发明的发电机不消耗其他能量而源源不断地产生电能，违背了能量守恒，因此这种发电机不能制造出来。

(2)如图7-10-2所示是我国能源结构的统计图，

图7-10-2

请根据此图数据完成下面两个问题：

①总结出我国能源结构或能源现状的规律。

②试着提出解决这种现状的合理化建议。

提示：①我国的能源结构主要以煤为主；我国的能源消耗中不可再生能源占据的比例过大，结构不合理；我国能源消耗中可再生能源的比例过小。

②建议：节能降耗；开发新能源；开发可再生能源(如太阳能、风能等)。

能量守恒定律的应用

1．适用范围

能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律。

2．表达式

(1)E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。

(2)ΔE增＝ΔE减，增加的那些能量的增加量等于减少的那些能量的减少量。

3．应用步骤

(1)明确研究对象及研究过程。

(2)明确该过程中，哪些形式的能量在变化。

(3)确定参与转化的能量中，哪些能量增加，哪些能量减少。

(4)列出增加的能量和减少的能量之间的守恒式(或初、末状态能量相等的守恒式)。

[典例]如图7-10-3所示，一个粗细均匀的U形管内装有同种液体，液体质量为m。在管口右端用盖板A密闭，两边液面高度差为h，U形管内液体的总长度为4h，先拿去盖板，液体开始运动，由于管壁的阻力作用，最终管内液体停止运动，则该过程中产生的内能为()

图7-10-3

A.1

16mgh B.1

8mgh C.1

4

mgh D.1

2

mgh [审题指导]

(1)管内液体至最终停止运动时，液体的重力势能减小了。 (2)系统机械能的减少量等于系统内能的改变量。

[解析] 去掉右侧盖板之后，液体向左侧流动，最终两侧液面相平，

液体的重力势能减少，减少的重力势能转化为内能。如图所示，最终状态可等效为右侧1

2h 的液柱移到左侧管中，即增加的内能等于该液柱减

少的重力势能，则Q ＝18mg ·12h ＝1

16

mgh ，故A 正确。

[答案] A

利用能量转化与转移解题的两点注意

(1)能量既可通过做功的方式实现不同形式的能量之间的转化，也可在同一物体的不同部分或不同物体间进行转移。

(2)能量在转化与转移过程中，能量的总量保持不变。利用能量守恒定律解题的关键是正确分析有多少种能量变化，分析时避免出现遗漏。

1．(多选)行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的火焰；降落伞在空中匀速下降；条形磁铁在下落过程中穿过闭合线圈，线圈中产生电流。上述不同现象中所包含的相同的物理过程是( )

A ．物体克服阻力做功

B ．物体的动能转化为其他形式的能量

C ．物体的势能转化为其他形式的能量

D ．物体的机械能转化为其他形式的能量

解析：选AD 这四个现象中物体运动过程中都受到阻力作用，汽车主要受摩擦阻力，流星、降落伞受空气阻力，条形磁铁下落受磁场阻力，因而物体都克服阻力做功，A 正确。

四个物体的运动过程中，汽车是动能转化成了内能，流星、降落伞、条形磁铁是重力势能转化成其他形式的能，总之机械能转化成了其他形式的能，D 正确。

2.如图7-10-4所示，滑块从A 点由静止开始沿曲面下滑，过O 点后滑至右边曲面B 点时的速度恰好等于0，O 点附近光滑，滑块经过O 点时不发生碰撞。若滑块从B 点以某一速度v 沿原路径往回滑，到达A 点时的速度也恰好为0。求A 、B 两点间的高度差。(假设滑块从A 点到B 点与从B 点到A 点因摩擦而产生的内能相同)

图7-10-4

解析：

答案：

v 2

4g

对功能关系的理解

1．功与能量的转化

不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程，且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)。因此，功是能量转化的量度。

2．功与能的关系

由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能关系如下：

功

能的变化 表达式

重力做功

正功 重力势能减少 W G ＝E p1－E p2

负功 重力势能增加 弹力做功

正功 弹性势能减少 W 弹＝E p1－E p2

负功

弹性势能增加

合力做功

正功 动能增加 W 合＝E k2－E k1

负功 动能减少 其他力做功

正功 机械能增加 W 他＝E 2－E 1

负功

机械能减少

注：其他力指的是重力和系统内弹力之外的力。

[典例] (多选)竖直向上的恒力F 作用在质量为m 的物体A 上，使A 从静止开始运动，升高h ，速度达到v ，在这个过程中，设阻力恒为F 阻。则下列表述正确的是( )

A ．恒力F 对物体做的功等于物体机械能的增量，即Fh ＝1

2

m v 2＋mgh

B ．恒力F 与阻力F 阻对物体做的功等于物体机械能的增量，即(F －F 阻)h ＝1

2m v 2＋mgh

C ．物体所受合力的功，等于物体机械能的增量，即(F －F 阻－mg )h ＝1

2m v 2＋mgh

D ．物体所受合力的功，等于物体动能的增量，即(F －F 阻－mg )h ＝1

2

m v 2

[解析] 本题中，施恒力F 的物体是所述过程能量的总来源。加速运动过程终结时，物体的动能、重力势能均得到增加。除此之外，在所述过程中，因阻力的存在，还将有内能产生，其量值为F 阻h ，可见Fh >12m v 2，同时，Fh >1

2m v 2＋mgh 。选项B 的含意为：物体所受

除重力、弹簧弹力以外的力对物体做的功等于物体机械能的增量，这个结果，通常又称之为功能原理。选项D 为动能定理的具体表述。虽说表述各有不同，但都是能量守恒的具体反映。

[答案] BD

应用功能关系解题的关键

应用功能关系解题的关键是深刻理解不同功能关系的含义：

(1)重力做功是物体重力势能变化的原因，重力做多少功，重力势能就减少多少； (2)弹力做功是弹簧弹性势能变化的原因，弹力做多少功，弹性势能就减少多少； (3)合力做功是物体动能变化的原因，合力做多少功，动能就增加多少；

(4)除重力和系统内弹力之外的其他力做功是机械能变化的原因，其他力做多少功，机械能就增加多少。

1.一个盛水袋，某人从侧面缓慢推装液体的袋壁使它变形至如图7-10-5所示位置，则此过程中袋和液体的重心将( )

图7-10-5

A ．逐渐升高

B ．逐渐降低

C ．先降低再升高

D ．始终不变

解析：选A 人对液体做正功，液体的机械能增加，液体缓慢移动可以认为动能不变，重力势能增加，重心升高，A 正确。

2．(多选)一质量为m 的物体，在距地面高h 处以1

3g 的加速度由静止竖直下落到地面，

下列说法中正确的是( )

A ．物体的重力势能减少1

3mgh

B ．物体的机械能减少2

3mgh

C ．物体的动能增加1

3mgh

D ．物体的重力做的功为mgh

解析：选BCD 物体从高h 处落到地面的过程中，重力做的功为mgh ，重力势能减少mgh ，选项A 错误，D 正确；物体的加速度为13g ，故合外力为13mg ，合外力做的功为1

3mgh ，

根据动能定理，物体的动能增加13mgh ，选项C 正确；物体的重力势能减少mgh ，动能增加

1

3mgh ，故机械能减少了2

3

mgh ，选项B 正确。

摩擦力做功与能量的关系

[典例] 如图7-10-6所示，电动机带动水平传送带以速度v 匀速传动，一质量为m 的小木块由静止轻放在传送带上。若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，求：

图7-10-6

(1)小木块的位移。 (2)传送带转过的路程。 (3)小木块获得的动能。 (4)摩擦过程产生的热量。

(5)电动机带动传送带匀速转动输出的总能量。

[解析] 小木块刚放上传送带时，速度为0，受到传送带的滑动摩擦力作用，做匀加速直线运动，达到与传送带相同的速度后不再受摩擦力。整个过程中小木块获得一定的动能，系统内因摩擦产生一定的热量。

(1)对小木块，相对滑动时，由μmg ＝ma ，得a ＝μg ， 由v ＝at ，得小木块与传送带相对静止时所用的时间t ＝v

μg

，

则小木块的位移l ＝12at 2＝v

2

2μg

。

(2)传送带始终匀速运动，转过的路程s ＝v t ＝v 2

μg 。

(3)小木块获得的动能E k ＝1

2

m v 2。

(4)摩擦过程产生的热量Q ＝μmg (s －l )＝1

2

m v 2。

(5)由能的转化与守恒得，电动机输出的总能量转化为小木块的动能与摩擦产生的热量，所以E 总＝E k ＋Q ＝m v 2。

[答案] (1)v 22μg (2)v 2μg (3)12m v 2 (4)1

2m v 2 (5)m v 2

1．摩擦力做功特点

(1)无论是静摩擦力还是滑动摩擦力，它们都可以做负功或做正功，也可以不做功。 (2)互为作用力和反作用力的一对静摩擦力所做的总功为零；而互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力所做的总功一定为负值。

2．因摩擦而产生的内能的计算

Q ＝F f ·x 相，其中F f 指滑动摩擦力的大小，x 相指发生摩擦的物体间的相对位移的大小。

1．(多选)如图7-10-7所示，在光滑水平面上放一辆小车，小车的左端放一只箱子，在水平恒力F 作用下，将箱子从小车右端拉出，如果第一次小车被固定于地面，第二次小车不固定，小车在摩擦力作用下可沿水平面运动，在这两种情况下( )

图7-10-7

A ．摩擦力大小不相等

B ．F 所做的功不相等

C ．摩擦产生的热量相等

D ．箱子增加的动能相等

解析：选BC 小车固定时，箱子的位移等于小车的长度，设为L ；小车不固定时，小车相对地面的位移设为x ，则箱子的位移为x ＋L 。两种情况下，滑动摩擦力F f 都等于μmg ，F 做的功分别为W 1＝FL ，W 2＝F (x ＋L )；摩擦产生的热量Q 都等于F f L ；箱子增加的动能分别为ΔE k1＝(F －F f )L ，ΔE k2＝(F －F f )×(x ＋L )。故选项B 、C 正确。

2．足够长的传送带以速度v 匀速传动，一质量为m 的小物体A 由静止轻放于传送带上，若小物体与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图7-10-8所示，当物体与传送带相对静止时，转化为内能的能量为( )

图7-10-8

A ．m v 2

B ．2m v 2 C.1

4

m v 2 D.12

m v 2 解析：选D 物体A 被放于传送带上即做匀加速直线运动，加速度a ＝μmg

m ＝μg ，匀加速过程前进的距离x 1＝v 22a ＝v 22μg 。该时间内传送带前进的距离x 2＝v t ＝v ·v μg ＝v 2

μg 。所以物体相对传送带滑动距离Δx ＝x 2－x 1＝v 22μg 。故产生的内能Q ＝μmg ·Δx ＝μmg ·v 22μg ＝12m v 2，D 正

确。

3．如图7-10-9所示，在光滑水平地面上放置质量M ＝2 kg 的长木板，木板上表面与固定的光滑弧面相切。一质量m ＝1 kg 的小滑块自弧面上高h 处由静止自由滑下，在木板上滑行t ＝1 s 后，滑块和木块以共同速度v ＝1 m /s 匀速运动，g 取10 m/s 2。求：

图7-10-9

(1)滑块与木块间的摩擦力大小F f ；

(2)滑块下滑的高度h ；

(3)滑块与木板相对滑动过程中产生的热量Q 。 解析：(1)对木板：F f ＝Ma 1 由运动学公式，有v ＝a 1t ， 解得F f ＝2 N 。 (2)对滑块：－F f ＝ma 2

设滑块滑上木板时的速度是v 0， 则v －v 0＝a 2t ，v 0＝3 m/s 。 由机械能守恒定律有mgh ＝1

2m v 02，

h ＝v 022g ＝322×10 m ＝0.45 m 。

(3)根据功能关系有： Q ＝12m v 02－1

2

(M ＋m )v 2

＝12×1×32 J －1

2×(1＋2)×12 J ＝3 J 答案：(1)2 N (2)0.45 m (3)3 J

1．一个物体沿粗糙斜面匀速滑下，则下列说法中正确的是( ) A ．物体机械能不变，内能不变 B ．物体机械能减少，内能不变

C ．物体机械能减少，内能增加，机械能与内能总量减少

D ．物体机械能减少，内能增加，机械能与内能总量不变

解析：选D 物体沿粗糙斜面匀速滑下，由于摩擦，内能增加，机械能减少，由能量守恒可知，机械能转化成内能，但机械能和内能的总量不变。故A 、B 、C 错误，D 正确。

2．在今年上海的某活动中引入了全国首个户外风洞飞行体验装置，体验者在风力作用下漂浮在半空。若减小风力，体验者在加速下落过程中( )

A ．失重且机械能增加

B ．失重且机械能减少

C ．超重且机械能增加

D ．超重且机械能减少

解析：选B 据题意，体验者漂浮时受到的重力和风力平衡；在加速下降过程中，风力

小于重力，即重力对体验者做正功，风力做负功，体验者的机械能减小；加速下降过程中，加速度方向向下，体验者处于失重状态，故选项B正确。

3．一质量均匀、不可伸长的绳索，重为G，A、B两端固定在天花板上，现在最低点C 处施加一竖直向下的力，将最低点缓慢拉至D点，在此过程中，绳的重心位置()

图1

A．逐渐升高B．逐渐降低

C．先降低后升高D．始终不变

解析：选A外力对绳索做正功，绳索的机械能增加，由于绳索的动能不变，增加的必是重力势能，重力势能增加是重心升高的结果，故A正确。

4.(多选)在最近几年的空调市场上出现一个新宠——变频空调，据专家介绍变频空调比定频的要节能，因为定频空调开机时就等同于汽车启动时，很耗能，是正常运行的5～7倍。空调在工作时达到设定温度就停机，等温度高了再继续启动。这样的频繁启动，耗电多，而变频空调启动时有一个由低到高的过程，而运行过程是自动变速来保持室内温度，从开机到关机中间不停机。而是达到设定温度后就降到最小功率运行，所以比较省电。阅读上述介绍后，探究以下说法中合理的是()

A．变频空调节能，运行中不遵守能量守恒定律

B．变频空调运行中做功少，转化能量多

C．变频空调在同样工作条件下运行效率高，省电

D．变频空调与定频空调做同样功时，消耗同样电能

解析：选CD自然界的一切过程都遵守能量守恒定律，A错。功是能量转化的量度，做同样功，消耗同样电能，B错、D对。由变频空调的工作特点可知省电的原理是效率高，C对。

5.(多选)如图2所示是流星在夜空中发出明亮的光焰。此时会有人在内心里许下一个美好的愿望。有些流星是外太空物体被地球强大引力吸引坠落到地面的过程中同空气发生剧烈摩擦造成的。下列相关说法正确的是()

图2

A．流星同空气摩擦时部分机械能转化为内能

B．引力对流星做正功则其动能增加，机械能守恒

C．当流星的速度方向与空气阻力和重力的合力不在同一直线上时，流星做曲线运动

D．流星物体进入大气层后做斜抛运动

解析：选AC流星同空气摩擦时部分机械能转化为内能，A正确；引力对流星做正功，除了重力之外还有其他力做功，机械能不守恒，B错误；当流星的速度方向与空气阻力和重力的合力不在同一直线上时，流星做曲线运动，C正确，D错误。

6．(多选)悬崖跳水是一项极具挑战性的极限运动，需要运动员具有非凡的胆量和过硬的技术。跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设质量为m的运动员刚入水时的速度为v，水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)()

A．他的动能减少了(F－mg)h

B．他的重力势能减少了mgh－1

2m v

2

C．他的机械能减少了Fh

D．他的机械能减少了mgh

解析：选AC在进入水中的过程中，由动能定理，mgh－Fh＝E′k－E k，所以动能的减少量为E k－E′k＝(F－mg)h，故A正确；重力势能的减少量等于重力所做的功，即mgh，故B错误；克服阻力所做的功等于机械能的减少量，即等于Fh，故C正确，D错误。

7．如图3所示是某类潮汐发电示意图。涨潮时开闸，水由通道进入海湾水库蓄水，待水面升至最高点时关闭闸门(如图甲)，落潮时，开闸放水发电(如图乙)。设海湾水库面积为5.0×108 m2，平均潮差为3.0 m，一天涨落潮两次，发电机的平均能量转化效率为10%，则一天内发电的平均功率约为(ρ海水＝1.0×103 kg/m3，g取10 m/s2)()

图3

A．2.6×104 kW B．5.2×104 kW

C．2.6×105 kW D．5.2×105 kW

解析：选B放水发电时，海水的重力势能减少，其中10%转化为电能。一天内提供的重力势能为E p＝2mgh＝2ρVgh＝2×1.0×103×5.0×108×3.0×10×1.5 J＝4.5×1013 J，则一

天内发电的平均功率为P＝

E p×10%

24×3 600 s

≈5.2×104 kW。故选项B正确。

8．(多选)一颗子弹以某一水平速度击中了静止在光滑水平面上的木块，并从中穿出。对于这一过程，下列说法正确的是()

A．子弹减少的机械能等于木块增加的机械能

B．子弹和木块组成的系统机械能的损失量等于系统产生的热量

C．子弹减少的机械能等于木块增加的动能与木块增加的内能之和

D．子弹减少的动能等于木块增加的动能与子弹和木块增加的内能之和

解析：选BD子弹射穿木块的过程中，由于相互间摩擦力的作用使得子弹的动能减少，木块获得动能，同时产生热量，且系统产生的热量在数值上等于系统机械能的损失。A选项没考虑系统增加的内能，C选项应考虑的是系统(子弹、木块)内能的增加，C错。

9．(多选)在离水平地面h高处将一质量为m的小球水平抛出，在空中运动的过程中所受空气阻力大小恒为f，落地时小球距抛出点的水平距离为x，速率为v，那么，在小球运动的过程中()

A．重力做功为mgh

B．克服空气阻力做的功为f·h2＋x2

C．落地时，重力的瞬时功率为mg v

D．重力势能和机械能都逐渐减少

解析：选AD重力做功为W G＝mgh，A正确。空气阻力做功与经过的路程有关，而小球经过的路程大于h2＋x2，故克服空气阻力做的功大于f·h2＋x2，B错误。落地时，重力的瞬时功率为重力与沿重力方向的分速度的乘积，故落地时重力的瞬时功率小于mg v，C错误。重力做正功，重力势能减少，空气阻力做负功，机械能减少，D正确。

10.如图4所示，质量为m的滑块以一定初速度滑上倾角为θ的固定斜面，同时施加一沿斜面向上的恒力F＝mg sin θ；已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝tan θ，取出发点为参考点，能正确描述滑块运动到最高点过程中产生的热量Q、滑块动能E k、势能F p、机械能E 随时间t和位移x关系的是()

图4

解析：选C根据滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝tan θ可知，滑动摩擦力等于重力沿斜面向下的分力。施加一沿斜面向上的恒力F＝mg sin θ，物体机械能保持不变，重力势能随位移x均匀增大，选项C正确，D错误。产生的热量Q＝F f x，随位移均匀增大，滑块动能E k 随位移x均匀减小，选项A、B错误。

11.如图5所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下，始终

保持v0＝2 m/s的速率运行。现把一质量为m＝10 kg的工件(可看为质点)轻轻放在皮带的底端，经时间1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，取g＝10 m/s2。求：

图5

(1)工件与皮带间的动摩擦因数；

(2)电动机由于传送此工件多消耗的电能。

解析：(1)由题意得，皮带长为：L＝

h

sin 30°＝3 m，

工件速度达到v0之前，从静止开始做匀加速运动，设匀加速运动的时间为t1，位移为

x1，有x1＝v t1＝v0

2t1，

假设工件最终取得了与传送带相同的速度，则达到v0之后工件将做匀速运动，有L－x1＝v0(t－t1)，

解得t1＝0.8 s<1.9 s，故工件最终取得与传送带相同的速度的假设正确。

加速运动阶段的加速度为a＝v0

t1＝2.5 m/s

2，

在加速运动阶段，根据牛顿第二定律，有

μmg cos θ－mg sin θ＝ma，解得μ＝

3 2。

(2)在时间t1内，传送带的位移为x＝v0t1＝1.6 m，

工件的位移为x1＝v t1＝v0

2t1＝0.8 m，所以在时间t1内，工件相对传送带的位移Δx＝x

－x1＝0.8 m，

在时间t1内，因摩擦而产生的热量为Q＝μmg cos θ·Δx＝60 J，

工件到达最高点时获得的动能为E k＝1

2m v0

2＝20 J，

工件增加的势能为E p＝mgh＝150 J，

所以电动机由于传送工件多消耗的电能为E＝Q＋E k＋E p＝230 J。

答案：(1)

3

2(2)230 J

12．风力发电是一种环保的电能获取方式。图6为某风力发电机外观图，现设计的每台风力发电机的功率为40 kW。实验测得风的动能转化为电能的效率约为20%，空气的密度是1.29 kg/m3，当地水平风速约为10 m/s。求风力发电机的叶片长度约为多少时才能满足设计要求？

图6

解析：设叶片长度为r ，则叶片转动的面积S ＝πr 2。

取时间t 内作用到面积为S 的叶片上的空气流为研究对象，如图所示。 这部分空气流的质量m ＝ρV ＝ρ·S v t ， 空气流的动能E k ＝1

2m v 2，

电功率P ＝E k ×20%t ＝1

10

ρπr 2v 3， 得r ＝

10P

ρπv 3

≈9.94 m 。 答案：9.94 m