同角或互余两角的三角函数关系的应用

专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用

名师点金：

1．同角三角函数关系：sin 2 α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α

. 2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)，tan α·tan (90°－α)＝1.

同角间的三角函数的应用

1．已知tan A ＝4，求sin A －3cos A

4sin A ＋cos A 的值．

2．若α为锐角，sin α－cos α＝2

2，求sin α＋cos α的值．

余角间的三角函数的应用

3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是(

) A ．sin (45°－α)＝sin (45°＋α)

B ．sin 2(45°－α)＋cos 2(45°＋α)＝1

C ．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝1

D ．cos 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝1

4．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．

同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用

5．已知s in α·cos α＝1225

(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.

6．已知α为锐角且sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，求1－2sin αcos α的值．

答案

1．解：(方法1)原式＝（sin A －3cos A ）÷cos A （4sin A ＋cos A ）÷cos A ＝sin A cos A －34sin A cos A

＋1＝tan A －34 tan A ＋1. ∵tan A ＝4，∴原式＝4－34×4＋1＝117

. (方法2)∵tan A ＝4，∴sin A cos A

＝4，∴sin A ＝4cos A. ∴原式＝4cos A －3cos A 4×4cos A ＋cos A ＝cos A 17cos A ＝117

. 2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．

解：∵sin α－cos α＝22，∴(sin α－cos α)2＝12

， 即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝12

. ∴1－2sin αcos α＝12，即2sin αcos α＝12

. ∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋12＝32

. 又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.

∴sin α＋cos α＝62

. 3．C 点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)，sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝cos 2(45°＋α)＋sin 2(45°＋α)＝1.

4．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.

点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.

5．解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α·cos α＝1225

， ∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2×1225＝4925

.

∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝75

. 又∵sin α·cos α＝1225

， ∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x 2－75x ＋1225

＝0. 点拨：此题用到两方面的知识：(1)公式sin 2α＋cos 2α＝1与完全平方公式的综合运用；

(2)若x 1＋x 2＝p ，x 1x 2＝q ，则以x 1，x 2为两根的一元二次方程为x 2－px ＋q ＝0.

6．解：∵sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根， ∴由求根公式，得

sin α＝－（－7）±（－7）2－4×2×32×2

＝7±54. ∴sin α＝12

或sin α＝3(不符合题意，舍去)． ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－????122

＝34.

又∵cos α＞0，∴cos α＝32.

∴1－2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝

（sin α－cos α）2＝|sin α－cos α|＝???

?12－32＝3－12.