复合函数的单调性例讲
复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲
山西忻州五寨一中 摄爱忠
高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．
①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键．
复合函数定义：
1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ?，则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函
数
f 与
g 的复合函数，u 叫中间变量．
外函数：)(u f y =； 内函数：)(x g u =
复合函数的单调性：同增异减.
2.
若)(x g u = )(u f y =
则)]([x g f y =
增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数
增函数
减函数
3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域；
(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性；
(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。
题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型.
例 题1：
◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，
∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0
g(1)=2-a ·1>0
，解得a<2，∴1 变式训练： ◇ 已知函数)12 1 ln( -=x y ，求其单调区间. 【分析】：由 012 1 >-x ，得 0 -= x u 在)0,(-∞∈x 上是减函数， 故函数)121 ln( -=x y 在)0,(-∞∈x 上是减函数. 题型2：外函数有一种单调性内函数有两种单调性的复合型. 例 题2： ◇求函数y=log 0.5(x 2 +4x+3)的单调区间. 解：令y= log 0.5u ，u= x 2 +4x+3，由x 2 +4x+3>0知函数的定义域为),1()3, (∞+-?--∞∈x ， 因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2 +4x+4在x ∈(-∞，-3)上是减函数， 在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知， 函数y=log 0.5(x 2 +4x+4) 在x ∈(-∞，-3)上是增函数；在x ∈(-1，+ ∞)上是减函数. 变式训练： ◇讨论函数3 4252+-? ? ? ??=x x y 的单调性。 解：函数定义域为R. 令u=x 2 -4x+3，y=0.8u 。 指数函数u y ?? ? ??=52在u ∈(-∞，+∞)上是减函数， u=x 2 -4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数， ∴ 函数3 4252+-? ? ? ??=x x y 在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。 这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R ，无需转化为自变量的取值范围。 题型3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型. 例 题3： ◇ 函数y=2sin(π 4 -2x)的单调递增区间是( ) (A).???? ??8783ππ， (B).??????8785ππ， (C).??????830π， (D). ?? ???? 40π， 解：令y=sinu ，u=π4 -2x ，∵u=π4 -2x 是R 上的减函数，而y=sinu 在u ∈[2k π+ π2，2k π+3π 2 ] (k ∈Z)上单调递减， 根据函数单调性的复合规律，令2k π+ π2≤π4 -2x ≤2k π+3π 2 得: 885ππππ-≤≤- k x k 当k=0时， ?? ????∈8783ππ ，x ， 故选(A) . 例 题4： ◇讨论函数y=(log 2x)2+log 2x 的单调性. 解：显然函数定义域为(0，+∞). 令 u=log 2x ，y=u 2 +u ∵ u=log 2x 在(0，+∞)上是增函数， y=u 2 +u 在(-∞，21- ]上是减函数，在 [2 1 -，+∞)上是增函数 【注意】:(-∞，21- ]及[2 1 -，+∞)是u 的取值范围. 令????? >-≤0 2 1log 2x x ，则0＜x≤22， (u≥21- log 2x≥21- x≥2 2) 所以y=(log 2x)2 +log 2x 在(0，22]上是减函数，在[2 2，+∞)上是增函数。 用数轴标单调区间如下： ①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调 区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合 函数的单调区间. 变式训练： ◇求函数2112 2 2log 2log 1y x x =-+的单调区间． 【解析】（1）此函数的定义域：()+∞0，； （2）此函数是由函数212 221log y u u u x x =-+=，（）复合所得； （3）内层函数的单调区间：函数12 log u x x =（）在()0,x ∈+∞单调递减； （4）外层函数的单调区间：函数2221y u u =-+在12u ? ?∈-∞ ???，单调递减，12u ??∈+∞???? ，单调递增； （5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数2112 2 2log 2log 1y x x =-+在 12u x ???∈-∞?∈+∞? ??????，单调递增；在102u x ??? ∈+∞?∈ ?? ???? ，单调递减． 【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的12u ? ?∈-∞ ??? ，调整为复合函数的自变量x 等价的 范围2x ?∈+∞?? ??? ，必须将外层函数中的12u ?? ∈+∞????，调整为复合函数的自变量x 等价的范围02x ?∈ ?? ，. ◇函数()1 923 2x x f x +=-?+的单调递减区间是 ；单调递减区间是 . 题型4：内外函数都有两种单调性的复合型. 例 题5： ◇已知函数()282,f x x x =+-则()()22g x f x =- （A ）在区间()1,0-上是减函数 （B ）在区间()0,1上是减函数 （C ）在区间()2,0-上是增函数 （D ）在区间()0,2上是增函数 【解析】设2 28)(u u u f -+=， 2 2x u -=， 外函数：增区间 ），（1-∞；减区间 ），（∞+1； 内函数：增区间 ），（0-∞；减区间 ），（∞+0 当()1,∞-∈u 时，∈-22x ()1,∞-，即22x -＜1，x ＞1或x ＜-1； 当),1[+∞∈u 时，∈-22x ),1[+∞即22x -≥1，-1≤x ≤1 用数轴标出单调区间如下： 外 函 内 函 01+∞ -∞ -1显然，A 正确. 变式训练： ◇已知函数()282,f x x x =-+则()()10g x f x x x ? ?=+> ?? ?的递增区间是 . 【解析】设28)(2 +-=u u u f ，x x u 1+ =； 外函数：减区间 )4,(-∞； 增区间 ),4(∞+ 内函数：减区间 )1,0(； 增区间 ), 1(∞+ 令32 32410+<<-??????<+>x x x x ；再令323241 0+>- ? ??>+>x x x x x 或. 用数轴标出单调区间如下： 故 )(x g 的单调递增区间为()1,32- 和( ) ∞++, 32. ①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调 区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间. 练习题组： ◇函数)1,0()4(log )(≠>-=a a ax x f a 在[]0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）. （A ）(]1,4 （B ）()1,4 （C ）()∞+,4 （D ）[)∞+,4 答案为B. 【评注】：研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则，不能忽视40ax ->在[]0,1恒成立. ◇函数)1,0()4(log )(≠>-=a a ax x f a 在[]6,8上单调递增，则a 的取值范围是( ). （A ） ），（210 （B ）），（12 1 （C ）），（∞+2 （D ）[)∞+，2 ◇（2013福建）函数()2 ()ln 1f x x =+的图象大致是 A ． B ． C ． D ． ◇（2014天津）函数()() 212 log 4f x x =-的单调递增区间是 （A ）()∞+，0 （B ）()0-，∞ （C ）()∞+，2 （D ）()2--，∞ ◇求函数()),3()(232 2 x x f x g x x x f -=+-=；的单调区间 ◇函数()2 sin3log 65f x x x =-+的单调区间是 . ◇函数()9log 8a f x x x ?? =+- ??? 在[)1,+∞上是增函数，求a 的取值范围． ◇函数()2 cos cos 1f x x x =-+的单调性判断错误的是 （A ）在,3ππ?? -- ??? ? 递减 （B ）在[],0π-递增 （C ）在0, 3π?? ???? 递减（D ）在5,3ππ??--????递增 ◇（2014年全国卷）若函数()cos2sin f x x a x =+在区间62ππ?? ??? ，是减函数， 则a 的取值范围是________． ◇函数()2 sin 4sin 1f x x x =++的单调递增区间是 . ◇函数)2cos 2(sin log )(5.0x x x f +=的单调递减区间是（ ）. 题型5：已知函数的单调性求参数范围型. 例 题5： ◇已知函数) 3(log )(22 1a ax x x f +-=在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。 【解析】如下： 令u=x 2-ax+3a ，y=u ． 因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞) 上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。 对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)＞0。 -4＜a≤4 ◇若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。 【解析】令u=-ax+3＞0，y=log a u ，由于a 作对数的底数，所以a ＞0且a≠1，由u=-ax+3＞0 得x ＜ 。 在[0，1]上，且u 是减函数。 ∴ f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数。 y=log a u 是增函数，且[0，1] (-∞， a 3] 1＜a ＜3 ． 所以a 的取值范围是(1，3)。 试一试：练习 ◆已知函数212 log ()y x ax a =-+在区间（２，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．]4,(-∞ ◆若函数log (2)(0,1)a y ax a a =->≠在区间（１，３）内单调递增，则a 的取值范围是 ．]3 2,0( ◆若函数2 log ()a y ax x =-在]3,2 1[上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．),2(+∞ ◆已知函数log (1)a a y x =-在区间]52,0(上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．)1,5 2( 复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log （4x-x 2）的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________； （2）函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ） （A ）)(1 x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 2 1x f y = （D ）2 )]([x f y = 7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ） （A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1 2+- =x y （D ）x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2] 21.函数y= 在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2 )的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_______。 分析如下： 令u=x 2-ax+3a ，y= u 。 因为y= u 在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u ＞0。 复合函数的概念和性质 一、知识点内容和要求： 理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间 二、教学过程设计 （一）复习函数的单调性 引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？ （二）新课 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）] 叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立，a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地， 当0＜a＜1时， 是单调递增函数 一般地， 定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。有以下四种情况： （1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数； （2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。即：同增异减。 注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 解：① 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域 练习：求下列函数的单调区间。 1、（1）减区间，增区间； （2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）； （3）减区间，增区间； 复合函数的单调性完全 解析与练习 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 课题：函数的单调性(二) 复合函数单调性 北京二十二中刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义. 生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若AB ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解当a ＞0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调增区间； 当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 解当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 解当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析. 师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何 复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲 山西忻州五寨一中 摄爱忠 高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题． ①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键． 复合函数定义： 1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ?，则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函 数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间变量． 外函数：)(u f y =； 内函数：)(x g u = 复合函数的单调性：同增异减. 2. 若)(x g u = )(u f y = 则)]([x g f y = 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型. 例 题1： ◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) (A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0， ∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0 g(1)=2-a ·1>0 ，解得a<2，∴1 复合函数的单调性练习题 山东 王宪华 ._____________,)21(.1322减区间为的增区间为-+-=x x y ._____________,2.2822减区间为的增区间为++-=x x y ._______________,)32(log .322减区间为的增区间为--=x x y .______________,)82-(log 4.22减区间为的增区间为++=x x y 的取值范围上是减函数，求在且a a a ax y a ]1,0[)1,0)(2(log 5.≠>+-= . 3-13-)(,)(log )(6.25.0的取值范围求）上是增函数，，在（且的值域为a x f R a ax x x f --= 参考答案 ]1,(:),,1[:.1-∞+∞减区间为增区间为 ]4,1[:]1,2[.2，减区间为增区间为：- )1,(:),,3(:.3--∞+∞减区间为增区间为 )4,1[:],1,2(:.4减区间为增区间为- 21:)2)(1() 2......(..................................................1),0(log . ]2,0[)2(log , 0,]2,0[2]2,0[,2s log ]1,0[),1(log ) 1........(..........2021, ]1,0[2,0.]1,0[)2(log ,02],1,0[]1,0[)1,0)(2(log 5min <<>∴+∞=∴+-=>+-=∈+-==∈+-=+?-=∴+-=∴>+-=>+-=∈?∴≠>+-=a a a t y ax y s ax s x ax s y x ax y a a s ax s a ax y ax s x a a ax y a a a a a a 的取值范围为式可知由上是增函数 在知由复合函数的单调性可上是减函数在且上是减函数在而的复合函数，与是上是减函数在上且递减在且上是减函数 在且解 )1...(..................................................04, )(log )(6.2225.0≥+=?∴--=∴--=a a a ax x s R a ax x x f 可以取到所有正实数 的值域为解 上是增函数 在且上是增函数， ，在)31,3()(log )()2.(....................0),31,3()3-13-()(log )(25.0225.0----=>--=--∈?∴--=a ax x x f a ax x s x a ax x x f 0)31()31()2()3........(. (312) :)31,3(:)31,3()(log ),0(log )31,3(,log ) 31,3(),(log )(2225.05.025.02≥--?--?-≥--∴----=∴----=+∞=--∈--==--∈--=a a a a ax x s a ax x y s y x a ax x s s y x a ax x x f a 且由二次函数的图象可知上是减函数在知由复合函数的单调性可上是增函数在是减函数，在而的复合函数 与是 200)31()31(312 04) 3)(2)(1(22≤≤???????≥--?---≥--≥+∴a a a a a a a 解得：同时满足综上可知 课题：函数的单调性(二) 复合函数单调性 北京二十二中 刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义. 生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例 求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调增 区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几 种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析. 师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函数. 师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+ ∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考 虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时 复合函数单调性的判定方法 定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同． 证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b， 则有m＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x 1 )] ＞f[g(x 2 )]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数． (2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x 1＜x 2 ＜b，则有m ＜g(x 1)＜g(x 2 )＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x 1 )]＜ f[g(x 2 )]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数． 由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性． 例1讨论函数f(x)＝log 0.5 (x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为 y＝log 0.5 u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋ ∞)上为增函数．又y＝log 0.5 u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间． 解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数． 推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数． 复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 复合函数单调性 北京二十二中 刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义. 生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例 求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解 当a ＞0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不 妨遇到具体情况时，再具体分析. 师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函数. 师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上 的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单 调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理. (板书) 引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. (本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b. 因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢? 生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数. 复合函数问题 一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知的定义域，求 的定义域 思路：设函数 的定义域为D ，即 ，所以 的作用范围为D ，又f 对 作用，作用范围 不变，所以D x g ∈)(，解得 ，E 为 的定义域。 例1.设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。 解析：函数 的定义域为（0，1）即 ，所以的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以 解得，故函数 的定义域为（1，e ） 例2.若函数 ，则函数 的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由，知 即f 的作用范围为 ，又f 对f(x)作用所以 ，即 中x 应 满足即，解得 故函数的定义域为 （2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设 的定义域为D ，即 ，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作 用，作用范围不变，所以 为 的定义域。 例3.已知的定义域为，则函数的定义域为_________。 解析： 的定义域为 ，即 ，由此得 所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以 即函数的定义域为例4.已知，则函数的定义域为------- 解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2 2 248 -=-，知 解得，f 的作用范围为 ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以， 即 的定义域为 （3）、已知的定义域，求的定义域 思路：设 的定义域为D ，即 ，由此得， 的作用范围为E ，又f 对 作 用，作用范围不变，所以 ，解得 ，F 为 的定义域。 例5.若函数 的定义域为 ，则 的定义域为____________。 解析：的定义域为，即，由此得 的作用范围为，又f 对作用，所以，解得 即的定义域为 评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。 三、复合函数单调性问题 （1）引理证明 已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. 证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21 因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即 ),(,21,21d c u u u u ∈>且 有关复合函数单调性的定义和解题方法 一、复合函数的定义 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、函数的单调区间 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调 增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1). 解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 三、复合函数单调性相关定理 引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. (本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b. 因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b. 因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 函数的值域与函数的单调性 我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容． 通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法． [知识要点] 一．函数的值域 求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等． 二．函数的单调性 1．定义 如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 复合函数的单调性和单调区间 一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1.函数f(x)=log?1 2 (x2?2x?3)的单调递减区间是( ) A. (?∞，1) B. (?∞，?1) C. (3，+∞) D. (1，+∞) 2.函数y=(1 3 ) ?x2+x+2的单调增区间为( ) A. [?1，1 2] B. (?∞，?1] C. [2，+∞) D. [1 2 ，2] 3.函数f(x)=1 2 x2?ln x的单调减区间( ) A. (?1，1] B. (0，1] C. (1，+∞) D. (0，+∞) 4.函数f(x)=log a(6?ax)在(0，2)上为减函数，则a的取值范围是( ) A. (1，3] B. (1，3) C. (0，1) D. [3，+∞) 5.函数y=log1(?x2+2x+3)的单调增区间是( ) A. (?1，1] B. (?∞，1) C. [1，3) D. (1，+∞) 6.函数y= ?x2+2x+3的单调递减区间是( ) A. (?∞，1) B. (1，+∞) C. [?1，1] D. [1，3] 7.函数f(x)=lg(?x2+x+6)的单调递减区间为( ) A. (?∞，1 2) B. (1 2 ，+∞) C. (?2，1 2 ) D. (1 2 ，3) 8.函数f(x)=(1 2 ) x?x2的单调递增区间为( ) A. (?∞，1 2] B. [0，1 2 ] C. [1 2 ，+∞) D. [1 2 ，1] 9.若f(x)=lg(x2?2ax+1+a)在区间(?∞，1]上递减，则a的取值范围为( ) A. [1，2) B. [1，2] C. [1，+∞) D. [2，+∞) 10.已知函数f x=1 2 x2?4ax+8 在[2，6]上单调，则a的取值范围为( ) A. (?∞，1]∪[3，+∞) B. (?∞，1] C. [3，+∞) D. [3 2，11 6 ] 二、解答题（本大题共1小题，共12.0分） 11.求函数f(x)=log?1(x2?5x+4)的定义域和单调区间． 第1页，共1页 复合函数单调性教案 教学目标 知识目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 能力目标 培养学生的数学转化思想和构建数学建模能力。 情感目标 培养学生分析问题，解决问题的能力。 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义. 生：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AíB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量. 师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k≠0). 解当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y= x k (k≠0). 解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0). 解 当a ＞0时(－∞，－ a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b 2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜0时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间； 4.指数函数y=a x (a ＞0，a≠1). 解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这 个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a ＞0，a≠1). 解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间. 师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析. 师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函数. 师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理. (板书) 引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. (本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b. 因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u 1=g(x 1),u 2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 复合函数的单调性 1、复合函数的概念 如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的函数[()]y f g x =叫做函数()y f u =和()u g x =的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x ，函数值y 。 例如：函数y = y =和函数223u x x =+-复合而成， 其中u 是中间变量 例1、 指出下列函数有那些函数复合而成 y =21y x =- 2、复合函数的单调性 对于函数()y f u =和函数()u g x =，若在区间(),a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时，(),u m n ∈，且()y f u =在区间(),m n 上具有单调性，则复合函数[()]y f g x =在区间 (),a b 上单调性规律如下： （1）证明：设12,x x 是区间(),a b 上的任意两个值，且12x x <，因为()u g x =在区间(),a b 上是增函数，所以12()()g x g x <，且()12(),(),g x g x m n ∈， 又因为()y f u =在(),m n 上是增函数，所以12[()][()]f g x f g x <， 所以函数[()]y f g x =在(),a b 上是增函数。 其它三种情况仿照（1）自己证明。 结论：复合函数[()]y f g x =的单调性规律可以概括为四个字“同增异减”。 例2、求复合函数y = 的单调递减区间。 例3、若函数()y f x =在R 上是减函数，求复合函数(1)y f x =-的单调递增区间。 方法总结： 复合函数的定义域和解析式以及单调性 【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义 如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。 例如：函数2 1 2x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。 说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。 2．求有关复合函数的定义域 ① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法： 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即 )(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。 ② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法： 若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。实际上是已知直接变量x 的取值范围， 即)(b a x ，∈。先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。 3．求有关复合函数的解析式 ①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。 ②已知 )]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。 配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得 )(x f 。 复合函数的单调性专题 复合函数定义： 1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ?，则y 关于x 的函数 )]([x g f y =叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间变量． 外函数：)(u f y =； 内函数：)(x g u = 复合函数的单调性：同增异减. 2. 若)(x g u = )(u f y = 则)]([x g f y = 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域； (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性； (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。 题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型. 例 题1：已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) (A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0， ∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0 g(1)=2-a ·1>0 ，解得a<2，∴1复合函数单调性的判断
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