离散数学复习题(二)

离散数学复习题(二)

一．选择题

1．设p: 天下大雨；q: 我乘公共汽车上班。则命题“除非天下大雨，否则我不乘公共汽车上班”的符号化为（）。

（A）┐p→q （B）┐p→┐q

（C）┐p←→┐q （D）p←→q

2．命题公式(p→q)∧┐q的主析取范式为（）。

(A)┐p∧q (B) (┐p∧q)∨q

(C) ┐p∧┐q (D) (┐p∧┐q) ∨q

3．R是A上的等价关系，R与它的闭包满足（）。

(A) r(R)= s(R)= t(R)=R (B) r(R)≠R(C) s(R) ≠R(D) t(R) ≠R

4．G是有24条边的6度正则图，G中的顶点有（）。

(A) 5个(B) 6个(C) 7个(D) 8个

5．集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}上的等于关系R为（）。

(A) 偏序关系(B) 全序关系(C) 线序关系(D) 以上三个都对

6．设V1=＜R,+＞和V2＜R+,·＞为两个代数，R和R+ 分别为实数集和

正实数集，φ：R→R+对x∈R，有φ(x)=e x，则映射φ为

(A)仅为单射(B)仅为满射(C) 仅为同态映射(D) 同构映射

7．无向树T有5片树叶，其余顶点的度均为3，T中有几个3度顶点。

(A) 3个(B) 4个(C) 5个(D) 6个

8．n阶(n为奇数)无向图G是一个初级回路，则下列说法不正确的是（）。

(A) G是连通图(B) G是二部图

(C) G是欧拉图(D) G是哈密尔顿图

9．关于格和布尔代数下面的说法正确的是（）。

(A) 有界格一定是有补格(B) 有补格一定是分配格

(C) 有限格不一定是有界格(D) 布尔代数是有补格且是分配格

10．G=＜V1, V2, E＞为二部图，|V1|＜|V1|，已知M是V1到V2的匹配且V1中的点均为M 饱和点，则M为（）。

(A) 不是极大匹配(B) 不是最大匹配(C) 是完备匹配(D) 是完美匹配二．填空题

1．设p: 星期六有课，q: 天下雨，r: 我去体育场看足球赛，则命题“如果星期六没课并且天不下雨，我就去体育场看足球赛”的符号化形式为______________。

2．设F(x): x是人，G(x): x爱唱歌，命题“有的人不爱唱歌”在一阶逻辑(谓词逻辑 )中符号化形式为_______________。

3．命题公式┐p∧(q∨r)→┐p 和┐(p→q) ∧q的类型分别为________式和式。4．设A={1,2}，B={a,b,c}，则可产生_______个A到B的函数，其中有______个双射函5．I A是集合A上的恒等关系，A上的关系R具有性当且仅当I A R。

6．若群G中的二元运算满足交换律，则称G是______群。

7．G为n(n为偶数)阶简单无向图，则G对应的完全图K n中各顶点的度为_____数，已知G 中有k个奇度数顶点，则在G的补图G中有______个偶度数顶点。

8．完全二部图K3,4中每个顶点的度数至多为______，其中的完备匹配M含条边。9．无向连通图G是二部图的一个必要条件是G的阶为数。

10．6阶无向带权图G中每条边的权值均为，则G的最小生成树T中有条边，T 的权W(T)＝20。

三．判断题

1．A、B为任意的命题公式，若┐(A∨B)＝┐A∨┐B。（）

2．在命题逻辑中，任何命题公式的析取范式都存在但不唯一。（）

3．设A={1,2,3,4}，B={a,b,c,d}，则不存在从A到B的双射。（）

4．A上的恒等关系是A上的等价关系，并且是A上的偏序关系。（）

5．Φ是有限群G1到G2的同态映射并且是双射，则G1和G2同构。

6．在图G中简单回路必初级是回路。（）

7．设G1,G2,G3,G4都是4阶3条边的无向简单图，则它们之间至少有两个是同构的。（）8．二部图中的完备匹配一定是完美匹配。（）

四．计算题

1．对60名员工调查表明，其中25人会C++语言，26人会VB语言，26人会VF语言，9人会C++语言学和VF语言，11人会C++语言和VB语言，8人会VB语言和VF语言，还有8人三种语言都不会。求：

(1) 这三种语言全会的有几人？只会C++语言的有几人，只会VB语言的有几人？只会

VF语言的有几人？

(2) 画出相应的文氏图。

2．用Huffman算法对求一棵带权为1, 2, 4, 5, 6的最优2元树T，并求：

(1) T的树叶顶点、2度顶点、3度顶点、4度顶点各有几个？

(2) T的权W(T)

(3) T的树高H

五．证明题

1．证明：如果无向连通图中G中有割边，G必定不是欧拉图。

2．设G＝是循环群，a 是生成元。证明G一定是阿贝尔群(交换群)。

3．将下面的命题符号化，给出前提和结论，再用构造法证明结论是正确的。

“红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四。或者白队不是第一，或者红队第三。已知黄队第二。因此，如果白队第一，则蓝队第四。”

离散数学复习要点

离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1?1，0∨0?0，1→0?0，11?1，00?1详见P5 3、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式：(1)双否定：??A?A。(2)交换律：A∧B?B∧A，A∨B?B∨A，A?B?B?A。3)结合律：(A∧B)∧C?A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C?A∨(B∨C)，(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律：A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律：?(A∧B)??A∨?B，?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律：A∧A?A，A∨A?A。(7) 同一律：A∧T?A，A∨F?A。(8) 零律：A∧F?F，A∨T?T。(9) 吸收律：A∧(A∨B)?A，A∨(A∧B)?A。(10) 互补律：A∧?A?F，(矛盾律)，A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律：A→B??A∨B，A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律：A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法：①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中，前件为真的行，后件也为真或者后件为假的行，前件也为假。④用定义，证A?B，即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤：①使用命题定律，消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词；②使用?(?P)?P和德·摩根律，将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前；③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤：(a)把给定公式化成析取（合取）范式；(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取（析取）式；(c)用等幂律化简简单合取（析取）式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取（析取）式中未出现的所有命题变元，如Q，则P?P∧（?Q∨Q)或P?P∨（?Q∧Q)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现，这样得到了给定公式的主析取（合取）范式。 注意：主析取范式与主合取范式之间的联系。例如：(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2，即剩下的编码就是另一个主范式的编码，因此，求主范式，哪一个简单易求，就先求哪个，然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明：重点方法：演算、演绎法（常用的格式）、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则（主要蕴含式）：(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P，(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q，(P→Q)??P拒取式(10) ?P，(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q)，(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q)，(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步：一命题符号化，二写出前提和结论，三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3．下列为两个命题变元P，Q的小项是（） A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q 4．下列语句中是真命题的是（） A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那雪是黑的 5．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q） D．?（? P∨? Q） 6．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式 7．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（） A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无 8．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）

离散数学模拟题一套及答案

离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧())

下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。 证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪I A＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>， <5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝R i＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。

离散数学复习题及答案

离散数学复习题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 ) ()(R P Q P ∨∧∧?

答案： 令F( x )：x是鱼 W( x )：x生活在水中 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y，都有x+y≥x。 答案： 令P(x):x是正实数 S(x,y): x+y≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： 令P(x):x是人 Q(y): y是课外活动 S(x,y):x参加y 12. 请将下列命题符号化： 某些人对某些药物过敏。 答案：

令P(x):x是人 Q(y): y是药 S(x,y):x对y过敏13. 求) ( )) ( ) ( (y yR y Q x P y? → → ?的对偶式: 答案： 14. 求下列谓词公式的前束范式： 答案： 15. 证明： 答案： 16. 用反证法证明： x(P(x)∧Q(x)) , xP(x) xQ(x) 答案： 17. 证明： 前提： x(C(x)W(x)∧R(x)), x(C(x)∧Q(x)). 结论： x(Q(x)∧R(x)). 答案： (1) x(C(x)∧Q(x)) 前提引入 (2) C(a)∧Q(a) (1)ES (3) C(a) (2)化简规则 (4) x(C(x)W(x)∧R(x)) 前提引入 (5) C(a)W(a)∧R(a) (4)US (6) W(a)∧R(a) (3)(5)假言推理 (7) R(a) (6)化简规则 (8) Q(a) (2)化简规则 ) , , ( )) , ( ) , ( (u y x uQ z y P z x zP y x? → ∧ ? ? ?

离散数学期末试题及答案完整版

离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).

离散数学模拟试题讲解

1 离散数学模拟试题Ⅰ 一、单项选择题(本大题共15小题,每题1分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.设 }16{2<=x x x A 是整数且,下面哪个命题为假( A )。 A 、A ?}4,2,1,0{; B 、A ?---}1,2,3{; C 、A ?Φ; D 、A x x x ?<}4{是整数且。 2.设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ,则B －A 就是( C )。 A 、}}{{Φ; B 、}{Φ; C 、}}{,{ΦΦ; D 、Φ。 3.右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为 ( B )。 A 、b,c; B 、a,b; C 、b; D 、a,b,c 。 4.设f 与g 都就是X 上的双射函数,则1)(-g f ο为( C )。 A 、11--g f ο; B 、1)(-f g ο; C 、11--f g ο; D 、1-f g ο。 5.下面集合( B )关于减法运算就是封闭的。 A 、N ; B 、}2{I x x ∈; C 、}12{I x x ∈+; D 、}{是质数x x 。 6.具有如下定义的代数系统>*<,G ,( D )不构成群。 A 、G={1,10},*就是模11乘 ; B 、G={1,3,4,5,9},*就是模11乘 ; C 、G=Q(有理数集),*就是普通加法; D 、G=Q(有理数集),*就是普通乘法。 7.设 },32{I n m G n m ∈?=,*为普通乘法。则代数系统>*<,G 的幺元为( B )。 f

2 A 、不存在 ; B 、0032?=e ; C 、32?=e ; D 、1132--?=e 。 8.下面集合( C )关于整除关系构成格。 A 、{2,3,6,12,24,36} ; B 、{1,2,3,4,6,8,12} ; C 、{1,2,3,5,6,15,30} ; D 、{3,6,9,12}。 9.设},,,,,{f e d c b a V =, },,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ,则有向图 >=

离散数学复习题(全)

离散数学复习资料 一、填空 1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x 为实数，y x y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 。 2. 设p ：王大力是100米冠军，q ：王大力是500米冠军，在命题逻辑中，命题“王大力不 但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为 。命题“存在一个人不但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为____。 3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集” 则A= 。 4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。则谓词 (()(()(,)))x P x y O y N y x ?→?∧ 的自然语言是 对于任意一个素数都存在一个奇数使 该素数都能被整除 。 5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ??∨?写成不含量词的形式是 。 6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ???∧→?的前束范式为 。 7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →?∧→?∨?的主合取范式为 ，其编码表示为 。 8. 设E 为全集， ，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ， ～Φ= 。 9. 设={256},{234},{134}A B C ==，，，，，，，则A-B= ，A ⊕B = ，A ×C = 。 10. 设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =， }},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S = 则A 的覆盖有 ，A 的划分有 。 11. 设}2,121{Z x x x x M ∈≤≤=整除，被，}3,121{Z x x x x N ∈≤≤=整除，被，则 =?N M ，=-N M 。 12. 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ?= ，B A ο= 。 13. A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法 T= ； T 的关系图为 ，T 具有 性质。

【浙江工商大学】《离散数学》期末考试题(B)

《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分，共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( )

离散数学知识点整理

离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。

谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证

二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。

离散数学模拟试卷和答案

北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个

离散数学复习题

一、选择题： 1.下列句子是命题的是( )。 A. 你喜欢我吗? B. 这里的景色真美啊! C. 2x = 9。 D. 明年国庆节是晴天。 2.设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( )。 ∧) A. ?P∧?Q B. ?(P Q C. ?(P?Q) D. ?(?P∨?Q) 3.下列语句不是 ．．命题的是( )。 A.黄金是非金属。 B.要是他不上场，我们就不会输。 C.他跑100米只用了10秒钟，你说他是不是运动健将呢? D.他跑100米只用了10秒钟，他是一个真正的运动健将。 4.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )。 A.P∨Q B.P∧?Q C.P→?Q D.P∨?Q 5.下列句子不是 ．．命题的是( )。 A. 做人真难啊! B. 后天是阴天。 C. 2是偶数。 D. 地球是方的。 6.在命题演算中，语句为真为假的一种性质称为( )。 A. 真值 B. 陈述句 C. 命题 D. 谓词 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是( )。 A. 000，001，110 B. 001，011，101，110，111 C. 全体指派 D. 无 8.下列命题中，不正确的是( )。 ∈?,{{?}}} A.{?}{ ∈?,{?}} B.{?}{ C.{?}?{?,{?}} D. ??{?,{?}} 9.命题公式P∧(Q∨? R)的成真指派是( )。 A.110，111，100 B.110，101，011 C.所有指派 D.无 ∨?( )。 10.设P,Q,R是命题公式,则P→R，Q→R，P Q A. P B. Q C. R D. ?R 11.下列是两个命题变元p，q的小项是( ) ∨C．?p q ∨∨ ∧D．?p p q A．p∧?p q ∧B．?p q 12.关于命题变元P和Q的大项M01表示( )。 ∨ C.P∨?Q D.P∧?Q ∧ B.?P Q A.?P Q 13.设P：明天天晴；q：我去爬山；那么“除非明天天晴，否则我不去爬山。”可符号化为( ) ?p→?q C. ?p??q D. ?p→q A. p→?q B. 14.下列命题公式是永真式的是( ) (p→q)∨q D. (p∨p)∧(p→?p) ?(p→q)∧q C. A. (p∧?p)?q B.

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ

（2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={| x,ｙN∧y=ｘ2} R*S＝｛| x，y N∧y＝x２+1} Ｓ*R=｛<ｘ,y>| x,ｙN∧y=(x＋1)２},R{1，２}＝{＜1，1>，＜2，４>｝,Ｓ[{1,2}]={1,4}。 七、设Ｒ={<ａ，b>,,＜c，ａ>}，求ｒ(R)、s(Ｒ)和t(Ｒ) （１5分）。 解：r(R）=｛,，,,<ｂ,b＞，｝

离散数学复习题

《离散数学》复习题 一、单项选择题 1.下列句子是原子命题的是（ A） A. 大熊猫产在我国； B. 2+x=5; C. 小王和小李是学生； D. 别讲话了！ 2. 设p：天下雨，q：我去新华书店，命题“除非天不下雨，我去新华书店”的符号化形式为（ D ） A．p→qＢ．q→pＣ．┐q→pＤ．┐p→q 3. 以下命题不是重言式的有（A ） ?P B. P∨?P A. P∧ C. (P→Q)?(?Q→?P) D. P→P∨Q 4. 以下语句中不是命题的为（B） A．明天我要上门去谢你。Ｂ．谢谢你给了我机会。 Ｃ．如果不说，我就不谢你。Ｄ．除非你做了，我才谢你 5．与(x) M(x) 等价的是 （D） A．(x) M(x) Ｂ．(x) M(x) Ｃ．(x) M(x) Ｄ．(x) M(x) 6. 设P(x)为“x是大学生”，Q(x)为“x满30岁”。命题“所有大学生都不满30岁”写成谓词公式为（ C ） A. ?x(P(x)∧Q(x)) B.? x(P(x)∧Q(x)) ?(P(x)→Q(x)) D.? x(P(x)→Q(x)) 7.公式 (x) (P(x)→(y)R(x, y))中，x的辖域为 （ B ） A．P(x) Ｂ．(P(x)→(y)R(x, y))

Ｃ．P(x)和R(x, y) Ｄ．P(x)→(y) 8．设S={a, b, c},则S的幂集的元素的个数有 （ C ） A．3 Ｂ．6 Ｃ. 8 Ｄ．9 9．以下等式中不正确的是： ( A ) A．A∪(B×C)=(A∪B)×(A∪C) Ｂ．A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) Ｃ．（A∪B)×C=(A×C)∪(A×C) Ｄ(A×B)×C=A×(B×C) 10．设A={1, 2, 3, 4}, A上的等价关系R={<1, 2>, <2, 1>, <3, 4>, <4, 3>}∪I A, 则对应于R的A的划分是 ( D ) A．{{1},{2, 3}, {4}} Ｂ．{{1, 2},{3}, {4}} Ｃ．{{1},{2}, {3}, {4}} Ｄ．{{1,2}, {3, 4}} 11．设函数f：{1，2}→{1}，则f是 ( B ) A．入射B．满射C．双射D．非入射非满射 12．设Z－是负正整数集合，+，－，*，△是普通数的加法、减法和平方运算，则能构成代数系统是 ( B ) A．< Z－, +> Ｂ．< Z－, －> Ｃ．< Z－, *> Ｄ< Z－, △> 13．若他聪明，他用功，则“他虽聪明但不用功”，可符号化为（ B ） A. B. C. D. 14. 若一个代数系统(A，*)满足运算封闭性及结合律，且有幺元，则它是 ( A ) A．独异点B．群C．格D．布尔代数15．设G为无限群，则( C )

离散数学模拟试题及答案

《离散数学》模拟试题 一、 填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A 得幂集合p （A ）=_____ _。 2. 设集合E ={a , b , c , d , e }, A = {a , b , c }, B = {a , d , e }, 则A ∪B =___ ___， A ∩ B =____ __，A －B =___ ___，～A ∩～B =____ ____。 3. 设A ，B 是两个集合，其中A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}，则A －B =____ ___， ρ（A ）－ρ（B ）=_____ _ _。 4. 已知命题公式，则G 的析取范式为 。 5. 设P ：2＋2＝4，Q ：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为 。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A 、B 是两个集合，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,2}，则A －B 为（ ）. A. {1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（ ）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X ＝{x , y }，则ρ（X ）＝（ ）。 A. {{x },{y }} B. {φ,{x },{y }} C. {φ,{x },{y },{x , y }} D. {{x },{y },{x , y }} 4. 设集合 A ＝{1,2,3}，A 上的关系 R ＝ {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R 不具备（ ）. 三、计算题（共50分） R Q P G →∧?=)(

离散数学复习题

1．若P ：他聪明；Q ：他用功；则“他虽聪明，但不用功”可符号化为（ ） A. Q P ∨ B. Q P ～∨ C. Q P ～∧ D. Q P ～→ 2．P 、Q 为命题变元，则Q P →的对偶式为（ ） A . Q P → B . P Q → C . Q P ～∧ D . P Q ～∧ 3．谓词公式),(y x yP x ??的否定式为（ ） A .),(y x P y x ～?? B .),(y x P y x ～?? C .),(y x P y x ～?? D .),(y x P y x ～?? 4．A = {1, 2, 3}，R = {| y x A y x =∧∈,}为A 上的一个二元关系，则下列命题中（ ）为真。 A . R 不是自反的 B . R 不是对称的 C . R 不是传递的 D . R 不是反自反的 5．若A 为集合，则I A 是A 上的（ ）。 A . 全序关系 B . 偏序关系 C . 半序关系 D . 拟序关系 6．A = {1, 2, 3}，在下列A 上的二元关系中，（ ）不是可传递的。 A . {<1, 2>} B .{<1, 2>, <2, 1>, <1, 1>} C .A A ? D . I A 7．二部图K 2, 3是（ ） A. 欧拉图 B. 哈密顿图 C. 非平面图 D. 平面图 8．5阶无向完全图的边数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9．下列命题中不正确的是（ ）。 A. ?∈? B. ??? C. {}?∈? D. {}??? 10．在A = {a , b , c }上可以定义（ ）个不同的二元关系。 A . 9 B. 18 C . 81 D . 512 12．设G 是简单连通平面图，G 有11个顶点，5个面，则G 有（ ）条边。 A . 10 B. 12 C . 14 D . 16 13．一个连通无向图，如果它的所有顶点的度数是偶数，则它具有（ ）。 A. 哈密顿回路 B. 欧拉回路 C. 基本路径 D. 基本回路 14．设A = {a , b , c }，A 上的二元关系R ={, , }，则关系R 的对称闭包为（ ） A. A I R B. R C. {}>

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P

离散数学复习题

一、单项选择题 1．对任意集合A 、B 、C ，下述论断正确的是 【 A 】 （A ）若A ∈B ，B ?C ，则 A ∈C （B ）若A ∈B ，B ?C ，则 A ?C （C ）若A ?B ，B ∈C ，则 A ∈C （D ）若A ?B ，B ∈C ，则 A ?C 2．设{} {}a a A ,=，则下列选项错误的是 【 B 】 （A ）{})(A P a ∈ （B ）{})(A P a ? （C ）{}{ })(A P A ∈ （D ）{}{})(A P A ? 3．设{}c b a A ,,=上的关系如下，有传递关系的有 【 D 】 （A ）{}><><><><=a b b a a c c a R ,,,,,,,1 （B ）{}><><=a c c a R ,,,2 （C ）{}><><><><=c b a b c c b a R ,,,,,,,3 （D ）{},,4><=a a R 4．R 是A 上的自反关系，则 【 B 】 （A ）R R R ? （B ）R R R ? （C ）A I R R = （D ）A I R R = 5．4K 中含3条边的不同构生成子图有 【 C 】 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 6．设E V G ,=为无向图，V v u ∈,,若v u ,连通，则 【 D 】 （A ）0),(>v u d （B ）0),(=v u d （C ）0),(