三角函数题常见解法

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三角函数题常见解法

作者：杨建平

来源：《读写算》2011年第71期

三角函数这一章公式繁多，因而三角函数题技巧性强，解题方法灵活多变，下面就一道高考题谈谈三角函数题的常用解法。

题目：（高考题）α为三角形内角，若sinα+cosα=―，则tanα的值是（）。

A －

B －

C D

解法一分析：应用平方关系消元后化条件式中的函数为同名函数，转化为一元二次方程

求解。

由条件，α为钝角，否则sinα+cosα>0，则sinα＝，代入sinα＋cosα＝―，得＋cosα＝－，即25cos2α+5cosα－12＝0，解之得cosα＝（舍去）cosα＝－，于是sinα＝，tanα＝－，答案为B。

说明：此解法复习了同角三角函数的基本关系，过程虽较复杂，但思路清晰，步骤清楚，属最容易在直觉中产生的解法。方程转化过程中需要两边平方，这可能产生增根，必须验根。

解法二由sinα＋cosα＝－，两边平方得sin2α＝－，∴1―sin2α=― ∴有sinα－cosα＝，与sinα＋cosα＝－联立解得sinα＝、cosα＝－，∴ tanα＝－。

说明：对sinαcosα＝a (1)，常用的变形方式之一是两边平方（见解法二、三、六），然后可求得sinαcosα的值（（解法二）或sin2α的值（解法三、六），再进一步求解。

解法三由sinα＋cosα＝－，两边平方得sin2α＝－，求出sin2α的值后由万能公式求解。

sin2α＝－＝，解得tanα＝－或－，当tanα＝－时，sinα＝，cosα＝－，此时sinα＋cosα＝，与条件矛盾，∴tanα＝－。答B。

解法四分析：由万能公式化条件中的函数为同名函数，由此求得tan, 再求tanα。

同解法一，有α∈(π/2,π), 令tan＝t, 则原条件即+=―，即2 t2 ―5t－3=0, 解得 t1 =3, t2 =－1/2 （∵α /2是锐角，∴t2 =－1/2舍去）；又由tanα＝==―知，答案为B。

解法五利用同角三角函数的基本关系式化为同名函数，通过解方程得结果。