第4章 常见概率分布

第四章 常用概率分布

一、二项分布的概念和特征

概念

分布：随机变量的取值规律 分布函数：描述分布的规律

变量类型

连续型变量

离散型变量 如：正态分布

如：二项分布，泊松分布

思考

例1.假设有5只实验小白鼠，要求它们同种属、同性别、体重 相近，且给小白鼠注射一定剂量的毒物时，他们有相同的死 亡率80%，存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡 的概率是多少？有一只白小鼠存活的概率是多少？2只小白 鼠存活的概率是多少？

例1.假设有5只实验小白鼠，要求它们同种属、同性别、体重相近，

且给小白鼠注射一定剂量的毒物时，他们有相同的死亡率80%，

存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少？

有一只白小鼠存活的概率是多少？2只小白鼠存活的概率是多少？

P 死

=0.8 P 活

=0.2 P 1

=0.8×0.8×0.8×0.8×0.8 P 2 = P 3 = 1 5

C 2 5

C 0.2×0.8 4 =0.082 0.2 2 ×0.8 3 =0.020 =0.8 5 =0.328

该实验有三个特点：

1.各次实验是彼此独立的；

2.每次实验只有二种可能的结果，或死亡或生存；

3.每次实验小白鼠死亡和生存的概率是固定的。

具备以上三点，即从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本， 则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布，记作B(n,p)。

概率分布函数

二项分布的概率函数P (X )可用公式

X n X X

n

C X P - - = ) 1 ( ) ( p p 其中 )!

( ! ! X n X n C X

n - = 对于任何二项分布，总有 ( ) 1

= ? = n

X X P

例2.临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60%，现以

该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？

分析：治疗结果为有限和无效两类，每个患者是否有效不受其他病例的影响，有

效概率均为0.6，符合二项分布的条件。

X n X X

n

C X P - - = ) 1 ( ) ( p p ( ) ( ) 432 . 0 6 . 0 - 1 6 . 0 !

2 -

3 ! 2 ! 3 ) 1 ( 2 - 3 2 2 3 2 2

3 ) 2 ( = = - - = p p C P 因此，2例有效的概率是0.432。

二项分布的特征

B (n,p)

n = 3，π = 0.5 n = 10，π = 0.5

π = 0.3时，不同 n 值对应的二项分布

二项分布的特征

1. n，π是二项分布的两个参数，所以二项分布的形状取决于n，π。

2. 当π=0.5时分布对称，近似对称分布。

3. 当π ≠0.5时，分布呈偏态，特别是 n 较小时，π 偏离0.5越远，分 布的对称性越差，但只要不接近1和0时，随着 n 的增大，分布逐 渐逼近正态。

4. 当 π 或 1- π 不太小，而 n 足够大，通常 nπ 和 n(1- π) 均大于或 等于5，我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。

例3.临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该疗法治疗3例，求有效人

数的均数和方差。

二项分布的均数和标准差

分析：n = 3，p =0.6

0 1 2 3

0.064 0.288 0.432 0.216 根据总体均数（又称数学期望）和方差的定义，有效人数的均数为：

( ) 80

. 1 216 . 0 3 432 . 0 2 288 . 0 1 064 . 0 0 ) ( = ′ + ′ + ′ + ′ = ? = X XP X E 方差为: [ ] [ ] 22 222 ()()()()

(0 1.80)0.064(1 1.80)0.288...(3 1.80)0.216

0.72

V a r X E X E X X E X P X =-=- =-′+-′++-′ = ?

对于任何一个二项分布B(n,π)，如果每次试验出现“阳性” 结果的概率均为π，则在 n 次独立重复实验中，出现 X 次阳 性结果

总体均数为 标准差为

p

m n

=

( )

p

p

s-

= 1

n

二项分布的均数和标准差

如果以率表示，将阳性结果的频率记做为 则P 的总体均数

总体标准差为 式中

是频率P 的标准误，反映阳性频率的抽样误差的大小。 p m = P ( )

n

P p p s - = 1 P s n

X P =

例4. 已知某地钩虫感染率为6.7%，如果随机抽查150人，记

样本钩虫感染率为 P ，求 P 的标准误 。

本例 ，n =150，P =6.7%

% 0 . 2 020 . 0 150

) 067 . 0 1 ( 067 . 0 = = - = P s

小结：

1. 二项分布的条件：

1)每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一。

2)相同的实验条件下，每次实验中事件A的发生具有相同的概率π。

3)各次实验独立，各次的实验结果互不影响。

2. 二项分布的分布特征：

1)二项分布的形状取决于n，π。

2)当π =0.5时分布对称，近似对称分布。

3)当π ≠0.5时，分布呈偏态，特别是 n 较小时，π 偏离0.5越远，分布的 对称性越差，但只要不接近1和0时，随着 n 的增大，分布逐渐逼近正态。

3.二项分布的均数和标准差

对于任何一个二项分布B (n ,π)

均数：

标准差： 对于以率表示的二项分布，

总体均数：

总体标准差 小结：

p m n = ( )

p p s - = 1 n p m = P ( ) n

P p p s - = 1

第四章 常用概率分布

二、二项分布的应用

1. 二项分布的条件：

1) 每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一。

2) 相同的实验条件下，每次实验中事件A的发生具有相同的概率 π。

3) 各次实验独立，各次的实验结果互不影响。

2. 二项分布的分布特征：

1) 二项分布的形状取决于n，π。

2) 当π=0.5时分布对称，近似对称分布。

3) 当π≠0.5时，分布呈偏态，特别是n 较小时，π偏离0.5越远，分布的 对称性越差，但只要不接近1和0时，随着 n 的增大，分布逐渐逼近正态。

3. 二项分布的均数和标准差

对于任何一个二项分布B (n ,π)

均数： 标准差： 对于以率表示的二项分布

总体均数： 总体标准差： n = m p ( )

1 n =- s p p P = m p

( )

n

P p p s - = 1

在生物医学研究中，我们经常要处理这样一类问 题：

（1）每次试验只有两种互斥的结果。如生化检验的结果（阴性或阳 性），毒性试验的结果（存活或死亡），或者每次试验我们只关心某事 件是否发生，即要么事件发生，要么事件不发生。

（2）为了找到这些试验结果的规律性，通常需要在相同条件下独立重复 作 n 次，如对 n个患者用完全相同的治疗方案进行治疗，对 n只动物进 行剂量相同的毒性试验等。

（3）我们只关心的是 n次试验中阳性结果的数目，如 n 个患者治疗后的 治愈数，n 只动物毒性试验的存活数等等。

常用的概率分布类型其特征

常用的概率分布类型及其特征 3．1 二点分布和均匀分布 1、两点分布 许多随机事件只有两个结果。如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。它服从的分布称两点分布。 其概率分布为： 其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率： 0≤P≤1。 X的期望 E（X）=P X的方差 D（X）=P（1—P） 2、均匀分布 如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一

个常数，则X服从的分布为均匀分布。 其概率分布为： X的期望 E（X）=（a+b）/2 X的方差 D（X）=（b-a）2/12 3．2 抽样检验中应用的分布 3．2．1 超几何分布 假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。 X的分布概率为： X=0，1，…… X的期望 E（X）=nd/N

X的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布 超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。 假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的概率分布为： 0

几种常见的概率分布复习过程

几种常见的概率分布 一、 离散型概率分布 1. 二项分布 n 次独立的贝努利实验，其实验结果的分布（一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布 应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的 平均数： (Y)np X E μ== 方差与标准差：2(1)X np P σ=- ;X σ=特例：（0-1）分布 若随机变量X 的分布律为 1(x k)p (1p)k k p -==- k=0,1；0

复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票 二、 连续型概率分布 1. 均匀分布 若随机变量X 具有概率密度函数 (x)f = 则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~ U(a ，b) 在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为 0F(x),1 x a x a a x b b a b x ? 是常数， 则称X 服从以λ 为参数的指数分布，记作~()X E λ ，X 的分布函数为 1,0(x)0,0 x e x F x λ-?-≥=?

第四章常用概率分布学习指导(定)详解

第四章 常用概率分布 [教学要求] 了解：质量控制的意义、原理和方法 熟悉：三个常用概率分布的特征。 掌握：掌握三个常用概率分布的概念；二项分布及Poisson 分布的概率 函数与累计概率、正态分布的分布函数的计算方法；医学参考值的计算。 [重点难点] 第一节 二项分布 一、二项分布的概念与特征 基本概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为 ，阴性结果的发生概率 均为（1－π）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n 个人，发生阳性结果的人数X 的概率分布为二项分布，记作B （n ,π）。 二项分布的概率函数： X n X X n C X P --=)1()(ππ 二项分布的特征： 二项分布图的形态取决于与n ，高峰在=n 处。当接近0.5时，图形是对称的；离0.5愈远，对称性愈差，但随着n 的增大，分布趋于对称。 二项分布的总体均数为 πμn = 方差为 )1(2ππσ-=n 标准差为 )1(ππσ-=n 如果将出现阳性结果的频率记为 n X p = 则p 的总体均数为 πμ=p 标准差为 二、二项分布的应用 二项分布出现阳性的次数至多为k 次的概率为 n p ) 1(ππσ-=

∑∑==-== ≤k X k X X X e X P k X P 0 ! )()(λλ 出现阳性的次数至少为k 次的概率为 第二节 Poisson 分布的概念与特征 一、Poisson 分布的概念与特征 基本概念：Poisson 分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率 很小， 而观察例数n 很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条件以外，Poisson 分布还要求 接近于0。有些情况 和n 都难以确定，只能以观察单位（时间、 空间、面积等）内某种稀有事件的发生数X 来近似。 Poisson 分布的概率函数： 式中，πλn =为Poisson 分布的总体均数，X 为观察单位内某稀有事件的发生次数，e 为自然对数的底，λ为常数，约等于2.71828。 Poisson 分布的特征 Poisson 分布当总体均数λ值小于5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。 Poisson 分布的总体均数与总体方差相等, 均为λ，且Poisson 分布的观察结果具有可加性。 特点：凡个体有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson 分布。 三、Poisson 分布的应用 如果某稀有事件发生次数的总体均数为λ，那么发生次数至多为k 次的概率为 发生次数至少为k 次的概率为 ! )(X e X P X λλ -= ∑∑==---= = ≤k X k X X n X X n X n X P k X P 0 0)1()! (!! )()(ππ∑∑ ==---== ≥n k X n k X X n X X n X n X P k X P )1()! (!! )()(ππ

考试练习题常用概率分布教学提纲

考试练习题常用概率 分布

第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。 A ．n > 50 B ．π=0.5 C ．n π=1 D ．π=1 E ．n π> 5 2．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。 A ．n π和n （1－π）均大于等于5 B ．n π或n （1－π）大于等于5 C ．n π足够大 D ．n > 50 E ．π足够大 3. 的均数等于方差。 A ．正态分布 B ．二项分布 C ．对称分布 D ．Poisson 分布 E ．以上均不对 4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。 A ．－∞到+1.96 B ．－1.96到+1.96 C ．－∞到+2.58 D ．－2.58到+2.58 E ．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。 A ．n （1－π） B ．（n －1）π C ．n π（1－π） D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。 A . B . （1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以 为方差的Poisson 分布。 A . B .λ2λ12+2λ 2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。

A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则 X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布 D．Poisson分布 E．t 分布 12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ 2），X与Y独立，则X－Y服从。 2 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22） B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22） D．N（0，σ12+σ22） E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1

常用分布概率计算的Excel应用

上机实习常用分布概率计算的Excel应用利用Excel中的统计函数工具，可以计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用概率分布的概率值、累积（分布）概率等。这里我们主要介绍如何用Excel来计算二项分布的概率值与累积概率，其他常用分布的概率计算等处理与此类似。 §3.1 二项分布的概率计算 一、二项分布的（累积）概率值计算 用Excel来计算二项分布的概率值P n(k)、累积概率F n(k)，需要用BINOMDIST函数，其格式为： BINOMDIST (number_s，trials, probability_s, cumulative) 其中 number_s：试验成功的次数k； trials：独立试验的总次数n； probability_s：一次试验中成功的概率p； cumulative：为一逻辑值，若取0或FALSE时，计算概率值P n(k)；若取1 或TRUE时，则计算累积概率F n(k)，。 即对二项分布B(n,p)的概率值P n(k)和累积概率F n(k)，有 P n(k)=BINOMDIST(k,n,p,0)；F n(k)= BINOMDIST(k,n,p,1) 现结合下列机床维修问题的概率计算来稀疏现象（小概率事件）发生次数说明计算二项分布概率的具体步骤。 例3.1某车间有各自独立运行的机床若干台，设每台机床发生故障的概率为0.01，每台机床的故障需要一名维修工来排除，试求在下列两种情形下机床发生故障而得不到及时维修的概率： （1）一人负责15台机床的维修； （2）3人共同负责80台机床的维修。 原解：（1）依题意，维修人员是否能及时维修机床，取决于同一时刻发生故障的机床数。 设X表示15台机床中同一时刻发生故障的台数，则X服从n=15,p=0.01的二项分布： X～B(15,0.01)， 而 P(X= k)= C15k(0.01)k(0.99)15-k，k = 0, 1, …, 15 故所求概率为 P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-(0.99)15-15×0.01×(0.99)14 =1-0.8600-0.1303=0.0097 （2）当3人共同负责80台机床的维修时，设Y表示80台机床中同一时刻发生故障的台数，则Y服从n=80、p=0.01的二项分布，即 Y～B(80,0.01) 此时因为 n=80≥30, p=0.01≤0.2 所以可以利用泊松近似公式：当n很大，p较小时（一般只要n≥30,p≤0.2时），对任一确定的k,有（其中 =np）

第四章 常概率分布

第四章常用概率分布 为了便于读者理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布——正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。 第一节事件与概率 一、事件 （一）必然现象与随机现象在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。例如，在标准大气压下，水加热到100℃必然沸腾；步行条件下必然不可能到达月球等。这类现象称为必然现象（inevitable phenomena）或确定性现象（definite phenomena）。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。例如，掷一枚质地均匀对称的硬币，其结果可能是出现正面，也可能出现反面；孵化6枚种蛋，可能“孵化出0只雏”，也可能“孵化出1只雏”，…，也可能“孵化出6 只雏”，事前不可能断言其孵化结果。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为随机现象（random phenomena）或不确定性现象（indefinite phenomena）。 人们通过长期的观察和实践并深入研究之后，发现随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。例如，对于一头临产的妊娠母牛产公犊还是产母犊是事前不能确定的，但随着妊娠母牛头数的增加，其产公犊、母犊的比例逐渐接近1：1的性别比例规律。概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门科学。 （二）随机试验与随机事件 1、随机试验通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验（trial）。而一个试验如果满足下述三个特性，则称其为一个随机试验（random trial），简称试验： （1）试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。 如在一定孵化条件下，孵化6枚种蛋，观察其出雏情况；又如观察两头临产妊娠母牛所

16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布）

Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的

第4章 常见概率分布.

第四章常用概率分布 一、二项分布的概念和特征 概念 分布:随机变量的取值规律分布函数:描述分布的规律 变量类型 连续型变量 离散型变量如:正态分布 如:二项分布,泊松分布 思考 例1.假设有5只实验小白鼠,要求它们同种属、同性别、体重相近,且给小白鼠注射一定剂量的毒物时,他们有相同的死亡率80%,存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少?有一只白小鼠存活的概率是多少?2只小白鼠存活的概率是多少? 例1.假设有5只实验小白鼠,要求它们同种属、同性别、体重相近, 且给小白鼠注射一定剂量的毒物时,他们有相同的死亡率80%, 存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少? 有一只白小鼠存活的概率是多少?2只小白鼠存活的概率是多少? P 死 =0.8 P 活 =0.2 P 1 =0.8×0.8×0.8×0.8×0.8 P 2 = P 3 = 1 5 C 2 5

C 0.2×0.8 4 =0.082 0.2 2 ×0.8 3 =0.020 =0.8 5 =0.328 该实验有三个特点: 1.各次实验是彼此独立的; 2.每次实验只有二种可能的结果,或死亡或生存; 3.每次实验小白鼠死亡和生存的概率是固定的。 具备以上三点,即从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本, 则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布,记作B(n,p。 概率分布函数 二项分布的概率函数P (X 可用公式 X n X X n C X P - - = 1 ( ( p p 其中 ! ( ! ! X n X n C X n - = 对于任何二项分布,总有 ( 1 = ? = n X X P 例2.临床上用针灸治疗某型头疼,有效的概率为60%,现以该疗法治疗3例,其中2例有效的概率是多大? 分析:治疗结果为有限和无效两类,每个患者是否有效不受其他病例的影响,有效概率均为0.6,符合二项分布的条件。

概率论中几种常用的重要的分布

概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞+∞p p p . 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值

第四章 常用概率分布

第四章常用概率分布 为了便于理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布——正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。 第一节排列与组合 一、乘法原理 如果一个过程分两个阶段进行，第一阶段有m种做法，第二阶段有n种做法，且第一阶段与第二阶段的任一种做法配成整个事件的一种做法，那么整个过程应该有mn种做法。 二、排列 从n个不同的元素中，任意取出r个不同的元素（0＜r≤n）按一定顺序排成一列，这样的一列元素，叫做从n个不同的元素中取r个不同的元素组成的一种排列。记做Pn r P n r=n(n-1)---(n-r+1)=n!/(n-r)! 例1：从1、2、3、4、5、6、7任取3个不同的数字组成3位数中，有几个是偶数？ 3×6×5＝90 如果容许重复，则P n r =n r 例2：体育彩票6位数的排列数有106，加上特征数共有106C51 例3 用0、1、2－－－9组成3位数 （1）如考虑数字可重复，可以组成多少不同的3位数？ （2）3位数中数字没有重复的有几个？ （3）3个数字相同的有几个？ （4）只有2个相同的有几个？ 解 1）百位9种，十位10种，个位10种 9×10×10 （2）百位9种，十位9种，个位8种 9×9×8 （3）百位9种，9×1×1 （4）百位与十位相同9×9，百位与个位相同9×9，十位与个位相同9×9 9×9＋9×9＋9×9＝243 三、组合 设有n个不同的元素，从它们中间任取r个构成一组，不考虑r元素的次序，记做C n r C n r=P n r/r!= n!/(n-r)!r! 例：5本不同的数学书，8本不同的物理书，任取2 本数学书，4本物理书的取法C52C84＝700 第二节事件与概率 一、事件 （一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，观察到各种现象，归纳起来，大体上分为两大类：必然现象（inevitable phenomena）或确定性现象（definite phenomena）：可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然

考试练习题常用概率分布

第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在条件下为对称图形。 A．n > 50 B．π=0.5 C．nπ=1 D．π=1 E．nπ> 5 2．满足时，二项分布B（n,π）近似正态分布。 A．nπ和n（1－π）均大于等于5 B．nπ或n（1－π）大于等于5 C．nπ足够大D．n > 50 E．π足够大 3. 的均数等于方差。 A．正态分布B．二项分布C．对称分布D．Poisson分布E．以上均不对4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是。 A．－∞到+1.96 B．－1.96到+1.96 C．－∞到+2.58 D．－2.58到+2.58 E．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为。 A．n（1－π）B．（n－1）πC．nπ（1－π）D．nπ 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为。 7.设X1,X2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson分布,且X1与X2独立,则X1+X2服从以 为方差的Poisson分布。 8．满足时，Poisson分布Ⅱ（λ）近似正态分布。 A．λ无限大B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布B．标准正态分布C．二项分布D．Poisson分布E．t分布12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ22），X与Y 独立，则X－Y服从。 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22）B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22）D．N（0，σ12+σ22）E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 D．服从泊松分布的随机变量，其取值为0到n的概率之和为1 E．标准正态分布的标准差为1 14．据既往经验，注射破伤风抗毒素异常发生率为5‰，某医院一年接种600人次，无1例发生异常，该情况发生的可能性P（X=0）应等于。