2006年数字信号处理考试试题考试试卷

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时间110分钟

2006 ~ 2006 学年 下 学期 数字信号处理 课程期末考试试

题

48 学时， 3 学分，开卷，总分100分，占总评成绩 70 %

一、填空题 (

本题25分，每空1分)

1. 模拟信号经离散采样得到数字信号，则模拟信号频率与数字频率关系为：T ω=Ω ，频谱关系为：

12()()j a m X e X m T

T

ω

π∞

=-∞

=

Ω+

∑

。

2．任一个函数f(t)与信号)(0t t -δ的卷积等于 0()f t ；对阶跃函数u(t)，则

=-)]()1[(n u Z n

1> 。

3．用脉冲响应不变法将)(

s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 11.0

s （取s T 1.0=）。

4．线性相位FIR 数字滤波器的传递函数的零点呈现： 互为倒数的共轭对 的特征。

5．FFT 利用 kn

N W 的对称性 、 周期性 、 将较大N 点DFT 分解为若干小点

DFT 的组合 来减少运算量。

6．要保证信号抽样后的离散时间信号没有失真的恢复原始时间连续信号，或者说要保证信号的抽样不导致任何信号丢失，必须满足两个条件：A.

信号必须是 带限 的。B. 采样频率至少是信号 最高频率 的2倍。

7．因果的稳定数字滤波器()H z 1< 。 8．脉冲响应不变法因为 ，只适合设计 的滤波器。

10．为克服IIR 数字滤波器混叠失真，从模拟滤波器到数字滤波器转换时可采用 双线性变换

方法。从模拟低通到数字低通的变换形式为 11

()()z s C z H z H s -=+= 。

11．对于定点数的量化，与截尾相比，舍入具有____相同 ____的误差方差。 12.t b a -??

???

?()jb a ω

ψω- 。

13. 信号通过与三角函数相乘可以使信号的频谱发生 搬移 。

14. FIR 数字滤波器与IIR 数字滤波器相比，最大的优点是可保证系统具有 线性相位 特性。时域FIR 滤波器的“加窗”，将会在截止频率上产生 GIBBS （吉布斯） 效应。

15.基2时间抽取的N 点FFT 算法的叠形计算格式为 。 16．序列)()(n u a n x n

=的Z 变换为 ，收敛域为 。

二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序

号填在题干的括号内。每小题2分，共10分)

1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，则只要将抽样信号通过( A )即可完全不失真恢复原信号。

A.理想低通滤波器

B.理想高通滤波器

C.理想带通滤波器

D.理想带阻滤波器

2.一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包括( A )。

A.单位圆

B.原点

C.实轴

D.虚轴

3.下面哪些滤波器是因果的、稳定的( C )。

A ． 2

2

() 1.50.5

z

X z z z =

-+，（1z >） B. ()()(2)y n x n x n =--

C. ()z Y z z b

=-,（z b >，1b <），()u n 为单位阶跃系列 D ． ()()y n x n =-

4.已知偶序列x (n)的Z 变换为)(z X , z=2为)(z X 的一个零点,以下说法正确的是( b )。

a 、 )(z X = -)/1(z X

b 、 0.5一定是)(z X 的零点

c 、 -0.5一定是)(z X 的零点

d 、 0.5一定是)(z X 的极点 5.实序列的傅里叶变换必是( A )。

A.共轭对称函数

B.共轭反对称函数

C.奇函数

D.偶函数 三、（15分） 已知系统函数为：1

1

1

1()(10.9)(10.2)

z

H z z z ----=

--，5z <≤∞

1． 判断系统的因果性与稳定性；2.写出对应的差分方程；3.画出其系统结构图。

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四、分析问答题（每题5分，共2题）

1．加有限窗截断序列引起的截断效应对谱分析的影响

主要表现在哪些方面，如何减弱？

答：截断效应对谱分析的影响主要表现在泄露和谱间干扰。

采用旁瓣小的窗函数可以减小谱间干扰，再通过增加截取长度N 可使

主瓣变窄，减小泄露，提高谱分辨率。

2.对实信号进行谱分析，要求谱分辨率Hz F 20≤，信号最高频率kHz f c 2=。

① 试确定最小记录时间min p T ，最少采样点数min N 和最大采样间隔max T ；

② 要求谱分辨率增加一倍，确定这时的min p T 和min N 。

解：①s F

T p 05.01min ==

，2002

min ==

F

f N c ，ms f T c

25.021max ==

；

②Hz F 10=，s T p 1.0min =，400min =N 。

五、（共30分，每小题15分）

1．设采样周期为T ＝2.5毫秒，要求利用低通巴特沃斯滤波器，其3dB 的截止频率为100赫兹，用双线性变换设计一个三阶低通数字滤波器。

解：根据题义，数字滤波器设计指标为：截止频率100c f H z =；阶数k=3；系统的采样频率

400H z s f =。

（1） 设计指标的予畸变换： 100c f H z =

数字滤波器截止频率：221004002c c s f f πππΩ==?= 模拟原型低通滤波器截止频率：(2)(4) 1 red/s c c tg tg ωπ=Ω== （2） 设计模拟原型低通滤波器：（3阶Butterworth ）

1

)(2)(2)(1

)(2

3+++=

c

c

c

s s s s H ωωω，代入c ω，计算得：3

2

1

()221

H s s s s =

+++

（3）用双线性变换式求得：3

2

3

331

()()|

1824

1

z z

z H z H s z z z s z +++==-++=

+

（4）整理成标准形式（略）

2. 利用窗口Fourier 级数法设计一个线性相位FIR 低通数字滤波器，满足条件：截止频率为πω25.0=c ,

过渡带宽为

π

ω1.0≤? ，并且最小衰减为dB 40 .

解答：线性相位FIR 低通数字滤波器的条件为：

截止频率为πω25.0=c , 过渡带宽为

π

ω1.0≤? ，并且最小衰减为dB

40

（1）可得到理想滤波器的单位脉冲响应函数为：sin(0.25)

()d n h n n

π=

（2）选择Hamming 窗，因为它的衰减为：54dB ，带宽为：

3.320.1M

πωπ

?=

≤

，满足设计要求

（3）可计算出长度：33.2,M ≥ 选择：2169;M +=

从而窗函数为：

2[]0.540.46cos(

),

3434

69

n W n n π=+-≤≤

（4）线性相位FIR 低通数字滤波器的单位脉冲响应函数为

[][34][34]sin 0.25(34)

2[0.540.46cos(

(34))],068

(34)

69

d h n h n W n n n n n ππ=---=

+-≤≤-

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六、(10分) 设功率密度谱为常数σ2的白噪声信号，通过一低通滤波器，该滤波器的传输函数为

00

()0

j t K e

H j ωωωωωω-?≤?=?

>??, 其中K ＞0, t 0＞0为常数，ω0＞0为低通滤波

器的截止频率。求输出噪声的功率密度谱、自相关函数和输出的平均功率。 解 依题意知：输入白噪声的功率密度谱为S x (ω)=σ2，

系统传输函数模的平方为 2

2

()H j K ω= 0ωω≤

求出输出功率密度谱为

22

2

()()()0

y x K S j H j S j σωωω?==?? 00ωωωω≤>

由维纳-欣钦定理知： ()()F

yy y R S j τω? 可求出输出噪声自相关函数为 0

2

2

2

2

0001()()2sin 2j yy y j R S j e

d K k

e d ωπ

ωωπ

ω

τωω

πσ

ωωτσωπ

π

ωτ

∞-∞

-

=

==?

?

?

所以滤波器输出的噪声功率为 22

2

[()](0)y yy K S E Y t R σωπ

===