现代数值计算方法习题答案

现代数值计算方法习题答案

习 题 一

1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以

有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此

49×10-2 ：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字.

0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字.

490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字.

2、解：

7

22 = 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ， 取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.

E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E = 14.3E = 14.30013.0 = 0.00041. 3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有

|)(*x E r |)1(10121--??=

n < = 21× 10-4 , 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、证：)()(1)()(1)(*11**11**x x x n

x E x n x E n n n -=≈-- )(11)()(1)

()(*****11****x E n

x x x n x x x x n x x E x E r n n n n n r =-=-≈=- 5、解：(1)因为=20 4.4721…… ，

又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47. (2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有

|)(*x E r |)1(104

21--??=n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10 cm .

记*y 为y 的近似值，则

)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =-=-= < = 0.1，

所以)(*x E < = 0.005 cm .

7、解：因为)()(*1x x nx x E n n -≈-,

所以n x nE x x x n x x E x E r n n n

r 01.0)()()(*

==-≈=. 8、解：

9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =-≈-= t t E gt t t gt S S S S E r )(22

/)()(2**=-≈-= 由上述两式易知，结论. 10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.

11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形……

（1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.

12、解： 因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*00x x -| < = δ=?-2102

1 于是有

|*11x x -| = |110110*00+--x x | = 10|*00x x -| < =δ10

|*22x x -| = |110110*11+--x x | = 10|*11x x -| < =δ210

类推有 |*1010x x -| < =810102

110?=δ 即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的

误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.