动态规划初步

动态规划初步

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第八讲动态规划初步

一、动态规划简介

动态规划是运筹学的一个分支。它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。1９51年,美国数学家贝尔曼（Ｒ.Ｂelｌman）提出了解决这类问题的“最优化原则”，１957年发表了他的名著《动态规划》，该书是动态规划方面的第一本著作。动态规划问世以来，在工农业生产、经济、军事、工程技术等许多方面都得到了广泛的应用，取得了显著的效果。

动态规划运用于信息学竞赛是在9０年代初期,它以独特的优点获得了出题者的青睐。此后,它就成为了信息学竞赛中必不可少的一个重要方法,几乎在所有的国内和国际信息学竞赛中,都至少有一道动态规划的题目。所以,掌握好动态规划,是非常重要的。

动态规划是一种方法,是考虑问题的一种途径,而不是一种算法。因此,它不像深度优先和广度优先那样可以提供一套模式。它必须对具体问题进行具体分析。需要丰富的想象力和创造力去建立模型求解。

[例8-１] 拦截导弹

某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度(雷达给出的高度数据是不大于30０00的正整数）,计算这套系统最多能拦截多少导弹,如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

样例：

INPUT OUＴPUＴ

３89 207 １５5 3０0 2９9170 1５8 65 ６(最多能拦截的导弹数)

????2(要拦截所有导弹最少要配备的系统数）

[问题分析]

第一部分是要求输入数据串中的一个最长不上升序列的长度，可使用递推的方法，具体做法是从序列的第一个元素开始，依次求出以第i个元素为最后一个元素时的最长不上升序列的长度len(i),递推公式为lｅｎ(1)=1，ｌen(i)=maｘ(leｎ(ｊ)+１)，其中i＞1，j=1,2,…i-1，且j同时要满足条件:序列中第ｊ个元素大于等于第ｉ个元素。

第二部分比较有意思。由于它紧接着第一问,所以很容易受前面的影响,采取多次求最长不上升序列的办法,然后得出总次数,其实这是不对的。要举反例并不难，比如长为7的高度序列“７5 4 1 6 32”，最长不上升序列为“7 5 ４ 3 2”，用多次求最长不上升序列的结果为3套系统；但其实只要2套，分别击落“７５4 1”与“6 3２”。那么，正确的做法又是什么呢?

我们的目标是用最少的系统击落所有导弹,至于系统之间怎么分配导弹数目则无关紧要；上面错误的想法正是承袭了“一套系统尽量多拦截导弹”的思维定势,忽视了最优解中各个系统拦截数较为平均的情况，本质上是一种贪心算法。如果从每套系统拦截的导弹方面来想行不通的话,我们就应该换一个思路,从拦截某个导弹所选的系统入手。

题目告诉我们,已有系统目前的瞄准高度必须不低于来犯导弹高度，所以，当已有的系统均无法拦截该导弹时，就不得不启用新系统。如果已有系统中有一个能拦截该导弹,我们是应该继续使用它，还是另起炉灶呢?事实是：无论用哪套系统，只要拦截了这枚导弹，那么系统的瞄准高度就等于导弹高度，这一点对旧的或新的系统都适用。而新系统能拦截的导弹高度最高,即新系统的性能优于任意一套已使用的系统。既然如此，我们当然应该选择已有的系统。如果已有系统中有多个可以拦截该导弹，究竟选哪一个呢?当前瞄准高度较高的系统的“潜力”较大,而瞄准高度较低的系统则不同,它能打下的导弹别的系统也能打下，它

够不到的导弹却未必是别的系统所够不到的。所以，当有多个系统供选择时,要选瞄准高度最低的使用，当然瞄准高度同时也要大于等于来犯导弹高度。

解题时,用一个数组记下已有系统的当前瞄准高度，数据个数就是系统数目。

[程序清单]

cｏnst max＝1０00;

vaｒｉ,j,cｕｒｒeｎt，maxlong,mｉnheight，sｅlect,tａiｌ，total:lonｇｉnt;

height，ｌongest，sys:arｒａｙ［1.．mａx] oｆlonｇｉnt；

ｌｉne:string;

begin

wｒite（'Ｉnpuｔtest data:'）;

readln(ｌine)；

i：=1;

ｗhｉle i<＝lenｇｔｈ(line)dｏ

begｉn

ｗhilｅ(ｉ<=lｅngtｈ（ｌｉnｅ)）anｄ(line[i]=' ＇）do i:=i＋1;

ｃｕｒｒeｎt:=0;

wｈｉlｅ(ｉ＜=ｌenｇth（ｌiｎe)）and (linｅ［i］＜>' ') do

ｂegin

currenｔ:＝curｒent*10+ｏrd（ｌinｅ[i])-ord('0＇）;

i：=i＋1

enｄ；

totａl：＝tｏtaｌ+1；

ｈeight[tｏtａl]:=cuｒrent

eｎd;

ｌoｎgest[1]:=1;

for i:=2 ｔｏtｏtal dｏ

begin

ｍaxｌｏnｇ:=１；

fｏｒj：=１to i－1 do

ｂeｇin

if hｅigｈt［i]<＝ｈeiｇｈt［j］

ｔhｅn ｉｆｌongｅst[ｊ]＋1>maxｌoｎg

tｈen maｘlong:=loｎgeｓt[ｊ]+1；

lonｇｅst［i］:=maxlｏｎg

ｅｎd;

end；

maxloｎg:=loｎgeｓt[1];

fｏr i:=2 ｔo toｔａl ｄo

iｆｌonｇeｓt［i］＞maxｌｏnｇtｈen maxlｏng:=lonｇesｔ[i］；

wrｉteln（mａxlonｇ)；

sys[1］:=heｉght［1];taiｌ:＝1；

for i:=2to total do

begｉｎ

minheight:=maxiｎt;

fｏr ｊ:=1toｔａｉl do

ｉf sys[j］>heighｔ[i］thｅn

if sys[j]

begｉn minheｉght:=ｓys[ｊ]; select:=j end；

ｉf minheｉgｈt=maxｉｎt

ｔhen ｂｅgin tａil：＝tail+1; sys[ｔaiｌ］:=heighｔ［ｉ] end

elsｅsyｓ[seｌect]:=height[i］

ｅnｄ;

writｅlｎ(ｔail)

ｅnd．

二、动态规划的几个基本概念

想要掌握好动态规划，首先要明白几个概念:阶段、状态、决策、策略、指标函数。1．阶段：把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段,以便能按一定的次序去求解。描述阶段的变量称为阶段变量。

2．状态:状态表示每个阶段开始所处的自然状况和客观条件，它描述了研究问题过程中的状况,又称不可控因素。

3．决策：决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定(或选择),从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策,在最优控制中也称为控制。描述决策的变量,称为决策变量。

4．策略:由所有阶段的决策组成的决策函数序列称为全过程策略,简称策略。

5．状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。

6．指标函数:用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，称为指标函数。指标函数的最优值,称为最优值函数。

三、确定动态规划的思路

１、采用动态规划来解决问题,必须符合两个重要的条件。

（1）“过去的历史只能通过当前状态去影响它未来的发展，当前的状态是对以往历史的一个总结”,这种特性称为无后效性，是多阶段决策最优化问题的特征。

(２)作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略。简言之,一个最优策略的子策略总是最优的。这就是最优化原理。

2、如果碰到一个问题,能够满足以上两个条件的话,那么就可以去进一步考虑如何去设计使用动态规划:

(1)划分阶段。把一个问题划分成为许多阶段来思考

（2）设计合适的状态变量(用以递推的角度)

（３)建立状态转移方程(递推公式)

(4)寻找边界条件(已知的起始条件)

如果以上几个步骤都成功完成的话，我们就可以进行编程了。

四、动态规划解题的一些技巧

?由于动态规划并没有一个定式,这就需要去开拓我们创造力去构造并且使用它。以下,通过一些具体的竞赛实例谈谈使用动态规划过程中的一些技巧。

［例 8－2] 堆塔问题,设有n个边长为1的正立方体，在一个宽为1的轨道上堆塔,但塔本身不能分离。

例如ｎ=1时，只有1种方案□

ｎ＝2时 有2种方案

堆塔的规则为底层必须有支撑,如下列的堆法是合法的. 下面的堆法是不合法的.

程序要求:输入n （n<=4０),求出

① 总共有多少种不同的方案

② 堆成每层的方案数是多少,例如n=6时，堆成1层的方案数为1,……堆成6层的方

案数为1……

[问题分析] 问题①的分析见第七讲例7-3,关于问题②,可以这样考虑,将n 个立方体的第一

列去掉的话,则成为一个比n 小的堆塔问题，这样问题②就可以用动态规划法来解。具体方

法是从1到ｎ依次求出堆成每层的方案数，设f(n,k)为堆成ｋ层的方案数,则递推公式为：

∑∑-==-+-=111),(),(),(k i k

i i k n f k i n f k n f

［算法设计] 由于n 最大可达到4０，所以堆塔的总方案数超过了长整形数的范围，程序

采用了高精度加法运算。

[程序清单]

progr ａｍ ex8＿２（in ｐｕt,ｏut ｐut);

const maxn=40; ma ｘｌen ＝ｍax ｎ div 3;

ty ｐe ａrra ｙｔyp ｅ=arr ａy[0..maxle ｎ] of int ｅger;

ｖａr i ，j ，k,ｎ，n ｎ:longint;

tot ａl:a ｒraytyp ｅ;

f:arra ｙ [0..ｍａxn,0..maxn ］ of arr ａytype;

proced ｕｒe a ｄｄ（ｖar a:arr ａytype ；b:arrayty ｐe ）；

va ｒ i ：longi ｎｔ;

ｂegin

fo ｒ i ：=0 to ma ｘlen ｄo a[i]:=a ［i]+b ［i]；

f ｏr i ：=0 to ｍa ｘlen-1 d ｏ

if ａ［i ］＞=10 t ｈen

begin

a[i+１］:=a[i+１］+１;

a[i]:=a[ｉ]-10

e ｎd

e ｎｄ;

proc ｅdur ｅ pr ｉnt(a:arrayty ｐe);

ｖａr i ，j ：lo ｎgin ｔ;

begin

i:=maxlen;

wh ｉｌe （i ＞0) and （a ［i]=0) ｄo i:＝i-1;

f ｏr j:＝i do ｗnto 0 ｄo wri ｔe(a ［j ］）

end;

be ｇin

write（＇Inpuｔn:');

readｌn(n);

fｏｒ i:＝１ｔo ｍａxlen ｄｏｔｏｔaｌ［ｉ]：＝０；

ｔｏｔal[０]:=1;

for i:＝1 tｏ n－1 ｄｏ aｄd(toｔal,tｏtal）;

ｆor i:＝1 to maｘn do

ｆor j:=1 ｔo maｘn do

for ｋ:=0 to mａxlｅn do ｆ［i,ｊ，ｋ]：=０;

ｆor i:=1 to maxｎ dｏ f[i,1,0]:＝1；

for i：=1 tｏmａxｎ do f[i,i,0]:＝1;

ｆoｒ nn:=２ to n do

fｏr k:=2 to nｎ-1 do

begiｎ

for i:=1 to k-1 do adｄ(f［ｎn，k],f[ｎｎ－ｉ，k]);

ｆor i：=1 to k do

iｆｎn-k>=i ｔｈen add（f[nn,k]，ｆ[nn-k，i］)

end;

wriｔe('Totａl＝');

priｎｔ（total);

writeln;

for k：=1 tｏ n do

bｅgin

ｗrｉte(＇Hｅiｇht＝',k:２,'Kｉnｄ='：1０);

print(f[n,ｋ］)；

ｗriteｌn;

if ｋ mod 2３=０

tｈen

begiｎ

ｗritｅ(＇Ｐress <Ｅnter> to continue!＇);

readln

enｄ

ｅnd;

wriｔｅ（＇Prｅsｓ tｏ continｕe！')；

readln

end.

[例 8-3］投资问题：

有ｎ万元的资金,可投资于m个项目，其中m和ｎ为小于1０0的自然数。对第ｉ（１≤i≤ｍ）个项目投资j万元(1≤j≤n，且j为整数)可获得的回报为Q（i , j),请编程序，求解并输出最佳的投资方案(即获得回报总值最高的投资方案)。

输入数据放在一个文本文件中，格式如下:

m n

Q(1，0) Ｑ(１, 1)······Ｑ(１，n)

Q(2,０) Q(2, １）······Ｑ(2,n)

············

Ｑ（ｍ, 0) Q(m ，1)······Q(m ，n)

输出数据格式为:

r(1) r(2) ······ｒ(m) P

其中r(i）（１≤ｉ≤m)表示对第i个项目的投资万元数，P为总的投资回报值，保留两位有效数字，任意两个数之间空一格。当存在多个并列的最佳投资方案时，只要求输出其中之一即可。如输入数据如下时：

2 3

0 1．1 １．３１.9

0 2.1 2.５ 2.6

屏幕应输出:１ 2 ３.6

［问题分析] 本题可供考虑的递推角度只有资金和项目两个角度,从项目的角度出发,逐个项目地增加可以看出只要算出了对前ｋ个项目投资j万元最大投资回报值(1≤j≤n)，就能推出增加第k+1个项目后对前k+1个项目投资j万元最大投资回报值(1≤j≤n），设P[k,j]为前ｋ个项目投资j万元最大投资回报值,则P[ｋ+１,j]＝Maｘ(P[k，ｉ］+Q[ｋ+1,j－i]),0<=i ＜=j,k=１时，对第一个项目投资ｊ万元最大投资回报值（0≤j≤n)是已知的（边界条件)。[算法设计] 动态规划的时间复杂度相对于搜索算法是大大降低了，却使空间消耗增加了很多。所以在设计动态规划的时候,需要尽可能节省空间的占用。本题中如果用二维数组存储原始数据和最大投资回报值的话，将造成空间不够，事实上,从前面的问题分析可知：在计算对前k+1个项目投资ｊ万元最大投资回报值时，只要用到矩阵Q的第k+1行数据和对前ｋ个项目投资ｊ万元最大投资回报值，而与前面的数据无关，后者也只需有一个一维数组存储即可，程序中用一维数组Q存储当前项目的投资回报值,用一维数组ｍaｘｒetuｒn存储对当前项目之前的所有项目投资j万元最大投资回报值（０≤ｊ≤n),用一维数组temｐ存储对到当前项目为止的所有项目投资ｊ万元最大投资回报值(0≤j≤n)。为了输出投资方案，程序中使用了一个二维数组ｉnｖeｓt,ｉｎveｓt[k,j］记录了对前ｋ个项目投资ｊ万元获得最大投资回报时投资在第ｋ个项目上的资金数。

[程序清单]

proｇrａｍ ex8_3(input,outpuｔ);

cｏｎst ｍaxm=100； mａｘn=1０0;

type arraｙtｙｐe=arｒay ［０．.maxn］ of reａl；

ｖaｒ i，j,ｋ，ｍ,ｎ,ｒest:iｎtｅger;

ｑ,ｍaxrｅtuｒn，temp：ａｒrayｔyｐe;

iｎｖeｓt:aｒｒａy［１..maxm,0．.mａxｎ] of ｉntｅger;

resｕlt:ａrray[1..mａｘm] of ｉnteｇeｒ；

ｆnaｍe:sｔring;

f:ｔｅｘｔ;

begiｎ

write('Iｎpｕt ｔhe name of datａfile：'）;

ｒeａｄln（ｆnａｍｅ）;

aｓsigｎ(f,fname);

reｓet(f）;

reａdln（ｆ,ｍ，n)；

fｏｒ j:＝0 tｏ n ｄo ｒｅａｄ(f,q[j]);

ｒｅaｄlｎ(f)；

foｒ i:＝１to m do

foｒ j:=0 to ｎ dｏｉnvｅｓt[i，ｊ]:＝0;

maxretｕrn:＝q;

fｏｒ j：=0 to n ｄｏ invｅsｔ[1,ｊ]:=ｊ；

foｒ k：=２ to ｍdo

ｂegｉn

temp：＝maｘｒeｔｕrn;

for j:=０ to n do ｉｎｖest［k，j]:=0;

ｆor ｊ:=0 ｔｏｎ do ｒｅaｄ(ｆ,ｑ[j]);

rｅadｌn(f)；

ｆor j:=0 to n do

ｆｏｒ i:=0 tｏｊdo

if maxｒｅｔurn[j-i]+q[ｉ]＞temp[j] then

bｅｇin

temｐ[j]:＝ｍａｘｒeturｎ[j-i]+q［i];

iｎvesｔ[k,j]：=i

enｄ；

maｘrｅtｕrn：=tｅmｐ

enｄ；

cｌｏｓｅ(f);

resｔ:＝n；

for ｉ：＝m ｄｏｗnto 1 do

ｂｅｇin

resuｌｔ[i]：=iｎveｓｔ[ｉ,rest］;

rｅｓt:＝rｅsｔ－resｕlｔ[ｉ]

eｎd;

for i:=1 to m dｏwrite（resuｌt[i],' ');

writeｌn(maxｒeturn[n]:0:2)

ｅｎd.

[例8-４]花店橱窗布置问题(FＬOWＥR)

(1）问题描述

假设你想以最美观的方式布置花店的橱窗。现在你有F束不同品种的花束，同时你也有至少同样数量的花瓶被按顺序摆成一行。这些花瓶的位置固定于架子上,并从1至V顺序编号,V是花瓶的数目，从左至右排列,则最左边的是花瓶1,最右边的是花瓶V。花束可以移动,并且每束花用1至F间的整数唯一标识。标识花束的整数决定了花束在花瓶中的顺序,如果Ｉ＜J,则令花束I必须放在花束Ｊ左边的花瓶中。

例如，假设一束杜鹃花的标识数为1，一束秋海棠的标识数为2，一束康乃馨的标识数为3，所有的花束在放入花瓶时必须保持其标识数的顺序，即：杜鹃花必须放在秋海棠左边的花瓶中，秋海棠必须放在康乃馨左边的花瓶中。如果花瓶的数目大于花束的数目。则多余的花瓶必须空置，且每个花瓶中只能放一束花。

每一个花瓶都具有各自的特点。因此,当各个花瓶中放入不同的花束时,会产生不同的美学效果，并以美学值(一个整数)来表示,空置花瓶的美学值为零。

在上述例子中，花瓶与花束的不同搭配所具有的美学值,如下表所示。

花 瓶

１ ２ ３ 4

5 花

束 1 (杜鹃花) 7 ２３ －

5 -２４ 1６ 2 (秋海棠) 5 21 -4 １0

2３ 3 (康乃馨) -21 5 -4 -2０ 20

例如，根据上表，杜鹃花放在花瓶2中，会显得非常好看;但若放在花瓶4中则显得十分难看。

为取得最佳美学效果,你必须在保持花束顺序的前提下，使花束的摆放取得最大的美学值。如果有不止一种的摆放方式具有最大的美学值,则其中任何一直摆放方式都可以接受,但你只要输出任意一种摆放方式。

?（2)假设条件

● 1≤F ≤１00，其中F 为花束的数量，花束编号从１至F 。

● Ｆ≤Ｖ≤10０,其中V 是花瓶的数量。

● -5０≤A ｉj ≤50，其中A ij 是花束ｉ在花瓶j 中的美学值。

(3)输入

输入文件是正文文件(ｔex ｔ ｆile)，文件名是fl ｏw ｅｒ.i ｎp 。

● 第一行包含两个数:F,Ｖ。

● 随后的Ｆ行中，每行包含V 个整数，A ij 即为输入文件中第（i ＋1 ）行中的第j

个数。

(4)输出

输出文件必须是名为fl ｏｗe ｒ.ｏｕt 的正文文件，文件应包含两行:

第一行是程序所产生摆放方式的美学值。

第二行必须用Ｆ个数表示摆放方式，即该行的第K 个数表示花束K 所在的花瓶的编号。

(5）例子

ｆlo ｗer.inp:

ｆl ｏwer ．ｏu ｔ:

3 5 7 23 –5 –2

4 16

5 21 -4 10 23 -21 5 -4 -20 20

53 2 4 5

?(6）评分

程序必须在２秒中内运行完毕。

在每个测试点中，完全正确者才能得分。

[算法设计] flower一题是ＩOI９９第一天第一题,该题如用组合的方法处理，将会造成超时。正确的方法是用动态规划，考虑角度为一束一束地增加花束，假设用b(i,j）表示1～i束花放在１到j之间的花瓶中的最大美学值,其中i<=j,则ｂ(i，j)＝max（b［ｉ－1,k-1]+Ａ[i，k］)，其中ｉ<=ｋ＜=j，Ａ(ｉ,ｋ）的含义参见题目。输出结果时,显然使得b[F,ｋ］取得总的最大美观值的第一个k值就是第F束花应该摆放的花瓶位置,将总的最大美观值减去Ａ[i，ｋ]的值即得到前k-1束花放在前k-1个瓶中的最大美观值,依次使用同样的方法就可求出每一束花应该摆放的花瓶号。由于这一过程是倒推出来的，所以程序中用递归程序来实现。

[程序清单]

ｐrｏｇrａm ex8_4(iｎｐｕｔ,outpｕt);

consｔmａx＝100；

varｆ,v,i,j,k，ｃmax，curｒent,max＿ｖaｌ:inｔegｅｒ;

ｔａｂle,val:arrａｙ[1.．maｘ,1..maｘ] of inｔeger;

fｎame:string;

fin:text;

proｃｅdure print(current，max_ｖaｌ:inｔｅgｅr)；

vaｒｉ：ｉnteger;

ｂegｉn

ｉf cuｒrｅnｔ>0 tｈen

ｂｅgin

ｉ:=ｃurrenｔ;

wｈile ｖal[ｃuｒｒｅnt,ｉ]＜>ｍａx_val dｏi：＝ｉ+1;

ｐｒint(currenｔ-１,max_ｖａl-table[curreｎt,i])；

wｒitｅ(i，' ')

ｅnｄ

ｅｎd；

begin

wｒite('Iｎpuｔtheｏf test data:');

readln（fｎame);

ａssiｇn(fin，fｎａｍe);

rｅset（ｆin);

rｅａdln（fｉn,f,v);

for i:＝1ｔｏf do

begin

ｆor j:=1 to v ｄo read(fｉｎ，tabｌe[ｉ,ｊ]）;

readln(fin）;

enｄ;

cｌｏse(ｆｉn);

mａx_val:=-mａxint;

for ｉ:=1 to ｖｄo

if max_vaｌ<ｔａble[1，ｉ]

tｈen begin vａl[1,i]：＝table[1,i］;mａｘ_ｖaｌ:=tａble［1,i] end

elsｅｖal[1,i］：=tablｅ［1,i]；

for i:=2to ｆdo

ｆor j:＝i to v－f＋i dｏ

ｂegiｎ

ｍax＿val:=-maxiｎt;

for k:＝i-1 ｔo ｊ-１do

beｇin

cmａx:=－mａxinｔ;

for cｕrrent:=k+1 to j do

iｆtａｂlｅ[i,cuｒreｎt]>cmａx thｅn cｍax：＝tａble［ｉ,currｅｎt]；

if cmａx＋vａl[i－1,k]＞maｘ_vaｌthen mａｘ_vaｌ:=cmａx+vａｌ[i-１,ｋ]

ｅnd;

ｖal[i，ｊ]:＝max_val

eｎd;

mａx＿val:=-maxｉｎt;

for i:＝fｔo v do

ｉｆval[f,ｉ]＞max_val ｔhen max_vaｌ:=ｖal[f,i];

wｒiteln（ｍaｘ_val)；

prｉｎｔ(f,max＿val)；

writｅln

end.

[运行结果］

参见flｏwer子目录下的标准答案和测试数据。

3 5

?２4 5

53

７2３–5 –24 16?5２1 -4 10 23?-

21

5-4 －20 2０?

时间规划局观后感_心得体会

时间规划局观后感 本文是关于心得体会的时间规划局观后感，感谢您的阅读！ 篇一：时间规划局观后感 《时间规划局》讲述的是未来的世界，每个人手臂上有一行能够显示自己生命还剩多少时间的数字，当手臂上的时间消耗成为零的时候，生命就结束。每个人早上醒来第一件事就是看自己生命还剩余多少时间，接着一天都要为延续生命而努力。当着廉价的工厂劳工，每天赚取一点微薄的时间延续家人和自己的生命。在那个时代，没有货币，时间真的就是金钱，买什么都是用时间支付，换句话说，是用生命支付，一杯咖啡价值4分钟，乘坐公交车要消费1小时，还贷款和水电气费都是要刷自己的时间，时间就是唯一流通货币，人们做什么事情都是快节奏的，去哪里都是一路小跑，没时间聊天，没时间喝酒，没时间交女朋友。 这部电影给我印象最深的不是枪战场景，而是影片中有许多描写奔跑的镜头。每一次的一路狂奔都给人一种紧张的气氛，镜头不断地切换到他们手上的时间表，他们是在与时间赛跑，与生命赛跑，一秒钟的时间都显得无比珍贵。影片中有一个情节让我震撼：威尔的妈妈消费了2天时间还完贷款回家上公交车的时候，司机说涨价了，要2小时，妈妈的生命只剩下1个半小时，面对无情的司机和漠然的乘客，她只能跑着回家，她飞奔起来，路上空空荡荡，和生命赛跑。威尔意识到妈妈时间不够，飞奔去接，然而母亲只差两秒钟，时间变成了零，死在了威尔的怀里。看着时间一分一秒的流逝，能体会到那种生命一点一点走向尽头的窒息的感觉。 当很多人在感叹时间去哪儿了的时候，一些年轻人却不懂得青春易逝，不懂得时间宝贵。他们每天浑浑噩噩，或沉迷游戏，或沉迷于QQ,或终日无所事事，虚度青春，没意识到生命本身就是由一分钟一分钟的时间组成。 青年朋友们，珍惜时间，珍惜青春，将每一分每一秒的生命过精彩、充实，不要空留遗憾。 篇二：时间规划局观后感 被《时间规划局》深深地吸引。电影开头就令人紧张不安，我一直在问我自己，如果一觉醒来我只剩一天的寿命，我这一天要干些什么，随着时间的流逝，我不断问自己，还剩18小时的时间，我要做些什么，还剩半小时我能怎么办，

动态规划讲解大全(含例题及答案)

动态规划讲解大全 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么

经典算法——动态规划教程

动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。不存在一种万能的动态规划算法。但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。 多阶段决策过程最优化问题 ——动态规划的基本模型 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。 【例题1】最短路径问题。图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少? 【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。具体计算过程如下： S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3 S2: K=3，有： F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8 F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8 F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11 F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6

动态规划之状态压缩

状态压缩 Abstract 信息学发展势头迅猛，信息学奥赛的题目来源遍及各行各业，经常有一些在实际应用中很有价值的问题被引入信息学并得到有效解决。然而有一些问题却被认为很可能不存在有效的(多项式级的)算法，本文以对几个例题的剖析，简述状态压缩思想及其应用。 Keywords 状态压缩、Hash、动态规划、递推 Content Introducti o n 作为OIers，我们不同程度地知道各式各样的算法。这些算法有的以O(logn)的复杂度运行，如二分查找、欧几里德GCD算法(连续两次迭代后的余数至多为 原数的一半)、平衡树，有的以)运行，例如二级索引、块状链表，再往上有O(n)、O(n p log q n)……大部分问题的算法都有一个多项式级别的时间复杂度上界1，我们一般称这类问题2为P (deterministic Polynomial-time)类问题，例如在有向图中求最短路径。然而存在几类问题，至今仍未被很好地解决，人们怀疑他们根本没有多项式时间复杂度的算法，NPC(NP-Complete)和NPH(NP-Hard)就是其中的两类，例如问一个图是否存在哈密顿圈(NPC)、问一个图是否不存在哈密顿圈(NPH)、求一个完全图中最短的哈密顿圈(即经典的Traveling Salesman Problem货郎担问题，NPH)、在有向图中求最长(简单)路径(NPH)，对这些问题尚不知有多项式时间的算法存在。P和NPC都是NP(Non-deterministic Polynomial-time)的子集，NPC则代表了NP类中最难的一类问题，所有的NP类问题都可以在多项式时间内归约到NPC问题中去。NPH包含了NPC和其他一些不属于NP(也更难)的问题，NPC问题的函数版本(相对于判定性版本)一般是NPH的，例如问一个图是否存在哈密顿圈是NPC的，但求最短的哈密顿圈则是NPH的，原因在于我们可以在多项式时间内验证一个回路是否真的是哈密顿回路，却无法在多项式时间内验证其是否是最短的，NP类要求能在多项式时间内验证问题的一个解是否真的是一个解，所以最优化TSP问题不是NP的，而是NPH的。存在判定性TSP问题，它要求判定给定的完全图是否存在权和小于某常数v的哈密顿圈，这个问题的解显然可以在多项式时间内验证，因此它是NP 1请注意，大O符号表示上界，即O(n)的算法可以被认为是O(n2)的，O(n p log q n)可以被认为是O(n p+1)的。2在更正式的定义中，下面提到的概念都只对判定性问题或问题的判定版本才存在(NPH除外)。Levin给出了一个适用于非判定问题的更一般的概念，但他的论文比Cook的晚发表2年。

时间规划可以计算的人生

可以计算的人生 整日忙于工作应酬，却仍找不到方向，或者因为压力太大而总是感到焦虑，有时会因欠缺自信，不擅沟通。我们的人生确实有太多需要整理或计算，那不妨用一下黑幼龙的"加减乘除"法，或许会使人生多些智慧。 学习力 达·芬奇曾说过：“如果，今天我很努力地学习、过得很充实，那么我晚上将睡得很安稳；如果，我一生都很努力、充实地过活，那么我将能安稳地长眠。” 不论你过去状况如何，有了学习的能力，你就能为自己创造更多的机会。成长期是每个人一生中非常重要的阶段，在这期间，身高会一直增加，知识也会一直增加，就像植物的幼苗会不断地生长，但是到了一定年纪就突然停下来。身高也许受限于先天的条件无法再长，但是知识的增长却是我们可以掌握的，但是你一定会发现，周遭有好多人一离开学校后，就再也不学习了。 大多数人都非常重视钱财的增加，坦白说，如果你的人生中，只有银行存款数字在增加，其他却什么也没有变，你不妨静下心来好好想一想，除了钱财外，

是否还应该追求点别的？像沃伦·巴菲特，他对演讲很感兴趣，但是上台会发抖、怯场，于是他就花了一个月的薪水，参加卡内基训练，让自己变得更有自信再上台。据《时代》杂志报道，巴菲特虽然家财万贯，赚到的钱几辈子都用不完，但是他觉得最快乐的事，并不是自己赚了多少钱，而是有机会给大学生演讲，把毕生的经验和他们分享。 有句话说得好，“做什么，就要像什么。”每个人在一生中都有机会扮演各种角色，过去你是子女，现在你可能要扮演父母；过去你是员工，现在你可能成了主管，甚至还是个老板。另外，还有人会跨越不同的专业领域，扮演全新的角色，如果你想要从容地演好每一种角色，就一定要为自己“加”学习力。 增进个人的学习力，还有一个技巧，就是让自己多应用、多表达。据说我们阅读过的东西，事后可以记得3% ；如果是阅读过、听过（譬如听演讲），就可以记得40% ；如果是阅读过、听过、看过（譬如看过电影或者舞台表演），所记得的内容就提升为50% ；如果阅读过、听过、看过，而且自己再说出来，则记得的内容可以达到60% 。 学习就是发掘自己更多的可能性，并且是扭转命运的最佳武器。学习氛围也会相互感染，如果在一个家庭中，父母都热爱学习，他们的孩子也一定会变得喜欢学习。 解除忧虑

项目计划动态管理系统

《项目计划动态管理系统》 系统分析 详细设计 深圳市伟博多媒体电脑有限公司

目录 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ §1 系统工作流程 §2 业务流程图 §3 业务分析 §4 功能设计，报表设计 §5 系统安全性及用户权限的设置 §6 系统编码 §7 系统总体数据流程图 §8 数据库设计 §9 功能模块描述

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§1 系统工作流程 一、申请立项 1．申请工程立项和申请项目计划可以同时进行，工程立项只申请一次，项目计划申请今后每季度申请一次，但不再申请年度计划。项目计划的第一次申请作为项目立项申请。 2．申请工程立项由局项目主管部门（基建项目为规划设计院）提出的，一个工程可能包含若干项目；申请项目立项是由负责项目实施的各基层部门（分部级）进行。立项后的工程或项目都拥有一个工程编号，一个工程仅有唯一的编号，若干项目可能共用一个工程编号。 3．工程立项时，给出总投资概算、分投资概算。项目申请时，如果几个部门的项目同属于一个工程时，需要控制计划资金。实施同一工程的各基层部门的项目计划总投资之和不能超过工程概算总投资，各部门各类分项投资的和不能超过概算分投资（概算资金不严格限制）。部门项目季度计划总投资和分投资的累计值不能超过该项目计划总投资和分投资（项目投资严格限制）。 4．工程立项申请时，录入项目名称、主管部门、必要性、实施内容、建设规模、总投资、建设工期、分投资（建筑工程、安装工程、设备材料、其他）、申请日期、设备材料（名称、规格、数量、单价、总价、计算依据）；项目立项申请时录入项目名称、实施部门、必要性、实施内容、建设规模、总投资、建设工期、分投资（建筑工程、安装工程、设备材料、其他）、项目负责人信息、实施人员、申请日期，设备材料（名称、规格、

动态规划状态转移方程

1.资源问题1 -----机器分配问题 F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k]) 2.资源问题2 ------01背包问题 F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]); 3.线性动态规划1 -----朴素最长非降子序列 F[i]:=max{f[j]+1} 4.剖分问题1 -----石子合并 F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]); 5.剖分问题2 -----多边形剖分 F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]); 6.剖分问题3 ------乘积最大 f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]); 7.资源问题3 -----系统可靠性(完全背包) F[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]} 8.贪心的动态规划1 -----快餐问题 F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3} 9.贪心的动态规划2 -----过河 f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i]) {f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态 10.剖分问题4 -----多边形-讨论的动态规划 F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j]; 负负 g[I,k]*f[k+1,j]; 正负 g[I,k]*f[k+1,j]; 负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min 11.树型动态规划1 -----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)

3 (修改)大规模状态空间中的动态规划和强化学习问题

3 大规模状态空间中的动态规划和强化学习问题 本章我们将讨论大规模状态空间中的动态规划和强化学习问题。对于这类问题，我们一般很难求得问题的精确解，只能得到问题的近似解。前面章节所介绍的一些算法，如值迭代、策略迭代和策略搜索，无法直接用于这类问题。因此，本章将函数近似引入这些算法，提出三类基于函数近似的算法版本，分别是近似值迭代、近似策略迭代和近似策略搜索。本章将从理论和实例两个角度分析算法的收敛性，讨论如何获取值函数逼近器的方法，最后比较分析三类算法的性能。 3.1 介绍 第二章详细介绍了DP/RL中三类经典算法，这三类算法都需要有精确的值函数及策略表示。一般来说，只有存储每一个状态动作对回报值的估计值才能得到精确地Q值函数，同样V值函数只有存储每一个状态的回报值的估计值才能得到；精确的策略描述也需要存储每一个状态对应的动作。如果值函数中某些变量，比如某些状态动作对、状态等，存在很多个或者无穷多个潜在值（又或者这些值是连续的），那么我们就无法精确描述对应的Q值函数或者V值函数，因此，考虑将值函数和策略通过函数近似的方式来表示。由于实际应用中大部分问题都存在大规模或者连续状态空间，因此，函数近似方法是求解动态规划和强化学习问题的基础。 逼近器主要可以分为两大类：带参的和非参的。带参的逼近器主要是从参数空间到目标函数空间的映射。映射函数及参数的个数由先验知识给定，参数的值由样本数据进行调整。典型的例子是对一组给定的基函数进行加权线性组合，其中权重就是参数。相比之下，非参的逼近器通过样本数据直接得到。本质上，非参的函数逼近器也是含带参数的，只是不像带参的函数逼近器，参数的个数及参数的值直接有样本数据决定。例如，本书中所讨论的基于核函数的逼近器就是带参数的函数逼近器，它为每一个数据点定义一个核函数，并对这些核函数做加权线性组合，其中权重就是参数。 本章主要对大规模状态空间中动态规划和强化学习问题进行广泛而深入的讨论。第二章中所介绍的三类主要算法，值迭代、策略迭代和策略搜索，将与函数近似方法相结合，获得三类新的算法，分别是近似值迭代、近似策略迭代以及近似策略搜索。本章将从理论和实例两个角度讨论算法的收敛性，并对比分析三类算法的性能。关于值函数近似与策略逼近的一些其他重要问题，本章也将给予讨论。为了帮助读者更好的阅读本章的内容，图3.1给出一个本章的内容脉络图。

小组计划书(关于时间管理)

小组计划书 小组名称：时间大师 理念： 进入大学之后，再也没有繁重的学习任务，没有了全天候的严格时间限制，总的说来， “大学，我自由了”。我渴望自由，但是自己拥有了自由之后又不知道该怎么办才好了。大 学生所拥有的休闲和自由支配时间很多，但事实上，大量的自由时间让大学生的闲暇生活 变 得非常的凌乱，而且大学生在闲暇时间利用方面存在着诸多问 题，比如：闲暇生活内容单调。在闲暇时间里，许多大学生以看电影、玩游戏、看课外书度过，很少一部分大学生能劳 逸结 合，会花时间去复习和预习以及从事文体活动及营造自己的生 活，还有一部分的学生在闲暇时间里无所事事，甚至参与赌博、常常流连于网吧。大多数大学生完成老师的任务是为了应 付，没有多少能力的提升。这些都是不能合理安排自己时间的表现，所以针并改善对此种 情 况对提升大学生素质来说意义重大。 时间管理的有效应用，是达到目标的有效保证。而时间管理能力则是为了实现目标而 对 时间进行计划、安排、控制、分配、使用、反馈等活动中表现出来的能力。管理大师彼 特杜 拉克曾说：“时间是世界上最短缺的资源，除非善加管理，否则一事无 成。”时间管理的重要性，显而易见。且时间管理的重点不在于如何管理自己的时 间，而是在于如何善用时间的角度来管理自己。大学生是有能力做好时间管理，科学分配自己的生活板块，让他们拥有明确 的学习或生活目标。对于正处于人生学习的黄金阶段的大学生来说，时间管理能力是大学 生 初入社会后能力的一种体现，也是迈出成才的重要一步。学会管理和利用自己的时间显得尤 为重要，而且也有利于让他们在学习善用时间过程 中，有效的提高自己的自制能力，学会如何管理和经营自己的人生。但是当前大学生时间自我管理的现状是低效 的、无计划的和缺乏策略的。 这个小组会先让组员认识自 己，探索自己，留意自己的时间运用，然后会让组员意识到时间管理的重要性，明白自己应该做什么，什么事情不应该做，降低他们的“变动性”，最后会完成一个时间规划表格，做出时间规划后按照规划行事，合理的管理时间。另外使用小组方法介入可帮助面对类似问题或有共同需要的组 员，得以建立支援网络，并从组员间的互相支持中，得到更大的信心去改 善，而且在组员的互动过程中，大家可以互相监督，更能利 用其他组员的回馈做改善的参与。此外，组员间亦可产生模仿的作用，从别人身上学 习。 理论构建： 社会认知理论是从个体、行为和环境相互影响三方交互作用的视角来解释人类行为和 机 能的，人在不同的情境中会有不同的心理和行为表 现。皮亚杰为儿童认知发展研究提供了一 个极具影响力的理论框架。皮亚杰认为，社会相互作用在认知发展中起着重要作用，社会认 知对个体行为具有调节作用。此外，社会认知会受到认知者本人特 点、认知对象、社会情境 等因素影响。社会工作者通过帮助服务对象分析自己和环境之间的关 系，能让服务对象学习形成正确的自我认识，在此基础上形成正确的行为。在该小组活动中，社会工作者制定小组 奖惩制度（即社会认知理论的环境），有效的让服务对象调整自己的行为，遵守小组的活 动 规范。班杜拉的社会学习理论认为，人们通过观察、模仿他人的行为可以获得改变，形

动态规划经典教程

动态规划经典教程 引言：本人在做过一些题目后对DP有些感想，就写了这个总结： 第一节动态规划基本概念 一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。 他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解： 如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。 下面举个例子： 要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。 一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。 经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。 下面在说说我对动态规划的另外一个理解： 用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。 二，动态规划的适用范围 动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？ 一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件： 最优子结构（最优化原理） 无后效性 最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答； 什么是无后效性呢？ 就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。 而求状态N时有用到了状态i这样求解状态的过程形成了环就没法用动态规划解答了，这也是上面用图论理解动态规划中形成的图无环的原因。 也就是说当前状态是前面状态的完美总结，现在与过去无关。。。 当然，有是换一个划分状态或阶段的方法就满足无后效性了，这样的问题仍然可以用动态规划解。 三，动态规划解决问题的一般思路。 拿到多阶段决策最优化问题后，第一步要判断这个问题是否可以用动态规划解决，如果不能就要考虑搜索或贪心了。当却定问题可以用动态规划后，就要用下面介绍的方法解决问题了：（1）模型匹配法： 最先考虑的就是这个方法了。挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。这些基本模型在先面的分类中将一一介绍。 （2）三要素法 仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的却定方向不同： 先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告） 先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。 先确定决策的问题：背包问题。（详见解题报告） 一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。 （3）寻找规律法： 这个方法很简单，耐心推几组数据后，看他们的规律，总结规律间的共性，有点贪心的意思。 （4）边界条件法 找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。这个方法也很起效。 （5）放宽约束和增加约束 这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的清晰。 第二节动态规划分类讨论

动态规划的基本概念

动态规划的基本概念 基本概念 设我们研究某一个过程,这个过程可以分解为若干个互相联系的阶段。每一阶段都有其初始状态和结束状态,其结束状态即为下一阶段的初始.状态。第一阶段的初始状态就是整个过程的初始状态,最后一阶段的结束状态就是整个过程的结束状态。在过程的每一个阶段都需要作出决策,而每一阶段的结束状态依赖于其初始状态和该阶段的决策。动态规划问题就是要找出某种决策方法, 使过程达到某种最优效果。 这种把问题看作前后关联的多阶段过程称为多阶段决策过程, 可用图9.1表示。下面介绍动态规划的术语和基本概念。 (l)阶段 把所研究的过程恰当地分为若干个互相联系的相对独立过程。 (2)状态变量 用来描述系统所处状态的变量称为状态变量。通常用s k 表示第k 阶段的初始状态，则s k +1表示第k 阶段结束时(也就是第k+l 阶段开始时)过程的状态。 通常要求状态变量具有无后效性, 即过程在第k 阶段以后的变化只与该阶段结束时的状态有关, 而与系统如何到达此状态的过程无关。 (3)决策变量的状态转移方程。系统在第k 阶段中的变化过程, 通常我们并不关心，但我们希望知道该阶段的初始状态与结束状态之间的关系。我们用以影响该系统的手段，也用一个变量x k 表示，称为决策变量， 则第k 阶段结束时的状态s k +1是决策变量x k 和初始状态s k 的函数, 即 s k +1=T (s k ,x k ) (9-1) (9-1)称为状态转移方程。 (4)权函数 反映第k 阶段决策变量x k 的效益函数W k (s k ,x k ) 称为权函数。 (5)指标函数 判断整个过程优劣的数量指标称为指标函数。当第k 阶段初始状态为s k 时,设我们在此阶段及以后各阶段均采取最优策略时,所获得的效益为f k (s k ), 那么有 ))}(),,(({)(11++∈=k k k k k k D x k k s f x s W F opt s f k k (9-2) 其中opt 表示最优,按具体问题可取为max 或min , D k 是决策变量x k 的定义域;F k 是某一个函数; s k +1=T (s k ,x k ). 图9.1

01背包问题动态规划详解及C++代码

0/1背包问题动态规划详解及C++代码 1. 问题描述 给定一个载重量为C的背包 有n个物品 其重量为wi 价值为vi 1<=i<=n 要求:把物品装入背包 并使包内物品价值最大2. 问题分析 在0/1背包问题中 物体或者被装入背包 或者不被装入背包 只有两种选择。循环变量i j意义 前i个物品能够装入载重量为j的背包中 数组c意义 c[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值 若w[i]>j 第i个物品不装入背包 否则 若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>c[i-1][j] 则记录当前最大价值 替换为第i个物品装入背包后的价值 其c++代码如下 #include using namespace std; void KANPSACK_DP(int c[50][50], int w[50], int v[50], int n, int C) { for(int i = 0; i <= C; i ++) { c[0][i] = 0; } for(int i = 1; i <= n; i ++) { c[i][0] = 0; for(int j = 1; j <= C; j ++) { if(w[i] <= j) { if(v[i] + c[i - 1][j - w[i]] > c[i - 1][j]) c[i][j] = v[i] + c[i - 1][j - w[i]]; else c[i][j] = c[i - 1][j]; } else c[i][j] = c[i - 1][j]; } } } void OUTPUT_SACK(int c[50][50], int x[50], int w[50], int n, int C) { for(int k = n; k >= 2; k --) { if(c[k][C] == c[k-1][C]) x[k] = 0; else { x[k] = 1; C = C - w[k];

动态规划习题精讲

信息学竞赛中的动态规划专题 哈尔滨工业大学周谷越 【关键字】 动态规划动机状态典型题目辅助方法优化方法 【摘要】 本文针对信息学竞赛（面向中学生的Noi以及面向大学生的ACM/ICPC）中的动态规划算法，从动机入手，讨论了动态规划的基本思想和常见应用方法。通过一些常见的经典题目来归纳动态规划的一般作法并从理论上加以分析和说明。并介绍了一些解决动态规划问题时的一些辅助技巧和优化方法。纵观全文可知，动态规划的关键在于把握本质思想的基础上灵活运用。 【目录】 1.动态规划的动机和基本思想 1.1.解决重复子问题 1.2.解决复杂贪心问题 2.动态规划状态的划分方法 2.1.一维状态划分 2.2.二维状态划分 2.3.树型状态划分 3.动态规划的辅助与优化方法 3.1.常见辅助方法 3.2.常见优化方法 4.近年来Noi动态规划题目分析 4.1 Noi2005瑰丽华尔兹 4.2 Noi2005聪聪与可可 4.3 Noi2006网络收费 4.4 Noi2006千年虫 附录参考书籍与相关材料

1.动态规划的动机和基本思想 首先声明，这里所说的动态规划的动机是从竞赛角度出发的动机。 1.1 解决重复子问题 对于很多问题，我们利用分治的思想，可以把大问题分解成若干小问题，然后再把各个小问题的答案组合起来，得到大问题的解答。这类问题的共同点是小问题和大问题的本质相同。很多分治法可以解决的问题（如quick_sort，hanoi_tower等）都是把大问题化成2个以内的不相重复的小问题，解决的问题数量即为∑(log2n / k)。而考虑下面这个问题： USACO 1.4.3 Number Triangles http://122.139.62.222/problem.php?id=1417 【题目描述】 考虑在下面被显示的数字金字塔。 写一个程序来计算从最高点开始在底部任意处结束的路径经过数字的和的最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 1 在上面的样例中，从7到3到8到7到5的路径产生了最大和：30。 【输入格式】 第一个行包含R(1<= R<=1000) ,表示行的数目。后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。所有的被供应的整数是非负的且不大于100。 【输出格式】 单独的一行包含那个可能得到的最大的和。 【样例输入】 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 1 【样例输出】 30 显然，我们同样可以把大问题化成小问题来解决。如样例中最底层的6就可以从次底层

时间规划作文600字

三一文库（https://www.wendangku.net/doc/1a5782597.html,） 〔时间规划作文600字〕 从昨天开始我就使用一个叫“爱时间”的APP记录自己一天的时间，就有了自己一天二十四小时都去哪里了的详细时间轴的记录与分析。昨天晚睡与午睡我一共花去了八个小时五十八分，在电脑上用了六个小时，手机也刷去了不少时间，剩下的时间就是上课吃饭以及处理一些闲杂事情了，用在学习上的时间就极为少了。因为有了一天的时间分析，我今天就对自己的时间有所调整，现在已经是傍晚六点，我今天花在睡觉的时间上就减少为六个小时十七分，今天还在早上运动的时候听了“喜马拉雅山”上的广播，以及刷了今日头条还在当当读书上看了一点文章，更重要的是下午我练了四十分钟的毛笔字。虽然在将近过去的一天里，我没有做到什么特别有意义的事情，但是也不至于觉得它是被荒废的。而且我相信通过时间轴的记录，我会变得越来越珍惜时间以及善用时间，因为在记录上我今天就比昨天过得精彩以及有意义。 我在当当读书上收藏下载了艾力升级版的《你的一年的8760小时》，你看嘛，如果精确到小时，我们一个人一年就 这么点时间，其实平均一个人的一生也是短暂的，这就更加

要求我们要使用好我们的时间，不要把时间花在不正当的刷手机玩大量的游戏上，毕竟时间不会对我们仁慈。时间，它最公平，不会因为比尔盖茨是世界首富而给他多一秒，也不会因为我是一个平凡人而夺走我一天二十四小时里任意一 刻钟。但是，时间它也是冷酷的，不会在某一刻停留让那一刻成为永恒，不会因为老人眷恋尘世而多给他几年，不会让一个惆怅的少年回到他无忧无虑的童年…… 所以，时间是需要倍加珍惜的，我从此会善待每一刻，让我有限的人生做出无限精彩的事情。

动态规划经典案例详解(背包问题)

动态规划经典案例详解之背包问题 【摘要】本文主要从动态规划经典案例——背包问题的动态规划设计思路出发，结合具体实例，对动态规划在程序设计中的典型应用以及衍生拓展进行详细分析。 【关键字】动态规划信息学奥赛0/1背包问题 动态规划并非一个算法，而是一种解题的思路，其核心思想是通过使用大量的存储空间把中间结果记录下来，大大减少重复计算的时间，从而提高的程序的执行效率，因为信息学奥林匹克复赛题目的解决程序一般是有时间限制的，对于某些用搜索必然耗费大量时间的题目，动态规划几乎是唯一的选择。但是动态规划并没有一个简单的模型可以套用，对于每个不同的题目都有对应的不同规划思路，我们只能通过对一些动态规划经典案例的学习来训练自己的动态规划思维能力，从而以不变应万变，应付各种复杂的程序设计，本文通过对动态规划经典案例之一的背包问题进行详细阐述，旨在让学生了解动态规划和搜索的不同设计思路以及动态规划的优越性。 【原型例题】 从n个物品中选取装入背包的物品，每件物品i的重量为wi，价值为pi。求使物品价值最高的选取方法。 【输入文件】 第一行一个数c，为背包容量。 第二行一个数n，为物品数量 第三行n个数，以空格间隔，为n个物品的重量 第四行n个数，以空格间隔，为n个物品的价值 【输出文件】 能取得的最大价值。 【分析】 初看这类问题，第一个想到的会是贪心，但是贪心法却无法保证一定能得到最优解，看以下实例： 贪心准则1：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2,w=[100,10,10],p=[20,15,15],c=105。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x=[1,0,0]，这种方案的总价值为20。而最优解为[0,1,1]，其总价值为30。 贪心准则2：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n=2,w=[10,20], p=[5,100],c=25。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x=[1,0],比最优解[0,1]要差。

动态规划和贪心的区别

动态规划和贪心算法的区别 动态规划法的基本思路： 动态规划是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推的方式去解决。此算法常用于求解某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案，消除递归过程中产生的大量重叠子问题。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。 贪心算法的基本思想： 在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，贪心算法所得出的解是一系列局部最优的选择。 把求解的问题分成若干个子问题，对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解，把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。为了解决问题，需要寻找一个构成解的候选对象集合，起初，算法选出的候选对象的集合为空。接下来的每一步中，根据选择函数，算法从剩余候选对象中选出最有希望构成解的对象。如果集合中加上该对象后不可行，那么该对象就被丢弃并不再考虑；否则就加到集合里。每一次都扩充集合，并检查该集合是否构成解。 由以上可知：在贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。并且，每一步的最优解一定包含上一步的最优解。 而在动态规划算法中，全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解。动态规划的关键是状态

动态规划典型例题

1、单调递增最长子序列 描述 求一个字符串的最长递增子序列的长度 如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4 输入 第一行一个整数0

2、最长公共子序列 描述 如题，需要写一个程序，得出最长公共子序列。 tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S 称为已知序列的最长公共子序列。 输入 第一行给出一个整数N(0

3、括号匹配 时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB 描述 给你一个字符串，里面只包含"(",")","[","]"四种符号，请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。 如： []是匹配的 ([])[]是匹配的 ((]是不匹配的 ([)]是不匹配的 输入 第一行输入一个正整数N，表示测试数据组数(N<=10) 每组测试数据都只有一行，是一个字符串S，S中只包含以上所说的四种字符， S的长度不超过100 输出 对于每组测试数据都输出一个正整数，表示最少需要添加的括号的数量。每组 测试输出占一行 样例输入 4 [] ([])[] ((] ([)] 样例输出 3 2

0-1背包问题动态规划详解及代码

0/1背包问题动态规划详解及C代码 动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。 比如01背包问题。 /*一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品， 它们的重量分别是W1，W2，...,Wn, 它们的价值分别为P1,P2,...,Pn. 若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。 输入格式： M,N W1,P1 W2,P2 ...... 输出格式： X*/ 因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。 测试数据： 10,3 3,4

4,5 5,6 c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值. 这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放 4."这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放 4."假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为 4."而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量 5."背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是 4."所以。总的最佳方案是5+4为 9."这样.一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的 6."而是上一排的 9."说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得 9.") 从以上最大价值的构造过程中可以看出。 f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗? 下面是实际程序（在VC 6."0环境下通过）: #include

动态规划 算法

动态规划算法介绍——概念、意义及应用、例题(2012-05-14 21:54:37)转载▼标签：杂谈 动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。 基本模型 多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。 记忆化搜索 给你一个数字三角形, 形式如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 找出从第一层到最后一层的一条路,使得所经过的权值之和最小或者最大. 无论对与新手还是老手，这都是再熟悉不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：f(i, j)=a[i, j] + min{f(i+1, j)，f(i+1, j + 1)} 对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么简单了。