2014年高考理科数学北京试卷真题(带WORD答案)

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数学（理科）（北京卷）参考答案

一、 选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．C 2．A 3．B 4．C

5．D

6．D

7．D 8．B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．1-

10

11．22

1312

x y -=；2y x =±

12．8 13．36

14．π

三、解答题（共6小题，共80分）

15．（共13分） 【解析】 （1

）

sin 7

ADC ∠==

sin sin()sin cos cos sin 11727214

BAD ADC B ADC B ADC B

∴∠=∠-∠=∠?∠-∠?∠=

-?=

（2）在ABD ?中，

sin sin sin AB AD BD ADB B BAD ==∠∠∠

==

解得：3,7BD AD == 在ACD ?中，

222222cos 1

7227249

7

AC AD DC AD DC ADC

=+-??∠=+-???=

7AC ∴=

16．（共13分）

解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A ， 由题可知，李明在该场比赛中命中率超过0.6的场次有： 主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率()51102

P A =

=． （2）设李明一场投篮命中率超过0.6，一场命中率不超过0.6的概率为事件B ，

同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率1

3

5

P =，客场命中率超过0.6的概率225

P =

故()()()1221

332213

11=+=555525

P B P P P P =?-+?-??． （3）()E X x =．

17．（共14分） 【解析】 （1） 证明：

//,,ED AM ED AM PED PED ??面面

//AM PED ∴面

,AM ABF AB ABF ??面即面

ABF PED FG =面面?

//AB FG ∴

（2） 如图建立空间坐标系

A xyz -，各点坐标如下：

(0,0,0),E (0,2,0),B (,1),P (0,0,2)

A 设ABF 面的法向量为000(,,z )n x y =，(1,0,0)A

B =,(0,1,1),AF =

n AB n AF ??=???=??，即00x y z =??

+=?，令1y =得：(0,1,1)n =- 又

(1,1,0)BC =

，1

sin ,2

BC n ∴<>=

=

直线BC 与平面ABF 所成角为

6

π 设111(,,z )H x y ,由,PH tPC =则111(,,z 2)t(2,1,2)x y -=-

(21,,22)H t t t ∴--

又

,(21,,22)H ABF BH t t t ∈=--面

0n BH ∴?=,2220,3t t t ∴+-=∴=

，422(,,)333H ∴，424,,333PH ??= ???

|PH|=2∴

18．（共13分）

解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-

∵π0,2x ?

?∈???

?，

∴()'0f x …，即()f x 在π0,2?

????

?上单调递增，

∴()f x 在π0,2?

????

?上的最大值为()00f =，

所以()0f x …． （2）一方面令()si n x g x x =

，π0,2x ?

?∈ ??

?，

则()2cos sin 'x x x

g x x ?-=

，由（1）可知，()'0g x <，

故()g x 在π0,2?? ???上单调递减，从而()π2

2π

g x g ??>= ???，

故2πa …

，所以m a x 2

π

a =． 令()sin h x x bx =-，π0,2x ?

?∈ ??

?，则()'cos h x x b =-，

当1b …

时，()'0h x <，故()h x 在π0,2x ?

?∈ ??

?上单调递减，从而()()00h x h <=， 所以()s i n 0h x x bx =-<恒成立．

当1b <时，()'cos 0h x x b =-=在π0,2?

? ??

?有唯一解0x ，且()00,x x ∈，()'0h x >，

故()h x 在()00,x 上单调递增，从而()()00h x h >=， 即sin sin 0sin x

x bx x bx b x

->?>?

>与sin x b x <恒成立矛盾， 综上，1b …

，故min 1b =．

19．（共14分）

（1）椭圆的标准方程为：22

142x y +=，故2,a b =则c =故离心率

e c a =

=；

（2）由题可得，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y k x =，OA OB ⊥,

○1当0k =时，()2,0A ±，已知()0,2B ，此时直线AB 方程为20x y +-=或

+2=0x y -，

原点到直线AB 的距离均

为故满足直线AB 与圆222x y +=相切； ○

2当0k ≠时，直线OB 方程为1

y x k

=-， 联立22142

y kx x y =??

?+

=??得，()

221+24k x =，

故,A ??

或,??， 联立12

y x k y ?

=-???=?得，()2,2B k -，

由A 的对称性，那么不妨去

点,A ??

进行计算，于是直线AB 方程

为

))2222y x k x k k

-=

+++

，

(

(21+220k x y k -++=

原点到直线AB 的距离

d =

，此时与圆

222x y +=相切；

综上所述，直线AB 与圆222x y +=相切．

20．（共13分）

解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max ,241max 7,6178T P T P =++=+=+=；

（2）当m a =时，

()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； ()1'+T P c d =，(){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d b c d =+++=++=++；

因为a 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,a b c b c ++…，从而()()22'T P T P …；

当m d =时，

()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； (){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d a b c =+++=++=++；

因为d 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,d b c b c ++…，从而()()22'T P T P …； 综上，这两种情况下都有()()22'T P T P …．

（3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。

2014年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）部分解析

一、 选择题

1. 【答案】C

【解析】解：集合{}

{}2

200,2A x x =-==.故{}0,2A B ?=，选C ．

2. 【答案】A

【解析】解：A.y =

[)1,-+∞上为增函数，符合题意.

B.()2

1y x =-在()0,1上为减函数，不合题意. C.2x

y -=为(),-∞+∞上的减函数，不合题意.

D.()0.5log 1y x =+为()1,-+∞上的减函数，不合题意. 故选A

3. 【答案】B

【解析】解：参数方程1cos 2+sin x y θ

θ

=-+??

=?所表示的曲线为圆心在()1,2-，半径为1的圆.

其对称中心为圆心()1,2-.逐个带入选项可知，()1,2-在直线2y x =-上，即选项B .

4. 【答案】C

【解析】解：当m 输入的7,3m n ==时，判断框内的判断条件为5k ＜.故能进入循环的k 依次为7，6，5，顺次执行S S k =?，则有765210S =??=，故选C.

5. 【答案】D

【解析】解：对于等比数列{}n a ，若1q ＞，则当10a ＜时有{}n a 为递减数列.故1q ＞不能推出“{}n a 为递增数列”.

若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a ＜且01q ＜＜，推不出1q ＞. 综上，“1q ＞”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D.

6. 【答案】D

【解析】解：若0,k z y x =-≥没有最小值，不合题意.

若0k ＜，则不等式组所表示的平面区域如图所示. 由图可知，z y x =-在点2,0k ??

-

???

处取最小值. 故204k ??

--

=- ???

，解得12k =-，即选项D 正确

7. 【答案】D

【解析】解：D ABC -在平面上的投影为ABC ?，故12S =.设D 在yOz 和zOx 平面

上的投影分别为2D 和3D ，则D A B C -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD ?和

3OAD ?.

∵(2D ，(3D .故23S S =.综上，选项

D 正

确

.

8. 【答案】B

【解析】解：用ABC 分别表示优秀、及格和不及格.显然语文成绩得A 的学生最多只有1个.语文成绩得B 的也最多只有一个.得C 的也最多只有一个，因此学生最多只有3个. 显然，（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多3个.

二、填空题

9. 【答案】1-

【解析】解：复数()()()2

1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2++===--+，故2

2

1i i 11i +??==- ?-??

．

10.

【解析】解：由λ+=0r r a b ，有λ=-r r

b a ，于是λ=?u u r r b a ，

由()2,1=r

b

，可得=r b 1=r a

，故λ．

11. 【答案】22

1312

x y -=；2y x =±

【解析】解：双曲线2

214

y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±；

设C ：2

24

y x m -=，因为C 过()2,2，所以代入并解得3m =-，

故C 的方程为22

1312

x y -=，渐近线方程为2y x =±．

12. 【答案】8

【解析】解：根据等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是8890,0a a a >+<，

即890,0a a ><，所以8798,S S S S ><， 故8S 为{}n a 的前n 项和中最大值．

13. 【答案】36

【解析】解：因为A 与B 相邻，所以应用捆绑法，将A 和B 当成一个整体捆绑成一个元素，

又因为A 与C 不相邻，所以分两种情况；

（1）C 与A 和B 这个整体相邻，这时应采用插空法，摆法有223

223A A A 24??=种；

（2）B 正好在A 与C 之间，这是将A 、B 、C 当成一个元素，摆法有2323A A 12

?=种；

故不同的摆法有122436+=种

14. 【答案】π

【解析】解：由()f x 在区间ππ,62??

????

上具有单调性，

π2ππ236f f f ????

??

==- ? ? ???????

可知， ()f x 有对称中心1πππ,0,02263??????

+= ? ? ???????，对称轴1π2π7π22312x ??=+= ???；

故()f x 的周期为7ππ4π123??

-=

???

．