平几问题的三角证法5
平面几何的三角证法
三角法是利用正余弦定理、面积公式、三角函数公式解平面几何竞赛题。用三角法解几何题可以使题中量之间的关系变得简单明了，把几何变换和复杂的演绎推理转化成三角函数的运算，方法简单，思路清晰。
三角形中常用结论：设,,a R r r 分别表示ABC ?的外接圆半径、内切圆半径、与BC 边
相切的旁切圆的半径，则有如下结论：⑴
4sin sin sin ,4sin cos cos 222222
a r r A B C A B C R R ==； ⑵sin sin sin 4cos cos cos ,cos cos cos 14sin sin sin 222222
A B C A B C
A B C A B C ++=++=+；
⑶222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+。
应用举例
例1．（2005年中国数学奥林匹克试题）一圆与ABC ?的三边,,BC CA AB 的交点依次为121212,,,,,D D E E F F ，线段11D E 与22D F 交于点L ，线段11F E 与22D E 交于点M ，线段11D F 与22E F 交于点N 。证明：,,AL BM CN 三线共点。
例2．（2004年全国高中数学联赛）在锐角ABC ?中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 交于点H ，以DE 为直径
的圆分别交,AB AC 于,F G 两点，
FG 与AH 相交于点K ，已知25,20,7BC BD BE ===，求AK 的长。
D 2
E 2
F 2
F 1
D 1
E 1
A
B C
L
M
N
K
H
G
F
E
D C
B
A
例3．（第44届IMO 预选题）如图，已知直线上的三个定点依次为,,A B C ，O 是经过,A C 且圆心不在AC 上的圆。分别经过,A C 两点且与O 相切的直线交于点P ，PB 与O 交于点Q ，证明：AQC ∠的平分线不依赖O 的选取。
例4．（第44届IMO 预选题）如图，1234,,,O O O O 分别为四个不同的圆，且
1O 与3O 外切于点P ，2O 与4O 也外切于点P 。假设1O 与2O ，2O 与3O ，3O 与4O ，4O 与1
O 分别交于异于P 的点,,,A B C D 。证明：2
2
AB BC PB AD DC PD
?=?。
例5．（2004年女子数学奥林匹克）给定锐角ABC ?中，点O 为其外心，直线AO 交边BC 于点D 。动点,E F 分别位于边,AB AC 上，使得,,,A E D F 四点共圆。求证：线段EF 在边BC 上的投影的长度为定值。
例6．设ABCD 是一个凸四边形，从点D 向直线
,,BC CA AB 作垂线，垂足分别为,,P Q R 。证明：PQ QR =的充要条件是ABC ∠的平分线、ADC ∠的平
分线和AC 这三条直线相交于一点。
例7．（2005年第17届亚太地区奥林匹克）在ABC ?中，点,M N 分别在边,AB AC 上，且MB BC CN ==，记
A B C ?的外接圆半径和内切圆半径分别为,R r ，试用,R r
表示
MN
BC 。
A
B
C
P
Q
R
A B
C
O
D
M
N
I
例8．如图，锐角ABC ?中的外接圆半径和内切圆半径分别为,R r ，角A 是三个内角中最大的角，P 为BC 的中点，M 是
在点,B C 分别作ABC ?的外接圆切线的交点。求证：r AP R AM
≥。
练习题
1．求证：圆的内接n 边形中，以正n 边形的面积最大。 2．设O 、H 分别是ABC ?的外心、垂心，D 是BC 的中点，求证：2AH OD =。
3．在ABC ?中，AD ⊥BC 于D ，AD =BC ，P 为BC 的中点，H 为垂心，求证：DH PH PC +=。
4．设圆的外切梯形的两底边长分别为n m ,（常数），求圆面积的最大值，并求此时两腰的长。
5．ABCFED 是圆内接六边形，,,AD BE CF 交于点P ，
β
α=∠=∠BPC APB ,，求证：
()()
(
)()s
i n
s i
s
P
C P F P A αβ
α-
+
-=+。 6．设ABC ?的外接圆半径为R ，P 为ABC ?内部任一点，求
A
B
C
D
H
P
证：
R
ab PC ca PB bc PA 1≥++。 7．ABC ?中，AB =AC ，A = 200，,D E 分别在边,AC AB 上，
20ABD ∠=，0
30ACE ∠=求BDE ∠。
8．已知ABC ?的三边长、外接圆半径分别为1,,,,=++c b a R c b a 且，求证：()
222212
1
4R abc c b a -≥
+++。 9．（第44届IMO ）设ABCD 是一个圆内接
四边形，从点D 向直线,,BC CA AB 作垂线，垂足分别为,,P Q R 。证明：PQ QR =的充要条件是ABC ∠的平分线、ADC ∠的平分线和AC 这三条直线相交于一点。
10．（第30届IMO ，1989年）I 是ABC ?的内心，直线AI 与外接圆交于1A ，与B ∠和C ∠的外角平分线交于0A ；1B 与0B 及1C 与0C 类似。求证：111A B C ABC S S ??≥。
11．在ABC ?中，0120BAC ∠=，三角形的三条角平分线,,AD BE CF 分别交边
,,BC CA AB 于点,,D E F 。求证：以EF 为直径的圆过D 点。
12．记ABC ?的内切圆分别切,,AB BC CA 于,,P Q R ，求证：6BC CA AB
PQ QR RP
++≥。 13．已知ABC ?的内切圆
I 与边,AB AC 分别切于点,P Q 。,BI CI 分别交PQ 于
,K L ，证明：IKL ?的外接圆与ABC ?的内切圆相切的充要条件是3AB AC BC +=。
14．在ABC ?中，070A ∠=，I 是ABC ?的内心，若
CA AI BC +=，求B ∠。
A
B C
D
E
C 0
B 0
A 0
A
B
C
I
解答或提示
1．法一：用“局部调整法”；
法二：易证圆心必在n 边形的内部，才可能使得面积最大。设圆的半径为R ，n 边
形各边所对的圆心角为()n i i ,,2,1 =α，πα≤
i i R S 12sin 21α。
因正弦函数在[]π,0上凸，故n n n n n i i n
i i π
αα2sin 1sin sin 1
1=≤∑∑==，当且仅当n
ααα=== 21时取等号，得证。
2．法一：取BH AB ,的中点并连起来，即可得证； 法二：连接BO 并延长到E ，使OE BO =，得证； 法三：取CH AH ,的中点并连接起来，进一步得证； 法四：因BAC BC OD cot 21?=，又BAC
BC
ACB AB ABH AH BAC AH sin sin sin cos ===，进一步得证。
3．法一：由BDH ?∽ADC ?可得DA DH CD BD ?=?，故PC DH PD PC ?=-222，有222222PH PD DH DH PC DH PC =+=+?-，从而得证；
法二：取AD 的中点O ，连接PO ，利用二倍角的正切公式以及三角形相似可以证得
POD PHD ∠=∠2，进一步得证。
4．法一：设⊙()R O 的外切梯形ABCD 的两底n CD m AB ==,，,M N 是两底的切点，
d DN c CN b BM a AM ====,,,，因,
A
M O O N D B M O O N C ????
，故2a
d R b c ==? a c
b d
=。又()()()()?≥--=+-+0d c b a bc ad bd ac ()()24R bc ad bd ac mn ≥+++=，当且仅当d c b a ==,时取等号，腰长为()n m +2
1
；
法二：易知242cot 2cot 2tan 2tan R B A R B A R mn ≥??
? ??+???? ??
+=，当且仅当B A =时取等号，
此时两腰的长均为
()n m +2
1
。 5．()sin sin sin 2sin ABC PA PB PB PC PA PC S AB AC BAC αβαβ???+??-??+==??=
[2sin sin 2DEF PA DE PC DF BC PA PC PB PA PB PC
S PE PF PD PE PE PD R PD PE PF PD PE PF βα????????=??=??+?-???()()()sin sin sin PD PF PA PB PD PE PC PF PB PC PE PF PA PD αβαβ?+?????-+????-=
??()()sin PC PD PA PF PB PE αβ????-+，进一步得证。
6．法一：作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AC 于E ，连接DE ，则可得222DE PD PE =++
()()()2
2
2
2cos sin sin cos cos sin sin PD PE C PD A PE B PD A PE B PD A PE B ??=++-≥+?
()sin sin DE PD A PE B PC DE C aPD bPE ≥+?=≥+，故4ABC abc R S ?==
222aPD bPE cPF ++≤aPA bPB cPC ++，从而得证；
法二：因为()()()()(6ABC a PA PD b PB PE c PC PF S abc R aPD bPE ?+++++≥=++
)cPF +，所以aPA bPB cPC abc R ++≥，从而得证。
7．法一：在AC 上取一点F ，使得020=∠CBF ，连接EF ，由050=∠=∠BEC BCE ，
080=∠=∠BCF BFC 可知BE BF BC ==，又因为060=∠EBF ，故EBF ?是正三角形。
由040=∠=∠FBD FDB 得BF =DF ，故040=∠EFD ，从而030=∠BDE ；
法二：设BC = 2，则050=∠=∠BEC BCE ，故BE = 2。又010csc =AC ，因此
210csc 0
-=AE 。因BE AE BD AC =-==0000
10
sin 10sin 30sin 20cos 2，故ACE ?∽BDE ?，从而030=∠=∠ACE BDE ；
法三：设BC = 2，则050=∠=∠BEC BCE ，故BE = 2。又
00
2
sin 80sin 40BD =?
04cos 40BD =，故2200020416cos 4016cos 40cos 2016sin 20DE =+-=?04sin 20DE =，
从而030BDE ∠=。
8．法一：设ABC ?内径为()()(),cot 2,cot 2,cot 2r x A y B z C x y z xyz ===?++=，且()()()y x r c x z r b z y r a +=+=+=,,，故222221,4122rxyz a b c abc r =+++=-，又由
Eul er 不等式R r ≤2即可得证；
法二：由题可知()()2
212121cos 21cos c
c c ab C ab C
-=--+?=
+，故2224
a b c abc +++= ()2
21cos 111cos 22
C c C -??--+ ?+??。又12a b c c +>?<，故()2222
1412a b c abc R +++≥-? ()()12tan tan cot 2sin sin sin 8cos 22222C C C a b c C R c a b c A B C R R R ??
≥-=+-?≥+-=+-=?
???1
sin
sin sin sin sin 222228B A A B C ?≤，此不等式显然成立，当且仅当C B A ==时取等号，得证。
9．易知,sin sin RQ PQ AD CD BAC ACB ==，故s i n s i n A D R Q A C B
R Q A B
C D P Q B A C P Q B C
=?
=?，从而得证。
10．
教育研究的过程
教育研究的过程 我们前面把“研究”界定为利用有计划与有系统的资料收集、分析和解释的方法来谋求解决问题的过程，而且说明研究中运用的“科学方法”是指人们在认识和解决问题时所采取的一套符合科学规律要求的程序步骤，因此，对教育研究过程的一般步骤作简要说明是非常必要的。 教育科研的一般过程 美国教育家杜威（John Dewey，1859-1952）曾在其《思维方法》（How We Think）一书中谈到，人们解决问题一般需要经过５个步骤：(1)发现疑问或问题；(2)认定疑问之所在并加以清楚界定；(3)提出可能解决问题的方法，即提出“假设”；(4)推演“假设”的结果；(5)验证“假设”。杜威所提出的思维５步骤，揭示了人们在解决问题时的一大有系统的步骤。 人们的教育研究活动，同样是不断发现问题和解决问题的过程，其一般过程能常分为以下几个基本步骤。 一、确定问题 教育研究的第一步工作是选择研究问题。对于一个研究新手而言，确定研究的问题并不是简单的工作，这里涉及到所确定的问题的价值、与研究主体的关系、研究问题的条件等。当研究的问题确定以后，整个研究有了方向，后续的工作就比较容易进行。 一般研究问题的产生，可透过理论或相关文献的探讨，也可由自己的实际经验中寻找，此外，亦可通过向人请教来确定。然而不管研究问题的来源如何，有了问题之后，接下来必须确定的是问题的性质与范围。 二、提出假设 所谓“假设”指的是理智的猜测。假设并不是随便乱猜胡设的，而是根据理论、往昔的研究发现、自己的经验或是逻辑的推理而针对问题提出的暂时性解答。 在侧重统计分析的量化研究中，一般均有假设的呈现，然而在侧重文字描述的质化研究中，并非一定要有研究假设。 三、设计或选择研究方法 在确立了研究主题与假设后，接下来所要着手的是研究设计，亦即考虑使用何种方法进行研究较为合宜、研究工具如何设计与实施等等。如果研究者所从事的是量化研究，则另须考虑各项研究假设该用何种统计公式进行分析。 四、搜集资料 在整个研究的过程中，此步骤所涉及的是实际动手搜集实证资料。资料的搜集必须以研究问
三角函数公式及其图像
初等函数 1、基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数： (1) 幂函数μx y=，μ是常数； 1.当u为正整数时，函数的定义域为区间 ) , (+∞ -∞ ∈ x，他们的图形都经过原点，并当u>1时 在原点处与X轴相切。且u为奇数时，图形关于原点对称；u为偶数时图形关于Y轴对称； 2.当u为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3.当u为正有理数m/n时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n图形于x轴相切,如果m (2) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； 1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点. (3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； (4) 三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区 间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/ 计算方法实验报告1 【课题名称】 用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程 【目的和意义】 高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。 用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵（上三角矩阵、单位矩阵等），而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =（其中A ∈Rn ×n ）的计算量为：乘除法运算步骤为 32(1)(1)(21)(1)(1)262233n n n n n n n n n n n MD n ----+= +++=+-，加减运算步骤为 (1)(21)(1)(1)(1)(25) 6226 n n n n n n n n n n AS -----+= ++= 。相比之下，传统的克莱姆 法则则较为繁琐，如求解20阶线性方程组，克莱姆法则大约要19 510?次乘法，而用高斯消去法只需要3060次乘除法。 在高斯消去法运算的过程中，如果出现abs(A(i,i))等于零或过小的情况，则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠，所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法，从而使计算结果更加精确。 2、列主元三角分解法 高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU ，并求解Ly=b 的过程。回带过程就是求解上三角方程组Ux=y 。所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法 采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度 【计算公式】 1、 列主元高斯消去法 设有线性方程组Ax=b ，其中设A 为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 第1步（k=1）：首先在A 的第一列中选取绝对值最大的元素 1l a ，作为第一步的主元素: 111211212222112[,]n n n l n nn n a a a a b a a a b a a a b ?? ???? ?? =?????? ?? ????a b 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=o ；18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] §4 直接三角分解法 一、教学设计 1．教学内容：Doolittle 分解法、Crout 分解法，紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 2．重点难点：紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 3．教学目标：了解直接三角分解法的基本思想，掌握基本三角分解法及其各种变形。 4．教学方法：讲授与讨论。 二、教学过程 在上节中我们用矩阵初等变换来分析Gauss 消去法，得到了重要的矩阵LU 分解定理（定理 3.1，3.2）。由此我们将得到Gauss 消去法的变形：直接三角分解法。直接三角分解法的基本想法是，一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那么求解方程组b x =A 的问题就等价于求解两个三角形方程组 （1）b y =L ，求y ； （2）y x =U ，求x 。 而这两个三角形方程组的求解是容易的。下面我们先给出这两个三角形方程组的求解公式；然后研究在LU A =或LU PA =时，U L ,的元素与A 的元素之间的直接关系。 4－0 三角形线性方程组的解法 设 ????? ???????= nn n n l l l l l l L 21222111， 11121222n n nn u u u u u U u ??????=???????? 则b y =L 为下三角形方程组，它的第i 个方程为 ),2,1(11,22111 n i b y l y l y l y l y l i i ii i i i i i i j j ij ==++++=--=∑ 假定0≠ii l ，按n y y y ,,,21 的顺序解得： ??? ?? ? ?=+-==∑-=) ,,3,2(/1111 11n i l b y l y l b y ii i i j j ij i 上三角形方程组y x =U 的第i 个方程为 求三角函数解析式常用的方法 三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。现就几道例题谈谈常用的求解方法。 1 利用五点法，逆求函数解析式 例1．右图所示的曲线是)sin(?ω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2 已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω= 把(,2)12π代入，2122ππφ?+=得3π?= 所以y=)3 2sin(2π+x 点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相?。 2 利用图像平移，选准变换过程切入求解 例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） A ．sin 6y x π??=+ ??? B.sin 26y x π??=- ?? ? C.cos 43y x π??=- ??? D.cos 26y x π??=- ?? ? 解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6 π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。 点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入， 如本题y=sin 2x 向左平移了6 π个单位进行验证化简是求解的关键。对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ω?的影响，注重整体变量观念的应用。 3 特殊化赋值法求解 列主元三角分解法在matlab中的实现 摘要:介绍了M atlab语言并给出用M atlab语言实现线性方程组的列主元三角分解法,其有效性已在计算机实现中得到了验证。 关键词:M atlab语言;高斯消去法;列主元三角分解法 0前言 M atlab是M atrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写,它是由美国M athwork公司于1967年推出的软件包,现已发展成为一种功能强大的计算机语言。它编程简单,使用方便,在M a tlab环境下数组的操作与数的操作一样简单,进行数学运算可以像草稿纸一样随心所欲,使计算机兼备高级计算器的优点。M atlab语言具有强大的矩阵和向量的操作功能,是Fo rtran和C语言无法比拟的;M a tlab语言的函数库可任意扩充;语句简单,内涵丰富;还具有二维和三维绘图功能且使用方便,特别适用于科学和工程计算。 在科学和工程计算中,应用最广泛的是求解线性方程组的解,一般可用高斯消去法求解,如果系数矩阵不满足高斯消去法在计算机上可行的条件,那么消元过程中可能会出现零主元或小主元,消元或不可行或数值不稳定,解决办法就是对方程组进行行交换或列交换来消除零主元或小主元,这就是选主元的思想。 1 定义 列主元三角分解：如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P,使PA=LU,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角阵。列主元三角分角法是对直接三角分解法的一种改进,主要目的和列主元高斯消元法一样, 就是避免小数作为分母项. 2 算法概述 列主元三角分解法和普通三角分解法基本上类似，所不同的是在构造Gauss 变换前，先在对应列中选择绝对值最大的元素（称为列主元），然后实施初等行交换将该元素调整到矩阵对角线上。 例如第)1,,2,1(-=n k 步变换叙述如下： 选主元：确定p 使{}1)1( max -≤≤-=k ik n i k k pk a a ； 行交换：将矩阵的第k 行和第p 行上的元素互换位置,即 ． 实施Gauss 变换：通过初行变换，将列主对角线以下的元素消为零．即 3 列主元三角分解在matlab 中的实现 【课题】5.6三角函数的图像和性质（第一课时） 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标 培养学生的审美能力，作图能力，激发学习数学的兴趣，探究其他作图的方法． 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； 0,2π上的简图． （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？ 再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？． 2、解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些？ 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，及2π-，4π-， 都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x 成立，函 数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的 A、第一部分选择题 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．研究了科学认识的“归纳一演绎”程序及其遵循的方法，在形式逻辑上建立了科学方法论的伟大思想家、哲学家是 ( C ) A．苏格拉底 B．柏拉图 C．亚里士多德 D．毕达哥拉斯 2．研究的成果往往为各级教育行政部门决策和教育工作者提供有用的信息的是( C ) A．基础研究 B．应用研究 C．发展性研究 D．预测研究 3．下列对顺查法的描述错误的是 ( C ) A．由远及近、由旧到新的顺序查找 B．查找时可以随时比较、筛选C．不太关注问题发展历史渊源和全面系统 D．-般可以查全 4．先将总体各个观测单位按某一标志顺序排列编号并分成数量相等的组，使组数与取样数相同，然后从每组中依事先规定的机械次序抽取对象，这种取样方法是 (B ) A．简单随机取样 B．系统随机取样 C．分层随机取样 D．整群随机取样 5．下列对外部评论的描述中正确的是 ( C ) A．确定资料的客观、可靠性 B．确定资料本身的意义、价值 C．确定资料的真伪 D．只涉及资料的内部 6．在观察活动中要求研究者进行隐蔽性研究观察的是 ( A ) A．参与性观察 B．非参与性观察 C．直接观察 D．间接观察 7．对全结构式教育观察特点描述错误的是 (D ) A．在实验室中进行 B．有详细的观察计划 C．有明确的观察指标体系 D．可局部控制 8．学生的学习兴趣与教师的教学态度的关系调查，属于 (B ) A．现状调查 B．相关调查 C．发展调查 D．预测调查 9．反映测验所得结果的可靠性和稳定性，指的是测量工具的 ( B ) A．效度 B．信度 C．难度 D．区分度 10.“比奈一西蒙智力测验量表”发表于 ( D ) A．1890年 B．1902年 C．1903年 D．1905年 11.教育科学理论研究的主要功能不包括 ( D ) A．深化教育认识，揭示教育规律 B．完善和发展原有的教育理论体系并构建新理论 C．对研究成果进行逻辑证明 D．为新的科学理论假说应用于实践寻求操作程序 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 三角分解法解线性方程组 #include 实验教学研究方法（2）:问卷设计 （刊于《中国现代教育装备》杂志2016年236期） 艾伦 首都师范大学100048 摘要讨论中小学实验教学问题研究中调查问卷的分类和设计。重点对问卷的信度、效度以及题目的客观、量化等问题进行分析和设计说明。 关键词数据挖掘；信度；效度；客观；量化 Research Method of Experimental Teaching (2): Questionnaire Design Ai Lun Capital Normal University 100048 Abstract The classification and design of the questionnaire in the study of experimental teaching of primary and middle school. The reliability and validity of the questionnaire and the objective and quantitative of the questions are analyzed and designed. Key word data mining; reliability; validity; objective; quantification 中小学实验教学问题研究少不了采用问卷调研法，伴随问卷调研还需要进行访谈。本文将对调查问卷的设计方法进行较为详细的讨论，并在后面给出设计案例。 图1 本文逻辑思维导图 一、问卷的分类 一般情况下调查问卷可以分为两种类型，一种是用于假设检验的问卷调查与数据采集，另一种是用于数据挖掘的问卷调查与数据采集。两种问卷在设计上要求是不同的。 1.用于假设检验的问卷 假设检验的研究方法是事先对被研究对象建立一个假设（记作H0），再选取合适的统计变量，使得该变量在H0成立时其分布为已知。通过问卷回收采集到的实测样本，用样本值计算出统计量的值，并根据预先给定的显著性水平做出拒绝或接受假设H0的判断。常用的假设检验方法有t检验、F检验、χ2检验等，在教学问题研究中它们对样本空间的大小要求不高，一般为25以上就可以。 由于假设检验研究方法事先对被研究对象有了一个期望假设，并选取了统计变量，所以在设计调查问卷时必然选择与期望假设有关的一些问题，以便在将来能用它们计算出统计量的样本值。这种情况下设计出的问卷受到人为倾向的影响，在问题选取上将不够广泛，采集到的数据其信息量受到限制。另外，在教育实验或教学实验研究的现实情况下，人们受到教育心理学研究的影响，在设计调查问卷时更加关注被试的心理感受和主观意愿，这使得问卷的问题常失去客观性，而变量不具有客观性对科学判断是不利的。中小学实验教学是一个多变量、信息量巨大的复杂问题，我们对它的研究更多地是使用数据挖掘研究方法。而假设检验的研究方法和调查问卷是人们熟知和经常采用的，这里就不再进行讨论了。 2.用于数据挖掘的问卷 “数据挖掘是在大型数据存储库中，自动地发现有用信息的过程。数据挖掘技术用来探查大型数据库，发现先前未知的有用模式。数据挖掘还可以预测未来观测结果，……。”[1]显然，它是从大量的数据中通过算法搜索隐藏于其中信息的过程，使用的各种算法也大多都是基于统计学的。它与假设检验的最大区别是事先不做期望假设，但是对数据的依赖非常强，要求数据量要足够大。数据挖掘通常是通过统计分析、在线处理、情报检索、机器学习、专家系统和模式识别等诸多方法来实现发掘隐藏于事物中规律的目的。 用于数据挖掘的问卷为保证最终得到的数据量足够大且不丢失信息，一般选取的样本数要非常多（应该在数百至数千甚至更多），题目涉及的内容也必须覆盖研究对象的所有方面，因为我们并不知道即将得到的结论是什么。但是，这并非是说对样本数和题目范围不加限制，没有期望假设也并非没有明确的研究目标。其实在设计这种问卷前的准备工作应该是十分科学和规范的，需要对被试预先随机抽样，必须对变量进行严格选择。本文主要讨论用于数据挖掘问卷的设计问题。 二、数据挖掘问卷设计 用于数据挖掘的问卷具有一定的特点，在进行设计时必须逐一加以考虑，此处将设计中最为重要的一些问题展开讨论。 1.问卷设计流程 下面按照先后顺序将问卷形成流程的各个环节开列出来。 （1）确定研究目的与研究对象。 %直接三角分解法（1） function [x,y,L,U]=nalu(a,b) n=length(a); x=zeros(n,1);y=zeros(n,1); U=zeros(n,n);L=eye(n,n); U(1,:)=a(1,:); L(2:n,1)=a(2:n,1)/U(1,1); for k=2:n U(k,k:n)=a(k,k:n)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,k: n); L(k+1:n,k)=(a(k+1:n,k)-L(k+1:n,1:k-1)*U (1:k-1,k))/U(k,k); end for i=2:n y(1,1)=b(1,1); y(i,1)=b(i,1)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1,1); end y(:,1); for i=n-1:-1:1 x(n,1)=y(n,1)/U(n,n); x(i,1)=(y(i,1)-U(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/U (i,i); end x(:,1); clear all; clc; A=[1,2,3;2,5,2;3,1,5]; b=[14;18;20]; [x,y,L,U]=nalu(A,b); function [x,y,L,U]=sanjiao(a,b) n=length(a); x=zeros(n,1); y=zeros(n,1); L=eye(n,n); U=zeros(n,n); %L,U·??a U(1,:)=a(1,:); L(2:n,1)=a(2:n,1)/U(1,1); for j=2:n U(j,j:n)=a(j,j:n)-L(j,1:j-1)*U(1:j-1,j: n); L(j+1:n,j)=(a(j+1:n,j)-L(j+1:n,1:j-1)*U (1:j-1,j))/U(j,j); end %?ó?a￡?áíUx=y,Ly=b y(1,1)=b(1,1); for i=2:n y(i,1)=b(i,1)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1,1); end 三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角 轴线角 2．弧度制 (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算： 360°＝__2π__rad,1°＝__π 180__rad,1rad＝(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__， 面积S＝__1 2|α|r 2__＝__1 2lr__. 3．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与 原点的距离为r，则sinα＝__y r__，cosα＝__ x r__，tanα＝__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是： (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等． 《教育科学研究方法》复习资料答案单项选择题 1.研究者根据自己对研究总体的了解和经验，从总体中确定对总体具有代表性的“典型”，将“典型”作为直接研究对象的抽样方法是(C) A.整群抽样 B.随意抽样 C.判断抽样 D.有意抽样 2.不属于观察记录的方法是(D) A.描述记录法 B.仪器记录法 C.表格记录法 D.目测记录法 3.对搜集到的各种文献进行粗略的快速翻阅，称为(B) A.粗读 B.浏览 C.精度 D.重读 4.运用“液体守恒”来测验儿童逻辑思维能力的心理学家是(A) A.皮亚杰 B.林崇德 C.朱智贤 D.张厚粲 5.对无关变量尽可能进行控制，但无法保证完全控制实验误差的实验是(B) A.前实验 B.准实验 C.真实验 D.假实验 6.将研究对象的整体分为各个部分、方面、因素和层次，并分别加以考察，从而认识事物本质的思维方法是(C) A.演绎 B.归纳 C.分析 D.综合 7.在近代教育史上，调查法最早运用于教育研究是在(C) 年年年年 8.测试个人在经过某种正式教育或训练之后对知识技能掌握的程度，称为(C) A.智力测验 B.人格测验 C.成绩测验 D.能力倾向测验 9.学前教育科学研究方法的多样化时期主要是指(C) 世纪末以前世纪60年代以后世纪初至20世纪50年代世纪80年代以后 10.属于随机抽样的方法是(D) A.随意抽样 B.判断抽样 C.定额抽样 D.整群抽样 11.较为理想的问卷中，所设计的问题的题数应控制在(B) 以内以内以内以内 12.属于教育经验总结法特点的是(A) A.研究方式的回溯性 B.研究方式的开放性 C.研究方式的灵活性 D.研究方式的实践性 13.不属于行动研究法优点的是(A) A.其可以严格控制研究过程中的环境条件 B.其有利于提高教师自身的专业素质 C.其有效地研究和解决教育实际问题 D.其有益于推动群众性的教育科学研究 14.学前教育个案研究中最常用的收集资料的手段是(D) A.访谈 B.测验 C.产品分析 D.观察 ，7，6，6，5，4，9，10，11，6，9，10这一组数据的众数是(A) 不属于文字资料整理内容的是(B) A.审查补充 B.撰写研究报告 C.分类归纳 D.编整加注 名词解释 1、研究指的是创造知识和整理修改知识，以及开拓知识新用途的探索性活动。 2、是指调查两种或两种以上教育现象之间是否存在相关关系，目的是寻找相关因素以探讨出解决问题的方法。 3、是在已有客观现实材料及思想理论材料的基础上，运用各种逻辑的和非逻辑的方式进行加工整理，以理论思维水平的知识形式反映教育客观规律的一种研究。 4、是一种将对象作为系统进行定量、模型化和择优化的研究方法。它建立在对系统的分析和综合、建立系统的模型以及系统的择优的基础上，从而揭示系统普遍性质和一般规律，并在此基础上实现对系统的合理控制。 5、是指在同一实验研究中，操纵两个或多个变量(因素)的设计，其特点是将实验中每一变量的各个水平都结合起来进行实验。 6、教育实验的内在效度是指实验结果的可解释程度和可归因程度，或者说是实验的结果（因变量的变化）能否归因于实验者对自变量操纵的程度。 5.4 三角函数的图象与性质 考点一 五点画图 【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）用五点法作出函数1cos (02)y x x π=-≤≤的简图. （2）（2020·全国高一课时练习）利用正弦或余弦函数图象作出3sin 2y x π? ? =+ ?? ? 的图象． 【一隅三反】 1．（2020·全国高一课时练习）利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 2．（2020·全国高一课时练习）利用正弦曲线,求满足 1sin 22 x <≤ 的x 的集合． 3．（2020·武功县普集高级中学高一月考）用五点法作出函数32cos y x =+在[]0,2π内的图像. 考点二 周期 【例2】（1）（2020·福建高二学业考试）函数cos y x =的最小正周期为（ ） A ． 2 π B ．π C ． 32 π D ．2π （2）（2020年广东潮州）下列函数中,不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x | 【一隅三反】 1．（2020·全国高一课时练习）下列函数中,最小正周期为π的是( ) A ．sin y x = B ．cos y x = C ．sin 2y x = D ．1 cos 2 y x = 2．（2019·云南高二期末）函数 ()2sin 36f x x π?? =- ??? 的最小正周期为__________． 考点三 对称性 【例3】（2020·辽宁大连·高一期末）函数()cos 26f x x π? ? =+ ?? ? 的图像的一条对称轴方程为（） A ．6 x π = B ．512 x π= C ．23 x π= D ．23 x π=- 【一隅三反】 1．（2020·永昌县第四中学高一期末）函数y ＝ 12sin 3x π? ?- ?? ?的图象的一条对称轴是（ ） A ．x ＝－2 π B ．x ＝ 2 π C ．x ＝－6 π D ．x ＝ 6 π 2．（2020·山西省长治市第二中学校高一期末（理））下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3 x π =对 称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π? ? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? 论定量研究与定性研究的结合及对调查研究的启示 ［作者：蒋逸民转贴自：湖南社会学网更新时间：2008-10-9］ 近年来，有关定性研究和定量研究的争论越来越多，要求结合使用两种方法的呼声越来越高。本文拟在对比分析这两种研究范式差异的基础上，对两种方法结合的模式和具体途径进行探讨，并对我国调查研究中使用结合的方法进行思考。 一定量研究与定性研究的分野 社会科学领域存在着两种方法范式。第一种范式是实证主义方法论，它模仿自然科学，主张依靠归纳法去发现新知识，用“假设一演绎”模式来检验理论（Kerlinger,1964），用数理统计工具来分析可量化的经验观察，确定事物之间的因果关系。定量研究（Quantitative Research）是实证主义方法论的具体化，它侧重于对数据的数量分析和统计计算，包括实验法、准实验法、问卷调查法等。第二种范式是人文主义方法论，它从人文科学衍伸而来的，注重收集文本信息，并从整体上进行理解和诠释。人文主义方法的具体化就是定性研究（Qualitative Research），它偏重于文本分析或叙事表达，强调对被研究对象的理解、说明和诠释，包括文献分析法、历史研究法、行动研究法、观察法、访谈法、个案分析法以及人种志等。 在方法论历史上，定量研究曾是社会学、心理学、教育学等社会科学研究的主导性范式。文艺复兴以后，自然科学摆脱了神学思辨和经院哲学的束缚，纷纷采用培根所倡导的观察实验方法。霍布斯（T. Hobbes）继承了伽利略的传统，认为人类现象与自然现象并无不同，可以把研究自然现象的方法应用于研究人类现象。孔德（A. Comte）极力提倡用自然科学的方法对社会现象进行分析和解释，提出要把社会学建设成为一门实证科学。涂尔干（E. Durkheim）主张社会科学应该以自然科学为基础，用实证的方法、确凿的数据来表达社会事实。实验心理学创始人冯特（W. Wundt）1879年设立心理实验室，提出了用实验法和观察法来分析心理现象。自19世纪后期以后，定量研究逐步取代了思辨研究，在社会科学领域得到了广泛的应用。在20世纪20年代，描述性统计分析日益成熟。在30年代，推论统计学得到飞速的发展。在40-50年代，定量研究主导了社会科学研究。在行为科学和组织研究领域，研究者们通常用“假设一演绎”模式来研究社会现象。 到了20世纪60年代中期，尽管定量研究继续主导社会科学研究，但是，由于人文社会系统和数理逻辑之间裂痕的加大，人们对逻辑实证主义的质疑逐步增多了。人们开始认识到，现实是由人类自身参与建构的，知识传递是以社会方式来进行的，用自然科学的方法来研究复杂的社会现象并不能完全使人满意，比如定量方法有将纷繁复杂、变动不居的社会现象简单化、数量化、凝固化的倾向，不能在自然状态下对微观世界进行细致、深入和动态的描述和分析，等等。其实早在19世纪末，狄尔泰（W. Dilthy）就对实证主义方法提出异议。他认为，社会科学和自然科学是两个截然不同的研究领域，实证主义以自然科学为样本，无法成为社会科学的研究方法。他认为，社会是有意识的人参与其中的，研究者不可能撇开参与和解释社会的人，只能透过人的释义历程，从整体中来把握社会真实。狄尔泰的观点反映了新康德主义和现代解释学对实证主义的批判立场。当然，对实证主义根基的真正动摇还是从实证主义内部开始的。20世纪60年代以来，波普尔（K. Poper）的“证伪主义”、库恩（T. Kuhn）“科学范式”、拉卡托斯（L. Lakatos）“精致的证伪主义”和弗耶阿本德（P. Feyerabend）“知识无政府主义”等理论观点在一定程度上消解了实证主义的狂妄，挑战了社会科学领域的实证主义的权威地位。它提醒人们，定量研究还不足以解释复杂的社会现象，对社会现象进行研究还可以借助其他研究范式和工具来进行。 与定量研究方法的主流地位相比，定性研究一直处于社会科学研究的边缘。定性研究发轫于19世纪，随着人类学、民俗学、社会学和心理学等学科的发展而发展起来，早期的定性研究主要凭主观经验和理论思辨来进行，一度因社会调查运动而引人注目。然而，由于缺乏统一的方法论指导原列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程
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