第三章 有限元和刚性体

第三章有限元和刚性体

有限元和刚性体是ABAQUS模型的基本元素。有限元是可变形的。刚性体不可变形，只作刚体运动。用户对有限元多少有一些了解，而对有限元软件中刚性体概念可能感到有些陌生。

ABAQUS软件引入刚性体是为了提高计算效率。在ABAQUS中任何物体或物体的局部都可以定义为刚性体，大多数单元类型可为刚性体定义所用（参考ABAQUS/Stardard用户手册24－1节所列的表）刚性体与变形体结合的优点是对刚性体运动的完全描述可只用一个参考点，所以不超过六个自由度即可定位一个刚性体。与此相反，变形单元需要许多自由度，并要求大量的单元计算来确定变形。当某一局部变形可忽略或对它的变形不感兴趣时，则可在建模时构造一个刚性体部件，这样做就会极大地节省计算时间而并不影响整体结果。

3.1 有限元

ABAQUS有各种各样的单元，其庞大的单元库提供了一套强大的工具来解决许多不同类型的问题，本节介绍影响单元特性的五个方面问题。

3.1.1 单元的表征

每一个单元都由下面几个特性来表征：

·单元族

·自由度（和单元族直接相关）

·节点数

·数学描述，即单元列式

·积分

ABAQUS中每一种单元都有自己特有的名字，例如T2D2，S4R和C3D81。单元的名字标志着一种单元的五个特性。单元命名的规则将在本章里说明。

单元族

图3－1给出了应力分析中最常用的单元族。单元族之间一个明显的区别是每一个单元族所假定的几何类型不同。

图3－1 常用单元族

在这本指南里将用到的单元族有实体单元、壳单元、梁单元、桁架和刚性体单元，这些将在以后的各章里详细讨论。其它的单元族在这本指南中没有讲到；如果对应用它们感兴趣，请查阅ABAQUS/Standard用户手册的Part V。

单元名字里开始的字母标志着这种单元属于哪一个单元族。例如，S4R中的S表示它是壳单元，C3D81中的C表示它是实体单元。

自由度

自由度（dof）是分析中计算的基本变量。对于壳和梁单元的应力/位移模拟分析，自由度是每一节点处的平动和转动。对于热传导模拟分析，自由度为每一节点处的温度；因此，热传导分析要求应用与应力分析不同的单元，因为它们的自由度不同。

ABAQUS中自由度的排序规则如下：

1 1方向的平动

2 2方向的平动

3 3方向的平动

4 绕1轴的转动

5 绕2轴的转动

6 绕3轴的转动

7 开口截面梁单元的翘曲

8 声压或孔隙压力

9 电势

11 温度（或物质扩散分析中归一化浓度），对梁和壳，指厚度方向第一点温度。

12 梁和壳厚度上其它点的温度

方向1，2，3分别对应于整体坐标的1－，2－，和3－方向，除非已经在节点处定义了局部坐标系。

轴对称单元是一个例外，其位移和转动自由度指的是：

1 r-方向的平动

2 z-方向的平动

3r-z平面内的转动

方向r和z分别对应于整体坐标的1-和2-方向，除非已经在节点处定义了局部坐标系。如何在节点处定义局部坐标系，请参考第5章的讨论。

在本指南中，限于结构方面的应用，所以只讨论单元的平动和转动自由度。

其它类型的单元（如热传导单元）可参考ABAQUS/Standard用户手册。

节点数——插值的阶数

ABAQUS仅在单元的节点处计算位移或任何其它的自由度。在单元内的任何其它点处，位移是节点位移插值获得的。通常插值的阶数由单元采用的节点数决定。仅在角点处在节点的单元，例如图3－2（a）所示的8节点实体单元，在每一方向上采用线性插值，因此常常称这类单元为线性单元或一阶单元。具有边中点节点的单元，如图3－2（b）所示的20节点实体单元，采用二次插值，因此常常被称为二次单元或二阶单元。一般情况下单元的节点数在其名字中清楚地标记着。8节点实体单元，如你前面已经看到过的那样，叫做C3D8；8节点一般壳单元叫做S8R。梁单元族的记法稍有不同：插值的阶数在单元的名字中标记着。这样，一阶三维梁单元叫做B31，而二阶三维梁单元叫做B32。

图3－2线性实体单元和二次实体单元

单元列式

单元列式是指用来定义单元行为的数学理论。ABAQUS中所有的应力/位移单元行为都是基于拉格朗日或物质描述的：在整个分析过程中和一个单元相关的物质保持和这个单元相关，而且物质不能穿越单元边界。在欧拉或空间描述中，单元在空间固定，而物质在单元之间流动。欧拉方法通常用于流体力学分析。ABAQUS运用欧拉方法来模拟对流换热，这本指南中不讨论这一题目。

为了适用于不同类型的物理行为，ABAQUS中的某些单元族包含具有几种不同列式的单元。例如，壳单元族有三个类别：一类具有一般壳体理论的列式，一类具有薄壳理论的列式，另外一类具有厚壳理论的列式（这些单元的列式在第5章解释）。

某些单元族除了有标准的列式，还有一些其它供选择的列式。具有其它供选择列式的单元可以由其单元名字末尾的附加字母来识别。例如，实体、梁和桁架单元族包括了杂交元列式，杂交单元由其名字末尾的“H”字母标识（C3D8H和

B31H）。

有些单元列式可求解耦合场问题。例如以字母C开头和字母T结尾的单元（如C3D8T）具有力学和热学自由度，可用于力一热学耦合问题的仿真计算。几个最常用的单元列式会在本指南的后面部分讨论。

积分

ABAQUS应用数值技术积分每一单元体上各种变量。对于大部分单元，ABAQUS运用高斯积分方法来计算单元内每一个高斯点处的物质响应。对实体单元，必须在全积分和减缩积分之间作出选择，对于给定问题，这个选择很大程度上影响着单元精度，这将在4.1节中详细讨论。

ABAQUS在单元名字末尾用字母“R”来识别减缩积分单元，对杂交单元，末尾字母为RH。例如，CAX4是全积分、线性、轴对称实体单元；而CAX4R 是减缩积分、线性、轴对称实体单元。

3.1.2 实体单元

在不同的单元族中，实体（连续体）单元能够模拟的构件种类最多。从概念上讲，实体单元仅模拟部件中的一小块物质。由于实体单元可以在其任何表面与其它单元连接起来，就像建筑物中的砖或马赛克镶嵌中的瓷砖一样，因此能用来建造几乎任何形状、承受任意载荷的模型。

在ABAQUS中应力/位移实体单元的名字以字母“C”开头。随后的两个字母表示单元的维数，即单元的自由度数，但有时有例外。字母“3D”表示三维单元；“AX”表示轴对称单元；“PE”表示平面应变单元，而“PS”则表示平面应力单元。

三维实体单元库

三维实体单元可以是六面体形（砖形）、楔形或四面体形。三维实体单元的完整清单和每一类单元的节点布局可以在ABAQUS/Standard用户手册的14.1.4节中查到。

二维实体单元库

ABAQUS拥有几类离面行为互不相同的二维实体单元。二维单元可以是四边形或三角形。最常用的三类二维单元如图3－3所示。

图3－3 平面应变，平面应力和无扭曲的轴对称单元

ε为零；这类单元可以用来模拟厚结构。

平面应变单元假定离面应变

33

σ为零；这类单元适合于用来模拟薄结构。

平面应力单元假定离面应力

33

无扭曲的轴对称单元，即“CAX”类单元，可模拟360?的环；这类单元适合于用来分析受轴对称截荷作用、又具有轴对称几何形状的结构。

ABAQUS也提供了广义平面应变单元、可以发生扭曲的轴对称单元和反对称变形的轴对称单元。

广义平面应变单元包括了附加的广义列式。离面应变可以随着模型平面内的位置线性变化。这种单元列式特别适合于厚截面的热应力分析。

可以发生扭曲的轴对称单元用来模拟初始时为轴对称形状，但能沿对称轴发生扭曲的物体。这些单元对于模拟圆柱形结构，例如轴对称橡胶套管的扭转很有用。

反对称变形的轴对称单元则用来模拟初始为轴对称几何形状的反对称变形物体。它们适合于模拟像随剪切载荷作用的轴对称橡胶支座一类的问题。

后面的三类二维实体单元在这本指南里不作讨论。

二维实体单元必须在1－2平面内定义，并使节点编号绕单元周界逆时针旋转，如图3－4所示。当用前处理器产生网格时，要确保所有点处的单元法线方向一致，即都在整体坐标的3轴正方向上。不能提供正确的单元节点布局将引起ABAQUS给出单元有负面积的出错信息。

图3－4 二维单元正确的节点布局

自由度

所有的应力/位移实体单元在每一节点处有平动自由度。对应地，自由度1、2和3在三维单元中是有效的，而在平面应变单元、平面应力单元和无扭曲轴对称单元中只有自由度1和自由度2是有效的。查阅ABAQUS/Standard用户手册的14.1.3节中可以找到在其它类二维实体单元中有效的自由度。

单元性质

所有的实体单元必须赋予截面性质，它定义了材料性质和与单元相关的附加几何数据。三维单元和轴对称单元是不需要附加几何信息的，节点坐标就能够完整地定义单元的几何形状。而平面应力和平面应变单元则必须指定单元的厚度，它们的默认值为1。

单元列式和积分

实体单元族有若干可选择的单元列式，包括非协调模式的列式和杂交单元列式，这些列式都将在这本指南中详细讨论。实体单元可以应用完全积分或减缩积分。

单元列式和积分类型对实体单元的精度都会产生显著的影响，这将在4.1节中讨论。

单元输出变量

应力和应变这样的默认单元输出变量是参照整体直角（笛卡尔）坐标系的。

应力分量是作用在整体坐标的1轴方向因此，图3－5（a）所示的积分点处

11

的。即使在一个大变形分析中单元发生转动（如图3－5（b）所示），仍默认是在整体笛卡尔坐标系中定义单元变量，然而，ABAQUS允许用户为单元变量定义一个局部坐标系。该局部坐标系在大变形分析中随着单元的运动而转动。当所分析的物体有某些自然材料方向时（如复合材料中的纤维方向），局部坐标系会十分有用。

图3－5 实体单元默认的材料方向

3.1.3 壳单元

壳单元用来模拟那些厚度方向尺寸远小于另外两维尺寸，且垂直于厚度方向的应力可以忽略的结构。

在ABAQUS中壳单元的名字以字母“S”开头。轴对称壳单元都以字母“SAX”开头，而反对称变形的轴对称单元以字母“SAXA”开头。除轴对称壳外，壳单元名字中的每一个数字表示单元中的节点数，而轴对称壳单元名字中的第一个数字则表示插值的阶数。如果名字中最后一个字符是数字“5”，那么这种单元只要可能就会只用到三个转动自由度中的两个。

壳单元的运用将在第5章详细讨论。

壳单元库

一般的三维壳单元有三种不同的单元列式：一般壳单元、薄壳单元和厚壳单元。壳单元库中有线性和二次插值的三角形、四边形壳单元，以及线性和二次的轴对称壳单元。表3－1对单元库中提供的壳单元进行了总结。

表3－1 ABAQUS中的三类单元

自由度

名字以数字“5”结尾的三维壳单元（例如S4R5，STRI65）每一节点只有5个自由度：3个平动自由度和面内的2个转动自由度（即没有绕壳面法线的转动自由度）。然而，如果需要的话，节点处的所有6个自由度都是可以激活的，例如，在施加转动边界条件时或者节点位于壳的折线上时就需用6个自由度。

其它的三维壳单位（例如S4R，S8R）在每一节点处有6个自由度（3个平动自由度和3个转动自由度）

轴对称壳单元的每一节点有3个自由度：

1 r-方向的平动

2 z-方向的平动

6 r-z平面内的平动

单元性质

所有的壳单元都有壳的截面特性，它规定了壳单元的材料性质和厚度。壳的横截面刚度可在分析中计算，亦可在分析开始时计算。若选择分析中计算刚度，ABAQUS就会用数值积分方法来计算壳厚度方向上所选点的力学性质。所选的

点称为截面点，如图3-6所示。相关的材料性质可以是线性或非线性的，用户可在壳厚度方向上指定任意奇数个截面点。

图3－6 壳单元厚度方向截面点

若选择在分析开始时计算横截面刚度，可定义横截面性质来构造线性或非线性性质。此时ABAQUS直接根据截面工程参量（面积、惯性矩等）构造壳体横截面性质，所以就不必积分单元横截面上任何变量。因此，这个选择的计算量较小。此时会根据力和力矩结果来计算响应，只有特别输出要求时才会计算应力和应变。当壳体响应是线弹性时，建议采用这个方法。

单元列式和积分

ABAQUS有三类单元，它们之间可以通过单元列式区分开：一般壳单元，厚壳单元和薄壳单元。壳的单元列式将在第5章里详细讨论。S4S4R，S31S3R 和SAX轴对称壳单元考虑了有限膜应变，而且允许壳的厚度随着单元的变形而变化。所有其它的壳单元均假定小应变和壳的厚度不发生变化，即使单元的节点可能发生有限转动。

所有的四边形壳单元（S4除外）和三角形壳单元（S3/S3R除外），都应用减缩积分方案。其它的三角形壳单元应用完全积分方案。

单元输出变量

壳单元的输出变量根据每一个壳单元表面上的局部材料方向进行定义。在大位移分析中，这些轴随着单元的变形而发生转动。用户亦可以定义单元局部坐标系，它们在大位移分析中随单元变形可以旋转。

3.1.4 梁单元

梁单元用来模拟长度方向尺寸远大于另外二维尺寸，且只有长度方向的应力比较显著的构件。

在ABAQUS中梁单元的名字以字母“B”开头。下一个字符表示单元的维数：“2”指的是二维梁单元，“3”指的是三维梁单元。第三个字符表示插值的阶数：“1”表示线性插值，“2”表示二次插值，“3”则表示三次插值。

梁单元的应用将在第6章讨论。

梁单元库

梁单元库中有二维和三维的线性、二次及三次梁单元。

自由度

三维梁单元每个节点有6个自由度：3个平动自由度（1~3）和3个转动自由度（4~6）。“开口截面”型的梁（例如B31OS）有一个表示梁横截面翘曲量的附加自由度（7）。

二维梁单元的每个节点有3个自由度：2个平动自由度（1和2）和1个绕模型所在平面法线的转动自由度（6）。

单元性质

所有的梁单元必须有梁截面特性，它规定了梁的材料性质和梁横截面轮廓线；节点坐标只定义了梁的长度。用户必须给出梁截面轮廓线的几何尺寸和形状。换言之，用户可以通过给定截面面积和惯性矩这类工程性质定义一个一般的梁截面轮廓线。

若用户定义了梁截面的几何轮廓线，ABAQUS就会用数值积分方法计算横截面性质，材料行为可以是线性或非线性的。

若用户提供截面的面积，惯性矩和扭矩等工程特性参数来代替指定横截面尺寸，则ABAQUS就不必对横截面积分，这个方法计算量较少。在用这个方法时，材料可以是线性或非线性的。此时，根据力和弯矩结果来计算响应，只有在特别请求时才计算应力和应力。

单元列式和积分

线性梁单元（B21和B31）和二次梁单元（B22和B32）允许剪切变形，并考虑了有限轴向应变；它们不仅适合于模拟细长梁，也适合于模拟短梁。尽管三次梁单元（B23和B33）允许梁的大位移和大转动，但不考虑剪切柔度，并且假定轴向应变很小，因此，它们适合于模拟细长梁。ABAQUS提供线性和二次梁单元的变种单元（B31OS和B32OS）来模拟薄壁开口梁。这些单元能正确地模拟开口横截面的扭转和翘曲效应，例如I-型和U-型槽钢。这本指南中不涉及开口截面梁。

ABAQUS也提供杂交梁单元来模拟非常细长的构件，例如海上石油平台上的柔性立管，和模拟非常刚硬的连接件。在这本指南中不涉及杂交梁单元。

单元输出变量

σ）和扭转引起的剪应力三维剪切变形梁单元的应力分量为轴向应力（

11

σ）。在薄壁截面梁中剪应力沿截面的壁作用。相应的应变量也可以输出。剪（

12

切变形梁单元也提供截面上的横向剪力。细长（三次）梁的输出结果只有轴向变量。空间开口截面梁的输出结果也只有轴向变量，因为此时的扭转剪应力可略去。

所有的二维梁单元只用到轴向的应力和应变。

根据用户需要，轴向力、弯矩和绕局部梁轴的曲率也可以输出。至于哪种单元提供哪些分量的详细情况，可以查阅ABAQUS/Standard用户手册。第153.1节。局部梁轴的定义细节将在第6章里给出。

3.1.5 桁架单元

桁架单元是只能承受拉载荷的杆。它们不能承受弯矩，因此适合于模拟铰接框架结构。桁架单元还可以近似地模拟线缆和弹簧（例如，网球排）。桁架单元有时还用来代表其它单元里的加强构件。第2章里的桥式吊车桁架模型就采用桁架单元。

所有桁架单元的名字都以字母“T”开头。随后的两个字符表示单元的维数，如“2D“表示二维桁架单元，“3D”表示三维桁架单元。最后一个字符表示单元中的节点数。

桁架单元库

桁架单元库中有二维和三维的线性和二次桁架单元。

自由度

桁架单元的节点只有平动自由度。三维桁架单元有1、2和3三个自由度，二维桁架单元只有1和2两个自由度。

单元性质

所有的桁架单元必须有桁架截面性质，它包括材料特性和横截面积。

单元列式和积分

除了有标准的单元列式外，还有一种杂交桁架单元列式。这种单元适合于模拟刚度比整体结构的刚度大得多的非常刚硬的连接件。

单元输出变量

桁架单元的输出变量为轴向的应力和应变。

3.2 刚性体

在ABAQUS里，刚性体视为节点和单元的集成体。整个刚性体的运动由一个称为刚性体参考节点的运动所控制（如图3－7所示）。刚性体的形状既可以由解析面定义，也可以由网格堆积得到，所谓解析面是指二维轮廓线经历旋转、拉伸等操作所得到的面。在分析计算过程中，刚性体形状不变，但可以有刚体位移。离散后的刚性体的质量和惯性是基于单元分布计算的，也可以根据需要进行配置。

图3－7 组成刚性体的单元

刚性体的运动由参考点的边界条件描述。刚性体的集中载荷可施加于节点上，分布载荷施加在其单元上，载施加在刚性体参考节点上。刚性体与模型中其它部分之间的相互作用有两种方式，一是与可变形单元的节点进行连结的方式，二是与可变形单元的接触方式。刚性体的使用将在第十一章里说明。

3.2.1 何时使用刚性体

刚性体用来模拟那些极刚硬的部件，它们不是完全固定就是有显著的刚体运动。刚性体也可用来模拟可变形部件之间的约束，还可提供一种指定某些接触作用的方便的方法。当ABAQUS用于拟静态成形分析时，刚性体是模拟诸如冲模、压模、拉道、毛坯夹具、滚辊等工具的理想模型，可作为有效的约束方法。为了检验的目的，把模型的若干部分模拟成刚性体也许是有用的，例如在复杂模型中，难以预先确定所有可能的接触条件，距接触区很远的单元可置于刚性体部件中，形成最后计算模型的进程就会快得多。一旦对模型和接触对的确定感到满意，再用精确的变形体单元代替刚性体即可。

把模型的一部分用刚性体来代替变形单元的主要优点是计算效率的提高。刚性体所占有的那部分中的单元水平的计算可不必去做。因为某些计算要求修正刚性体节点的运动来整合集中载荷和分布载荷，刚体运动完全可由刚性体参考节点上的六个自由度的最大值所完全决定。

3.2.2 刚性体部件

因为刚体运动是由刚性体参考节点控制的，所以刚性体参考节点既有平动又有转动的自由度，并且一个刚性体只能定义一个刚性体参考点。

除了刚性体有旋转的情况或者要求出绕刚性体中某一轴的反力矩情况外，刚性体参考点的位置并不重要。在上述两种情况中，节点应位于刚性体绕其转动的轴上.离散的刚性体由节点集合组成，这些节点是配置给刚性体的单元而产生的，

除了刚性体参考节点以外，这些节点称为刚性体从节点（见图3－7），它们提供了对其它单元的连接方式。刚性体上的节点有两种类型：

·销节点，它只有平动自由度

·锚节点，它同时有平动和转动自由度

刚性体节点类型由节点所在的刚性体的单元类型决定，在直接对刚性体配置节点时，节点类型也可以指定或修正。无论是何种节点，都是刚性体的一部分，它们的运动完全被刚性体参考节点所约束。

在刚性体参考节点上可以施加边界条件、多点约束、约束方程和载荷，但刚性体上其它节点则不能施加任何约束和载荷。

3.2.3 刚性单元

ABAQUS中的刚性体的功能使大多数单元（不是指刚性单元）可成为刚性体的一部分。例如若壳单元或刚性元都配置给刚性体，则它们的效果是相同的。对刚性体的加载和加边界条件规则适合于所有组成刚性体的单元类型，包括刚性元在内。

所有的刚性元的名字都以字母R开头，后面的字符是其维数，例如2D意味着平面单元，AZ意味着轴对称单元。最后的字符代表单元的节点数。

刚性单元库

三维四边形（R3D4）和三角形（R3D3）刚性单元用来模拟三维刚性体的二维表面。另外一种两节点刚性梁单元（RB3D2）主要是用来模拟受流体阻力和浮力作用的海上结构中的构件。

两节点刚性单元可以用来构造平面应变、平面应力及轴对称模型。还有一种平面两节点刚性梁单元则主要是用来模拟二维的海上结构。

自由度

只有在刚性体参考节点处有独立的自由度。三维单元刚性体参考节点有3个平动自由度和3个转动自由度；而平面和轴对称单元参考节点的自由度为1.2和6（绕－3轴的转动）。

附在刚性单元上的节点只有从属自由度。从属自由度的运动完全由刚性体参考节点的运动确定。平面和三维刚性单元只有平动从属自由度，相应于变形梁单元，刚性梁单元有同样数目的从属自由度：三维刚性梁单元为1到6，平面刚性梁单元为1，2和6。

物理性质

所有刚性单元必须指定其截面性质。对于平面和刚性梁单元，必须定义横截面面积。而对于轴对称和三维单元，必须指定其厚度。只有在刚性单元上作用体

力时才需要这些数据。

单元列式和积分

由于刚性单元不能变形，所以它们不用数值积分点，也不需要选择积分方案。

单元输出变量

刚性体单元没有变量输出。刚性体单元仅有的输出是节点的运动。另外刚性体参考节点处的反作用力和反力矩可以输出。

3.3 小结

·ABAQUS拥有广泛适用于结构应用的庞大的单元库。单元类型的选择对模拟计算的精度和效率有重大的影响。

·节点的有效自由度依赖于此节点所在的单元类型。

·单元的名字完整地标明了单元族、单元的列式、节点数及积分类型。

·所有的单元都必须指定截面特性，它不仅可用来提供定义单元几何形状所需的附加数据，而且用来识别相关的材料性质定义。

·对于实体单元，ABAQUS参照整体笛卡尔坐标系来定义单元的输出变量，如应力和应变。可以把整体坐标系转为局部材料坐标系。

·对于三维壳单元，ABAQUS参照位于壳表面上的坐标系来定义单元的输出变量，用户自行定义一个局部材料坐标系。

·为了提高计算效率，模型中的任何部分都可以定义为一个刚性体，它仅仅在其参考点上有自由度。

专业ABAQUS有限元建模经验笔记

基于ABAQUS的有限元分析和应用 第一章绪论 1.有限元分析包括下列步骤： 2.为了将试验数据转换为输入文件，分析者必须清楚在程序中所应用的和由实验人员提供的材料数据的应力和应变的度量。 3.ABAQUS建模需注意以下内容： 4.对于许多包含过程仿真的大变形问题和破坏分析，选择合适的网格描述是非常重要的，需要认识网格畸变的影响，在选择网格时必须牢牢记住不同类型网格描述的优点。 第二章ABAQUS基础 1.一个分析模型至少要包含如下的信息：离散化的几何形体、单元截面属性、材料数据、载荷和边界条件、分析类型和输出要求。 ①离散化的几何形体：模型中所有的单元和节点的集合称为网格。 ②载荷和边界条件： 2.功能模块： （1）Assembly（装配）：一个ABAQUS模型只能包含一个装配件。 （2）Interaction（相互作用）：相互作用与分析步有关，这意味着用户必须规定相互作用是在哪些分析步中起作用。 （3）Load（载荷）：载荷和边界条件与分析步有关，这意味着用户指定载荷和边界条件是在哪些分析步中起作用。 （4）Job（作业）：多个模型和运算可以同时被提交并进行监控。 3.量纲系统 ABAQUS没有固定的量纲系统，所有的输入数据必须指定一致性的量纲系统，常用的一致性量纲系统如下：

4.建模要点 （1）创建部件：设定新部件的大致尺寸的原则必须是与最终模型的最大尺寸同一量级。（2）用户应当总是以一定的时间间隔保存模型数据（例如，在每次切换功能模块时）。（3）定义装配： 在模型视区左下角的三向坐标系标出了观察模型的方位。在视区中的第2个三向坐标系标出了坐标原点和整体坐标系的方向（X，Y和Z轴）。 （4）设置分析过程： （5）在模型上施加边界条件和荷载： 用户必须指定载荷和边界条件是在哪个或哪些分析步中起作用。 所有指定在初始步中的力学边界条件必须赋值为零，该条件是在ABAQUS/CAE中自动强加的。 在许多情况下，需要的约束方向并不一定与整体坐标方向对齐，此时用户可定义一个局部坐标系以施加边界条件。 在ABAQUS中，术语载荷通常代表从初始状态开始引起结构响应发生变化的各种因素，包括：集中力、压力、非零边界条件、体力、温度（与材料热膨胀同时定义）。

abaqus有限元分析过程

一、有限单元法的基本原理 有限单元法（The Finite Element Method）简称有限元（FEM），它是利用电子计算机进行的一种数值分析方法。它在工程技术领域中的应用十分广泛，几乎所有的弹塑性结构静力学和动力学问题都可用它求得满意的数值结果。 有限元方法的基本思路是：化整为零，积零为整。即应用有限元法求解任意连续体时，应把连续的求解区域分割成有限个单元，并在每个单元上指定有限个结点，假设一个简单的函数（称插值函数）近似地表示其位移分布规律，再利用弹塑性理论中的变分原理或其他方法，建立单元结点的力和位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程组，从而求解结点的位移分量. 进而利用插值函数确定单元集合体上的场函数。由位移求出应变, 由应变求出应力 二、ABAQUS有限元分析过程 有限元分析过程可以分为以下几个阶段 1.建模阶段: 建模阶段是根据结构实际形状和实际工况条件建立有限元分析的计算模型――有限元模型，从而为有限元数值计算提供必要的输入数据。有限元建模的中心任务是结构离散，即划分网格。但是还是要处理许多与之相关的工作：如结构形式处理、集合模型建立、单元特性定义、单元质量检查、编号顺序以及模型边界条件的定义等。

2.计算阶段:计算阶段的任务是完成有限元方法有关的数值计算。 由于这一步运算量非常大，所以这部分工作由有限元分析软件控制并在计算机上自动完成 3.后处理阶段: 它的任务是对计算输出的结果惊醒必要的处理， 并按一定方式显示或打印出来，以便对结构性能的好坏或设计的合理性进行评估，并作为相应的改进或优化，这是惊醒结构有限元分析的目的所在。 下列的功能模块在ABAQUS/CAE操作整个过程中常常见到，这个表简明地描述了建立模型过程中要调用的每个功能模块。 “Part（部件） 用户在Part模块里生成单个部件，可以直接在ABAQUS/CAE环境下用图形工具生成部件的几何形状，也可以从其它的图形软件输入部件。 Property（特性） 截面（Section）的定义包括了部件特性或部件区域类信息，如区域的相关材料定义和横截面形状信息。在Property模块中，用户生成截面和材料定义，并把它们赋于(Assign)部件。 Assembly（装配件） 所生成的部件存在于自己的坐标系里，独立于模型中的其它部件。用户可使用Assembly模块生成部件的副本（instance），并且在整体坐标里把各部件的副本相互定位，从而生成一个装配件。 一个ABAQUS模型只包含一个装配件。

有限元法中的几个基本概念

诚信·公平·开放·共赢 Loyalty Fair Opening Win-win 有限元法中的几个基本概念 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。 通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。 在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 附：FELAC 2.0软件简介 FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式，并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。 FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后，就可以得到所有有限元计算的程序代码，包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户界面，新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能，并且丰富了文本编辑功能，改善了用户的视觉体验，方便用户快速便捷的对脚本或程序进行编辑、编译与调试。其中并行版在前后处理上进行了相应的改进。

abaqus 有限元分析(齿轮轴)

Abaqus分析报告 （齿轮轴） 名称：Abaqus齿轮轴 姓名： 班级： 学号： 指导教师：

一、简介 所分析齿轮轴来自一种齿轮泵，通过用abaqus软件对齿轮轴进行有限元分析和优化。齿轮轴装配结构图如图1，分析图1中较长的齿轮轴。 图1.齿轮轴装配结构图 二、模型建立与分析 通过part、property、Assembly、step、Load、Mesh、Job等步骤建立齿轮轴模型，并对其进行分析。 1.part 针对该齿轮轴，拟定使用可变型的3D实体单元，挤压成型方式。 2.材料属性 材料为钢材，弹性模量210Gpa，泊松比0.3。

3.截面属性 截面类型定义为solid，homogeneous。 4.组装 组装时选择dependent方式。 5.建立分析步 本例用通用分析中的静态通用分析（Static，General）。 6.施加边界条件与载荷 对于齿轮轴，因为采用静力学分析，考虑到前端盖、轴套约束，而且根据理论，对受力部分和轴径突变的部分进行重点分析。 边界条件：分别在三个轴径突变处采用固定约束，如图2。 载荷：在Abaqus中约束类型为pressure，载荷类型为均布载荷,分别施加到齿轮接触面和键槽面，根据实际平衡情况，两力所产生的绕轴线的力矩方向相反，大小按比例分配。 均布载荷比计算： 矩形键槽数据： 长度：8mm、宽度：5mm、高度：3mm、键槽所在轴半径：7mm 键槽压力面积：S1 = 8x3=24mm2 平均受力半径：R1=6.5mm 齿轮数据：= 齿轮分度圆半径：R2 =14.7mm、压力角：20°、 单个齿轮受力面积：S2 ≈72mm2 通过理论计算分析，S1xR1xP1=S2xR2xP2，其中，P1为键槽均布载荷

有限元法基本原理与应用

有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计

支架的有限元分析ABAQUS

支架的线性静力学分析实例：建模和分析计算 在此实例中读者将学习ABAQUS/CAE的以下功能。 1) Sketch功能模块:导人CAD二维图形，绘制线段、圆弧和倒角，添加尺寸，修改平面图，输出平面图。 2) Part功能模块:通过拉伸来创建几何部件，通过切割和倒角未定义几何形状。 3) Property功能模块:定义材料和截面属性。 4) Mesh功能模块:布置种子，分割实体和面，选择单元形状、单元类型、网格划分 技术和算法，生成网格，检验网格质量，通过分割来定义承受载荷的面。 5) Assembly功能模块:创建非独立实体。 6) Step功能模块:创建分析步，设置时间增量步和场变量输出结果。 7) Interaction功能模块:定义分布榈合约束(distributing coupling constraint)。 8) Load功能模块:定义幅值，在不同的分析步中分别施加面载荷和随时间变化的集中力，定义边界条件。 9) Job功能模块:创建分析作业，设置分析作业的参数，提交和运行分析作业，监控运行状态。 10) Visualization功能模块:后处理的各种常用功能。 结构静力学分析（static analysis）是有限元法的基本应用领域，适用于求解惯性及阻尼对结构响应不显著的问题。主要用来分析由于稳态外载荷引起的位移，应力和应变等。本章的静力学分析实例按照ABAQUS工程分析的流程对支架进行线性静力学分析，通过实例基本掌握了分析的流程，同时了解接触的定义。 1.问题描述 所示的支架，一端牢固地焊接在一个大型结构上，支架的圆孔中穿过一个相对较软的杆件，圆孔和杆件用螺纹连接。材料的弹性模量E=2100000MPa,泊松比为0.3。

第三章平面问题的有限元法作业及答案

第三章 平面问题的有限元法作业 1. 图示一个等腰三角形单元及其节点编码情况，设μ=0，单元厚度为t 。求 1）形函数矩阵[]N ；2）应变矩阵[]B ；3）应力矩阵[]S 。 4 第1题图 第2题图 2. 如题图所示，结构为边长等于a 的正方形，已知其节点位移分别为：11(,)u v 、 22(,)u v 、33(,)u v 、44(,)u v 。试求A 、B 、C 三点的位移。其中A 为正方形形心，B 为三角形形心。 3.直角边边长为l 的三角形单元，如题图所示。试计算单元等效节点载荷列阵（单元厚度为t ，不计自重）。 第3题图 第4题图 4. 如题图所示，各单元均为直角边边长等于l 的直角三角形。试计算（1）单元等效节点载荷列阵；（2）整体等效节点载荷列阵。已知单元厚度为t ，不计自重。

5．下列3个有限元模型网格，哪种节点编号更合理？为什么？ 9 34 6 7912 11 34 6 12142 (a) (b) (c) 第5题图 6.将图示结构画出有限元模型；标出单元号和节点号；给出位移边界条件；并计算半带宽（结构厚度为t ）。 2a (a) (b) 无限长圆筒 (c) 第6题图 7. 结构如图所示，已知结构材料常数E 和 ，单元厚度为t 。利用结构的对称性，采用一个单元，分别计算节点位移和单元应力。 第7题图

答案： 1. 1）形函数 i x N a = ， j y N a = ， 1m x y N a a =-- 2）应变矩阵 []1000101 000101011011B a -????=-??--???? 3）应力矩阵 []100010100 01 0111 110022 2 2S a ? ???-? ?=-????- -? ?? ? 2. A 点的位移为 ()2312A u u u = + ， ()231 2A v v v =+ B 点的位移为 ()24313B u u u u = ++ ， ()2431 3B v v v v =++ C 点的位移为 ()1223C a u u u = + ， ()C 1223 a v v v =+ 3. 单元等效节点载荷列阵为 {}11 11 00003 663 T e i j i j R q q q q ?? =++?? ?? 4. （2）整体等效节点载荷向量为 {}111100006 322T R qlt P qlt P P qlt qlt ?? =-???? 7. （1） 减缩后的整体刚度方程 22 12 2 1222 22221110222021102(1)2 2102x x b b ab R b ab b P v Et ab a b ab ab R v b a μμμ μμμμμμ---??- - ??????????--?????? -??? ?=????---+ +? ???? ?????????-????+?? ? ? 节点位移

有限元法

有限元法 第一章绪论 1.有限元法的定义：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。 2.有限元法的特点：A物理概念清晰。B复杂的结构适应性。C各种物理问题的适用性。D适合计算机实现的高效性。 3.有限元法的基本思想：首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。每个单元内的近似函数用未知场变量函数在单元各个节点上的数值和与其对应的插值函数表示。最后，通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的代数方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。 4.有限元法的基本步骤：从选择未知量的角度有限元法分为三类：位移法、力法和混合法。 位移法求解步骤：A结构的离散化。B单元分析。C单元集成。D引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。E由节点位移计算单元的应力与应变。 5.有限元法的优缺点：优点：a有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解。B有限元法的解题步骤可以系统化、标准化，能够开发出灵活通用的计算机程序，使其能够广泛地应用于各种场合。c 边界条件是在建立结构总体刚度方程后再引入的，边界条件和结构模型具有相对独立性，可以从其他CAD 软件中导入创建好的模型。有限元法不需要适用于整个结构的插值函数，而是每个单元本身有各自的插值函数。这就使得数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用。e有限元法很容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题和进行耦合场分析。F有限元法可以与优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。缺点：a有限单元对于复杂问题的分析计算所耗费的计算资源是相当惊人的。b对无限求解域问题没有较好的处理方法。c有限元软件在具体应用时需依赖使用者的经验，而且在精度分析时需耗费相当大的计算资源。 6.屈曲：载荷的大小超过一定的数值，变形的形状与此之前变形的形状发生了不同的变化，从而承担载荷的能力减少了，把这一现象称为屈曲。屈曲模态：对于屈曲，即使相同的的构件，如果端部的支持状态不同，则屈曲载荷的大小或屈曲的变形形状也不同。我们把这种变形形状称为屈曲模态 第三章弹性力学基础知识 1.弹性力学又称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外力因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。 2.弹性力学的几个基本假定：A连续性假定。B弹性假定。C均匀性和各向同性假定。D小变形假定。E无初应力假定。 3.外力分为面力和体积力。面力：指分布在物体表面上的外力，如内压力、接触压力等。面力是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量成正比，且是各质点位置的函数，如重力、惯性力等。 4.弹性力学的平面问题：弹性力学可分为空间问题和平面问题。平面问题有两种情况：一种是平面应力问题，所考察的弹性体为一个等厚度的薄板，薄板所受到的载荷不沿板的厚度方向变化，且板的表面无载荷作用；另一种是平面应变问题，适用于很长的等截面柱体，其上作用的载荷均平行于横截面，而且沿柱长方向不变化。 第四章平面问题的有限元法 1.常用的平面单元形状有三角形、四边形等。 2.集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都应取为节点。 3.整体刚度矩阵的性质：a整体刚度矩阵[K]中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标轴方向发生单位位移，而其他节点都保持为零的变形状态，在各节点上所需要施加的节点力。b整体刚度矩阵[K]中的主对角元素总是正的。c整体刚度矩阵[K]是一个对称矩阵。d整体刚度矩阵[K]是一个带状分布的稀疏矩阵。e整体刚度矩阵[K]是一个奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。

有限元方法理论及其应用

1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 我对此提出了几点疑问： 1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一 个唯一的近似解？ 4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出

了四个，显然

这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。 对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。 对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。 1.2 有限元法的思想 有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。 有限元法的基本思想是离散化和分片插值。 即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。 求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。

有限元法的基本思想及计算步骤

有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列阵(δ)e表示： {δ}e=[u i v i u j v j u m v m]T 同样，可把作用于结点处的六个结点力用列阵{F}e表示： {F}e=[F ix F iy F jx F jy F mx F my]T 应用弹性力学理论和虚功原理可得出结点位移与结点力之间的关系

有限元法分析

有限元法的分析 从百度等搜索到的资料以及老师在课上对有限元法的相关介绍我们可以得知，有限元法是基于近代计算机的快速发展而发展起来的一种近似数值方法，用来解决力学、数学中带有特定边界条件的偏微分方程问题。而这些偏微分方程是工程实践中常见的固体力学和流体力学问题的基础。有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”，所以它在历史上的发展也是围绕着这两个点进行的。 有限元法用于解决工程问题的微分方程的近似解，主要考虑怎么分割单元。比如，可以分割为长方形单元、三角形单元等形状的单元，不同形状的分割的出来的结果也是不尽相同的，边界条件也会影响有限元法的解。有限元法是将问题先分解，再进行合并，网格划分是分解，从单刚到总刚是合并，我们将这些复杂的处理量交给计算机处理，把一个困难的问题转化成一个个小的简单的问题交给计算机处理，最终得到问题的解，因此，有限元法可以说是将一个大问题转化为若干个简单问题的叠加的方法。

有限元法再物理原理上的理解可以概括为，“求解使系统能量泛函数极小值的系统状态”。这个角度是根据划分的网格和网格内部的特定点建立相应函数。在数学原理上，有限元法是求解满足特定微分方程的数值解。这个角度上可以看作是加权残值的一种形式，将甲醛积分时的权函数与拟合解函数的试函数取为相同的函数。 有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。 有限元法的计算步骤归纳为以下3个基本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过节点相连接。由单元、节点、节点连线构成的集合称为网格。 通常把三维实体划分成四面体或六面体单元的实体网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的面网格，如图

ABAQUS有限元接触分析的基本概念

ABAQUS有限元接触分析的基本概念2009-11-24 00:06:28 作者：jiangnanxue 来源：智造网—助力中国制造业创新—https://www.wendangku.net/doc/176926960.html, CAE(计算机辅助工程)是一门复杂的工程科学，涉及仿真技术、软件、产品设计和力学等众多领域。世界上几大CAE公司各自以其独到的技术占领着相应的市场。ABAQUS有限元分析软件拥有世界上最大的非线性力学用户群，是国际上公认的最先进的大型通用非线性有限元分析软件之一。它广泛应用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、国防军工、水利水电、生物医学、电子工程、能源、地矿、造船以及日用家电等工业和科学研究领域。ABAQUS在技术、品质和可靠性等方面具有卓越的声誉，可以对工程中各种复杂的线性和非线性问题进行分析计算。 《ABAQUS有限元分析常见问题解答》以问答的形式，详细介绍了使用ABAQUS建模分析过程中的各种常见问题，并以实例的形式教给读者如何分析问题、查找错误原因和尝试解决办法，帮助读者提高解决问题的能力。 《ABAQUS有限元分析常见问题解答》一书由机械工业出版社出版。 16.1.1 点对面离散与面对面离散 【常见问题16-1】 在ABAQUS/Standard分析中定义接触时，可以选择点对面离散方法(node-to-surface-dis - cre-tization)和面对面离散方法(surface-to-surface discretization)，二者有何差别? 『解答』 在点对面离散方法中，从面(slave surface)上的每个节点与该节点在主面(master surface)上的投影点建立接触关系，每个接触条件都包含一个从面节点和它的投影点附近的一组主面节点。 使用点对面离散方法时，从面节点不会穿透(penetrate)主面，但是主面节点可以穿透从面。 面对面离散方法会为整个从面(而不是单个节点)建立接触条件，在接触分析过程中同时考虑主面和从面的形状变化。可能在某些节点上出现穿透现象，但是穿透的程度不会很严重。 在如图16-l和图16-2所示的实例中，比较了两种情况。

有限元法理论及应用参考答案分析

有限元法理论及应用大作业 1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？ 答：有限元分析的主要步骤主要有： （1）结构的离散化，即单元的划分； （2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程； （3）等效节点载荷计算； （4）整体分析，建立整体刚度方程； （5）引入约束，求解整体平衡方程。 2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。 题2图 答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。 有限元划分网格的基本原则: 1.拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接 2.几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似 3.特性一致原则。即材料相同，厚度相同 4.单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小 5.密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。 （c）中没有考虑对称性，单元边差很大。 3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？

题3图 答：（a ）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。 （b ）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。 （c ）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。 （d ）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。 4、什么是等参数单元？。 答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。 5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？ (1). ?????++=++=2 65432 21),(),(y x y x v y x y x u αααααα (2). ?????++=++=2 65242 3221),(),(y xy x y x v y xy x y x u αααααα 答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。 （2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。

有限元法的概述

有限元法的概述 有限元方法(Finite Element Method)是力学，数学物理学，计算方法，计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物。在人类研究自然界的三大科学研究方法(理论分析，科学试验，科学计算)中，对于大多数新型领域，由于科学理论和科学实践的局限性，科学计算成为一种最重要的研究手段。在大多数工程研究领域，有限元方法是进行科学计算的重要方法之一;利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析，获取结构的各种机械性能信息，对工程结构进行评判，对工程事故进行分析。有限元法在设计过程中有极为关键的作用。 人们对各种力学问题进行分析求解，其方法归结起来可以分为解析法(Analytical Method)和数值法(Numeric Method).如果给定一个问题，通过一定的推导可以用具体的表达式来获得问题的解答，这样的求解方法就称为解析法。但是由于实际结构物的复杂性，除了少数极其简单的问题外，绝大多数科学研究和工程计算问题用解析法求解式极其困难的。因此，数值法求解便成为了一种不可替代的广泛应用的方法，并取得了不断的发展，如有限元法，有限差分法，边界元方法等都是属于数值求解方法。其中有限元法式 20 世纪中期伴随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种数值分析方法，它的数学逻辑严谨，物理概念清晰，应用非常广泛，能活灵活现处理和求解各种复杂的问题。有限元方法采用矩阵式来表达基本公式，便于计算机编程，这些优点赋予了它强大的生命力。 有限元方法的实质是将复杂的连续体划分成为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为优先自由度问题，将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。用有限元方法分析工程结构的问题时，将一个理想体离散化后，如何保证其数值的收敛性和稳定性是有限元理论讨论的主要内容之一，而

现代设计方法(第三章 有限元法)

1.在有限元法中，将求解对象看成由许多小的、彼此相连的杆和梁、一定形状的板和壳所组成。在使用有限元法进行分析时，该结构可近似地看成由若干能过节点彼此相连的单元所组成。根据已知的原始数据，按照有限元法规定的运算步骤，首先可求出各节点位移的数值解，进而可求出整个结构各点的响应。 2.有限元法的基本思路：化整为零，集零为整，把复杂结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体。 3.平衡或稳态问题、特征值问题、瞬态问题； 4.平衡问题：若是固体力学问题或结构力学问题，刚需求出稳态时位移和应力的分布；若是热传导问题，则要找出温度或热流量的分布；若是液体力学问题，则要得到压力和速度的分布规律； 特征值问题：所获得的解呈周期性变化，它可看成是平衡问题的延伸。这需求出某些参数的临界值及相应的稳态形态。在这类问题中，如果研究固体力学或结构力学问题，需求出结构的自然频率以及相应的振型；若是液体力学问题，则是研究层流的稳定特性；对电路问题，是分析其共振特性； 瞬态问题与时间相关。在固体力学问题中，研究在随时间变化的力作用下，物体的响应；在研究热传导问题时，则要找出物体突然受热或冷却时热场的分布等。 5.工程技术人员的任务是：首先，将复杂的工程实际问题简化，分清属哪一类问题，然后，选择合理的、可供使用的计算机程序；下一步，根据程序的说明和要求，准备好并向计算机输入全部所需的数据和信息，最后，一定要检查计算结果的合理性，看所作的简化及所选的程序是否合理。 6.k ij都称为单元刚度系数。它表示该单元内节点j处产生单位位移时，在节点i处所引起的载荷fi。 7.K ij：在整个结构中除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时，在节点i处所引起的载荷F i. 8.有限元法求解问题最重要的几个步骤： 1）对整个结构进行简化。将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连。 2）求出各单元的刚度矩阵； 3）集成总体刚度矩阵并写出总体平衡方程； 4）引入支承条件，求出每个节点的位移。 5）求出各单元内的应力和应变。 1.平面刚架问题要比前一节的问题复杂些，主要表现在以下两个方面： 1）节点位移不再只是轴向位移。对于一根平面杆件的两个端点，除轴向位移外，还有垂直于轴向的横向位移和角位移。选定杆的端点为节点，每个节点的位移分量由一个增加到三个。 2）刚架由许多杆件组成，各杆件的取向不同。将每个杆件看成是一个单元，各单元的轴线方向不再相同。 2.总体刚度矩阵集成步骤： 1.对一个有n个节点的结构，将总体刚度矩阵【K】划分成nXn个子区间，然后按节点总码的顺序进行编号。 2.将整体坐标系中单元刚度矩阵的各子矩阵，根据其下标的两个总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的子区间内。 3.同一子区间内的子矩阵相加，成为总体刚度矩阵中相应的子矩阵。 3.没有任何约束的结构是一个悬空结构，可以在空间做刚体运动。 4.刚架结构的节点，从支承条件的角度可分成两类：一些是在支承处，另一些是在无支承处。 5.计算机上：在支承处对某处一位移分量的约束可以有两种情况：一种是该位移分量的值为零，另一种是它等于一个已知的非零值。 支承情况：节点n的水平位移Un=0，在总体刚度矩阵中，与位移Un对应的行码和列码均是3n-2。需对原矩阵作如下修改： 1.在矩阵的第3n-2行与列中，将主对角线元素改为1，其余元素改为零。 2.将等式右边力矢量中的第3n-2个元素改为零。 支承情况2：节点的水平位移Un为给定的非零值。 1.主对角线刚度系数K3n-2,3n-2乘以一个大数A。 2. 将等式右边矢量{F}中的第3n-2个元素改为AK3n-2,3n-2U n*；其余各项保持不变。 3.将式中的第3n-2个方程展开后，除包含大数的两项个，其余各项相对比较小，可以忽略不计。因此，所反映的是给定的支承条件Un=Un*。 6.说明在进行有限元分析时，对刚架单元的非节点载荷的处理原理和计算方法。 载荷移置原理：处理非节点载荷一般可以在整体坐标系进行，其过程包括：将杆单元各自看成是一根两端都固定的梁，各自求出两个固定端的约束反力，然后，将各固定端的约束反力变号，按节点进行集成，获得各节点的等效载荷。 固定端反力和反力矩的计算直接利用材料办学的公式计算。 1.平板问题时存在着两个刚度矩阵：一个是反映平板在其平面内载荷与位移关系的刚度矩阵。另一个是薄板弯曲的刚度矩阵。 2.节点位置的选择：若结构在几何形状、材料性质和外部条件无突变时，该结构应等分成几个单元，节点呈等距分布。若存在不连续性，节点应选在这些突变处。简述有限元分析结果的后处理 后处理所显示的结果主要有两类：意识结构的变形，另一 类是应力和应变在结构中分布的情况。一般用结构的三维 线框图，采用与结构不同的比例尺，放大地显示其变形的 情况，在受动载荷时，也可用动画显示其振动的形态。结 构中应力、应变或唯一的分布用云图或等值线图来显示。 ·有限元分析中，为什么要引入支撑条件？ 总体刚度矩阵[K],它是节点力矢量[F]与节点位移矢量[Φ] 之间的转移矩阵[K][Φ]=[F]结构的总体刚度矩阵是一个 奇异矩阵，她的逆矩阵不存在，因而从式中无法求得各节 点的位移矢量。因为，没有任何约束的结构运算是一个悬 空结构，可以在空间坐刚体运动。这是，即使各节点力量 是已知的，各节点位移矢量也不存在唯一确定的解。所以， 还必须引入支撑条件。 ·在有限元分析中，为什么要采用半带存储？ 1）单元尺寸越小，单元数越多，分析计算净度越高。单元 数越多，总刚度矩阵的阶数越高，所需计算机的内存量和 计算量越大2）总刚度矩阵具有对称性、稀疏性以及非零元 素带型分布规律 3)只储存对焦线元素以及上（或下）三角 矩阵中宽为NB的斜带形区内的元素，可以大大减小所需内 存量。 ·简述有限元分析过程中，求总体刚度矩阵的两种主要方 法和特点 1）直接根据总体刚度矩阵系数的电议分别求出它们，从而 写出总体刚度矩阵，概念清晰，但是在分析复杂结构式运 算极其复杂。 2）分别求出各单元的刚度矩阵，然后根 据叠加原理，利用集成的方法，求出总体刚度矩阵。从单 元刚度矩阵出发，单元刚度矩阵求法统一，简单明了，但 总体刚度需要集成 ·有限元分析过程中，如何决定单元数量？ 单元数量取决于要求的精度、单元的尺寸、以及自由度的 数量，虽然，单元的数量越多精密度越高，但是也存在一 个界限，超过这个值，精度的提高就不明显。单元数量大， 自自由度数也越大，计算机内存量有时会不够 ·在现有的有限元分析程序中，其前处理程序一般包含哪 些主要功能？ 1）单元的自动分割生成网格 2）单元和节点的自动优化 编码实现带宽最小。3）各节点坐标值确定 4）可以使用图 形系统显示单元分割情况 ·简述平面应力和平面应变的区别 1）应力状态不用：平面应力问题中平板的厚度与长度、高 度相比尺寸小很多，所受的载荷都在平面内并沿厚度方向 均匀分布，可以认为沿厚度方向的应力为零平面应力问 题中由于Z项尺寸大，该方向上的变形是被约束住的，沿Z 项应变为零 2）弹性矩阵不同：将平面应力问题弹性矩 阵中的E换成、把Πμ换成μ/(1-μ)，就成为平面应 变问题的弹性矩阵。 在有限元分析中，对结构划分的单元数是否越多越好？为 什么？ 答：不是。单元的数量取决于要求的精度、单元的尺寸和 自由度数。 虽然一般单元的数量越多精度越高，但也有一个界限，超 过这个值，精度的提高就不明显。 简述有限元法的前处理主要包括哪些内容？ （1）单元的自动分割生成网格(2)节点的自动优化编码(3) 使用图形系统显示单元分割情况(4)带宽优化(5)节点坐标 的确定(6)检查单元分割的合理性(7)局部网格的自适应加 密(8)有限元模型的尺寸优化 在有限元分析时,什么情况下适合选择一维、二维和三维单 元? 答：（1）当几何形状、材料性质及其它参数能用一个坐标 描述时，选用一维单元；（2）当几何形状、材料性质及 其它参数需要用两个相互独立的坐标描述，选用二维单元； （3）当几何形状、材料性质及其它参数需要用三个相互独 立的坐标描述，选用三维单元。 单元刚度矩阵所具有的共同特性是什么？ 解释产生这些特性的力学上的原因。单元刚度矩阵和总体 刚度矩阵所具有的共同特性：对称性和奇异性 具有对称性是因为材料力学中的位移互等定理：对于一个 构件，作用在点j的力引起i点的挠度等于同样大小的力 作用在i点而引起j点的挠度。 具有奇异性是因为单元或结构在没有约束之前，除本身产 生弹性变形外，还可以做任意的刚体位移。 在有限元分析时，何谓对称结构？一般如何处理？ 1）当结构的几何形状、尺寸、载荷和约束条件对称于某一 平面（对平面问题对称于某一直线），其结构内部的应力及 位移也对称于该平面（线），这类结构称为对称结构。2） 对于对称结构一般按如下方法处理： 当对称结构只有一个对称平面（线）时，只研究它的一半。 若对称结构有两个相互垂直的对称平面（线）时，则只研 究它的四分之一。 试述总体刚度矩阵的建立方法 求总体刚度矩阵的两种主要方法：直接根据总体刚度系数 的定义分别求出它们，从而写出总体刚度矩阵，概念清晰， 但是在分析复杂结构时运算极其复杂。分别先求出各单 元的刚度矩阵，然后根据叠加原理，利用集成的方法，求 出总体刚度矩阵，从单元刚度矩阵出发，单元刚度矩阵求 法统一，简单明了，但总体刚度矩阵需要集成。 有限元分析过程中，当划分单元时如何决定单元尺寸？ 单元尺寸的概念包括两个方面：一方面是单元本身的大小， 另一方面指一单元内自身几个尺寸之间的比率。单元本身 尺寸小，所得到的精度高，但是所需的计算量大。为减少 计算量，有时对一个结构要用不同的尺寸的单元离散。一个 单元中最大与最小的尺寸要尽量接近。例如，对于三角形单 元，其三条边长应尽量接近；对于矩形单元，长度和宽度不 宜相差太大。 简述可靠性设计传统设计方法的区别。 答：传统设计是将设计变量视为确定性单值变量，并通过确 定性函数进行运算。 而可靠性设计则将设计变量视为随机变量，并运用随机方法 对设计变量进行描述和运算。 1.可靠性：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定 功能的能力。 可靠度：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功 能的概率。是对产品可靠性的概率度量。 可靠度是对产品可靠性的概率度量。 2）可靠性工程领域主要包括以下三方面的内容： 1.可靠性设计。它包括了设计方案的分析、对比与评价，必 要时也包括可靠性试验、生产制造中的质量控制设计及使用 维修规程的设计等。 2.可靠性分析。它主要是指失效分析，也包括必要的可靠性 试验和故障分析。这方面的工作为可靠性设计提供依据，也 为重大事故提供科学的责任分析报告。 3.可靠性数学。这是数理统计方法在开展可靠性工作中发展 起来的一个数学分支。 。可靠性设计具有以下特点： 1.传统设计方法是将安全系数作为衡量安全与否的指标，但 安全系数的大小并没有同可靠度直接挂钩，这就有很大盲目 性。可靠性设计与之不同，它强调在设计阶段就把可靠度直 接引进到零件中去，即由设计直接决定固有的可靠度。 2.传统设计是把设计变量视为确定性的单值变量并通过确定 性的函数进行运算，而可靠性设计则把设计变量视为随机变 量并运用随机方法对设计变量进行描述和运算。 3.在可靠性设计中，由于应力S和强度R都是随机变量，所 以判断一个零件是否安全可靠，就以强度R大于应力S的概 率大小来表示，这就是可靠度指标。 4.传统设计与可靠性设计都是以零件的安全或失效作为研究 内容，因此，两者间又有着密切的联系。可靠性设计是传统 设计的延伸与发展。在某种意义上，也可以认为可靠性设计 只是在传统设计的方法上把设计变量视为随机变量，并通过 随机变量运算法则进行运算而已。 。平均寿命（无故障工作时间）：指一批产品从投入运行到发 生失效（或故障）的平均工作时间。 对不可修复的产品而言，T是指从开始使用到发生失效的平 均时间，用MTTF表示； 对可修复的产品而言，是指产品相邻两次故障间工作时间的 平均值，用MTBF表示； 平均寿命的几何意义是：可靠度曲线与时间轴所夹的面积。 6.正态分布曲线的特点是什么？什么是标准正态分布？ ：正态分布曲线f(x)具有连续性，对称性，其曲线与横坐标 轴间围成的总面积恒等于1.在均值μ和离均值的距离为标准 差的某一指定倍数z。之间，分布有确定的百分数，均值或 数学期望μ表征随机变量分布的集中趋势，决定正态分布曲 线位置；标准差σ，他表征随机变量分布的离散程度，决定 正态分布曲线的形状。定义μ=0,σ=1，即N(0,1)为标准正 态分布。 7.系统可靠性的大小主要取决于：(1)组成系统的零部件的可 靠性 (2)零部件的组合方式。 1.什么是3σ法则？已知手册上给出的16Mn的抗拉强度为 1100~1400MPa，试利用3σ法则确定该材料抗拉强度的均值 和标准差。 在进行可靠性计算时，引用手册上的数据，可以认为它们服 从正态分布，手册上所给数据范围覆盖了该随机变量的 +-3σ，即6倍的标准差，称这一原则为3σ法则。均值= （1100+1400）/2=1250MPa 标准差=（1400-1100）/6=50Mpa。 从正态分布知，对应+-3σ范围的可靠度已为0.9973. 2. 简述强度—应力干涉理论中“强度”和“应力”的含义， 试举例说明之。 答：强度一应力干涉理论中“强度”和“应力”具有广义的 含义：“应力”表示导致失效的任何因素；而“强度”表示阻 止失效发生的任何因素。“强度”和“应力”是一对矛盾的 两个方面，它们具有相同的量纲；例如，在解决杆、梁或轴 的尺寸的可靠性设计中，“强度”就是指材料的强度，“应力” 就是指零件危险断面上的应力，但在解决压杆稳定性的可靠 性设计中，“强度”则指的是判断压杆是否失稳的“临界压力”， 而“应力”则指压杆所受的工作压力。 3.说明常规设计方法中采用平均安全数的局限性。 答：平均安全系数未同零件的失效率联系起来，有很大的盲 目性。 从强度一应力干涉图可以看出 1）即使安全系数大于1，仍 然会有一定的失效概率。2）当零件强度和工作应力的均值不 变（即对应的平均安全系数不变），但零件强度或工作应力的 离散程度变大或变小时，其干涉部分也必然随之变大或变小， 失效率亦会增大或减少。 1.所谓系统，是为完成某一功能而由若干零部件相互有机地 组合起来的综合体。系统的可靠度取决于两个因素：一是组 成系统的零部件的可靠度；二是零部件的组合方式。 3.串联系统：若系统中诸零件的失效相互独立，但当系统中 任一个零件发生故障都会导致整个系统失效时，则这种零件 的组合形式称为串联模型。 3.串联系统的可靠度：串联系统的可靠度Rs低于组成零件的 可靠度Ri。因此，要提高串联系统的可靠度，最有效的措施 是减少组成系统的零件数目。 4.并联系统：有冗余系统和表决系统。冗余系统又可分为工作冗 余系统和非工作冗余系统。 5.工作冗余系统：在该系统中，所有零件都同时参加工作，而且 任何一个零件都能单独支持整个系统正常工作。即在该系统中， 只要不是全部零件失效，系统就可以正常工作。 6.非工作冗余系统：在该系统中，只有某一个零件处于工作状态， 其它零件则处于非工作状态。只有当工作的零件出现故障后，非 工作的零件才立即转入工作状态。 。非工作冗余系统的可靠度高于工作冗余系统，这是因为工作冗 余系统的零件虽然都处于不满负荷状态下，但它们总是在工作， 必然会磨损或老化。非工作冗余系统虽不存在这个问题，却存在 一个转换开关的可靠度问题。 。r/n表决系统:在n个零件组成的并联系统中，n个零件都参加 工作，但其中要有r个以上的零件正常工作，系统才能正常工作。 它是属于一种广义的工作冗余系统。当r=1时，就是工作冗余系 统，当r=n时，就是串联系统。 。复杂系统的可靠性预测方法：等效功能图法、布尔真值表法； 。故障树分析的步骤：1，在充分熟悉系统的基础上，建立故障 树；2，进行定性分析，识别系统的薄弱环节；3，进行定量分析， 对系统的可靠性作出评价。 。故障树：是一种倒立的树状逻辑因果关系图，它是用事件符号、 逻辑门符号和转移符号描述系统中各种事件之间因果关系的图。 。故障树的定性分析是寻找故障树的全部最小割集或最小路集。 其目的是为了找出引了系统故障的全部可能的起因，并定性的识 别系统的薄弱环节。 。最小割集：如果将割集中任意去掉一个基本事件后就不再是割 集。 。最小路集：路集也是一些基本事件的集合，当该集合所有的基 本事件同时不发生时，则顶事件必然不发生。如果将路集中任意 去掉一个基本事件后就不再是路集的话，则称此路集为最小路 集。 。最小割集代表系统的一种失效模式；一个最小路集代表系统的 一个正常模式。 。故障树的全部最小割集即是顶事件发生的全部可能原因，构成 了系统的故障谱。因此，在产品设计中要努力降低最小割集发生 的可能性，这就是产品的薄弱环节。反过来说，为保证系统正常 工作，必须至少保证一个最小路集存在。 。故障树的定量分析就是根据基本事件的概率求出顶事件发生的 概率，从而对系统的可靠性作出评价。 。可靠度分配按分配原则的不同，有等同分配法、加权分配法和 动态规划最优分配法； 。等同分配法：它按照系统中各单元（子系统或零部件）的可靠 度均相等的原则进行分配。其计算简单，缺点是没有考虑各子系 统现有的可靠度水平、重要性等因素。 。加权分配法：它是把各子系统在整个系统中的重要度以及各子 系统的复杂度作为权重来分配可靠度的。 。最优分配法：采用动态规划最优分配法，可以把系统的成本、 重量、体积或研制周期等因素为最小作为目标函数，而把可靠度 不小于某一给定值作为约束条件进行可靠度分配；也可以把系统 可靠度尽可能大作为目标函数，而将成本等因素视为约束条件进 行可靠度分配。这要根据具体问题来确定。特点：机电产品的可 靠性指标不仅取决于零部件的可靠度，而且还将受制造成本、研 制周期、重量、体积等因素的制约。因此，要全面考虑这些因素 的影响，必须采用优化方法分配可靠度。 。一是可靠性设计的有效性取决于所采用的统计参数是否准确可 靠；二是应用明确规定产品失效的形式和判据。 。试简述强度和应力均为正态分布时，强度和应力干涉的三种典 型情况下手失效率情况。 1.强度的均值大于应力的均值，这时的干涉概率，即不可靠度F 小于50%。当强度的均值减去应力的均值为一定值时，概率F的 大小，随强度和应力的标准增大而增大。常规设计的安全系数大 于1时属于这种情况。这种情况下，还可能出现失效。 2.强度的均值等于应力的均值，此时，失效率F为50% 3.强度的均值小于应力的均值，此时安全系数小于1，失效概率 大于50%，零件仍具有一定的可靠度。