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高考导数题的解题技巧 绝版

导数题的解题技巧

导数命题趋势:

(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.

(2)求极值,证明不等式, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 【考点透视】

1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.

2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.

3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.

例1.(2007年北京卷)()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数,则(1)f '-的值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

[解答过程] ()2

2

()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=

故填3.

例2. ( 2006年湖南卷)设函数()1

x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实

数a 的取值范围是 ( )

A.(-∞,1)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.

1

x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时

()()()

/

/2211,0.11111.

x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1.

a ∴> 考点2 曲线的切线

(1)关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P (x,y )的切线,即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

(2)关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.

典型例题

例3.(2007年湖南文)已知函数32

11()32

f x x ax bx =++在区间[11)

-,,(13],内各有一个极值点.

(I )求24a b -的最大值;

(II )当248a b -=时,设函数()y f x =在点(1(1))A f ,处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数()f x 的表达式. 思路启迪:用求导来求得切线斜率. 解答过程:(I )因为函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[11)

-,,(13],内分别有一个极值点,所以2

()f x x ax b '=++0=在[11)-,,(13],内分别有一个实根,

设两实根为12x x ,(12x x <),则21x x -=2104x x <-≤.于是

04<,20416a b <-≤,且当11x =-,23x =,即2a =-,3b =-时等号

成立.故24a b -的最大值是16.

(II )解法一:由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ,处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-,即21

(1)32

y a b x a =++--,

因为切线l 在点(1())A f x ,处空过()y f x =的图象, 所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

-在1x =两边附近的函数值异号,则 1x =不是()g x 的极值点.

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =

++-++++,且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++.

若11a ≠--,则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点.

所以11a =--,即2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故3

21()3

f x x x x =--. 解法二:同解法一得21()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

-

2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+. 因为切线l 在点(1(1))A f ,处穿过()y f x =的图象,所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号,于是存在12m m ,(121m m <<).

当11m x <<时,()0g x <,当21x m <<时,()0g x >; 或当11m x <<时,()0g x >,当21x m <<时,()0g x <. 设233()1222a a h x x x ?

??

?=++

-+ ? ?????

,则 当11m x <<时,()0h x >,当21x m <<时,()0h x >; 或当11m x <<时,()0h x <,当21x m <<时,()0h x <. 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点,则3(1)21102

a

h =?++=, 所以2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故3

21()3

f x x x x =

--. 例4.(2006年安徽卷)若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )

A .430x y --=

B .450x y +-=

C .430x y -+=

D .430x y ++= [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=. 故选A.

例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +2

5=0相切的直线的方程为 ( )

A.y =-3x 或y =3

1x B. y =-3x 或y =-3

1x C.y =-3x 或y =-3

1x D. y =3x 或y =3

1x

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1:设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2

x y -++=∴-圆心为

21

3830., 3.3

k k k k =

+-=∴==- 1

,3.3

y x y x ∴==-或

故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,

2

222?

?- ???

()()/

/

2

2

//

/

/113231(,)(,)22

22

5(2)1,22(2)210,2

.

1

13,.3

13,.3

x x

x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -????-++= ?????∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=

故选A.

例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ,2C 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.

思路启迪:先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.

解答过程:函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ,曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为

))(2(2)2(1112

1x x x x x y -+=+-,即 211)1(2x x x y -+= ①

曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即

a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线,则①式和②式都是l 的方程,故得

1,12

22121+=--=+x x x x ,消去2x 得方程,012212

1=+++a x x

若△=0)1(244=+?-a ,即2

1-=a 时,解得2

11-=x ,此时点P 、Q 重合.

∴当时2

1-=a ,1C 和2C 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为14

y x =- .

考点3导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值); 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7.(2006年天津卷)函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( )

A .1个

B .2个

C .3个

D . 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8 . (福建省2008年普通高中毕业班质量检查)已知函数f (x )=ln(x +a )-x 2-x 在x = 0处取得极值.

(I)求实数a 的值;

(Ⅱ)若关于x 的方程,f (x )=b x +-

2

5

在区间[O ,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;

(Ⅲ)证明:对任意的正整数n ,不等式ln 21

1n

n n n +<+都成立. [考查目的]本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识;考查化归及数形结合的思想方法;考查分析问题、解决问题的能力。

解答过程:解:(Ⅰ) ()f x ' =

1

21x x a

--+ ∵x =0时,f (x )取得极值,∴(0)f '=0, 故

1

2010a

-?-+ =0,解得a =1.经检验a =1符合题意. (Ⅱ)由a =1知f (x )=ln(x +1)-x 2 - x ,由f (x )= 5

2

x -+b , 得ln(x +1)-x 2+

3

2

x -b =0, 令φ(x )= ln(x +1)-x 2+ 3

2

x -b ,

则f (x )= 5

2

x -+b 在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x )=0在[0,2]

恰有两个不同实数根.

13(45)(1)

()2122(1)

x x x x x x ?-+-'=

-+=

++, 当x ∈(O ,1)时,()x ?' >O ,于是φ(x )在(O ,1)上单调递增; 当x ∈(1,2)时,()x ?' <0,于是φ(x )在(1,2)上单调递减.

依题意有(0)0,3(1)ln(11)10,2(2)ln(12)430,

b b b ???=-≤???

=+-+->??

=+-+-≤??

∴ln3 -1≤b

1

2

. (Ⅲ) f (x )=ln(x +1)-x 2 –x 的定义域为{x |x > -1},

由(Ⅰ)知(23)

()(1)

x x f x x -+'=

+,

令()f x '=0得,x =0或x = -

3

2

(舍去), ∴当-10,f (x )单调递增; 当x >0时,()f x '<0,f (x )单调递减.

∴f (0)为f (x )在(-1,+∞)上的最大值.

∴f (x )≤ f (0),故ln(x +1)-x 2-x ≤0(当且仅当x =0时,等号成立). 对任意正整数n ,取x =

1n >0得,ln(1n +1)< 1n +21n ,故ln(1n n +)<21n n

+. 例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.

思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。

解答过程:由24030

x x +≥+≥??

?得,x ≥-2,即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=

+-

+=

+-++?+124

123

23242243

又2324282324

x x x x x +-+=

++++,

∴当x ≥-2时,y '>0,

∴函数y x x =

+-+243在(,)-+∞2上是增函数,而f ()-=-21,∴=

+-+y x x 243

的值域是[,)-+∞1.

例10.(2006年天津卷)已知函数()θθcos 16

3cos 3423+-=x x x f ,其中θ,R x ∈为参数,且

πθ20≤≤.

(1)当时0cos =θ,判断函数()x f 是否有极值;

(2)要使函数()f x 的极小值大于零,求参数θ的取值范围;

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数,求实数a 的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程](Ⅰ)当cos 0θ=时,3()4f x x =,则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数,故无极值. (Ⅱ)2'()126cos f x x x θ=-,令'()0f x =,得12cos 0,2

x x θ==.

由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.

①当cos 0θ>时,随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表:

因此,函数()f x 在

cos 2x =处取得极小值cos f()2,且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+.

要使cos ()02f θ>,必有213cos (cos )044θθ-->,可得0cos θ<由于0cos θ≤≤3116

2

2

6

ππππθθ<<<<或.

②当时cos 0θ<,随x 的变化,'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表:

因此,函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ,且3(0)cos .16

f θ=

若(0)0f >,则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时,()f x 的极小值不会大于零.

综上,要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零,参数θ的取值范围为311(,)(,)62

2

6

ππππ?.

(III )解:由(II )知,函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2

θ+∞

内都是增函数。

由题设,函数()(21,)f x a a -在内是增函数,则a 须满足不等式组

210

a a a -<≤ 或

综上,解得0a ≤1a <.

所以a 的取值范围是(,0)-∞?.

例11.(2006年山东卷)设函数f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中a ≥-1,求f (x )的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,且'1()(1),1

ax f x a x -=≥-+

(1)当10a -≤≤时,'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减, (2)当0a >时,由'()0,f x =解得1.x a

=

'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表

当1(1,)x a

∈-时,'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减.

当1(,)x a

∈+∞时,'()0,f x >函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

综上所述:当10a -≤≤时,函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.

当0a >时,函数()f x 在1(1,)a

-上单调递减,函数()f x 在1(,)a

+∞上单调递增.

例12.(2006年北京卷)已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5,其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.求:

(Ⅰ)0x 的值; (Ⅱ),,a b c 的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在(),1-∞上()'0f x >,在()1,2上()'0f x <,在()

2,+∞上()'0f x >,

故()f x 在∞∞(-,1),(2,+)上递增,在(1,2)上递减, 因此()f x 在1x =处取得极大值,所以01x = (Ⅱ)'2()32,f x ax bx c =++

由'

''f f f (1)=0,(2)=0,(1)=5, 得320,

1240,5,a b c a b c a b c ++=??++=?

?++=?

解得

2,9,12.a b c ==-=

解法二:(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,23

2

m a b m c m ==-=

32|

3()2,32

m f x x mx mx =

-+

由(1)5f =,即325,3

2

m m m -+=得6,m =

所以2,9,12a b c ==-=

例13.(2006年湖北卷)设3=x 是函数

()()

()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个

极值点.

(Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()x f 的单调区间; (Ⅱ)设0>a ,()x

e a x g ??

? ??

+

=4252

.若存在[]

4,0,21∈εε使得

()()121<-εεg f 成立,求a 的取值范围.

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x 2+(a -2)x +b -a ]e 3-

x ,

由f `(3)=0,得 -[32+(a -2)3+b -a ]e 3-

3=0,即得b =-3-2a ,

则 f `(x)=[x 2+(a -2)x -3-2a -a ]e 3

-x

=-[x 2+(a -2)x -3-3a ]e 3-

x =-(x -3)(x +a+1)e 3-

x .

令f `(x)=0,得x 1=3或x 2=-a -1,由于x =3是极值点, 所以x+a+1≠0,那么a ≠-4. 当a <-4时,x 2>3=x 1,则

在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(3,―a ―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(―a ―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数. 当a >-4时,x 2<3=x 1,则

在区间(-∞,―a ―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(―a ―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a >0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)], 而f (0)=-(2a +3)e 3<0,f (4)=(2a +13)e -

1>0,f (3)=a +6,

那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a +3)e 3,a +6]. 又225()()4

x g x a e =+在区间[0,4]上是增函数,

且它在区间[0,4]上的值域是[a 2+4

25,(a 2+4

25)e 4],

由于(a 2+4

25)-(a +6)=a 2-a +41=(2

1-a )2≥0,所以只须仅须

(a 2+4

25)-(a +6)<1且a >0,解得0

3.

故a 的取值范围是(0,2

3).

例14 (2007年全国二) 已知函数3

21()(2)13

f x ax bx b x =

-+-+ 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,且12012x x <<<<. (1)证明0a >;

(2)若z =a +2b ,求z 的取值范围。

[解答过程]求函数()f x 的导数2

()22f x ax bx b '=-+-.

(Ⅰ)由函数()f x 在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,知12x x ,是()0f x '=的两个根.

所以12()()()f x a x x x x '=--

当1x x <时,()f x 为增函数,()0f x '>,由10x x -<,20x x -<得0a >.

(Ⅱ)在题设下,12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>??'? 即202204420b a b b a b b ->??

-+-?.

化简得20

3204520b a b a b ->??

-+?

此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线:203204520b a b a b -=-+=-+=,,.

所围成的ABC △的内部,其三个顶点分别为:46(22)(42)77A B C ??

???

,,,,,.

z 在这三点的值依次为

16687

,,. 所以z 的取值范围为1687??

???

,.

b

a 2 1 2 4

O

4677A ?? ???,

(42)C ,

(22)

B ,

考点4导数在不等式的证明及解决不等式中求参数的问题中的应用.

一、构造函数,利用函数的导数证明不等式

1.直接由所证不等式构造函数, 讨论构造函数单调性,达到证明不等式的目的

把要证明的不等式通过构造函数转化为)0(0)(<>x f 再通过求)(x f 的最值,从而实现对不等式的证明.

例1(2010年全国理科卷2)设函数()1x f x e -=-. ○1 证明:当x >-1时,()1

x

f x x ≥+, ○2 设当0x ≥时,()1

x

f x ax ≤+,求a 的取值范围. 证明:○1 当1->x 时,1

)(+≥x x

x f ,当.1x e x +≥

构造函数:

()1--=x e x g x ,

则对)(x g 求导得:

()1'-=x e x g .

当0≥x 时,

()0'≥x g ,()x g 在(]+∞,0上是增函数, 当0≤x 时,0)('≤x g ,()x g 在(]0,∞-上是减函数.

于是()x g 在0=x 处达到最小值,因而当R x ∈时,)0()(g x g ≥,即

x e x +≥1,

所以当1->x 时,()1

x

f x x ≥

+ . ② 略. 2.常系数变易法

对形如(或可化为)A x x f ≥),(21的不等式,根据题意可适当选择1x (或2x )为主元,构造函数),(2x x f (或),(1x x f ).

例2(2004年全国理科卷2)已知函数x x x f -+=)1ln()(,x x x g ln )(=

1 求函数)(x f 的最大值; ○

2 设b a <<0,证明:2ln )()2

(2)()(0a b b

a g

b g a g -<+-+<. 解:○1 略

○2 由 x x x g ln )(=,则1ln )(+='x x g . 首先选择b 为主元,构造函数:

)2

(

2)()()(x

a g x g a g x F +-+=, 则对)(x F 求导得:

2ln ln )2(2)()(x a x x a g x g x F +=='

???

??

?+-'='. 当a x <<0时,0)(<'x F ,因此)(x F 在()a ,0内为减函数,当a x >时,

0)(>'x F ,因此)(x F '在()+∞,a 上为增函数.

从而,当a x =时,)(x F 有极小值)(a F ,因为0)(=a F ,由a b >, 所以

0)(>b F ,即

)2

(

2)()(0b

a g

b g a g +-+<, 其次构造函数:

2ln )()()(a x x F x G --=,

则对)(x G 求导得:

)ln(ln 2ln 2

ln

ln )(x a x x

a x x G +-=-+-='. 当0>x 时,0)(<'x G ,因此)(x G 在()+∞,0上为减函数,因为0)(=a G ,a

b >,所以 0)(

2ln )()2

(

2)()(a b b

a g

b g a g -<+-+, 综上所述,原不等式成立.

二、利用导数求出函数的极值、最值(或值域) 后,再证明不等式

最值证明在不等式中的应用,一般将不等式通过移项,构造一个函数,然后

求这个函数的极(最)值,应用恒成立关系就可以证明.

例3(2009年全国理科卷2)设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、,且

12x x <,

1 求a 的取值范围,并讨论()f x 的单调性, ○

2 证明:()2

122

4

In f x -> .解: ○1 对)(x f 求导得:

()2222(1)11a x x a

f x x x x x

++'=+=>-++

令2()22g x x x a =++,其对称轴为1

2

x =-.由题意知12x x 、是方程()0

g x =的两个均大于1-的不相等的实根,其充要条件为

480

(1)0a g a ?=->??

-=>?

, 得1

02

a <<

. 当1(1,)x x ∈-时,0)(>'x f ,所以)(x f 在1(1,)x -内为增函数;当12(,)x x x ∈时,0)(<'x f ,

所以)(x f 在12(,)x x 内为减函数;当2,()x x ∈+∞时,0)(>'x f ,所以)(x f 在2,()x +∞内为增函数.

○2由○1可知0)0(>=a g ,有 02

1

2<<-x ,222(2)a x x =-+2 所以

)1ln()22()1ln()(222

2222222x x x x x a x x f ++-=++=.

()()221

(22)1()2

h x x x x ln x x =-++>-,

()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++.

当1(,0)2

x ∈-时,0)(>'x h ,所以)(x h 在1

[,0)2-单调递增;当(0,)x ∈+∞时,

()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.

所以,当)0,2

1

(-∈x 时,

4

2

ln 21)21()(-=

->h x h , 故()22122

()4

In f x h x -=>

.三、利用导数解决不等式中求参数的问题

不等式恒成立问题,一般都会涉及到求参数范围,有些往往把变量分离后可以转化为)(x f m >(或)(x f m <)恒成立,于是m 大于)(x f 的最大值(或m 小于

)(x f 的最小值),从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.但是有些

不能把变量分离或者分离之后求解非常麻烦的,要通过适当的变换来求解,在求解的过程中往往都要结合函数的性质通过分类讨论的思想进行求解.总之,利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法.

1.变量分离后,不等式可以转化为)(x f m >(或)(x f m <)的恒成立问题 例4(2008年安徽理科卷20题)设函数1

()(01)ln f x x x x x

=>≠且 ○1 求函数()f x 的单调区间, ○

2 已知1

2a x

x >对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围.

解:○1 对)(x f 求导得:

'22

ln 1

(),ln x f x x x

+=-

若 '()0,f x = 则 1

x e =

列表如下

2 在 1

2a x

x > 两边取对数, 得 1

ln 2ln a x x

>,由于01,x <<所以

1

ln 2ln a x x

>

, 由○1 的结果可知,当(0,1)x ∈时,

1

()()f x f e e

≤=-,

为使1ln 2ln a x x >对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2a e >-,即

ln 2a e >- .

2.通过适当的变换,构造函数解决不等式恒成立问题

例5(2008年全国理科卷2)设函数sin ()2cos x

f x x

=+.

1 求()f x 的单调区间, ○

2 如果对任何0x ≥,都有()f x ax ≤,求a 的取值范围. 解:○1对)(x f 求导得:

22

(2cos )cos sin (sin )2cos 1

()(2cos )(2cos )

x x x x x f x x x +--+'=

=++. 当2π2π

2π2π33

k x k -

<<+

(k ∈Z )时,1cos 2x >-,即()0f x '>, 当2π4π

2π2π33

k x k +<<+

(k ∈Z )时,1cos 2x <-,即()0f x '<. 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ?

?-+ ???,(k ∈Z )是增函数,()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ?

?++ ??

?,(k ∈Z )是减函数. ○

2 构造函数,设()()g x ax f x =-,则 2

2cos 1

()(2cos )

x g x a x +'=-

+ 2

23

2cos (2cos )a x x =-

+++

2

11132cos 33a x ?

?=-+-

?+??

. 从而,当1

3

a ≥时,()0g x '≥.又(0)0g =,所以当0x ≥时,()(0)0g x g =≥,

()f x ax ≤.

当1

03

a <<

时,令 ()sin 3h x x ax =-,

()cos 3h x x a '=-.

由()0h x '>,有[)0arccos 3x a ∈,

,因此()h x 在[)0arccos3a ,上单调增加,又(0)0h =,即

sin 3x ax >.

于是,

sin sin ()2cos 3

x x

f x ax x =

>>+.

当0a ≤时,有

π1

π022

2f a ??=>? ???≥.

因此,a 的取值范围是13??

+∞????

,. 总之,导数是解决不等式问题的一个很有用的工具,利用导数解决不等式的

问题其实就是要适当的构造函数,运用导数来研究所构造函数的单调性,进而解决不等式中的问题.

考点5 导数的实际应用

建立函数模型,利用导数研究最值 典型例题

例15. (2007年重庆文)

用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为

??? ??-=-=230(m)35.441218<<x x x h .

故长方体的体积为

).2

3

0()

(m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-=

从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='

令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x <

3

2

时,V ′(x )<0, 故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。 从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为1.5 m 时,体积最大,最大体积为3 m 3。

例16.(2006年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:

313

8(0120).12800080

y x x x =

-+<≤已知甲、乙两地相距100千米. (I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II )当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程](I )当40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540

=小时,

要耗没313

(

40408) 2.517.512800080

?-?+?=(升). 答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。

(II )当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x

小时,设耗油量为()h x 升,依

题意得3213100180015

()(8).(0120),1280008012804

h x x x x x x x =-+=+-<≤

33

22

80080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤

令'()0,h x =得80.x =

当(0,80)x ∈时,'()0,()h x h x <是减函数;当(80,120)x ∈时,'()0,()h x h x >是增函数. 当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h =

因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.

答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.

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