导数题的解题技巧
导数命题趋势:
(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.
(2)求极值,证明不等式, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 【考点透视】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.(2007年北京卷)()f x '是3
1()213
f x x x =
++的导函数,则(1)f '-的值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程] ()2
2
()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷)设函数()1
x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实
数a 的取值范围是 ( )
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.
1
x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时
()()()
/
/2211,0.11111.
x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1.
a ∴> 考点2 曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P (x,y )的切线,即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.(2007年湖南文)已知函数32
11()32
f x x ax bx =++在区间[11)
-,,(13],内各有一个极值点.
(I )求24a b -的最大值;
(II )当248a b -=时,设函数()y f x =在点(1(1))A f ,处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象(即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数()f x 的表达式. 思路启迪:用求导来求得切线斜率. 解答过程:(I )因为函数32
11()32
f x x ax bx =
++在区间[11)
-,,(13],内分别有一个极值点,所以2
()f x x ax b '=++0=在[11)-,,(13],内分别有一个实根,
设两实根为12x x ,(12x x <),则21x x -=2104x x <-≤.于是
04<,20416a b <-≤,且当11x =-,23x =,即2a =-,3b =-时等号
成立.故24a b -的最大值是16.
(II )解法一:由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ,处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-,即21
(1)32
y a b x a =++--,
因为切线l 在点(1())A f x ,处空过()y f x =的图象, 所以21
()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++-
-在1x =两边附近的函数值异号,则 1x =不是()g x 的极值点.
而()g x 321121
(1)3232
x ax bx a b x a =
++-++++,且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++.
若11a ≠--,则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点.
所以11a =--,即2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故3
21()3
f x x x x =--. 解法二:同解法一得21()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++-
-
2133
(1)[(1)(2)]322
a x x x a =-++-+. 因为切线l 在点(1(1))A f ,处穿过()y f x =的图象,所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号,于是存在12m m ,(121m m <<).
当11m x <<时,()0g x <,当21x m <<时,()0g x >; 或当11m x <<时,()0g x >,当21x m <<时,()0g x <. 设233()1222a a h x x x ?
??
?=++
-+ ? ?????
,则 当11m x <<时,()0h x >,当21x m <<时,()0h x >; 或当11m x <<时,()0h x <,当21x m <<时,()0h x <. 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点,则3(1)21102
a
h =?++=, 所以2a =-,又由248a b -=,得1b =-,故3
21()3
f x x x x =
--. 例4.(2006年安徽卷)若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )
A .430x y --=
B .450x y +-=
C .430x y -+=
D .430x y ++= [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=. 故选A.
例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +2
5=0相切的直线的方程为 ( )
A.y =-3x 或y =3
1x B. y =-3x 或y =-3
1x C.y =-3x 或y =-3
1x D. y =3x 或y =3
1x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1:设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2
x y -++=∴-圆心为
21
3830., 3.3
k k k k =
+-=∴==- 1
,3.3
y x y x ∴==-或
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,
2
222?
?- ???
由
()()/
/
2
2
//
/
/113231(,)(,)22
22
5(2)1,22(2)210,2
.
1
13,.3
13,.3
x x
x x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -????-++= ?????∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=
故选A.
例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ,2C 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.
解答过程:函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ,曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为
))(2(2)2(1112
1x x x x x y -+=+-,即 211)1(2x x x y -+= ①
曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即
a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线,则①式和②式都是l 的方程,故得
1,12
22121+=--=+x x x x ,消去2x 得方程,012212
1=+++a x x
若△=0)1(244=+?-a ,即2
1-=a 时,解得2
11-=x ,此时点P 、Q 重合.
∴当时2
1-=a ,1C 和2C 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为14
y x =- .
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值); 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7.(2006年天津卷)函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( )
A .1个
B .2个
C .3个
D . 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.
例8 . (福建省2008年普通高中毕业班质量检查)已知函数f (x )=ln(x +a )-x 2-x 在x = 0处取得极值.
(I)求实数a 的值;
(Ⅱ)若关于x 的方程,f (x )=b x +-
2
5
在区间[O ,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;
(Ⅲ)证明:对任意的正整数n ,不等式ln 21
1n
n n n +<+都成立. [考查目的]本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识;考查化归及数形结合的思想方法;考查分析问题、解决问题的能力。
解答过程:解:(Ⅰ) ()f x ' =
1
21x x a
--+ ∵x =0时,f (x )取得极值,∴(0)f '=0, 故
1
2010a
-?-+ =0,解得a =1.经检验a =1符合题意. (Ⅱ)由a =1知f (x )=ln(x +1)-x 2 - x ,由f (x )= 5
2
x -+b , 得ln(x +1)-x 2+
3
2
x -b =0, 令φ(x )= ln(x +1)-x 2+ 3
2
x -b ,
则f (x )= 5
2
x -+b 在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x )=0在[0,2]
恰有两个不同实数根.
13(45)(1)
()2122(1)
x x x x x x ?-+-'=
-+=
++, 当x ∈(O ,1)时,()x ?' >O ,于是φ(x )在(O ,1)上单调递增; 当x ∈(1,2)时,()x ?' <0,于是φ(x )在(1,2)上单调递减.
依题意有(0)0,3(1)ln(11)10,2(2)ln(12)430,
b b b ???=-≤???
=+-+->??
=+-+-≤??
∴ln3 -1≤b 1 2 . (Ⅲ) f (x )=ln(x +1)-x 2 –x 的定义域为{x |x > -1}, 由(Ⅰ)知(23) ()(1) x x f x x -+'= +, 令()f x '=0得,x =0或x = - 3 2 (舍去), ∴当-1 ∴f (0)为f (x )在(-1,+∞)上的最大值. ∴f (x )≤ f (0),故ln(x +1)-x 2-x ≤0(当且仅当x =0时,等号成立). 对任意正整数n ,取x = 1n >0得,ln(1n +1)< 1n +21n ,故ln(1n n +)<21n n +. 例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________. 思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。 解答过程:由24030 x x +≥+≥?? ?得,x ≥-2,即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '= +- += +-++?+124 123 23242243 , 又2324282324 x x x x x +-+= ++++, ∴当x ≥-2时,y '>0, ∴函数y x x = +-+243在(,)-+∞2上是增函数,而f ()-=-21,∴= +-+y x x 243 的值域是[,)-+∞1. 例10.(2006年天津卷)已知函数()θθcos 16 3cos 3423+-=x x x f ,其中θ,R x ∈为参数,且 πθ20≤≤. (1)当时0cos =θ,判断函数()x f 是否有极值; (2)要使函数()f x 的极小值大于零,求参数θ的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ,函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数,求实数a 的取值范围. [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法. [解答过程](Ⅰ)当cos 0θ=时,3()4f x x =,则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数,故无极值. (Ⅱ)2'()126cos f x x x θ=-,令'()0f x =,得12cos 0,2 x x θ==. 由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论. ①当cos 0θ>时,随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表: 因此,函数()f x 在 cos 2x =处取得极小值cos f()2,且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+. 要使cos ()02f θ>,必有213cos (cos )044θθ-->,可得0cos θ<由于0cos θ≤≤3116 2 2 6 ππππθθ<<<<或. ②当时cos 0θ<,随x 的变化,'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表: 因此,函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ,且3(0)cos .16 f θ= 若(0)0f >,则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时,()f x 的极小值不会大于零. 综上,要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零,参数θ的取值范围为311(,)(,)62 2 6 ππππ?. (III )解:由(II )知,函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos (,)2 θ+∞ 内都是增函数。 由题设,函数()(21,)f x a a -在内是增函数,则a 须满足不等式组 210 a a a -<≤ 或 综上,解得0a ≤1a <. 所以a 的取值范围是(,0)-∞?. 例11.(2006年山东卷)设函数f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中a ≥-1,求f (x )的单调区间. [考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞,且'1()(1),1 ax f x a x -=≥-+ (1)当10a -≤≤时,'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减, (2)当0a >时,由'()0,f x =解得1.x a = '()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表 当1(1,)x a ∈-时,'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a -上单调递减. 当1(,)x a ∈+∞时,'()0,f x >函数()f x 在1(,)a +∞上单调递增. 综上所述:当10a -≤≤时,函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减. 当0a >时,函数()f x 在1(1,)a -上单调递减,函数()f x 在1(,)a +∞上单调递增. 例12.(2006年北京卷)已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5,其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.求: (Ⅰ)0x 的值; (Ⅱ),,a b c 的值. [考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在(),1-∞上()'0f x >,在()1,2上()'0f x <,在() 2,+∞上()'0f x >, 故()f x 在∞∞(-,1),(2,+)上递增,在(1,2)上递减, 因此()f x 在1x =处取得极大值,所以01x = (Ⅱ)'2()32,f x ax bx c =++ 由' ''f f f (1)=0,(2)=0,(1)=5, 得320, 1240,5,a b c a b c a b c ++=??++=? ?++=? 解得 2,9,12.a b c ==-= 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,23 2 m a b m c m ==-= 32| 3()2,32 m f x x mx mx = -+ 由(1)5f =,即325,3 2 m m m -+=得6,m = 所以2,9,12a b c ==-= 例13.(2006年湖北卷)设3=x 是函数 ()() ()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个 极值点. (Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()x f 的单调区间; (Ⅱ)设0>a ,()x e a x g ?? ? ?? + =4252 .若存在[] 4,0,21∈εε使得 ()()121<-εεg f 成立,求a 的取值范围. [考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. [解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x 2+(a -2)x +b -a ]e 3- x , 由f `(3)=0,得 -[32+(a -2)3+b -a ]e 3- 3=0,即得b =-3-2a , 则 f `(x)=[x 2+(a -2)x -3-2a -a ]e 3 -x =-[x 2+(a -2)x -3-3a ]e 3- x =-(x -3)(x +a+1)e 3- x . 令f `(x)=0,得x 1=3或x 2=-a -1,由于x =3是极值点, 所以x+a+1≠0,那么a ≠-4. 当a <-4时,x 2>3=x 1,则 在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(3,―a ―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(―a ―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数. 当a >-4时,x 2<3=x 1,则 在区间(-∞,―a ―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(―a ―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a >0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)], 而f (0)=-(2a +3)e 3<0,f (4)=(2a +13)e - 1>0,f (3)=a +6, 那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a +3)e 3,a +6]. 又225()()4 x g x a e =+在区间[0,4]上是增函数, 且它在区间[0,4]上的值域是[a 2+4 25,(a 2+4 25)e 4], 由于(a 2+4 25)-(a +6)=a 2-a +41=(2 1-a )2≥0,所以只须仅须 (a 2+4