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几何基础》课程教学大纲 - 甘肃广播电视大学

《几何基础》课程期末复习指导

《几何基础》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门必修的重要基础课。该课程共54学时，3学分。

本课程采用形成性考核和期末考试相结合的方式，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占考核成绩的80％；平时作业占考核成绩的20％。

本课程的试题难易程度分为易、中等、较难三个等级，其大致的比例为40：40：20。考试题型分为三种：填空选择题、计算题和证明题，相应的比例大致为30：40：30。其中选择题为单项选择题，即备选答案中只有一项是正确的。

由于本课程本学期使用的是借用教材，内容与大纲及考试要求有一定差距，希望任课教师及学生学习时，以IP课件讲述的内容及网上辅导内容为准。下面逐章给出本课程的复习要求。

第1章向量方法

考核知识点：

1．向量的基本运算：向量的加法、数乘、数量积、向量积；线性

相关与线性无关。

2．平面几何的向量方法。

3．立体几何的向量方法。

考核要求：

1.了解向量的基本运算；

2.熟练掌握向量方法解决平面几何问题和立体几何问题。

第2章仿射变换

考核知识点：

仿射平面：仿射平面、图形的仿射性质、仿射坐标系和2维向量、平面仿射。

考核要求：

1．知道仿射平面的概念；

2．了解仿射平面的性质。

第3章射影平面

考核知识点：

1. 无穷远元素：无穷远点、无穷远直线、射影直线的基本性质；

2. 平面射影几何的基本特征：中心射影和中心射影的性质。

3. 齐次坐标、直线坐标、向量运算。

4. 笛沙格定理和平面对偶原则：笛沙格透视定理、平面对偶原则。

考核要求：

1.了解无穷远元素，平面射影几何的基本特征；

2.理解笛沙格透视定理、平面对偶原理。

第4章射影变换

考核知识点：

1.点列和线束；

2.交比：点列的交比、线束的交比；

3.透视对应：透射对应、Pappus定理；

4.一维图形的射影几何；

5.点列的射影对应：射影对应、对合、笛沙格第二定理。

考核要求：

1.了解交比的概念，熟练掌握其计算。

2.知道透视对应、点列的射影对应。

3.理解Pappus定理、笛沙格第二定理。

第5章二次曲线

考核知识点：

1．二次曲线的代数定义和射影定义；

2．二阶曲线的极点、极线；

3. 几个定理：Pascal定理、Brianchon定理；

4．二阶曲线的仿射性质（中心、直径）、渐近线。

考核要求：

1.了解二阶曲线和二级曲线的定义。

2.理解Pascal定理、Brianchon定理。

3.了解二次曲线的性质，熟练掌握中心、直径、渐近线的计算。

第6章公理化方法与几何体系

考核知识点：

1. 公理化方法：公理化方法的起源、公理化方法的思想、公理体系的相容性、独立性和完备性、公理的意义；

2. 希尔伯特公理体系。

考核要求：

1．知道公理化方法、公理化体系的相容性、独立性和完备性；

2．了解希尔伯特公理体系。

附：

《几何基础》模拟练习题

一、选择与填空题

1.非零向量a 与b 的内积0=?b a ，那么（）.

A. a 与b 平行

B. a 与b 垂直

C ．a 与b 线性相关

D.无法判定 2．若向量a 与b 线性相关，那么（）.

A.存在实数21,k k ，使021=+b k a k

B.存在不全为0的实数21,k k ，使021=+b k a k

C. a 与b 不平行

D. a 与b 垂直

3.设a 与b 是两个非零向量，则下列结论正确的是（）． (A) b a b a ≤?

(B) b a b a =? (C) b a b a ≥? (D) b a b a >?

4．平行射影保持如下哪种关系和量不变（）。

(A)垂直关系 (B) 平行关系

5．平行射影把（）.

A.平行线投影为平行线

B.把平行线投影为相交线

C.保持线段的长度不变

D.保持图形面积不变

6．中心射影下，如下哪种量不变（）。

(A)角度 (B)交比

7．在中心射影下，（）.

A.交比不变.

B.平行线变成平行线.

C.直角三角形变成直角三角形

D.平行四边形变成平行四边形.

8．点列之间的射影对应是由（）。

(A)三对对应点唯一确定 (B) 两对对应点唯一确定

(C)四对对应点唯一确定 (D) 无限对对应点唯一确定

9．仿射变换把正方形变成( ).

(A)正方形 (B) 矩形

(C)平行四边形 (D) 不能确定

10．仿射对应下，哪些量不变。（） (A)长度 (B) 角度 (C) 单比 (D) 面积 11．仿射对应是平行射影的充分必要条件为（）。 (A)象点与原象点的连线平行 (B) 象点与原象点的连线交于一点 (C) 不可判定 (D) 象点与原象点不平行

12．在实轴R 上，三点C B A ,,坐标分别为6,5,2，那么三点的单比()ABC 为（）.

A.4

B.1-

C.0

D. 8

13．线段AB 的中点C 与AB 上哪一点调和共轭（

）。

(A) A (B) B

A.()5,4,4-

B.()1,1,0-

C.()2,1,2-

D.()1,2,3.

15.仿射平面上无穷远直线与有穷远直线（）.

A.有一个交点

B.没有交点

C.有无数个交点

D.无法判定

16.在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（）.

A.三角形与圆

B.圆与椭圆

C.四边形与正方形

D.等腰三角形与直角三角形

16． A 、B 、C 、D 为直线上的互异的四点，C 、D 在A 、B 之内，则四点交比（AB ，CD ）（）。

(A) 大于零 (B) 小于零

17．方程02321=+-u u u 表示的点为（）。 (A)（1，1，2） (B) （2，1，1）

18. 直线上 A 、B 、C 、D 为互异的四点，C 、D 在A 、B 之内，则四点交比（AB ，CD ）（）。

(A) 大于零 (B) 小于零

19．无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（）。

(A)半径 (B) 直径

20．若点P 在二次曲线Γ上，那么它的极线一定是Γ的（）。

(A)切线 (B) 直径 (C) 半径

(D)渐近线

无穷大

21．若点P 在二次曲线Γ上，那么它的极线一定是Γ的（）。

(A)切线 (B) 直径

22．极线上的点与极点（）。

(A)共轭 (B)不共轭

(C)可能不共轭 (D)不可判定

23. 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是（）。

(A)一条二次曲线 (B) 一条直线

(C)一个点 (D) 两个点

24.在仿射平面上，若二次曲线与无穷远直线有一个交点，则这条曲线是（）.

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

25.欧氏几何与非欧几何的本质区别在于（）.

A.平行公理不同

B.长度的算法不同

C.结合公理不同

D.角度的算法不同

26．三角形内角和等于180度（）。

(A) 与欧氏平行公设等价 (B) 与罗氏平行公设等价

(C)与椭圆几何平行公设等价 (D) 不可判定

二、计算题

1．已知向量{}3,2,1=a ，{}0,1,2-=b ，计算a ，b 的模长与夹角。

2．设通过)2,3(-A 与)1,6(B 两点的直线被直线063=-+y x 截于点P ，求单比

)(ABP ．

3．求点P 1（3，1），P 2（7，5）与P 3（6，4），P 4（9，7）的交比),(4321P P P P 。

4．计算直线0221=+x x 上无穷远点的齐次坐标。

5．计算下列各点的非齐次坐标：

A （2，4，－1），

B （0，4，3），

C （0，1，1）。

6．欧氏平面上直线的方程为0=++c by ax ，求出该直线在齐次坐标下

的方程.

7．平面上过()3,2,1A 与()1,2,1-B 的直线，与1x 轴和2x 轴的交点分别为C

与D ，算出四点的交比()CD AB ,.

8．求二次曲线0543322

22121=+++x x x x x x 在点()5,1,0-处的切线方程. 9．求二次曲线011246322

32221=+--x x x x x 在（1，2，1）点的切线方程。

10．求二次曲线03231232221=-+-x x x x x 在（1,2

5,2）点的切线方程。 11．求由两个射影线束

031=-x x λ，032='-x x λ，2

1+-='λλλ 决定的二次曲线的方程。

三、证明题

1．证明在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点

连线共点.

2．利用向量方法证明三角形三条中线交于一点。

3．利用向量方法证明三角形三条高交于一点。

4．若三角形ABC 的二顶点B 与C 分别在定直线α与β上移动，三边AB 、BC 、C

A 分别通过共线的定点P ，Q ，R ，求证顶点A 也在一定直线上移动。

5．设),(11y x 为一已知点，证明它对二次曲线122

22=+b

y a x 的极线为12121=+b

y y a x x 。 6．证明点),(11y x 关于二次曲线px y 22=的极线为)(11x x p y y +=。

7．证明，直线0=++C By Ax 将两点),(111y x P 与),(222y x P 的连线段分成的比是C

By Ax C By Ax ++++-2211． 8．证明射影变换()()321321,,,,:y y y x x x T →，

????? ??????? ??=????? ??321332313

232221*********x x x a a a a a a a a a y y y ，0≠ij a

成直线.