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单调有界数列收敛定理

单调有界

单调有界定理 2.4.3实数的连续性 实数集比有理集多了一个重要性质,这就是连续性. 正因为实数集具有连续性,所以在实数集上的极限运算才是封闭的,从而实数集就成为数学分析的立论基础。 定理2.4.3(单调有界定理)若数列{a n}单调增加且有上界,则数列{a n}收敛。 证明:我们不妨假设a n≥0,否则,存在某个有理数c>0,使a n′= a n+c≥0,从而由讨论数列{ a n}变为讨论数列{ a n′}。 由引理2.4.1知,数列{ a n}稳定于某个实数a=,下面证明,a就 是数列{ a n}的极限。 >0,n0N,当n≥n0时,<。由引理2.4.1知, 事实上, a n 0…,a n k…, 对于充分大的n0,当n>n0时,有 a n=, ︱a n-a︱=︱- ︱ ≤<, 即=a 推论4.1若数列{a n}单调减少(即a n≥a n+1),且有下界M(a n≥M),则数列{a n}收敛。 证明:令a n′=-a n。由于a n≥a n+1且有下界M′,则可得a n′≥a n+1 ′且a n′≤M=- M′,由 定理2.4.3知′=a′。从而有= a = - a n′ 例1设a0>0,b>0,a n=(),n=1,2,…,证明数列{a n}收敛,并求其极限。 证明:不难看出,n N,有a n>0,根据几何平均不超过算术平均,n N,有 a n=()≥()=b, 即数列{a n}有下界。 n N,有

a n+1-a n=()- a n=(b-a n2)≤0, 即数列{a n}单调减少。 根据推论4.1,数列{a n}收敛,设=a,由极限的单调性,有a≥>0。 对等式a n+1=()两端取极限得a=(a+),因a>0,得a=。 注4.4当b=2时,是无理数,例1表明:若a0是一有理数,则有理数列{a n} 收敛于无理数。 求极限的方法小结 阮正顺 极限思想贯穿整个高等数学的课程之中,而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础,因此有必要总结极限的求法,其求法可总结为以下几种: 一、利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则,法则本身很简单,但为了能够使用这些法则,往往需要先对函数做某些恒等变形或化简,采用怎样的变形和化简,要根据具体的算式确定,常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。 例 1. 2. 二、利用两个重要极限 两个重要极限为:或使用它们求极限时,最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形,使之具有相应的形式,有时也可通过变量替换使问题简化。 例 1.

高数 数学极限总结

函数极限总结 一.极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西最先给出了极限的描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(ε-δ和ε-N 定义)。 从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则,使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二.极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限:设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数 ,使得当x 满足不等式 时,对应的函数值 都满足不等式: 那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限,记作。[2] 单侧极限:①.左极限:或 ②.右极限:或 定理: 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例,f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是:对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x 满足不等式 时,对应的函数值f(x)都满足不 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0)()()()()(0000lim x f x f x f x f x f x x ==?=+ -→)(x f 0x x →)()()(lim 0 00x f x f x f x x →+ -==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →

用单调有界原理证明确界存在定理

用单调有界原理证明确界存在定理 证明: 设E R ?是有上界的非空数集且M 是E 的上界,若max E 存在则s u p m a x E E =,现设max E 不存在,于是取0x E ∈,将区间0[,]x M 二等分,若右半区间包含E 的点,则取右半区间记作11[,]a b ,否则将左半区间记为11[,]a b ,于是11[,]a b 中含有E 的点,且1b 是E 的上界,如此下去得到闭区间[,]n n a b 中含有E 中的点n a 单调增加,n b 单调减少且 lim()0n n n b a →∞ -=. 数列{}n a 单调增加有上界,从而有极限ξ。于是lim n n b ξ→∞=, 而n b 是E 的上界lim n n b →∞是E 的上界,ξ∴是E 的上界, 0,N ε?>?当n N >时 n a ξε-<, 于是ξε-不是E 的上界sup E ξ∴= 证明:已知实数集A 非空。存在a 属于A,不妨设a 不是A 的上界,另外,知存在b 是A 的上界,记a1= a ,b1=b ,用a1 ,b1 的中点(a1+b1)/2 二等分[a1 ,b1 ],如果(a1+b1)/2属于B ,则取a2 =a1 ,b2 =(a1+b1)/2 ;如果(a1+b1)/2属于A ,则取a2 =(a1+b1)/2 ,b2 =b1 ;……如此继续下去,便得两串数列 。其中{an}属于A 单调上升有上界(例如b1 ),{bn} 单调下降有下界(例如a1 )并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->无穷) 。由单调有界定理,知存在 r ,使liman = r (n-->无穷)。由 lim (bn-an )=0 有 liman+(bn-an )= r (n-->无穷) 因为{bn}是A 的上界,所以对任意x 属于A ,有x<=bn (n=1,2,……), 令n-->无穷 ,x<=lim(n-->无穷)bn = r 所以 r 是A 的上界。 而 任意c>0由lim(n-->无穷)an = r 知任意c>0知存在N ,当n>N 有r-c

极限计算方法总结(简洁版)

极限计算方法总结(简洁版) 一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。 说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且;5)13(lim 2=-→x x ;? ??≥<=∞→时当不存在,时当,1||1||0lim q q q n n ; 等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ,)(lim x g 都存在,极限值分别为A ,B ,则下面极限都存在,且有 (1) B A x g x f ±=±)]()(lim[ (2)B A x g x f ?=?)()(lim (3))0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1) 1sin lim 0=→x x x (2) e x x x =+→1 )1(lim ; e x x x =+∞→)11(l i m 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。 例如:133sin lim 0=→x x x ,e x x x =--→21 0) 21(lim ,e x x x =+∞ →3 )31(lim ;等等。 4.等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当0→x 时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x ~x sin ~x tan ~x arcsin ~x arctan ~)1ln(x +~1-x e 。 说明:当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时(0)(→x g ),仍有上面的等价 关系成立,例如:当0→x 时, 13-x e ~ x 3 ;)1ln(2x - ~ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小,且)(x f ~)(1x f ,)(x g ~

数分第一章第六节单调数列与单调有界原理

第一章 实数和数列极限 第六节 单调有界原理与 闭区间套定理 我们知道,有界数列不一定收敛。我们就问,对有界数列再加上什么条件,就能使它收敛呢。 在本节中将要引入一类特殊 的数列—单调数列;单调有界的数列必有极限,对单调数列而言,有界性和收敛性是等价的。 一 、单调数列 的概念 定义 1.8 设}{n a 是一个数列。(1)如果数列}{n a 满足 1+≤n n a a , ,2,1=n 则称此数列为递增数列;

(2)如果数列}{n a 满足 1+≥n n a a , ,2,1=n 则称此数列为递减数列; (3)如果上面两个不等式都是严格的,即1+n n a a ), ,2,1=n , 则称此数列为严格递增的 (或严格递减的)。 (4)递增或递减的数列通称为单调数列 。 显然,递增的数列有下界, 递减的数列有上界。 显然,}{n a 是递增数列 等价于}{n a -是递减数列。 (递增数列与递减数列两者可以互相转换,所以只讨论一种就可以了。) 例如 (1)n a n 1211+++= ,*N n ∈,

}{n a 是递增数列; (2)121211-+++=n n a , *N n ∈,}{n a 是递增数列, (3)! 1!211n s n +++= ,*N n ∈, }{n s 是递增数列 。 (4)}1{n 是递减数列, }{2n 是递增数列, }1 {+n n 是递增数列 (11)1(1+-+++n n n n 0)1](1)1[(1>+++=n n )。 例 设21=x ,并定义 n n x x +=+21,*N n ∈ 则}{n x 是递增数列。 事实上 222+=x ,,,2223 ++=x 可以从中观察出来有 1321+<<<<

数列极限的几种求法

数列极限的几种求法 摘要本文通过实例,归纳总结了数列极限的若干种求法.学习并掌握这些方法,对于学好数学分析颇有益处. 关键词数列极限;级数;定积分;重要极限;单调有界数列 中图分类号O171 Several Methods of Sequence limit Abstract:Through examples,summarized several series method for finding the limit.Learn and master these methods,mathematical analysis is quite good for studying. Keywords:Sequence limit;Series;Definite integral;Important limit;Monotone bounded sequence 1引言 极限是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态. 极限的概念,可追溯到古希腊时代,德谟克里特(Democritus)是古希腊的哲学家,他博学多才,著作多到五六十种,涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面.年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历,获得了大量的科学知识.马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”.谟克里特以探求真理为最大快乐,他有句名言:“宁可找到一个因果的解释,不愿获得一个波斯王位.”在他的著作中有一种原子法,把物体看作是由大量微小部分叠和而成,利用这一理论,求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一,这是极限思想的萌芽.公元前五世纪,希腊数学家安提丰(Antiphon)在研究化圆为方问题时创立了割圆术,即从一个简单的圆内接正多边形出发,把每边所对的圆弧二等分,连结分点,得到一个边数加倍的圆内接正多边形,当重复这一步骤多次时,所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度.实际上,安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合.稍后,另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤.这种以直线形逼近曲边形的过程表明,当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想.公元前4世纪,欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法,称为穷竭法,并发展为较为严格的理论,提出现在分析中通称的“阿基米德公理”.穷竭法成功地运用于面积的计算.这些都可以看作是近代极限理论的雏形. 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载.如,中国古代的《墨

利用单调有界准则的解题步骤

利用单调有界准则的解题步骤 (1)由数列{}n u 的通项确定递推关系式:1()n n u f u += (2)利用递推关系式证明该数列单调增加(或减少)有上界(或下界);再设 lim n n u A →∞ =(3)在递推关系式两边取极限得到关于未知数A 的方程1()n u f u +=n ()A f A = (4)解此方程求出符合题意的A 的值 (5)可先猜出(求出)数列的极限值,再用数列极限的N ε?定义证明该值即为的极限(对不单调的题,上面方法失效,但该法仍可行) n u n u 数列有界性和单调性的证明方法: (1)一般关于单调性和有界性可以尝试利用数学归纳法来证明 (2)判定数列单调性主要有三种方法 ①计算,若,则数列1n u u +?n 10n n u u +?≥{}n u 单调增加 若,则数列10n n u u +?≤{}n u 单调减少 ②当时,计算0n u >1n n u u +,若11n n u u +≥,则{}n u 单调增加 若 11n n u u +≤,则{}n u 单调减少 ③利用导数证明的单调性,则()(1)f x x ≥()n u f n =与()f x 有相同的单调性 (3)有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分,需要及时调整证明次序(证明单调性时需用有界性,从而必先证明数列有界;或证明有界性时需用单调性,从而必先证明数列的单调性) 例 设数列{}n x 满足110,sin (1,2,n n x x x n )π+<<==" ①证明lim n n x →∞存在,并求该极限;②计算极限2 1 1lim n x n n n x x +→∞?????? 。 证明①用归纳法证明{}n x 单调减少且有下界: 由10x π<<得2110sin x x x π<=<< 设0n x π<<,则10sin n n n x x x π+<=<<

单调有界定理及其应用

本科生毕业论文(设计) 题目:单调有界定理及其应用 学生姓名: 学号: 专业班级: 指导教师: 完成时间: 2013年5月10日

目录 0 引言 (3) 1 单调有界定理的内容及其证明 (3) 2 单调有界定理的应用 (4) 2.1 定理在证明区间套定理中的应用 (4) 2.2 定理在证明柯西收敛准则中的应用 (5) 2.3定理在证明致密性定理中的应用 (6) 2.4定理在证明有限覆盖定理的应用 (6) 2.5定理在证明级数的敛散性的应用 (7) 3 总结 (12) 参考文献 (13) 致谢 (13)

【摘要】单调有界定理是极限理论中的一个重要定理,它在数学分析中应用广泛.本文浅淡单调有界定理在实数完备性中的应用,即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理.同时在数列的单调有界定理基础上,利用非负函数的单调性和积分性质,论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象,判断对方的敛散性,并推广应用之. 【关键词】单调有界,连续,收敛 ,可积. 【Abstarct】Monotone bounded theorem is an important theorem in the theory of limit which has extensive applications in mathematical analysis. In this article, we study its applications in the real number completeness. For example, we can make use of the theorem to prove some theorems about real number completeness. Furthermore, on the base of monotone bounded theorem of series , we prove that non-regular integral and positive series can be denoted as comparable object for each other in order to justify the other convergence by the monotonicity and integral of non-negative functions. 【Keywords】monotone bounded , continuous , convergence, integrable. 0.引言 在现行的《数学分析》教材中, 通常都把确界原理作为公理给出, 用来反映实数集的连续性(完备性).以此公理作为理论基础, 先证单调有界定理, 用以判别单调数列极限的存在性.至于判别更一般的数列极限是否存在, 就要引用柯西准则, 但柯西准则的充分性证明, 却要放到很后的位置, 作为较难的问题专门处理, 与此相关的判别函数极限存在的柯西准则, 以及在闭区间上连续的函数具有的各种性质的证明, 也就建立在这样一种不甚踏实的基础之上.因此,我们应该用的技能是一个多元关系的观点,自觉的开发技能,引导师范生开发技能. 1.单调有界定理的内容及其证明

单调有界定理求极限

一 刘丽 01211209 (徐州师范大学 数学系 徐州221116) 摘要 文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广,应用单调有界定理证明其极限的存在. 关键词 数列;极限;单调有界定理. 1 引言 求数列极限是数学中的一类基本问题,在考研中常见.求极限的方法很多,如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、柯西准则等.就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广,并加以证明.另外还讨论了一类与积分有关的数列的极限问题. 2 主要内容 本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广,并加以证明. 例[] 11 (2002年全国硕士研究生入学考试数学二试题)设301<->x p x 且.由算术—几何平均不等式知 ()()2 2 1011112p x p x x p x x = -+≤ -= <, 假设2 0p x k ≤ <()1>k ,再次用算术—几何平均不等式知 ()()2 2 10p x p x x p x x k k k k k = -+≤ -= <, 由数学归纳法知,对任意正整数1>n 均有2 0p x n ≤ <,因而数列{}n x 有界.又当1>n 时, ()111≥-= -= -=+n n n n n n n n x p x x p x x p x x x , 故1+≤n n x x ()1>n ,即数列{}n x 单调递增.由数列的单调有界定理知n n x ∞ →lim 存在,设为a ,对 ()n n n x p x x -=+1两边同时取极限得:()a p a a -=,可解得2 p a = 或0=a (舍去).故 2 lim p x n n = ∞ →.

单调数列的极限

一、 单调数列的极限 在学习数列极限过程中,有一类数列是由递推式)2,1()(1 ,, ==+n x f x n n 确定的,对这类数列常用“单调有界的数列,必有极限” 的数列极限存在准则来判断极限的存在性,并求出它的极限值。 1. 递推数列)2,1()(1 ,, ==+n x f x n n 单调性的判断: (i) 若0)(≥'x f ,则数列)2,1}({ , =n x n 是单调的,当21x x <,数列}{n x 单调不减,当21x x >,数列}{n x 单调不增; (ii) 若0)(<'x f ,则数列)2,1}({ , =n x n 不是单调的,但它的两个子列:奇子列)2,1}({1-2 , =n x n 和偶子列)2,1}({2 ,=n x n 却是单调的,并具有相反的单调性,即当31x x <时,数列}{1-2n x 就单调不减,}{2n x 单调不增,反之当31x x >时,数列}{1-2n x 单调不增,}{2n x 就单调不减。 2. 递推数列)2,1()(1 ,, ==+n x f x n n 有界性的证明常借助于均值不等式 n n x x x n x x x 2121≥+++ 和数学归纳法,或利用函数极值的求法,求出)(x f 的最大值或最小值。此最值就是数列的上界和下界。 3.求极限。 (i)由数列的单调有界性,利用极限运算法则,在递推式的两端取极限 )(lim lim 1n n n n x f x A ∞ →+∞→==,解方程)(A f A =,即可求得极限A 。 (ii)若两子列的极限1-2lim n n x ∞→,1-2lim n n x ∞→存在且相等,则数列n n x ∞→lim 存在。 第一讲 极限与连续

数列极限的几种求解方法

数列极限的几种求解方法 张宇 (渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国)摘要在高等数学中极限是一个重要的基本概念。高等数学中其他的一些重要概念,如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。本文主要研究了求极限问题的若干种方法。在纷繁众多的求极限方法中,同学们往往在求解极限时不知如何下手。文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结:利用迫敛性;利用单调有界定理;利用柯西准则证明数列极限;这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特殊方法,例如:利用数列的构造和性质求数列的极限;利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限,这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义,而且还比较方便。在实际求解过程中,要灵活运用以上各种方法。 关键词:数列,极限,概念,定理。 Solution of the limit Abstract :In the higher mathematics limit is an important basic concepts. In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration, series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit. In the numerous and numerous limit method, students often in solving limit doesn't know how to start. The contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property, Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit, These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special structures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method, these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods. Key words: Series, limit, the concept, the theorem.

一类单调有界光滑函数的导函数极限存在性

万方数据

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一类单调有界光滑函数的导函数极限存在性 作者:范丽君, 郭挺, FAN Li-jun, GUO Ting 作者单位:江西理工大学理学院,江西,赣州,341000 刊名: 江西理工大学学报 英文刊名:JOURNAL OF JIANGXI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY 年,卷(期):2010,31(3) 被引用次数:0次 参考文献(8条) 1.华东师范大学数学系数学分析 2001 2.刘玉琏.傅沛仁数学分析讲义 2003 3.孙本旺.汪浩数学分析中的典型例题和解题方法 1981 4.刘三阳.于力.李广民数学分析选讲 2007 5.陆毅导函数极限的存在性与函数可导性关系初探 2001(4) 6.孙德荣导函数连续性的条件分析--导函数极限定理的随想 2004(2) 7.许智勇.赵曾云关于导函数极限的研究 2006(9) 8.李玉霞.常首杰关于导函数的极限的研究 2007(3) 相似文献(2条) 1.期刊论文JIANG Hai-qin.曹瑞成.JIANG Hai-qin.CAO Rui-cheng分段函数分段点可导性的一个定理及应用-扬州职业大学学报2008,12(2) 给出分段函数分段点导数存在的一个充要条件:函数在该点连续,导函数在该点左、右极限存在且相等.并由此得到在分段点导数不存在的一个充分条件以及三种特例分段函数分段点导数存在的充分条件.举例说明该定理的应用,并指出利用该定理求分段函数分段点导数时的几点注意:函数在该点连续是可导的必要条件,导函数在该点左、右极限存在且相等是充分条件. 2.会议论文鲁亚男.刘欣浅析函数的单侧导数与导函数的单侧极限2006 常见的分段函数由于它在除分段点外的小区间内的每段函数都是初等函数,所以,它们在这些小区间内都是连续,可导的。而要研究整个分段函数在其定义域内是否连续,可导,关键要看它在分段点处的连续性与可导性。其中,连续性的判别相对较简单,而分段点处可导性的判别就要用到单测导数的定义,通常情况下,这类问题相对复杂。在学生中易出现的错误是直接将分段点代入导函数求分段导数,从而判断在该点处是否可导。对于这种做法,有时结果上是正确的,但缺少必要的理论基础。本文通过对函数的单侧导数与其导函数的单侧极限之间的关系的研究,得到结论:对于在分段点处的单测邻域内连续,可导的函数,如果其导函数的单测极限存在的话,则其单测导数就等于导函数的单测极限。从而给出了一个在满足上述情况下的求分段函数在分段点处单测极限的方法——直接讲分段点代入导函数印可。但必须要注意的是,上述条件是充分非必要条件,当导函数的单测极限不存在时,不能用此方法来运算。反例见本文中例3。 本文链接:https://www.wendangku.net/doc/1e7568496.html,/Periodical_nfyjxyxb201003019.aspx 授权使用:潍坊学院(wfxy),授权号:b6df8337-18e9-4a3b-836f-9e46008a32a8 下载时间:2010年12月8日

高中数学 递推数列的单调有界性

递推数列的单调有界性 1 例:已知数列{a n }中 ,设1a >3,且n a =2111233(2) n n n a a a -----(23)n =,,。求证:3<1n a +3), 则f (x )?=2(x?1)(x?3)3(x?2)2 当23时f (x )?>0 所以x=3时有f (x )min =f (3)=3 又f (x )?x =?x (x?3)3(x?2),当x >3时,f (x )3,所以32),则f(x)?=3x 2?6x+14(x?1)2>0(x >2) f (x )?x =?x(x?3)4(x?1)>0(2x ,又f (x )?3= (x ?3)(3x ?4)4(x—1)<0(2

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