格林互易定理在求解静电学奥赛题中的应用
例析格林互易定理在求解静电学奥赛题中的应用
金彪
（浙江省春晖中学 浙江 绍兴 312353）
在静电场中，有一组固定的 n 个导体系统， n 个导体上的电荷为 ,........,21m q q q 它们的电势分别为,....,21m U U U 当的 n 个导体的电荷变为,........,21m q q q '''它们的电势,....,21
m U U U '''则必有 ∑∑=='='n
i i
i
n i i
i
U
q U q 1
1
成立。上面的定理叫做格林互易定理，其严格证明
超出了中学物理的范围，但在求解有关静电感应的一些中学物理竞赛问题时,若用格林互易定理的方法来求解,则可以起到事半功倍的效果，下面就来看几个往年竞赛真题。
例1：（第13届预赛第5题）在静电复印机里，常用如图所示的电路来调节A 、C 两板间电场强度的大小，从而用来控制复印件的颜色深浅．在操作时，首先对由金属平板A 、B 组成的平行板电容器充电．该电容器的B 板接地，A 、B 板间填充有介电常数为ε的电介质，
充电后两板间的电势差为U ．而后，断开该充电电源，将连接金属平板C 和可调电源E 的开关K 闭合．这样，A 、C 两
板间的电场强度将随可调电源E 的电动势变化而得以调节．已知C 板与A 板很近，相互平行，且各板面积相等．A 、B 板间距离为d l ，A 、C 板间距离为d 2，A 、C 板间空气的介电常数取为1．试求；当电源E 的电动势为U 0时，A 、C 两板间某点P 处的电场强度．
解：先求出上下两电容器的电容： A 、C 两板间的电容为
2
24kd S
C π=
A 、
B 两板间的电容为 1
14kd S
C πε=
对由金属平板A 、B 组成的平行板电容器充电后，由已知条件可的C 、A 、B 三块板的电势分别为
0,,U U 所带电量分别为
1
14,4,
0kd S
U kd S U πεπε- 当断开该充电电源，连接金属平板C 和可调电源E 的开关K 闭合后，A 板总电量不变，电势变化，设此时A 板电势为U '；B 板电量变化而电势仍为零，设B 板电量为q '；C 板电势变为0U ，电量可以根据A 、C 两板的电势差求得
()2
04kd S
U U q C π?
'-=
d 2
P
K εA B
C d 1
则C 、A 、B 三块板的电势分别为
0,,0U U '
所带电量分别为
()q kd S
U kd S U U '?
'-,4,41
20πεπ 将变化前的电势与变化后的电量相乘，变化前的电量与变化后的电势相乘，由格林互易定理可得
()04400441
10120?-+'?+?='?+?+?
'-?kd S
U U kd S U U q kd S U U kd S U U U πεπεπεπ 上式消去
π
k US
4得： ()U d d U d U U '?=+?
'-1
1201εε 左右两边都减去
01
U d ?ε
，可得
()()U U d U d d U d U U '-?-=?-+?
'-01
011201εεε 可得：
()()
()2
1021
201
01d d U U d d d U U d U U εεε
ε
+-=
+-=
'- 则P 点场强为
()()2
102
0d d U U
d U U E P εε
+?
-='-=
例2：(第12届决赛第3题)如图所示，正四面体ABCD 各面均为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四个面的静电势分别为? 1、? 2、? 3和? 4，求四面体中心O 点的电势? 0。 解：由题意，设四个面与中心O 的电荷量分别为
1q 、2q 、3q 、4q 、0
同时，四个面与中心的电势分别为
1?、2?、3?、4?、0?
现将外面四个面接地，中心放一个电量为Q 的点电荷，中心电势为U ，而四个面产生
A
B
C
D
o
的感应电荷都相等，为4Q
-
，则此时四个面与中心O 的电荷和电势分别为 4Q -、4Q -、4Q -、4Q
-、Q 0、0、0、0、U
由格林互易定理可得：
0444404321=?+??
?
??-?+??? ??-?+??? ??-?+??? ??-
?Q Q Q Q Q ?????
即可得
4
4
3210?????+++=
例3：（第14届决赛第7题）有100块平行放置的正方形大导体板，每块边长均为L ，相邻两板彼此相对的两个表面的间距均为d ，L d <<，将这些导体板从左至右顺次编号为1，2，...100.开始每板上都带有净电荷，已知第1块板上的净电量为1q （设01>q ），第n 块板上的净电量为1nq q n =，今将第1块和第100块导体板接地，如图所示.忽略边缘效应.问：
1.从第1块和第100块导体板上流入大地的电量1q ?和100q ?各为1q 的多少倍？
2.上述两板接地后哪块板上的电势最高？其电势是多少？
解：当第1块和第100块导体板接地后，这两块板电量发生改变，所有极板的电势也发生了改变，则可设1001→极板的总电量和电势分别为：
()1001111199432Q ,q ,,q ,q ,q ,Q
()0099432,U ,,U ,U ,U ,
现改变各导体板电量。
变化一：使992→极板电量都变为0，而1板电量为q -，100板电量为q +，且假设
1板接地，100板电势为C
q
U ?='99100
（其中C 为相邻两板间的电容）。则1001→极板的电量和电势分别为：
()q ,,,,,,q +-0000
??? ??C q ,C q ,,C
q
,C q ,C q ,9998320
将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得：
()()1001111199432999998433220000000Q C
q
q C q q C q q C q q C q Q q U U U U q ?+?+?+?+?+
?=+?+?++?+?+?+-? ()()
1
1222111
1003
23266298996197999899983219832199
999843322199q q q
q Q -=??? ???+??-=++++++++-=?++?+?+?-
=
则可以求得第100块板流入大地的电荷为：
11001001003
23366q Q q q =-=?
变化二：使992→极板电量都变为0，1板电量为q -，100板电量为q +，且假设100
板接地；1板电势为C
q
U ?-=''991
（其中C 为相邻两板间的电容）。则1001→极板的电量和电势分别为：
()q ,,,,,,q +-0000
??? ?
?
-----096979899,C q ,,C q ,C q ,C q ,C q
将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得：
()()
100
111119943209949639729899000000Q q C q q C q q C q q C q Q C q q U U U U q ?+???
?
??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-=+?+?++?+?+?+-? ()()()[]
1
1222211
1311682161991009921019810099994329943210099
99149639729899q q q
q Q -=??
? ??+??-??-=+++-++++-=?++?+?+?-
=
则可以求得第100块板流入大地的电荷为：
11113
1
1683q Q q q =-=?
变化三：使第n 极板带电量为q -，1+n 极板带电量为q +且接地，其它极板都不带
电。则极板n →1电势皆为C
q
U ='''，极板1001→+n 电势皆为零，则1001→极板的电量和电势分别为：
()00000,,q ,q ,,, +-
???
? ????? ??-??? ??-??? ??-??? ??-00,,,C q ,,C q ,C q ,C q 将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得：
()()1001111199132010320
000000Q q n nq C q q C q q C q Q C q U q U q U U U n n ?+++?+????
??-++???? ??-+???? ??-+???? ??-=?+?++?+-?++?+?+?+ 可得：
()
()()()()??
????
-++-??? ??-=??
????
-++???? ??-=++++???
?
??-=+-+212311682212132111
111111n n C q n n q Q C nq q q Q C U U n n 同理可得：
()()??
????
-++-??? ??-=--22131168211n n C q U U n n 分析上面两式式可得，当58=n 时，01>--n n U U ，01<-+n n U U 。 即可得第58块板上电势最高。 令()()??
????
-++-??? ??-
=-=?-22131168211n n C q U U U n n n ，则第58块板的电势为： ()()()
2
12158221582158
321463441457602112117595895950421573116832213116820L kdq L kdq n n C q n n C q U U U U U n n n ππ?=??? ???++??-=
?
?
????
--???? ??=??
????
-++-??? ??-+=?++?+?+=∑∑==