， ∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3
.
又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ， 且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， 即c ＝c sin C ，
∴sin C ＝1，又C ∈(0，π)， ∴C ＝π2
，
∴B ＝π－π3－π2＝π
6
.
2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m∥n ，则角B 的大小为________．
答案：5π
6
解析：∵m∥n ，
∴(a ＋b )(sin B －sin A )－(3a ＋c )sin C ＝0， 又∵a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，
化简，得a 2
＋c 2
－b 2
＝－3ac ，
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3
2
.
∵0
6
.
考点3 向量在解析几何中的应用
[典题3] 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，
垂足为Q ，且?
????PC →＋12PQ →·? ????
PC →－12PQ →＝0.
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)若EF 为圆N ：x 2
＋(y －1)2
＝1的任意一条直径，求PE →·PF →
的最值． [解] (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．
由?
????PC →＋12PQ →·? ????
PC →－12PQ →＝0，得
|PC →
|2－14
|PQ →|2
＝0，
即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2
＝0，
化简得x 216＋y 2
12
＝1.
所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)因为PE →
·PF →
＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)
＝(－NF →－NP →
)·(NF →
－NP →
)＝NP →
2
－NF →
2
＝NP →
2
－1，
P 是椭圆x 216
＋y 2
12
＝1上的任意一点，
设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 20
12＝1，即x 2
＝16－4y 2
3
，
又N (0,1)，所以NP →
2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2
＋20.
因为y 0∈[－23，2 3 ]，
所以当y 0＝－3时，NP →
2
取得最大值20， 故PE →·PF →
的最大值为19；
当y 0＝23时，NP →
2
取得最小值为13－43(此时x 0＝0)，故PE →·PF →
的最小值为12－4 3. [点石成金] 向量在解析几何中的作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b ?a·b ＝0；a∥b ?a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
如图所示，直线x ＝2与双曲线C
：x 2
4
－y 2
＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→
＝e 1，OE 2→
＝
e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →
＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R )，则ab ＝( )
A.14 B ．1 C.12 D.18
答案：A
解析：由题意易知，E 1(2,1)，E 2(2，－1)， ∴e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)， 故OP →
＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )． 又点P 在双曲线上， ∴
2a ＋2b 2
4
－(a －b )2
＝1，
整理可得，4ab ＝1，∴ab ＝1
4
.
[方法技巧] 1.用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用．一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决．
2．牢记以下4个结论
(1)重心：若点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →
＋GC →
＝0或PG →
＝1
3
(PA →＋PB →＋PC →
)(其中P 为平
面内任意一点)；反之，若GA →
＋GB →＋GC →
＝0，则点G 是△ABC 的重心．
(2)垂心：若点H 是△ABC 的垂心，则HA →·HB →
＝HB →·HC →＝HC →·HA →或HA →
2
＋BC →
2
＝HB →
2
＋CA →
2
＝HC
→
2
＋AB →
2
；反之，HA →·HB →＝HB →
·HC →＝HC →
·HA →
，则点H 是△ABC 的垂心．
(3)内心：若点I 是△ABC 的内心，则有|BC →
|·IA →
＋|CA →
|·IB →
＋|AB →
|·IC →
＝0；反之，若|BC →
|·IA →
＋|CA →
|·IB →
＋|AB →
|·IC →
＝0，则点I 是△ABC 的内心．
(4)外心：若点O 是△ABC 的外心，则(OA →＋OB →
)·BA →
＝(OB →＋OC →
)·CB →
＝(OC →＋OA →
)·AC →
＝0或|OA →
|＝|OB →
|＝|OC →
|；反之，若|OA →
|＝|OB →
|＝|OC →
|，则点O 是△ABC 的外心．
[易错防范] 1.对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等．
2．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．
3．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a ，b 夹角为锐角和a·b ＞0不等价． 4．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．
真题演练集训
1．[2016·四川卷]在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →
|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →
＝DC →·DA →
＝－2，动点P ，M 满足|AP →
|＝1，PM →＝MC →
，则|BM →
|2
的最大值是( )
A.
43
4
B.494
C.
37＋63
4
D.37＋2334
答案：B
解析：由|DA →
|＝|DB →
|＝|DC →|知，D 为△ABC 的外心．
由DA →·DB →
＝DB →·DC →
＝DC →·DA →
知，D 为△ABC 的内心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以EM ＝12AP ＝12，所以|BM →
|max ＝|BE |＋12＝7
2，
则|BM →
|2
max ＝494，故选B.
2．[2015·福建卷]已知AB →⊥AC →，|AB →
|＝1
t
，|AC →
|＝t .若点P 是△ABC
所在平面内的一点，
且AP →
＝AB
→|AB →|＋4AC
→
|AC →
|
，则PB →·PC →
的最大值等于( )
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
答案：A
解析：∵ AB →⊥AC →
，故以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ? ??
??0，1t ，C (t,0)，则AP →＝? ????0，1
t 1t
＋
4t ，0
t
＝(4,1)， 故点P 的坐标为(4,1)． PB →·PC →
＝?
?
???
－4，1
t －1·(t －4，－1)＝－4t －1
t ＋17
＝－? ??
??4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13.
当且仅当4t ＝1t ，即t ＝1
2
时(负值舍去)取得最大值13.
3．[2015·天津卷]在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →
＝λBC →，DF →
＝1
9λ
DC →，则AE →·AF →
的最小值为________．
答案：2918
解析：在等腰梯形ABCD 中，由AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得AD ＝DC ＝1. 建立平面直角坐标系如图所示，
则A (0,0)，B (2,0)，C ? ????3
2，32，D ? ????12，32，
BC →
＝? ????32，
32－(2,0)＝? ????－1
2，32， DC →
＝? ????32
，
32－? ????
12，32＝(1,0)． ∵ BE →
＝λBC →
＝? ????－1
2λ，32λ，
∴ E ? ????2－1
2
λ，32λ.
∵ DF →
＝1
9λDC →
＝? ????19λ，0，∴ F ? ??
??12＋1
9λ，32.
∴ AE →
·AF →＝? ????2－1
2λ，32λ·? ????12＋19λ，32
＝? ????2－12λ? ????12＋19λ＋3
4λ＝1718＋29λ＋12λ
≥17
18
＋22
9λ·12λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时等号成立，符合题意．∴ AE →·AF →的最小值为29
18
.
4．[2016·江苏卷]如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →
＝4，BF →·CF →
＝－1，则BE →
·CE →
的值是________．
答案：7
8
解析：解法一：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，
设B (－a,0)，C (a,0)，A (b ，c )，
则E ? ????23b ，23c ，F ? ??
??13b ，13c ，BA →
＝(b ＋a ，c )， CA →
＝(b －a ，c )，BF →
＝? ????b
3
＋a ，c 3，
CF →
＝?
??
??
b 3－a ，
c 3，BE →
＝?
??
??2
3b ＋a ，2
3
c ，
CE →
＝? ??
??2
3b －a ，23c ，
由BA →·CA →
＝b 2
－a 2
＋c 2
＝4， BF →·CF →
＝b 2
9
－a 2
＋c 2
9
＝－1，
解得b 2＋c 2＝458，a 2
＝138，
则BE →·CE →
＝49(b 2＋c 2)－a 2
＝78
.
解法二：设BD →
＝a ，DF →
＝b ，则BA →
·CA →
＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2
－|a |2
＝4，BF →·CF →
＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b |2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138，|b |2
＝58， 则BE →·CE →
＝(a ＋2b )·(－a
＋2b )＝4|b |2－|a |2
＝78
.
课外拓展阅读
巧解平面向量高考题的5种方法
向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题．在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关知识进行解决．基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考：一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．下面对辽宁省的一道高考试题采用5种不同的求解方法进行解答．
[典例] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最
大值为( )
A.2－1 B．1
C. 2 D．2
解法一：目标不等式法
[思路分析]
[解析]因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，
所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，
故|a＋b|＝2.
展开(a－c)·(b－c)≤0，得
a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，
即0－(a＋b)·c＋1≤0，
整理，得(a＋b)·c≥1.
而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，
所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.
所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.
[答案] B
解法二：向量基底法
[思路分析]
[解析]取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝m a＋n b.
由|c|＝1，即|m a＋n b|＝1，
可得(m a)2＋(n b)2＋2mn a·b＝1，
由题意知，|a|＝|b|＝1，a·b ＝0. 整理，得m 2
＋n 2
＝1.
而a －c ＝(1－m )a －n b ，b －c ＝－m a ＋(1－n )b ， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得
[(1－m )a －n b ]·[－m a ＋(1－n )b ]≤0， 展开，得m (m －1)a 2
＋n (n －1)b 2
≤0， 即m 2
－m ＋n 2
－n ≤0. 又m 2
＋n 2
＝1，故m ＋n ≥1. 而a ＋b －c ＝(1－m )a ＋(1－n )b ，
故(a ＋b －c )2＝[(1－m )a ＋(1－n )b ]＝(1－m )2a 2＋2(1－m )(1－n )a ·b ＋(1－n )2b 2
＝(1－m )2
＋(1－n )2
＝m 2
＋n 2
－2(m ＋n )＋2 ＝3－2(m ＋n )．
又m ＋n ≥1，所以3－2(m ＋n )≤1. 故|a ＋b －c|2≤1，即|a ＋b －c|≤1. [答案] B 解法三：坐标法 [思路分析]
[解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π
2.
设OA →
＝a ，OB →
＝b ，OC →
＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .
分别以OA，OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则a＝(1,0)，b＝(0,1)，则A(1,0)，B(0,1)．
设C(x，y)，则c＝(x，y)，且x2＋y2＝1.
则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)，
故由(a－c)·(b－c)≤0，得
(1－x)×(－x)＋(－y)×(1－y)≤0，
整理，得1－x－y≤0，即x＋y≥1.
而a＋b－c＝(1－x,1－y)，
则|a＋b－c|＝1－x2＋1－y2
＝3－2x＋y.
因为x＋y≥1，
所以3－2(x＋y)≤1，即|a＋b－c|≤1.
所以|a＋b－c|的最大值为1.
[答案] B
解法四：三角函数法
[思路分析]
[解析] 因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0， 所以〈a ，b 〉＝π
2.
设OA →
＝a ，OB →
＝b ，OC →
＝c ， 因为a⊥b ，所以OA ⊥OB .
分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则A (1,0)，B (0,1)． 因为|c |＝1，设∠COA ＝θ，
所以C 点的坐标为(cos θ，sin θ)．
则a －c ＝(1－cos θ，－sin θ)，b －c ＝(－cos θ，1－sin θ)，故由(a －c )·(b －
c )≤0，得
(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0，
整理，得sin θ＋cos θ≥1.
而a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， 则|a ＋b －c |＝
1－cos θ
2
＋1－sin θ
2
＝3－2sin θ＋cos θ. 因为sin θ＋cos θ≥1，
所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1，即|a ＋b －c |≤1. 所以|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B
解法五：数形结合法 [思路分析]
[解析] 设OA →
＝a ，OB →
＝b ，OC →
＝c ， 因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上．
易知CA →
＝a －c ，CB →
＝b －c ，|c |＝|OC →
|. 由(a －c )·(b －c )≤0，
可知CA →·CB →≤0， 则
π
2
≤∠BCA <π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，
故点C 在劣弧AB 上． 由a·b ＝0，得OA ⊥OB ，
设OD →
＝a ＋b ，如图所示，
因为a ＋b －c ＝OD →－OC →＝CD →
，
所以|a ＋b －c |＝|CD →
|，
即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离，
显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1，即|a ＋b －c |的最大值为1. [答案] B
人教版高中数学必修四 2.5平面向量应用举例
一、选择题 1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( ) A ．(9,1) B ．(1,9) C ．(9,0) D ．(0,9) 解析：F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． 又因为起点坐标为(1,1)，所以终点坐标为(9,1)． 答案：A 2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为1 2v 0，则发射角θ应为( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 解析：炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0?cos θ＝12?θ＝60°. 答案：D 3．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( ) A ．0 B ．0 C ．AB D ．AC 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ， 则AD ＝12a ＋1 2 b ， BE ＝BA ＋12AC ＝－a ＋1 2b ， CF ＝CA ＋1 2AB ＝－b ＋1 2a . ∴AD ＋BE ＋CF ＝0. 答案：B 4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则下列向量中与AD 同向的是( ) A.a ＋b |a ＋b | B.a |a |＋b |b | C.a －b |a －b | D.a |a |－a |b | 解析：AD ＝12AB ＋12AC ＝1 2(a ＋b )，而a ＋b |a ＋b | 是与a ＋b 同方向的单位向量．
答案：A 二、填空题 5．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y 2)，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方 程为________． 解析：AB ＝(2，－y 2)，BC ＝(x ，y 2 )． ∵AB ⊥BC ，∴A AB ·BC ＝2x －1 4y 2＝0，即y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 6．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC · CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°， AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－5 2. 答案：－5 2 7．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为________． 解析：水平力在3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12at 2＝12F ·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×1 2×42×32 ＝36(J)． 答案：36 J 8．设坐标原点为O ，已知过点(0，12)的直线交函数y ＝1 2x 2的图像于A 、B 两点，则OA · OB 的值为________． 解析：由题意知直线的斜率存在，可设为k ，则直线方程为y ＝kx ＋12，与y ＝1 2x 2联立 得12x 2＝kx ＋1 2 ， ∴x 2－2kx －1＝0，∴x 1x 2＝－1，x 1＋x 2＝2k ， y 1y 2＝(kx 1＋12)(kx 2＋12) ＝k 2x 1x 2＋14＋k (x 1＋x 2) 2 ＝－k 2＋k 2＋1 4 ＝14 ， ∴OA · OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－1＋14＝－3 4.
高考数学平面向量专题卷(附答案)
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
2019高考数学真题汇编平面向量
考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .
高三数学精准培优专题练习8：平面向量
培优点八 平面向量 1．代数法 例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ， 所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法 例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系 例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________． 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ， 下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ， 由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ． 一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训
北师大版数学高一 2.7《平面向量应用举例》教案(必修4)
2.7平面向量应用举例 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P118练习1、2、3题 例题讲评（教师引导学生去做） 例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。 证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C
【高考精品复习】第五篇 平面向量 第4讲 平面向量的应用
第4讲平面向量的应用 【高考会这样考】 1．考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2．考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 【复习指导】 复习中重点把握好向量平行、垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点． 基础梳理 1．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝ a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 (θ为a与b的夹角)． 2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)． 一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合 的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形 象思维与逻辑思维的结合． (2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解 题． 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移 向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示( )． A ．向东南走3 2 km B ．向东北走3 2 km C ．向东南走3 3 km D ．向东北走3 3 km 解析 要求a ＋b ，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作OA →＝a ＝“向东走3 km ”，AB →＝b ＝“向北走3 km ”，则OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b . |OB →|＝32＋32＝32(km)， 又OA →与OB →的夹角是45°，所以a ＋b 表示向东北走3 2 km. 答案 B 2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →]·(AB →－AC →)＝0，所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. 所以|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 是等腰三角形．
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
高考数学平面向量试题汇编
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）
第32讲平面向量的应用-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习(解析版)
第32讲：平面向量的应用 一、课程标准 1、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 3、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 4、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1. 向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义． (2)证明线段平行，三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件，a ∥b ?x 1x 2＝y 1 y 2?x 1y 2－x 2y 1＝0(x 2≠0，y 2≠0)． (3)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，a ⊥b ?a·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0． (4)求夹角问题：利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b|＝ x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21x 22＋y 22 . (5)用向量方法解决几何问题的步骤： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系． 2. 向量在解析几何中的应用 (1)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系． 设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，向量a ＝(a 1，a 2)平行于l ，则k ＝tan α＝a 2 a 1；如果已知直线的斜率为k ＝a 2 a 1，则向量(a 1，a 2)与向量(1，k )一定都与l 平行．
(2)与a ＝(a 1，a 2)平行且过P (x 0，y 0)的直线方程为y －y 0＝a 2 a 1(x －x 0)，过点P (x 0，y 0)且与向量a ＝(a 1，a 2)垂直的直线方程为y －y 0＝－a 1 a 2(x －x 0)． 三、自主热身、归纳总结 1、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→ ＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→ )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 【答案】C 【解析】由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→ )，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→ (D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C. 2、在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC → |2，则△ABC 的形状一定是________三角形．( ) A . 等边 B . 等腰 C . 直角 D . 等腰直角 【答案】C . 【解析】 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA → )＝0，2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC → |，故△ABC 一定是直角三角形． 3. 在?ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM → 等于( ) A . 48 B . 36 C . 24 D . 12 【答案】24 【解析】 AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM → )＝????AB →＋23AD →·????12AB →－13AD →＝ 12AB →2－29AD →2＝12×82－2 9×62 ＝24.
北京四中数学必修四平面向量应用举例基础版
平面向量应用举例 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 【要点梳理】 要点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?=a b a b ． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 要点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 要点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法：
53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)
专题26 平面向量（知识梳理） 一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则
图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边 作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；
20高考数学平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
平面向量应用举例
平面向量应用举例 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 【要点梳理】 要点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?= a b a b ． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 要点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 要点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式cos |||| θ?= a b a b ． 要点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv 是数乘向量；④功即是力F 与所产生位移s 的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 【典型例题】 类型一：向量在平面几何中的应用
20高考数学平面向量的解题技巧
20高考数学平面向量 的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12 AM a b =+，所 以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 21-- （C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问 题. 解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5
高考数学-平面向量专题复习
平面向量 【考点例题解析】 考点1.共线定理应用 例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（ ） A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→ → =a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→ → b a λλλλ 变式一：对于非零向量→ →b a ,，“→→ →=+0b a ”是“→ →b a //”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（ ） A.若→ → → → =+b a b a _则→→ ⊥b a B. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→ →→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得 → → =a b λ D 若存在实数λ，使得→ → =a b λ，则→ → → → =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线， 且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→ →21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e e e e k e -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数 k 的值。 变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2+=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP += 则（ ） A. PB PA +=0 B. PA PC +=0 C. PC PB +=0 D. PB PA PC ++=0 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02 变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示) 例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A. ,3132+ B. ,3235- C. ,3132- D. ,3 2 31+
